Васюков В.Н. Теория электрической связи

Подождите немного. Документ загружается.

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

163

Найдем спектр тонального АМК. Напомним, что спектр – это

совокупность коэффициентов, определяющих амплитуды гармо-

нических колебаний, составляющих рассматриваемое колебание.

Тогда «найти спектр» означает представить АМК в виде суммы

гармонических колебаний и определить их амплитуды. Раскроем

выражение (5.19) и получим

 

АМ 0 0

( ) cos( ) cos ( )

u t U t t

      

 

cos ( )

   

. (5.20)

Следовательно, амплитудная спектральная диаграмма тональ-

ного АМК имеет вид, показанный на рис. 5.9, а, а фазовая – на

рис. 5.9, б.

Другой формой наглядного представления АМ-колебаний слу-

жит векторная диаграмма (рис. 5.10). Здесь принято, что комплекс-

ная плоскость вращается по часовой стрелке с угловой скоростью

, тогда вектор несущего колебания длиной

неподвижен, а

векторы боковых колебаний вращаются в противоположных на-

правлениях с одинаковыми угловыми скоростями и



, так что

Рис. 5.9. Амплитудная (а) и фазовая (б) спектральные

диаграммы тонального амплитудно-модулированного

колебания

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

164

их сумма всегда лежит на линии,

вдоль которой направлен вектор

несущего колебания. Таким обра-

зом, сумма всех трех векторов со

временем изменяет только длину,

оставаясь на той же линии, т.е. име-

ет место модуляция (изменение)

только амплитуды. Очевидно, то же

справедливо и при любом первич-

ном сигнале, который всегда можно

представить суммой гармонических

колебаний. При этом векторная

диаграмма приобретает сложный

вид и на практике не используется. Спектральная диаграмма может

быть найдена с использованием теоремы умножения (см. п. 2.10.2).

Предположим, что первичный сигнал

()bt

имеет спектральную

плотность

()B

. При модуляции происходит умножение колеба-

ния

 

1 ( )Mb t

на колебание

cos

(для простоты начальную

фазу положим равной 0). Согласно теореме умножения спектраль-

ная плотность результата равна свертке спектральных плотностей

сомножителей.

()

2 ( )

()MB

()

Рис. 5.11. Спектральные плотности несущего и модули-

рующего сигналов (а) и амплитудно-модулированного

колебания (б)

Рис. 5.10. Векторная диаграмма

тонального амплитудно-моду-

лированного колебания

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

165

Спектральная плотность первого сомножителя, очевидно, равна

2 ) ( )MB

, а несущего колебания

 

))

2 ) )

    

     

Поэтому результирующее модулированное колебание имеет спек-

тральную плотность (рис. 5.11)

АМ 0

)

( ) )

MU B



    

)

MU B



   

. (5.21)

Таким образом, спектральная плотность АМК имеет вид двух

масштабированных (в

раз) копий спектральной плотности

первичного сигнала, сдвинутых вправо и влево по оси частот на

величину несущей частоты. Несущее колебание представлено в

спектральной плотности АМК двумя -функциями с весом

5.4.2. ПОЛУЧЕНИЕ АМ-КОЛЕБАНИЙ

Реализовать амплитудную модуляцию можно при помощи

структурной схемы, показанной на рис. 5.12, где полосовой фильтр

ПФ предназначен для подавления ненужных составляющих спек-

тра колебания. (Если перемножитель идеальный, фильтр не нужен,

однако на практике умножение осуществляется при помощи ре-

альных нелинейных устройств, что приводит к возникновению

комбинационных частот, в том числе ненужных.)

Другой способ получения АМ-колебания можно реализовать,

подавая на НЭ сумму несущего и модулирующего колебаний и вы-

деляя на частотно-зависимой нагрузке (фильтре) полезные состав-

ляющие. В схеме на рис. 5.13 нелинейным элементом является диод,

а полосовым фильтром – параллельный контур.

Рис. 5.12. Структура амплитудного модулятора

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

166

Пусть ВАХ нелинейного элемента

имеет квадратичный вид

0 1 2

i a a u a u  

, (5.22)

а сумма напряжений

1 0 2

( ) cos cos

u t U t U t

. (5.23)

Подставим (5.23) в (5.22) и после

преобразований получим (пренебрегая

всеми составляющими, лежащими вне

полосы пропускания фильтра)

AM 1 1 0 2 1 2 0

( ) cos cos( )

m m m

i t a U t a U U t   

2 1 2 0

cos( )

a U U t  

 

1 1 0

1 cos cos

a U M t t



где



. Видно, что, во-первых, глубина модуляции тока

пропорциональна амплитуде первичного сигнала, так что модуля-

ция на квадратичном элементе является линейной

. Во-вторых,

модуляция тем глубже, чем больше отношение коэффициентов ап-

проксимации ВАХ. Для выбора рабочей точки ВАХ используется

постоянное напряжение смещения, прибавляемое к входному на-

пряжению. Заметим, что параллельный контур оказывает макси-

мальное сопротивление току на резонансной частоте, а при откло-

нении частоты от резонансной сопротивление убывает тем

быстрее, чем выше добротность контура. Поэтому коэффициент

модуляции напряжения на контуре всегда будет меньше коэффи-

циента модуляции тока.

При любом законе амплитудной модуляции вектор несущего

колебания не меняется (по модулю) во времени и поэтому не мо-

жет нести информацию. Мощность несущего колебания равна

, в то время как суммарная мощность боковых составляю-

щих при тональной модуляции равна

2 2 2 2

4 2 4

M U M U





и при

1M 

составляет лишь половину мощности несущего колебания.

Имеется в виду линейная зависимость огибающей от первичного сигна-

ла; операция АМ является, конечно, нелинейной.

ut() u t ()

АМ

Рис. 5.13. Схема модулято-

ра на диоде

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

167

Таким образом, 2/3 мощности передатчика затрачивается впус-

тую

. Поэтому на практике часто применяют частичное или пол-

ное подавление несущего колебания (во втором случае амплитуд-

ная модуляция называется балансной, поскольку реализуется в

балансных схемах).

Сущность балансной модуляции легко понять, если подойти к

построению схемы модулятора с точки зрения обеспечения четно-

сти ВАХ. В самом деле, частоты боковых составляющих АМ-

колебания являются комбинационными частотами (5.18) второго

порядка, т.е.

1nn

, а частота несущего колебания представля-

ет собой комбинационную частоту первого порядка (

1n 

0n 

). Поэтому если ВАХ нелинейного элемента имеет четный

характер, в спектре тока будут отсутствовать все нечетные комби-

национные частоты, включая несущую. Схема, показанная на

рис. 5.14, а, реализует четную характеристику и применяется для

балансной модуляции.

Другая разновидность балансной схемы, показанная на

рис. 5.14, б, применяется для подавления вредных комбинацион-

ных составляющих. Например, если нелинейные элементы имеют

кубическую ВАХ, то появляются нежелательные комбинационные

частоты, самые вредные из которых – частоты

2

, так как их

трудно подавить (они слишком близки к несущей частоте). Выход

заключается в том, чтобы сделать схему модулятора нечетной по

отношению к модулирующему колебанию. При этом относительно

несущей частоты схема является четной, вследствие чего подавля-

ется и несущее колебание.

Д1

Д2

–

Д1

Д2

–

а б

Рис. 5.14. Балансные модуляторы

В случае амплитудной модуляции гармонического несущего колебания

реальным речевым сигналом доля полезной мощности составляет всего

около 0,1 % полной мощности АМК [14].

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

168

Выходное напряжение в такой схеме равно

вых 1 2

()U R i i

где

– токи, протекающие через верхний и нижний НЭ,

R 

Обозначим напряжение на половине вторичной обмотки через

, а напряжение несущей частоты через

. Полагая

малым,

можно записать напряжение, приложенное к первому диоду, в виде

д1 1 2

u u u

, а напряжение, приложенное ко второму диоду, в виде

д2 1 2

u u u

Полагая, что

1 1 0

( ) cos

u t U t

, (5.24)

( ) cos

u t U t

, (5.25)

а ВАХ диода имеет вид кубического полинома, запишем токи

диодов:

1 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2

( ) ( ) ( )i a a u u a u u a u u      

, (5.26)

2 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2

( ) ( ) ( )i a a u u a u u a u u      

. (5.27)

Разность токов равна

1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2

2 4 6 2i i a u a u u a u u a u    

. (5.28)

Тогда напряжение на выходе схемы

 

вых 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2

2 2 3u R a u a u u a u u a u   

. (5.29)

Учитывая выражения (5.24) и (5.25), замечаем, что в это на-

пряжение входят спектральные составляющие с частотами ,



2 

. Отсутствуют четные гармоники частоты

и соответствующие комбинационные частоты (в том числе

2

), а также нечетные гармоники частоты

(в том числе

сама частота

). Все составляющие, кроме полезных (с частотами



), легко подавляются резонансной нагрузкой в виде парал-

лельного контура, включаемой вместо

Предельная степень компенсации ненужных составляющих

достигается в кольцевом модуляторе, показанном на рис. 5.15.

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

169

Д1

Д2

–

Д4

–

Д3

Рис. 5.15. Схема кольцевого модулятора

Считая по-прежнему, что сопротивление нагрузки пренебре-

жимо мало, и обозначая

– напряжение несущей частоты (с час-

тотой

) , а

– напряжение на половине вторичной обмотки,

запишем для токов, протекающих через диоды Д1 – Д4:

1 1 2

()i F u u

, (5.30)

2 1 2

()i F u u

, (5.31)

3 1 2

()i F u u  

, (5.32)

4 1 2

()i F u u  

, (5.33)

где

()F 

– ВАХ одного диода (диоды считаются одинаковыми), а

направления токов соответствуют прямому включению диодов.

Тогда выходное напряжение равно

вых 1 3 2 4 1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( )u R i i R i i R i i R i i       

Учитывая, что токи

по-прежнему определяются выраже-

ниями (5.26), (5.27), а

отличаются от них знаком аргумента

[см. (5.30) – (5.33)], видим, что

3 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2

( ) ( ) ( )i a a u u a u u a u u      

4 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2

( ) ( ) ( )i a a u u a u u a u u      

откуда

3 4 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2

2 4 6 2i i a u a u u a u u a u     

. (5.34)

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

170

Складывая выражения (5.28) и (5.34) и умножая на

, получа-

ем выходное напряжение

вых 2 1 2

8u Ra u u

Таким образом, если ВАХ диодов имеют кубический вид, то

кольцевая схема является точным перемножителем сигналов. Ба-

лансно-модулированное колебание имеет вид (при тональной мо-

дуляции)

БМ 0

( ) cos cos

u t U t t

;

его график показан на рис. 5.16.

БM

(t)

Рис. 5.16. Балансно-модулированное колебание

Учитывая симметрию спектра вещественного первичного сиг-

нала, вследствие которой спектр АМ-сигнала также оказывается

симметричным, можно сократить вдвое требуемую полосу частот

канала, если сформировать АМ-сигнал, имеющий одну боковую

полосу (ОБП-сигнал). Это возможно с использованием сигнала,

сопряженного по Гильберту.

Аналитический сигнал, соответствующий первичному сигналу

()bt

, имеет вид

( ) ( ) ( )b t b t jb t





и спектральную плотность

2 ( )B

на положительных частотах. Сдвиг спектральной плотности вправо

по оси частот на

достигается умножением сигнала на

При этом получается комплексное колебание, вещественная часть

которого представляет собой действительный сигнал с одной

(верхней) боковой полосой

 

ОБПверх 0 0

( ) Re ( ) ( )cos ( )sin

u t b t e b t t b t t



  

Колебание

'( ) ( ) ( )b t b t jb t





имеет спектральную плотность,

сосредоточенную на отрицательных частотах, поэтому умножение

его на

формирует комплексное колебание с одной боковой

(нижней) полосой

 

ОБПнижн 0 0

( ) Re ( ) ( )cos ( )sin

u t b t e b t t b t t



  



5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

171

5.4.3. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ АМ-КОЛЕБАНИЙ

Детектирование, или демодуляция, представляет собой про-

цесс, обратный модуляции. Результатом детектирования, следова-

тельно, должен быть первичный (модулирующий) сигнал. В случае

АМ это означает, что при детектировании должен получиться сиг-

нал, повторяющий по форме огибающую АМ-колебания.

Известны методы детектирования АМ-колебаний на основе не-

линейных и параметрических устройств.

Детектирование АМК параметрической цепью имеет много

общего с модуляцией. В самом деле, амплитудная модуляция

представляет собой фактически перенос спектра первичного сиг-

нала на несущую частоту без изменения его формы (см. рис. 5.1).

Демодуляции соответствует, очевидно, обратный перенос спектра

на такую же величину. Поэтому умножение АМ-колебания на

опорное гармоническое колебание несущей частоты с последую-

щей фильтрацией нижних частот позволяет получить первичный

сигнал, т.е. выполнить детектирование, при помощи параметриче-

ского устройства, показанного на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Структура синхронного детектора

Умножив АМ-сигнал (5.19) на опорное колебание, получим

АМ 0 0 0

( )cos( ) ( )cos( )cos( )u t t U t t t    

( ) ( )

cos(2 ) cos( )

U t U t

t    

Очевидно, первое слагаемое не представляет интереса и долж-

но быть подавлено фильтром нижних частот. Второе слагаемое

является полезным сигналом, при этом полезный эффект будет

максимальным, если опорное колебание будет иметь не только ту

же частоту, что и несущее колебание АМ-сигнала, но и ту же на-

чальную фазу, т. е. для наилучшего детектирования должно вы-

полняться условие

0

. Поэтому такое детектирование назы-

вается синхронным или когерентным (см. пример 2.24).

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

172

Другой способ детектирования АМ-сигналов основан на ис-

пользовании нелинейного элемента с последующей фильтрацией

нижних частот. Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимиру-

ется полиномом второго порядка

0 1 2

i a a u a u  

Ток, протекающий через НЭ при воздействии на него тональ-

ного АМ-сигнала, равен (здесь и далее

)

   

0 1 0 2 0

( ) 1 cos cos 1 cos cos

i t a a U M t t a U M t t

     

 

0 1 0

1 cos cos

a a U M t t   

1 2 cos cos2 cos2

2 2 2 2

a U M t t t





     









2 2 2 2 2

2 2 2

cos cos 2 ВЧ

2 4 4

m m m

a U a U M a U M

a a U M t t     

где символом ВЧ для краткости обозначены высокочастотные со-

ставляющие, подавляемые фильтром нижних частот. Из получен-

ного выражения видно, что помимо постоянной составляющей и

полезного сигнала (в данном случае это колебание с частотой ),

а также высокочастотных составляющих в спектре тока содержит-

ся также колебание с частотой

, которое и является наиболее

вредным, так как его трудно подавить фильтром нижних частот

(частота

находится слишком близко от частоты полезного ко-

лебания ). Если модулирующий сигнал отличается от гармони-

ческого тонального колебания (а на практике это всегда так) и име-

ет спектр конечной ширины, то полезные и вредные составляющие

разделить практически невозможно

. Таким образом, нелинейное

(квадратичное) детектирование сопровождается нелинейными ис-

Здесь под трудностью подавления вредных составляющих подразуме-

вается то, что для достижения нужной степени подавления может по-

требоваться очень сложный (многозвенный) фильтр.

Например, для полосы частот телефонного канала 300…3400 Гц вторая

гармоника нижней частоты равна 600 Гц и не может быть отделена от

полезной составляющей сигнала с такой же частотой.