Васюков В.Н. Теория электрической связи
Подождите немного. Документ загружается.
2.12. Аналитический сигнал
93
Заметим, что для гармонического колебания справедливо ра-
венство
22
cos(2 )
2
j ft j ft
ee
ft
,
т.е. переход от гармонического колебания
cos(2 )
m
U ft
к его
комплексному представлению
(2 )j ft
m
Ue
сводится к отбрасыва-
нию составляющей с отрицательной частотой и умножению ос-
тавшегося слагаемого на 2. Поскольку колебание произвольной
формы можно представить суперпозицией гармонических колеба-
ний (в форме ряда или интеграла Фурье), для любого сигнала
()xt
переход к его комплексному представлению
()zt
должен сводиться
к тем же операциям – подавлению спектральных составляющих с
отрицательными частотами и удвоению остальных.
Таким образом, преобразование произвольного сигнала
()xt
в
аналитический сигнал
()zt
эквивалентно его прохождению через
ЛИС-цепь с комплексной частотной характеристикой
2, 0,
()
0, 0
f
Hf
f
(2.62)
(рис. 2.32, а). Поскольку вещественная часть аналитического сиг-
нала есть исходный сигнал
()xt
, это преобразование можно также
представить схемой рис. 2.32, б.
Рассматривая спектральные представления исходного и анали-
тического сигналов
()Xf
и
ˆ
( ) ( ) ( )Z f X f jX f
совместно с вы-
ражением (2.62), видим, что для спектральных плотностей должны
выполняться условия
ˆ
( ) ( ) при 0,
ˆ
( ) ( ) при 0,
jX f X f f
jX f X f f
(2.63)
()Hf
()xt
()xt
()zt
()xt
г
()Hf
()xt
ˆ
()xt
()xt
а б
Рис. 2.32. Преобразование вещественного сигнала
в аналитический сигнал
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
94
которые можно переписать в форме
ˆ
( ) ( ) при 0,
ˆ
( ) ( ) при 0.
X f jX f f
X f jX f f
(2.64)
Таким образом, мнимая часть
ˆ
()xt
может быть получена воз-
действием сигнала
()xt
на фильтр–преобразователь Гильберта с
характеристикой
г
, 0,
()
, 0.
jf
Hf
jf
АЧХ такого фильтра постоянна и равна 1 при всех значениях
частоты, а его ФЧХ равна
/2
в области положительных частот
и
/2
при отрицательных частотах (рис. 2.33).
()Hf
1
f
()f
/2
f
/2
Рис. 2.33. АЧХ и ФЧХ преобразователя
Гильберта
Найдем импульсную характеристику преобразователя Гильбер-
та. Непосредственное определение обратного преобразования Фу-
рье невозможно, так как КЧХ является неинтегрируемой функци-
ей. Представим АЧХ пределом
0
( ) lim
f
H f e
функции,
спадающей при увеличении модуля частоты экспоненциально с
параметром , тогда
2
г
( ) ( )
j ft
h t H f e df
2.12. Аналитический сигнал
95
0
22
00
0
lim lim
f j ft f j ft
je e df je e df
0
( 2 ) ( 2 )
0
0
lim
j t f j t f
j e df j e df
0
( 2 ) ( 2 )
0
0
11
lim
22
j t f j t f
j e e
j t j t
0
1 1 1
lim
22
j
j t j t t
.
Полученная импульсная характеристика показана на рис. 2.34.
Поскольку
()xt
преобразуется в
ˆ
()xt
ЛИС-цепью, выходной
сигнал можно записать как свертку
ГГ
ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t h t x h t d
,
или
1 ( )
ˆ
()
x
x t d
t
. (2.65)
Сравнивая (2.63) и (2.64), можно
видеть, что
Г
ˆ
( ) ( ) ( )x t x t h t
, или
ˆˆ
1 ( ) 1 ( )
()
xx
x t d d
tt
.
(2.66)
Выражения (2.65) и (2.66) пред-
ставляют собой прямое и обратное
преобразования Гильберта (см. при-
мер 2.15). Очевидно, эти преобразо-
вания линейны, поэтому, заменив
на
s
, можно (2.66) рассматривать как
интегральное представление сигнала
ht ( )
г
t
Рис. 2.34. Импульсная ха-
рактеристика преобразова-
теля Гильберта
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
96
()xt
спектральной плотностью
ˆ
()x
относительно ядра
1
()st
и
записать в виде
ˆ
1 ( )
()
xs
x t ds
st
.
Прямое преобразование (2.65) можно переписать в виде
1 ( )
ˆ
()
xt
x s dt
st
,
откуда видно, что ядро является самосопряженным (так как ядра
прямого и обратного преобразований Гильберта являются ком-
плексно сопряженными
46
).
Ввиду важности преобразования Гильберта для техники связи
приведем его основные свойства. Напомним, что самосопряженное
ядро является непрерывным аналогом ортонормального базиса,
поэтому выполняется обобщенная формула Рэлея
1)
ˆˆ
( , ) ( , )x y x y
и, в частности, равенство Парсеваля
2)
ˆˆ
( , ) ( , )x x x x
.
Преобразование Гильберта, таким образом, сохраняет энергию
сигнала (что естественно, поскольку фильтр Гильберта имеет АЧХ,
тождественно равную 1). Более того, сохраняется энергетический
спектр сигнала, а значит, и АКФ:
3)
ˆ
( ) ( )
xx
W f W f
;
4)
ˆ
( ) ( )
xx
RR
;
5) если
()xt
= const, то
ˆ
( ) 0xt
в силу нечетности функции
г
()ht
;
6) если
()xt
– вещественный сигнал, то
()xt
и
ˆ
()xt
ортогональ-
ны. Действительно,
ˆ
ˆ
( , ) ( ) ( )x x X f X f df
[в соответствии с (2.64)]
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0j X f X f df j X f X f df
,
46
В данном случае они просто совпадают, так как являются вещественными.
2.12. Аналитический сигнал
97
поскольку подынтегральное выражение представляет собой чѐт-
ную функцию – энергетический спектр вещественного сигнала.
Аналитический сигнал можно записать в форме
()
( ) ( )
jt
z t A t e
, где функция
()t
представляет угловое положе-
ние вектора на комплексной плоскости, т.е. фазу. Производная фа-
зы по времени называется (круговой) мгновенной частотой и оп-
ределяется выражением
()
Im ln ( )
d t d
zt
dt dt
.
Тогда мгновенная частота
1 1 '( )
( ) Im ln ( ) Im
2 2 ( )
d z t
f t z t
dt z t
22
ˆˆ
'( ) '( ) ( ) ( )
1
Im
2
ˆ
( ) ( )
x t j x t x t j x t
x t x t
22
ˆˆ
1 '( ) ( ) '( ) ( )
2
ˆ
( ) ( )
x t x t x t x t
x t x t
.
Понятие аналитического сигнала оказывается полезным при
описании узкополосных сигналов, для которых спектральная плот-
ность аналитического сигнала
()Zf
в основном сосредоточена
около некоторой центральной частоты
0
F
(рис. 2.35). В частности,
узкополосными являются сигналы, полученные путем модуляции
гармонических несущих колебаний. Для узкополосного сигнала
функция
()At
имеет смысл огибающей, а фаза
0
( ) 2 ( )t F t t
складывается из линейно растущего со временем слагаемого и
медленно
47
меняющейся началь-
ной фазы
()t
.
Согласно теореме модуляции
(см. п. 2.10.2) умножение произ-
вольного сигнала на комплекс-
ную экспоненту
0
2j f t
e
эквива-
лентно сдвигу его спектральной
плотности вправо на величину
0
f
.
47
В сравнении с колебанием частоты
0
F
.
Z(f)
F
0
f
Рис. 2.35. К понятию узкополос-
ного сигнала
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
98
Сдвинем спектральную плотность
()Zf
с «центром тяжести»
0
F
,
показанную на рис. 2.35, влево на величину
0
F
, тогда получится
колебание
0
2
( ) ( )
j F t
t z t e
со спектральной плотностью
0
( ) ( )f Z f F
, рис. 2.36. Колеба-
ние
()t
, очевидно, является комплексным и низкочастотным
(в том смысле, что его спектральная плотность сосредоточена око-
ло нулевой частоты). Можно считать, что аналитический сигнал
()zt
получен модуляцией несущего гармонического колебания с
частотой
0
F
комплексным колебанием
()t
, которое поэтому на-
зывается комплексной огибающей. Комплексную огибающую
()
( ) ( )
jt
t A t e
можно представить в виде векторной диаграммы,
показанной на рис. 2.37.
f
()f
)
Re
Im
()At
)
()t
)
Рис. 2.36. Спектральная плотность
комплексной огибающей узкополос-
ного сигнала
Рис. 2.37. Векторная диаграм-
ма комплексной огибающей
узкополосного сигнала
Длина вектора, изображающего комплексную огибающую, и
угол между ним и вещественной осью комплексной плоскости
медленно меняются в соответствии с функциями
()At
и
()t
.
Аналогичное представление аналитического сигнала отличается
тем, что вектор дополнительно вращается против часовой стрелки
с угловой скоростью (круговой частотой)
0
2 F
. Таким образом,
узкополосный сигнал
()xt
можно рассматривать как гармониче-
ское колебание, модулированное по амплитуде и фазе соответст-
венно «медленными» функциями
()At
и
()t
:
0
( ) ( )cos 2 ( ) ( )cos ( )x t A t F t t A t t
. (2.67)
Очевидно,
22
ˆ
( ) ( ) ( )A t x t x t
,
ˆ
( ) arg ( ) ( )t x t j x t
.
2.12. Аналитический сигнал
99
Комплексная огибающая, как медленная комплексная функция,
представляет собой сумму двух медленно меняющихся слагаемых
( ) ( ) ( )t u t jv t
, поэтому исходный сигнал можно представить в
виде
0
2
( ) Re ( )
j F t
x t t e
00
Re ( ) ( ) cos(2 ) sin(2 )u t jv t F t j F t
00
( )cos(2 ) ( )sin(2 )u t F t v t F t
. (2.68)
Колебание
()ut
называется синфазной, а колебание
()vt
–
квадратурной составляющей (компонентой) узкополосного сигна-
ла
()xt
. Вместе две эти функции называются квадратурными ком-
понентами. Отметим, что по известным квадратурным компонентам
и частоте
0
F
формула (2.68) позволяет точно восстановить исход-
ный сигнал
()xt
, поэтому вся информация, содержащаяся в сигнале,
сохраняется в паре его квадратурных составляющих. Именно это
дает основание заменять узкополосный сигнал его комплексной
огибающей (или, что эквивалентно, парой квадратурных компонент)
тогда, когда это удобно с точки зрения решаемой задачи.
В частности, такая замена может быть очень эффективной при
дискретизации узкополосного сигнала. С информационной точки
зрения вместо узкополосного сигнала можно передавать его квад-
ратурные компоненты (предполагается, что частота
0
F
известна).
Поэтому частота дискретизации должна выбираться так, чтобы по
отсчетам можно было восстановить низкочастотные квадратурные
компоненты, т.е. дискретизация узкополосного сигнала может
производиться с частотой, вдвое превышающей верхнюю частоту в
спектре комплексной огибающей, а не самого сигнала. Например,
если сигнал занимает полосу частот от 990 кГц до 1 МГц, то часто-
ту дискретизации достаточно выбрать равной 10 кГц, в то время
как без учета рассмотренных в этом разделе понятий частота дис-
кретизации сигнала должна быть не менее 2 МГц. Требования к
частоте дискретизации имеют жизненно важное значение при раз-
работке цифровых систем связи, так как этим определяются слож-
ность и стоимость системы, а иногда и ее принципиальная реали-
зуемость.
Синфазная компонента может быть найдена следующим образом:
0
2
( ) Re ( ) Re ( )
j F t
u t t z t e
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
100
00
ˆ
Re ( ) ( ) cos(2 ) sin(2 )x t j x t F t j F t
00
ˆ
( )cos(2 ) ( )sin(2 )x t F t x t F t
.
Аналогично можно найти квадратурную компоненту
00
ˆ
( ) Im ( ) ( )cos(2 ) ( )sin(2 )v t t x t F t x t F t
.
Таким образом, для сигнала
()xt
нужно вначале определить
сопряженный по Гильберту сигнал
ˆ
()xt
, после чего легко найти
квадратурные компоненты. Есть и другой способ, более простой с
практической точки зрения и реализуемый схемой, показанной на
рис. 2.38. Покажем, что приведенная схема действительно выделя-
ет квадратурные компоненты (с точностью до амплитудного мно-
жителя). В соответствии с выражением (2.68)
2
0 0 0 0
( )cos(2 ) ( )cos (2 ) ( )sin(2 )cos(2 )x t F t u t F t v t F t F t
ФНЧ
00
(1 cos(2 2 )) sin(2 2 )
()
( ) ( )
2 2 2
F t F t
ut
u t v t
.
(Здесь символ
ФНЧ
означает подавление составляющих вы-
соких частот, имеющих порядок
0
F
и выше).
Аналогично
2
0 0 0 0
( )sin(2 ) ( )cos(2 )sin(2 ) ( )sin (2 )x t F t u t F t F t v t F t
ФНЧ
00
sin(2 2 ) 1 cos(2 2 )
()
( ) ( )
2 2 2
F t F t
vt
u t v t
.
0
cos t
0
sin t
()xt
ФНЧ
ФНЧ
( )/ 2ut
( )/ 2vt
Рис. 2.38. Выделение квадратурных компонент
узкополосного сигнала
2.12. Аналитический сигнал
101
Отметим, что опорные колебания отличаются лишь фазовым сдви-
гом
/2
, поэтому на практике обычно вырабатываются одним ге-
нератором с использованием фазовращателя. Значение квадратур-
ных компонент для практики иллюстрируется следующими
примерами.
Пример 2.24. Предположим, что рассматриваемый узкополос-
ный сигнал
()xt
представляет собой амплитудно-модулированное
колебание, тогда вектор, изображающий комплексную огибающую,
изменяется только по длине (норме), угловое же его положение
определяется начальной фазой несущего колебания и постоянно.
Начало отсчета начальной фазы определяется на практике началь-
ной фазой опорного колебания в канале выделения синфазной
компоненты, поэтому если начальная фаза несущего колебания
известна, можно обеспечить синфазность (когерентность) несуще-
го и опорного колебаний. Тогда вектор, изображающий комплекс-
ную огибающую, направлен вдоль вещественной оси комплексной
плоскости, и квадратурная компонента всегда равна нулю. Квадра-
турный канал схемы, показанной на рис. 2.36, оказывается ненуж-
ным. На выходе синфазного канала наблюдается колебание
( ) / 2ut
,
пропорциональное закону изменения огибающей, т.е. закону моду-
ляции. Таким образом, синфазная часть схемы может использо-
ваться при указанных условиях для демодуляции (детектирования)
АМ-колебаний и называется в таких случаях синхронным (коге-
рентным) детектором. ◄
Пример 2.25. Предположим теперь, что узкополосный сигнал
()xt
представляет собой колебание с фазовой модуляцией (ФМ-
сигнал), тогда вектор, изображающий комплексную огибающую,
имеет постоянную длину, а его угловое положение медленно меня-
ется по закону модуляции фазы. Если изменения угла невелики
(индекс модуляции мал), синфазная компонента меняется в не-
больших пределах и может считаться приближенно постоянной, а
синфазный канал можно исключить из схемы. Квадратурная со-
ставляющая, напротив, меняется заметно и при условии малости
индекса приближенно пропорциональна изменениям угла, т.е. за-
кону фазовой модуляции. Квадратурная часть схемы представляет
собой синхронный детектор, в котором опорное колебание сдвину-
то по фазе на 90º относительно несущего колебания; такое устрой-
ство применяется для детектирования ФМ-колебаний (подробнее
см. разд. 5). ◄
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
102
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие преимущества дает представление сигналов как эле-
ментов векторного пространства?
2. Какие сигналы называются ортогональными?
3. Что можно сказать о сигналах
x
и
y
, если
22
( , )x y x y
?
4. Что такое ортонормальный базис?
5. В чем состоит практический смысл требования полноты ба-
зиса?
6. Что такое явление Гиббса и в чем его причина?
7. Сформулируйте принцип суперпозиции.
8. Запишите выражение, описывающее произвольный линей-
ный оператор, действующий в пространстве
2
( , )L
.
9. Запишите выражение, описывающее линейный инвариант-
ный к сдвигу (стационарный) оператор, действующий в простран-
стве
2
( , )L
.
10. Чем объясняется особая роль ряда и интеграла Фурье в
анализе сигналов и цепей?
11. Что такое импульсная характеристика ЛИС-цепи? Можно
ли еѐ измерить точно? приближенно? Как это сделать?
12. Что такое комплексная частотная характеристика
ЛИС-цепи? Можно ли еѐ измерить (точно, приближенно)? Как это
сделать?
13. Что такое автокорреляционная функция детерминирован-
ного сигнала? Что она характеризует?
14. Что такое взаимно корреляционная функция детерминиро-
ванных сигналов? Что она характеризует?
15. Как связаны ВКФ и скалярное произведение детерминиро-
ванных сигналов?
16. Как технически можно восстановить аналоговый сигнал по
последовательности его отсчетов?
17. Почему при дискретизации аналогового сигнала, произво-
димой путем стробирования, форма стробирующего импульса не
играет заметной роли, если импульс достаточно короток?
18. Что препятствует на практике точному восстановлению
аналогового сигнала по последовательности его отсчетов?
19. В чем причина погрешности при реальном стробировании
аналогового сигнала в устройстве выборки-хранения?