Васюков В.Н. Теория электрической связи

Подождите немного. Документ загружается.

5.2. Нелинейные элементы и их аппроксимации

153

Очевидно, при

0u 

значение тока равно

(0)f Ae A

. Та-

ким образом, значение константы

определяется непосредствен-

но по заданной ВАХ, как значение тока при нулевом напряжении.

Для нахождения константы воспользуемся методом приведения

к линейному виду. Прологарифмировав отношение

/iA

, получим



. (5.11)

По имеющейся заданной ВАХ можно построить график зави-

симости левой части выражения (5.11) от напряжения при различ-

ных

. Если экспоненциальная аппроксимация является подходя-

щей для данной ВАХ, полученный график оказывается

практически линейным, а константа представляет собой тангенс

угла наклона графика (или хотя бы касательной к нему в рабочей

точке).

Для полупроводниковых диодов характерно нулевое значение

тока при нулевом напряжении. Тогда аппроксимация (5.10) непри-

емлема, и взамен применяют аппроксимацию вида

( ) ( 1)

i f u I e  

где

()

I f u





– обратный ток диода. Константа находится

аналогично описанному выше случаю.

5.2.3. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Эта аппроксимация заключается в замене реальной характе-

ристики набором отрезков прямых линий, которые в совокупности

приближенно повторяют форму ВАХ. Наибольшее распростране-

ние получила аппроксимация вида

нн

0, ,

( ), ,

S u U u U













где

– значение напряжения, соответствующее началу линейно

растущего участка,

– крутизна линейной части ВАХ.

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

154

5.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

НА НЭ

5.3.1. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО

НАПРЯЖЕНИЯ НА НЭ

С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Рассмотрим НЭ с вольт-амперной характеристикой, аппрок-

симируемой степенным полиномом

0 1 0 2 0 0

( ) ( ) ... ( )

i a a u U a u U a u U      

на который воздействует напряжение вида

( ) cos

u t U U t

гармоническое относительно рабочей точки, определяемой посто-

янным напряжением

Подставляя выражение напряжения в ВАХ и раскрывая степе-

ни и произведения тригонометрических функций, получим

0 1 2

( ) cos cos2 ... cos

i t I I t I t I N t    

где

0 0 2 4

...

I a a U a U   

1 1 3 5

...

m m m

I a U a U a U   

, (5.12)

2 2 4

...

I a U a U  

3 3 5

...

4 16

I a U a U  

и т.д.

Таким образом, спектр тока НЭ при гармоническом воздейст-

вии содержит кратные гармоники (гармонические составляющие с

частотами

при

0,1, 2, ...,nN

Если ток НЭ протекает через частотно-избирательную нагрузку

(фильтр), то напряжение на нагрузке определяется теми состав-

ляющими, для которых нагрузка представляет значительное сопро-

тивление. Например, включая последовательно с НЭ параллельный

5.3. Воздействие гармонических колебаний на НЭ

155

колебательный контур, настроенный на вторую (третью, четвертую

и т.д.) гармонику, получаем на нагрузке гармоническое напряже-

ние кратной (двойной, тройной и т.д.) частоты. Таким образом реа-

лизуется умножение частоты на 2 (3, 4 …). Нередко применяют

нелинейный активный элемент (транзистор) с нагрузкой в виде па-

раллельного колебательного контура, настроенного на основную

гармонику ; таким образом осуществляется нелинейное (резо-

нансное) усиление узкополосных сигналов (достоинством таких

нелинейных усилителей является их высокий коэффициент полез-

ного действия). Зависимость

()

амплитуды полезной гармо-

ники тока от амплитуды входного гармонического напряжения на-

зывается колебательной характеристикой.

В таких случаях рассматривают ВАХ как линеаризованную за-

висимость, т. е. как линейную функцию, крутизна которой опреде-

ляется относительно соответствующей гармоники и называется

средней крутизной. Ввиду того, что функция линейна, ее крутизна

равна просто отношению амплитуды выбранной гармоники тока к

амплитуде воздействующего гармонического напряжения. Средняя

крутизна в общем случае зависит от входного напряжения нели-

нейным образом. Очевидно, что средняя крутизна, например, по 1-й

гармонике определяется из (5.12) как

ср1 1 3 5

...

S a a U a U   

5.3.2. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО

НАПРЯЖЕНИЯ НА НЭ

С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ВАХ

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ нелинейного

элемента протекающий через него ток представляется импульсами,

описываемыми отрезками гармонической функции (рис. 5.5). При-

мем для определенности, что приложенное напряжение описывает-

ся выражением

( ) cos

u t U U t

тогда ток будет протекать через НЭ только в пределах временны´ х

интервалов, определяемых неравенством

0 н

cos

U U t U

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

156

()

max

()

Рис. 5.5. К определению угла отсечки

Величину интервала протекания тока принято характеризовать

углом (углом отсечки), определяемым следующим из этого ус-

ловия уравнением

0 н

cos

U U U

или

н0

cos





. (5.13)

Обозначим максимальное значение тока

max

, а буквой

обо-

значим амплитудное значение тока, который протекал бы через

нелинейный элемент, если бы его характеристика была линейной и

описывалась функцией

()i S u U

. Тогда, очевидно,

max

(1 cos )II

, (5.14)

а ток в пределах угла отсечки

max

cos cos

()

1 cos

i t I







. (5.15)

Разлагая его (на интервале от



до ), как четную функцию, в

ряд Фурье

0 1 2 3

( ) cos cos2 cos3 ...i t I I t I t I t    

5.3. Воздействие гармонических колебаний на НЭ

157

имеем

 

0 max max 0

1 cos cos

()

2 1 cos

I I d t I









 

1 max max 1

1 cos cos

cos ( )

1 cos

I I t d t I









 

max max

1 cos cos

cos ( )

1 cos

I I n t d t I









Коэффициенты пропорциональности, связывающие макси-

мальное значение импульса тока с амплитудами гармоник тока,

зависят от угла отсечки и называются функциями Берга (коэффи-

циентами Берга)

. Функции Берга можно рассчитать по формулам

sin cos

()

(1 cos )







sin cos

()

(1 cos )







 

2 sin cos cos sin

()

( 1)(1 cos )

n n n







Несколько первых функций Берга показаны на рис. 5.6, а. Вид-

но, что, выбирая значение угла отсечки (путем соответствующего

задания

), можно добиться максимума нужной гармоники

в спектре тока. Такой оптимальный угол отсечки для n-й гармони-

ки определяется выражением

opt

120





. (5.16)

Учитывая (5.14) и (5.15), можно записать ток в пределах угла

отсечки в виде

( ) (cos cos ) (cos cos )

i t I t SU t   

Аксель Иванович Берг (1892–1979) – известный русский ученый в об-

ласти радиотехники, академик.

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

158

0,6

0,4

0,2

0 /2

1,1

0,7

0,3

а б

Рис. 5.6. Функции Берга

тогда амплитуда n-й гармонической составляющей тока

()

n m n

I SU

где

( ) (1 cos ) ( )



представляет собой коэффициент пропорциональности между

. Функции

()

, показанные на (рис. 5.6, б), также носят назва-

ние функций Берга. Максимума

-я функция достигает при

opt

180





. (5.17)

Выбор формулы для нахождения оптимального угла отсечки

определяется решаемой задачей. Если проектируется мощный уси-

литель или умножитель частоты, когда задан максимальный ток,

обусловленный требованиями максимальной рассеиваемой мощно-

сти или электрической прочности устройства, и изменять угол от-

сечки можно изменением

, поддерживая заданное значе-

ние

max

, следует пользоваться формулой (5.16); если задано

амплитудное значение входного напряжения, что характерно для

маломощных каскадов, и можно для выбора угла отсечки опериро-

вать только смещением

, справедлива формула (5.17).

5.3. Воздействие гармонических колебаний на НЭ

159

5.3.3. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЭ

Рассмотрим теперь воздействие на НЭ с вольт-амперной ха-

рактеристикой, аппроксимируемой степенным полиномом, бигар-

монического напряжения вида

0 1 1 1 2 2 2

( ) cos( ) cos( )

u t U U t U t    

Подставляя это выражение в ВАХ и раскрывая степени суммы

гармонических функций по формуле бинома Ньютона

()

k m k m m

a b C a b









!( )!

m k m











находим, что в спектре тока будут присутствовать комбинационные

частоты вида

1 1 2 2

nn

, (5.18)

где

– целые числа (положительные, отрицательные или 0),

причем порядок комбинационной частоты

nn

ограничивается

порядком полинома, аппроксимирующего ВАХ:

n n N

Наличие комбинационных частот позволяет использовать НЭ

для переноса спектра колебаний.

5.3.4. НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

В КАЧЕСТВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО

В подавляющем большинстве случаев на практике в качестве

параметрических элементов используются элементы нелинейные,

при этом должны выполняться определенные условия.

Предположим, что на НЭ подается, кроме постоянного напря-

жения для выбора рабочей точки, сумма двух гармонических сиг-

налов

1 1 2 2

( ) cos cosu t U t U t

, причем один из них имеет на-

столько малую амплитуду (например,

), что изменение

напряжения за счет первого слагаемого происходит на участке

ВАХ, который можно считать приближенно линейным, а второй

сигнал большой амплитуды смещает рабочую точку и изменяет

крутизну этого линейного участка.

Таким образом, при воздействии на НЭ сильного и слабого

сигналов элемент ведет себя по отношению к слабому сигналу как

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

160

линейный параметрический элемент, управляемый по крутизне

сильным сигналом.

Пример 5.1. Принцип действия супергетеродинного приемника

основан на преобразовании частоты, т.е. переносе спектра модули-

рованного колебания из окрестности несущей частоты в окрест-

ность так называемой промежуточной частоты без изменения

формы модулирующего сигнала. Модулированный сигнал можно

рассматривать как узкополосный, не конкретизируя вид модуляции

(см. разд. 2):

 

( ) ( )cos ( ) ( )cos ( )x t A t t t A t t  

Полагая модулированный сигнал слабым, рассмотрим его воз-

действие на нелинейный элемент с квадратичной ВАХ, управляе-

мый по крутизне сильным опорным колебанием, так что крутизна

меняется по закону

0 г

( ) cos

S t S S t

где

– частота гетеродина (генератора опорного колебания),

– максимальное отклонение крутизны от среднего значения

Ток, протекающий через нелинейный элемент

  

00 г

( ) ( )cos ( ) cos

i t A t t t S S t   

   

0 0 0 г

( ) cos ( ) ( ) cos ( ) cos

A t S t t A t S t t t    

 

( ) cos ( )A t S t t  

   

0 г 0 г

( ) ( )

cos ( ) cos ( )

A t S A t S

t t t t

   

     

   

содержит две составляющие, совпадающие по форме с исходным

модулированным сигналом с точностью до константы

и не-

сущих частот, равных соответственно

0 г



0 г



. Выделив

одну из составляющих с помощью полосового фильтра, получим

сигнал, перенесенный без изменения закона модуляции на проме-

жуточную частоту

пр 0 г



(или

пр 0 г



). Преиму-

щество супергетеродинного приемника состоит в том, что на-

В зависимости от выбора промежуточной частоты (выше или ниже не-

сущей частоты сигнала) различают преобразование частоты вверх и

преобразование частоты вниз (во втором случае супергетеродинный

приемник называют также инфрадинным).

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

161

стройка на нужный частотный канал осуществляется путем изме-

нения частоты гетеродина, а это значительно проще, чем пере-

страивать полосовой фильтр – входную цепь приемника прямого

усиления. Основная частотная селекция, обеспечивающая избира-

тельность по соседнему каналу, осуществляется полосовым

фильтром сосредоточенной селекции, для которого сравнительно

просто обеспечиваются хорошие частотно-избирательные свойства

благодаря тому, что он не нуждается в перестройке. ◄

Если условие слабости модулированного сигнала нарушено, то

преобразовательный элемент следует рассматривать как нелиней-

ный, при этом комбинационные частоты второго порядка

0 г



0 г



определяются четной частью ВАХ. Если ВАХ аппрок-

симируется полиномом четвертой степени (или более высокой

четной), преобразование частоты сопровождается искажениями

закона модуляции [13].

5.4. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСЧИКА

5.4.1. ВРЕМЕННОЕ И СПЕКТРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ

АМ-КОЛЕБАНИЙ

Гармонические переносчики часто используются в радио-

технике и связи по ряду причин, среди которых главная заключает-

ся в том, что только гармонические колебания не изменяют формы

при прохождении через линейные стационарные цепи и каналы

связи. Амплитудная модуляция заключается в изменении амплиту-

ды несущего гармонического колебания

н0

( ) cos( )

u t U t

в соответствии с изменениями первичного (информационного)

сигнала. Для простоты анализа примем, что первичный сигнал

представляет собой гармоническое колебание низкой (в сравнении

с частотой несущего колебания

) частоты . Это случай так

называемой тональной (однотональной) модуляции. Тогда ампли-

тудно-модулированное колебание (АМК) имеет вид

 

АМ 0 0

( ) ( )cos( ) 1 cos( ) cos( )

u t U t t U M t t     

, (5.19)

где

– коэффициент модуляции. На рис. 5.7 показано АМ-коле-

бание с коэффициентом модуляции 0,5.

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

162

(t)

Рис. 5.7. Амплитудно-модулированное колебание

Нетрудно получить выражение для определения коэффициента

модуляции по временной диаграмме. Очевидно, огибающая АМК

достигает максимума при условии

cos( ) 1t 

и минимума при

cos( ) 1t   

, поэтому

max

(1 )

u U M

min

(1 )

u U M

Складывая и вычитая эти равенства, получаем систему

max min

u u U

u u U M















откуда

max min







Очевидно, величина

должна лежать в интервале от 0 до 1.

При

1M 

имеет место искажение огибающей, называемое пере-

модуляцией (рис. 5.8).

(t)

Рис. 5.8. Амплитудно-модулированное колебание с перемодуляцией