Васюков В.Н. Теория электрической связи

Подождите немного. Документ загружается.

Упражнения

103

20. Для чего частоту дискретизации на практике выбирают

больше удвоенной верхней частоты спектра сигнала?

21. Для чего перед дискретизацией аналоговый сигнал подвер-

гают НЧ-фильтрации?

22. Что такое аналитический сигнал? Как связаны веществен-

ный сигнал и соответствующий ему аналитический сигнал?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Выведите из (2.5) представление сигнала, отличного от ну-

ля на всей вещественной оси.

2. Докажите, что в линейном пространстве должно выпол-

няться условие

0 : :0 0x M x    





3. Докажите линейную независимость функций, упомянутых

в примере 2.1.

4. Рассчитайте первые 8 функций Уолша согласно рекуррент-

ным выражениям примера 2.11 и постройте их графики (выполните

это задание для функций Уолша, заданных на интервалах (–0,5;

0,5) и (0; 1)). Сравните полученные результаты.

5. Запишите обобщенную формулу Рэлея для пространств

6. Докажите самосопряженность ядра Гильберта

()st

7. Докажите свойство дуальности (2.48) преобразования Фурье.

8. Объясните качественно присутствие -функции в выраже-

нии (2.51).

9. Докажите свойство (2.54).

10. Выведите формулу, приведенную в примере 2.20.

11. Докажите, что АКФ вещественного сигнала обладает свой-

ством четности.

12. Найдите выражение АКФ прямоугольного видеоимпульса

(пример 2.22) на основании общего выражения (2.53)

13. Убедитесь, что импульсная характеристика идеального ин-

терполирующего фильтра с КЧХ (2.60) имеет вид

()ht 

sin

   











14. Часто в качестве моделей импульсных сигналов использу-

ют нефинитные функции, имеющие бесконечную длительность.

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

104

В таких случаях вводят эффективную длительность сигнала – вре-

менной интервал, на котором сосредоточена бόльшая часть его

энергии. Определите эффективную длительность экспоненциаль-

ного импульса

, 0

()

0, 0

Ae t



















как интервал, на котором сосредоточено 95 % энергии.

15. Многие модели сигналов, удобные в аналитическом отно-

шении, характеризуются нефинитным спектром (или спектральной

плотностью). Для них вводят понятие эффективной ширины спек-

тра – частотного интервала, содержащего заданную долю

энер-

гии сигнала. Определите эффективную ширину спектра прямо-

угольного импульса при

0.9664k 

3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ак отмечалось в разд. 1, все сигналы и помехи

являются случайными, т. е. непредсказуемы-

ми. Математическими моделями случайных сигналов и помех слу-

жат случайные процессы. В терминах современной теории вероят-

ностей всякий случайный процесс (СП) связан с некоторым вооб-

ражаемым множеством, или пространством элементарных

событий

 



. Выбор одного из элементарных событий проис-

ходит некоторым способом, который наблюдателю не известен и

представляется случайным, поэтому исход такого эксперимента

заранее предсказать нельзя. Выбор конкретного элемента при-

водит к осуществлению вполне определенной реализации случай-

ного процесса. Важно подчеркнуть, что в основе теории вероятно-

стей лежит допущение о возможности многократного повторения

случайного эксперимента в одинаковых условиях и получения

любого количества реализаций случайного события, случайной ве-

личины или случайного процесса. С пространством связана

функция

:P  

, называемая вероятностной мерой (распреде-

лением вероятностей), в соответствии с которой элементарные со-

бытия имеют бóльшие или меньшие шансы быть выбранными в

конкретном опыте. Более точно, мера

ставит в соответствие лю-

бому подмножеству

множества неотрицательное веществен-

ное число, не превышающее единицы, называемое вероятностью

()PA

случайного события

. При этом

( ) 1P 

, т. е. вероятность

достоверного события равна 1. Невозможное событие, обозначае-

мое



, имеет вероятность

( ) 0P 

. Строго говоря, в современной

теории вероятностей для полного задания вероятностного описа-

ния необходимо также определить систему измеримых подмно-

жеств (подмножеств множества , для которых определена мера),

замкнутую относительно операций объединения и пересечения и

называемую -алгеброй или -полем.

3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

106

Теория случайных процессов представляет собой большой раз-

дел теории вероятностей, который изучается в курсе математики,

поэтому здесь приводится лишь краткое изложение основных по-

нятий, необходимых для понимания изучаемых разделов теории

электрической связи. Для более полного изучения теории вероят-

ностей и теории случайных процессов следует обратиться к специ-

альным учебникам, например [6, 7].

3.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Случайной величиной (СВ) называется любая функция

()x 

определенная на множестве и принимающая вещественные зна-

чения

. При фиксированном



значение

()x x

также фик-

сировано; оно называется реализацией случайной величины

. Да-

лее для краткости случайные величины обозначаются так же, как и

их реализации, если это не приводит к двусмысленности.

Полное описание случайной величины составляет кумулятив-

ная функция распределения, определяемая выражением

 

( ) ( )F a x a

Px  

где

{}P 

обозначает вероятность события, состоящего в том, что

случайная величина принимает значение, не превосходящее задан-

ного значения

. Случайная величина, принимающая значения из

дискретного множества, называется дискретной. Функция распре-

деления такой СВ имеет ступенчатый вид. Если функция распреде-

ления является непрерывной и дифференцируемой, то можно оп-

ределить плотность распределения вероятностей (ПРВ),

называемую также для краткости плотностью вероятности (а ино-

гда просто плотностью)

()

dF x



, при этом

( ) ( )

F x w x dx







Очевидно, функция распределения по определению должна

быть неотрицательной неубывающей функцией со свойствами

Комплексная случайная величина определяется парой вещественных

случайных величин, рассматриваемых совместно и играющих роль ве-

щественной и мнимой частей комплексной СВ.

3.1. Случайные величины и их характеристики

107

( ) 0F  

( ) 1F 

. Следовательно, плотность распределения

должна быть неотрицательной функцией, удовлетворяющей усло-

вию нормировки

( ) 1w x dx









Иногда используется описание случайной величины характе-

ристической функцией, которая определяется выражением

( ) ( )

jux

u w x e dx









совпадающим с преобразованием Фурье плотности распределения

вероятностей (с точностью до знака показателя экспоненты).

Иногда нет необходимости использовать полное описание слу-

чайной величины и можно ограничиться ее числовыми характери-

стиками. Чаще всего этими характеристиками служат так называе-

мые моменты, определяемые следующими выражениями.

Начальный момент

-го порядка (

-й начальный момент)

 

()

k k k

m x w x dx x xE





  



где горизонтальная черта и



E 

– символические обозначения ин-

тегрального оператора усреднения по ансамблю

. Наиболее часто

используется первый начальный момент

()m m xw x dx x





  



, (3.1)

называемый математическим ожиданием, или центром распреде-

ления

. Смысл этого понятия становится яснее из физической ана-

логии: если плотность распределения вероятностей рассматривать

как линейную плотность бесконечно тонкого стержня единичной

массы, расположенного вдоль оси абсцисс, то математическое

ожидание будет равно координате центра масс этого стержня.

Под ансамблем понимается множество реализаций случайной величины

или процесса вместе с вероятностной мерой, заданной на этом множе-

стве.

Часто употребляется также термин «среднее», например, типично вы-

ражение «случайный процесс с нулевым средним».

3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

108

Отметим, что усреднение по ансамблю можно применять к лю-

бой функции случайной величины; так, характеристическую функ-

цию можно трактовать как результат усреднения комплексной экс-

поненты

()

jux

ue

Центральный момент

-го порядка (

-й центральный момент)

равен

-му начальному моменту центрированной случайной ве-

личины

()xm

( ) ( ) ( ) {( ) }

k k k

M x m w x dx x m x mE





     



Наиболее употребительным из центральных моментов является

второй центральный момент, или дисперсия

2 2 2

( ) ( ) ( ) {( ) }D M x m w x dx x m x mE





      



. (3.2)

В упомянутом выше механическом примере дисперсии соот-

ветствует момент инерции стержня при вращении его вокруг цен-

тра масс. Дисперсия тем меньше, чем более сосредоточена «масса

вероятности» около среднего значения случайной величины (мате-

матического ожидания). Вместо дисперсии часто оперируют вели-

чиной, равной

D

и называемой среднеквадратическим от-

клонением (СКО) случайной величины.

Еще одной числовой характеристикой СВ является средний

квадрат, или второй начальный момент

()m x w x dx x





  



{}xE

. Нетрудно видеть, что он связан с дисперсией и математи-

ческим ожиданием:

2 2 2

( ) ( ) ( 2 ) ( )D x m w x dx x mx m w x dx



 

     



2 2 2

2m m m m m    

Пример 3.1. В математике и технике часто используется нор-

мальное, или гауссово (гауссовское), распределение с ПРВ

()

w x e





3.1. Случайные величины и их характеристики

109

где

и – параметры распределения. Подставив эту плотность в

(3.1) и (3.2), можно убедиться, что математическое ожидание гаус-

совской случайной величины равно

, а дисперсия равна

. Та-

ким образом, параметр имеет смысл СКО и характеризует сте-

пень «размазанности» распределения (рис. 3.1). ◄

wx()

1 2

Рис. 3.1. Гауссовские ПРВ при различных значениях

СКО

В теории информации используется числовая характеристика

распределения случайной величины, называемая (дифференциаль-

ной) энтропией и определяемая выражением

( ) log ( )log ( )

()

H x w x w x dx





  



Две случайные величины

()x x

()y y

, заданные на об-

щем пространстве , характеризуются совместной плотностью

распределения

( , )w x y

. Числовыми характеристиками совместной

плотности служат начальные и центральные смешанные моменты

( , )

m x y w x y dxdy



 





( ) ( ) ( , )

kn x y

M x m y m w x y dxdy



 

  



где

– произвольные целые положительные числа.

3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

110

Наиболее часто используются смешанные моменты второго

порядка – начальный (корреляционный момент)

( , )

m xyw x y dxdy k



 





(3.3)

и центральный (ковариационный момент, или ковариация

)

( )( ) ( , )

x y xy

M x m y m w x y dxdy R



 

   



. (3.4)

Ковариация представляет собой простейшую характеристику сте-

пени статистической (вероятностной) связи случайных величин x и y.

Пример 3.2. Для пары гауссовских случайных величин дву-

мерная совместная ПРВ имеет вид

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( )( ) ( )

2(1 )

( , )

x m x m x m x m

w x x e



   

  













где

– среднеквадратические отклонения,

,mm

– матема-

тические ожидания,

– коэффициент корреляции, представляю-

щий собой нормированный ковариационный момент

121 1 2 2

1 2 1 2

( )( )

x m x m





. ◄

На рис. 3.2, а показана двумерная гауссовская ПРВ при

0r 

0mm



, а на рис. 3.2, б – ее отображение линиями

уровня. Для сравнения на рис. 3.3 показаны линии уровня гауссов-

ской ПРВ при

0.9r 

(а) и

0.9r 

(б). Из рисунков видно, что

при положительном коэффициенте корреляции двух СВ более ве-

роятны их реализации с близкими значениями, а при отрицатель-

ном – с близкими по модулю, но различающимися по знаку. При

нулевом коэффициенте корреляции очевидно, что

( ) ( )

1 2 1 2

( , ) ( ) ( )

x m x m

w x x e e w x w x





В литературе иногда момент, определяемый формулой (3.3), называют

ковариационным, тогда корреляционным называют момент (3.4).

3.1. Случайные величины и их характеристики

111

( , )w x x

а б

Рис. 3.2. Двумерная гауссовская ПРВ

а б

Рис. 3.3. Линии уровня двумерной гауссовской ПРВ при

0,9r 

(а) и

0,9r 

(б)

т.е. некоррелированные гауссовские случайные величины незави-

симы (напомним, что совместная ПРВ независимых случайных ве-

личин равна произведению их одномерных ПРВ). Для негауссов-

ских случайных величин некоррелированность не означает

независимости, хотя из их независимости следует некоррелиро-

ванность. Таким образом, вообще говоря, независимость – более

сильное свойство, чем некоррелированность.

Поскольку случайная величина является функцией, на множе-

стве случайных величин можно определить структуру гильбертова

пространства. Действительно, случайные величины (как функции

на пространстве ) можно складывать, при этом сумма снова бу-

дет случайной величиной. Случайные величины можно умножать

на скалярные коэффициенты, причем множество случайных вели-

чин замкнуто относительно такого умножения. Справедливость

3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

112

аксиом линейного пространства (разд. 2.3) легко проверяется непо-

средственно. Таким образом, множество всех вещественных слу-

чайных величин, заданных на общем множестве элементарных со-

бытий , можно рассматривать как линейное пространство над

полем



вещественных чисел (аналогично можно ввести про-

странство комплексных случайных величин над полем



ком-

плексных чисел и т.д.). Дальнейшее усовершенствование структу-

ры пространства связано с введением нормы, метрики и скалярного

произведения. Для того чтобы пространство было гильбертовым,

необходимо, чтобы норма порождалась скалярным произведением,

а метрика – нормой [2]. Операцию скалярного умножения опреде-

лим для вещественных случайных величин

как смешанный

момент второго порядка (корреляционный момент)

( , ) ( , )x y xyw x y dxdy xy



 





. (3.5)

В частности, если две величины имеют нулевой корреляцион-

ный момент, то они являются ортогональными. Проверим выпол-

нение аксиом скалярного произведения.

Из (3.5) очевидно выполнение равенства

( , ) ( , )x y y x

Проверка выполнения условия

( , ) ( , ) ( , )x y z x z y z  

может быть произведена непосредственно:

( , ) ( ) ( , , )x y z x y zw x y z dxdydz



  

   



( , ) ( , )xzw x z dxdz yzw y z dydz xz yz

   

   

   

   

Здесь

( , , )w x y z

– совместная плотность распределения вероятно-

стей трех случайных величин, которая при интегрировании по од-

ному из аргументов дает совместную плотность оставшихся двух

случайных величин

, например

( , , ) ( , )w x y z dx w y z









Третье условие, очевидно, выполняется:

( , ) 0xx

, поскольку

( , )xx

– не что иное, как средний квадрат, неотрицательный по оп-

ределению. Равенство нулю среднего квадрата (как второго на-

ПРВ, которая получается интегрированием ПРВ большей размерности

по одной или нескольким переменным, называется маргинальной.