Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (кооперативный вариант)

Подождите немного. Документ загружается.

ф1

—

{^(1,

+ г»(1)--»(2)}_

-18,

— у{'У(1,2) +

'0(2) — "(1)}

= 14.

Выберем в качестве функций, фигурирующих в приведенном

утверждении,

е1

(*,

х) =

+10, s

(^, .*;)=-.х

+10,

^(0^

ф1

=0, ^

вг(0

'^"

(

р,

Система (51) для рассматриваемой игры примет вид

|зг («1+«2)+з*

+-----^———- —-з^^+^+з^^о,

Введем набор позиционных управлений

njf,U^-^Uif,

Щ | и*

+-af

=-•<

-1,

«f6 [-1

•

2)},

Очевидно, {и/, #|} удов-

летворяют последней системе алгебраических уравнений и пер-

вому равенству (52). Следовательно, набор позиционных управ-

лений U* реализует дележ игры

(53)— (54),

определенный век-

тором Шепли.

10.10.

С-ядро. Иногда «хороший» дележ удовлетворяет неко-

торой системе .неравенств (в отличие от предыдущих ограниче-

ний типа равенств). Решая эту систему неравенств, найдем

набор управляющих воздействий, реализующий «хороший» де-

леж. Здесь снова можно привлечь теорию динамического про-

граммирования. Применим такой подход, например, для С-ядра

игры (10), (42)—-(43).

Определим набор позиционных управлений, реализующих

С-ядро игры (10),

(42) —

(43).

Будем говорить, что набор пози-

ционных управлений U

доминирует набор,

{2)

по коалиции К,

если

1) они реализуют дележ игры (10),

(42) —

(43);

2) шах2 /i(^[r,^Jc

.t/

(1)

])<t;(/O;

3) min /i (x [T, t

, x

{1)

> min /i (x \T, t

, x

, U

i£l<.

Набор позиционных управлений С/

(1)

доминирует набор U

если существует такая коалиция К, по которой С/

(1)

доминирует

(2)

. Множество наборов позиционных управлений, каждый из

которых не доминируется какими-либо другими наборами, реа-

лизует С-ядро игры (10),

(42) —

(43).

Теорема. Бели существует набор позиционных управле-

ний £/*, реализующий дележ игры (10),

(42) — (43)

и такой, что

6* 83

для любой коалиции К выполняется неравенство

'•о(К)<У,

min /i (х[Т, t

, x

, Ue]),

то £/-" реализует С-ядро игры (10),

(42)

—(43).

Доказательство от противного: пусть существует набор по-

зиционных управлений .У*, реализующий дележ игры (10), (42)

—

(43),

и некоторая коалиция К такие, что U* доминирует V

по

коалиции К. Тогда

2 min/i(.x:[7\ t

, x

, £/*])< 2 min/i(.x:[7\ t

, x

,U*])<

<mln%I

{xlT,t

M*])<m&x]£l

(xlT,t

,U*])4Zv{K).

Получили противоречие с неравенством, фигурирующем в усло-

вии теоремы.

Аналогично приведенному выше утверждению доказывается

следующее достаточное условие: пусть & множество

всех коалиций игры (10), (42)

—(43),

если удалось найти набор

позиционных управлений Uz-+-u

{t, x) и для каждой коалиции

ЛГ65-

непрерывно дифференцируемую функцию e

(t, х) и непре-

рывную функцию "ФИО такие, что для всех К&&

1) функции uP(t, x) в области £

<j(<r являются решением

системы алгебраических уравнений

дг

(t, x)

д&

(t, х)

дх

f(t,x,u) + ^

(t) =

2) кроме того,

{Т, х{Т, t

, ^))=2 ®i(

(

*о>

*о. Щ)>

\ty

(t)dt=s

, Xo)-f(/C)-V

= Const>0 при Ке№,

'to

то набор позиционных управлений С/* реализует С-ядро игры

(10),

(42)-(43).

§ П. Антагонистические дифференциальные игры с векторными

функциями выигрыша*

В п. 11.1 установлено существование решения указанных игр,

необходимые условия и методы решения

—

в п. 11.2.

11.1.

Понятие решения и теоремы существования. Пусть

динамика игры определяется дифференциальным уравнением

x = f(t, x, и, v) (55)

*Параграф написан 3. Варга

при фиксированных интервале времени [*

-, Т] и начальном усло-

вии x(t

) = x

, а векторная функция выигрыша I={Ii,..., /и}

задается функционалами

ъ)^Ф

(х(Т)) + §F

(t, x(t), u{t),v(t))dt,

i^TTN*

(56)

-0

где x(t) —траектория, соответствующая программным управле-

ниям u(t)6R

, v(t)uRp при

t{in}[to,

T], выбранным соответственно

перовым и вторым игроками из данных множеств функций U и V

соответственно. Предполагается, что функции f, Fi и Ф,-. непре-

рывны и при всех «6t/ и

иб У

система (55), x(t

) —

имеет

единственное решение. Функция / считается функцией выигрыша

второго игрока, которую он старается в определенном смысле

максимизировать подходящим выбором и, а первый, выбирая и,

желает минимизировать I. Для краткости данную игру в даль-

нейшем обозначим через Г

—

<UxV,

/">. Наиболее общее опре-

деление решения типа равновесия по Нэшу для игр нескольких

лиц в .нормальной форме с векторными функциями выигрыша

дано А. Б. Куржанским и М. И. Гусевым [50, 272]. Здесь при-

ведем определение равновесия только в частном случае, соот-

ветствующем антагонистической дифференциальной игре с век-

торной функцией выигрыша.

Пусть

A.QR

выпуклый конус, обозначим через < частичное

упорядочение пространства R

по конусу Л. Пара

{u(i),

v(t)}

называется равновесной точкой игры Г» если

>1(и(.),

*(•)).

Vtt(-)6V /(Й(.), -»(•))>/(-(•)» «(-))-^/(й(-). *('))<

</(£(.),*(•))-

В [50] получено существование равновесной точки в предполо-

жении, что а) конус Л замкнут и не является подпространст-

вом; б) U и V выпуклые компактные подмножества отделимых

локально выпуклых пространств; в) функция I—Л-выпукла и по

и и Л-вогнута по v, Заметим, что применение этой теоремы к

нелинейным дифференциальным'играм (55)

—

(56) затрудняется

отсутствием «хороших» достаточных условий для Лнвыпукло-

вогаутости функции I.

Частный случай равновесной точки, когда Л=R+

, введен

под названием -седловой точки по Парето в работах 3. Варги

[14,

15]. В [14] установлена теорема существования для слу-

чая,

когда система (55) автономна и линейна по х, в (56) -F,.--0

K<bi{x)=Xi(x6Rx, t=l,...,iV)H

U--={«(*)€£?[*o» T\\a(t)£UczR

при п. в. t£ [i

, Т}}, (57)

\=*{оУ)ЪЩ*о, T]\v(t)bVczRp при п. в. t£[t

, T\}, (58)

где U и V выпуклы и компактны. В статье [15] доказано суще-

ствование седловой точки по Парето в одной кооперативной

дифференциальной игре преследования

—

убегания.

Убегающий

выбирает свое управление из множества (58), а множество

управлений U

2-того догоняющего построено согласно (57), где

множества £/• и V выпуклы и компактны. Ui и V снабжены сла-

быми топологиями в соответствующих пространствах _

= И Ui —топологией произведения.

Положения убегающего и i-ro догоняющего определяется

фазовыми векторами ydR

и zfiR"- соответственно. Движение

фазовой точки x = {z

..., ZN, у) происходит согласно уравне-

нию

x = A(t) х+^В^щ + СЦ)*, *€[*<>, Т], (59)

i=i

где матрицы A

(i),

(t),

С (t)

непрерывны. Для и~{щ,...,

UJV}QU,

•o6V, определим

/,(«(•)-

^(.)) = ||^(Г)

—

г/(Г)||

= l N. (60)

Предположим, что коалиция догоняющих («первый» игрок), осу-

ществляя кооперативный вариант игры, желает минимизировать

векторный функционал I. Убегающий, т. е. "второй игрок-мак-

симизировать его. Обозначим через U и V множества всех ве-

роятностных мер в U и V соответственно, и положим

/(«(•)•

*(•))=$/(«(•). *(-))tftt(.)-*(-) ({«(•). 5(.)}e0xv>.

uxv

В [15] доказано существование таких «°(-){in}U и -u

6V, что для

меры и°(-)

{in}U,

сосредоточенной в u°(t) пара {и

, v°} является

седловой точкой по Парето для смешанного расширения Г-=

UXV, /) игры I-- (UxV,/). В частном случае, когда

игроки могут влиять только на свои положения, за v° можно

взять меру, сосредоточенную в л+1 точке. Рассмотрено также

существование специальных смешанных управлений, близких к

оптимальным.

В [15] предложено следующее обобщение седловой точки

по Парето: пара (a, ajeUxV называется седловой точкой по

Слейтеру, если ни одна из двух систем неравенств I(а,

Ъ)

</(и, -о)</(а, ъ) не совместна. (Для z

£R

< z

, если

—

Zi£lntA, где A&R

острый выпуклый конус и 1п-Л-5--0).

На основе метода скаляризации М. Е. Салуквадзе в [14]

введено понятие решения, не являющееся частным случаем

точки равновесия. Предполагая, что каждый г-й функционал

имеет «свою» седловую точку

{и*,

v]} (в смысле минимизации

по и и максимизации по v) пару {я*, v*} назовем среднеквад-

ратичным решением игры Г, если она минимизирует функционал

/(и,

*0=2«W--/f(a;.

*#]*

[/;(а)-Л(d;,

^)1

где /J(t)) = /-(aJ, -о), /*(м)

——

(и, v^ ({a,v}QUxV,i =

l,...,

N).

В [14] исследован ряд свойств и доказано существование

среднеквадратичного решения в игре

(55) —

(56),

где уравне-

ние (55) линейно, а функционалы (56) линейны и терминальны.

(Обобщение для игр многих лиц рассмотрено в [353]).

В.

С. Молоствов и 3. Варга [105] исследовали случай систе-

мы (55) вида x(i)= jj fit, x(t), u(t), v(t))d\i<

и с терми-

нальными функционалами (56) (.Fi==0), где под обобщенными

управлениями \i

и v

, 2f

<^<7\ игроков понимаются слабо

измеримые по t функции, значениями которых являются вероят-

ностные меры на компактах U и V соответственно. Доказано,

что для указанной игры существует обобщенное минимаксное

решение

{mu}J,

т. е. система неравенств

max<S>i(x[7\ \х

{

)г

(

)

])<max<E>i(.*-[7\ p-J , v

(

.)l), i = \,..., N,

v(-)

;из которых, по крайней мере, одно строгое, не совместна для

.любого \xt.

11.2.

Необходимые условия и методы решения. В [50] полу-

чено необходимое условие равновесности для общих Л-выпукло-

вогнутых игр в нормальной форме <UxV, /> в случае, когда

U и V задаются линейными операторными включениями. Там

же исследованы способы скаляризации.

В работе [14] доказано следующее необходимое условие ти-

па принципа максимума Л. С. Понтрягина для игры

x = Ax + Ba-Cv, I

(u,v) = x

(T)eR

({u, ^}{in}UxV) (61)

(U и V определены как в (57) и (58)). Если {и, -о}-такая седло-

вая точка по Парето игры (61), которую можно получить, как

седловую точку игры <UXV, \'I

, где XQR

—подходящий

•строго положительный вектор, то для п. в.

^6[^

-П

(-К*), Ba(t)

—

Cv(t)) =

m'mmsix(i>

(t),

Bti—Cv),

где ty(t) решение сопряженной системы с граничным условием

ty(t) =

Если U и V выпуклые многогранники, то управления

u(t) и v(t) релейные.

Для седловой точки по Слейтеру 3. Варга доказал необходи-

мое условие для бесконечномерных игр <UXV, />, где I диф-

ференцируема, a U -и V задаются гладкими нелинейными опера-

торными включениями. Показано, как применять полученный

результат к одной линейной кооперативной дифференциальной иг-

ре наблюдения, рассмотренной ранее М. И. Гусевым и А. Б. Кур-

жанским [50]. Эти необходимые условия можно использовать и

для специального класса нелинейных дифференциальных игр.

Метод нахождения среднеквадратичного решения получен в

[14]:

если в игре (Ql)

U=V—'[—1,

1], выполнено условие общ-

ности положения для определенного неавтономного расширения

системы из (61), то искомое решение {«*, v*} состоит из ре-

лейных управлений, точки переключения которых можно полу-

чить решением специальной системы нелинейных уравнений.

В заключение приведем краткое описание метода В. Гури-

шанкара и А. Саламы [239, 330, 331]. Ими рассмотрена игра

(55)

—

(56),

в которой система (55) автономна, функции f, Ф* и

Pi дважды дифференцируемы, a U и V состоят из позиционных.

управлений вида и(х), v(x), где и(х) и v(x)—такие кусочна

дважды непрерывно дифференцируемые функции, что порож-

денная ими траектория кончается на данном гладком многооб-

разии M£R

. При заданной дважды непрерывно дифференцируе-

мой функции g:M-+-R

решением игры считается пара страте-

гий, являющаяся седловой точкой скалярной функции g° L

Указанный метод состоит в следующем: определяют седловую

пару позиционных управлений для линейной комбинации 2с*/*

i—l

как функцию от констант Й, а потом, изменяя константы d, ме-

тодом градиента ищут приблизительную седловую точку для

g°I. В работе [239] приведен численный пример применения

метода к простой линейно-квадратичной игре.

§ 12. Разные задачи

В этом параграфе выделены кооперативные игры, динамика

которых описывается различными видами уравнений: разност-

ными (п. 12.1), с запаздыванием времени (п. 12.2), стохасти-

ческими (п. 12.3) и в частных производных (п. 12.4).

12.1.

Многошаговые игры. В разностном аналоге игры (10) —

(11) текущее состояние x(k) игры описывается рекурентными

соотношениями

x(k + \)=f

{x(k), u

,...,tt

b), л-(0)==Хо(& =

...,К—

1),.

а функция выигрыша /-го игрока

к-г

(«

...,и

)^Ф

(х(/С))+2

(•*ДО»

"ib

• • •'

«"*).

причем управляющее воздействие г-го игрока на k-м шаге

Щ&и*

—

заданному множеству в R

, i =

l,...,N.

Множество Uf

может задаваться и ограничениями Ui(x) = {u

(x,

щ)

—

0»

Я*(х->

Щ)<0}, где

Тогда аналогом программного управления i-ro игрока служит

последовательность точек щ={щц, ..., и

-\, i\u

d^Oi

}, а по-

зиционного — последовательность функций щ (х) = {u

(х), ....

..., u

-i,i(x) \u

(x)eUi

(x)}. Необходимые условия оптималь-

ности по Парето в классе наборов как программных, так и по-

зиционных управлений для многошаговой игры получены Доле-

жалем [224, 226] с помощью метода множителей Лагранжа. Из

доказанной им теоремы существования для задачи дискретного

оптимального управления [225] можно получить ограничения,,

при которых существует оптимальный по Парето набор управ-

ляющих воздействий для многошаговой игры. Необходимым

условиям типа принципа максимума Л. С. Понтрягина посвяще-

ны работы Н. В. Продана и И. С. Чеботару

[128],

Ори [245,

246],

Блакье

[185].

Исследования специальных задач многоша-

говых игр проведены С. Вакринене [12, 13], Бюлером [193,

194],

Мархи

[298],

Ори и Дельфо

[251].

В частности, в [251]

предложен подход для отыскания С-ядра в многошаговых иг-

рах. Необходимые условия на основе принципа оптимальности

Беллмана сформулировал В. Д. Ногин [106, 107]. Эти условия

сводятся к требованию оптимальности по Парето на любом

«хвосте» траектории, порожденной оптимальным по Парето на-

бором управляющих воздействий. В то время, как для одного

критерия эти условия являются необходимыми и достаточными,

в случае многих критериев — только необходимыми. Аналогич-

ный прием рассмотрен Роммельфангером в

[322].

Используя

минимаксный подход (§ 1, п. 1.3д) и [155] можно получить не-

обходимые условия, отличные от указанных в этом пункте.

В случае

= Ф{(х(К)) и программных управлений необходимые

условия существования лексикографически оптимального реше-

ния многошаговой игры приведены в монографии

[124].

12.2.

Игры с запаздыванием времени. Пусть система (10)

имеет вид

x=f(t,x(t),

x(t—t),

щ,.. ., u

), T==Const>0,

а функции выигрыша (11) остаются прежними. В [65, ч. II]

получены достаточные условия оптимальности по Парето набо-

ра позиционных управлений. Основой является метод динами-

ческого программирования, подход Н. Н. Красовского к зада-

чам стабилизации систем с запаздыванием и лемма 1. Для ли-

нейно-квадратичной дифференциальной игры с запаздыванием'

найден, [65, ч. II] явный вид оптимального по Парето набора

позиционных управлений.

Случаю программных управлений посвящена серия статей

Т. А. Тадумадзе [147—148]. Им распространен принцип макси-

мума Л. С. Понтрягина на довольно широкий класс игр вида

(10) —

(11), когда в системе (10) запаздывание содержится как в

фазовых координатах, так и в программных управлениях игро-

:ков,

рассмотрены также системы нейтрального

типа.

Для основ-

ной задачи вариационного исчисления необходимые условия

получены также в форме уравнения Эйлера и условий Лежанд-

ра, а для задачи Лагранжа с запаздыванием

—

в форме прави-

ла множителей Лагранжа и неравенства Вейерштрасса.

Играм вида

(10) —

(11)

двух лиц с запаздывающим распре-

делением информации посвящена статья

[273];

Блакье в [182]

для таких игр исследовал некоторые свойства поверхностей Па-

рето (поверхности, образованные траекториями системы, по-

рожденными оптимальными по Парето решениями при различ-

ных начальных условиях).

12.3.

Стохастические игры. Предположим, что функция вы-

игрыша i-ro игрока /<(«ь

• • •»

N) =Е{^>%{Т,Х(Т))-{-

-{-IFi(t,x,u)dt}, где _—математическое ожидание. Для самой

системы (10) выделим два случая. В первом x—f(t,x,u,w),

x(t

)=XQ, w(t

)=w

, где w

—

случайный марковский процесс и

тогда _ означает условное математическое ожидание при задан-

ных начальных условиях {Аь#о,-о}.

ВО

втором случае динами-

ка игры описывается уравнением Ито dxt^f^.x, u

)dt-\-dB

, где.

—

броуновское движение. Для первого случая В. C. Молоство-

вым [102—104] найдены достаточные условия собственной эф-

фективности набора позиционных управлений и рассмотрен слу-

чай линейно-квадратичной игры. Во втором случае Варайя [351]

получены достаточные условия оптимальности по Слейтеру,

принадлежности управления С-ядру и совпадения равновесного

по Нэшу решения с оптимальным по Слейтеру, в [352]

—

до-

статочные условия, при которых равновесная ситуация будет

оптимальной по Парето. Прасад в [316] рассмотрел арбитраж-

ное решение Нэша для стохастических систем. Им же и Сарма

в [318] получено оптимальное по Парето решение для линейно-

квадратичной дифференциальной игры двух лиц при наличии

белого гауссова шума в системе (10). Геринг и Асанз [234]

применили понятие абсолютно кооперативного решения в фильт-

ре Калмана—Бьюси. Изучению дифференциальных стохастичес-

ких игр также посвящены работы Индзуки и Нокамура [71],

Н. П. Швецова

[165],

Правина

[319].

В некоторых случаях

расширение класса управлений до смешанных (вероятностных

слабо измеримых по t мер) используется при доказательстве су-

ществования оптимальных решений. Таким образом, например,

Варга и В. С. Молоствов [105] доказали существование ре-

шения в антагонистической дифференциальной игре с векторной

функцией выигрыша.

12.4.

Игры, описываемые уравнениями с частными производ-

ными. Вопросу существования оптимального по Парето решения

в указанных дифференциальных играх посвящены работы Ан-

.дри [171] и Кобаячи и Саваражи

[266].

В [266] приведены и

необходимые условия оптимальности по Парето для линейной

системы, описываемой уравнениями в частных производных.

§ 13, Приложения

В этом разделе приведены примеры использования теории

кооперативных дифференциальных игр в задачах механики уп-

равляемых движений (п. 13.1), и игровых задачах экономики

(п.

13.2). (Некоторые приложения можно найти в обзорных

«статьях Кимура [264] и Хо [253]). Ограниченные рамки обзора

не позволяют привести сами математические модели задач.

В перечисленных далее работах либо найден явный вид одного

из указанных выше кооперативных решений (чаще всего, опти-

мального по Парето), либо указан четкий способ их определе-

ния. Следует отметить, что в большинстве практических задач

к оптимальному процессу предъявляется совокупность требова-

ний. Они могут быть учтены именно векторным функционалом.

•Однако, в ряде работ обычно этот факт обходят, оптимизируя

скалярный функционал, равный сумме (иногда «взвешенной»)

компонент векторного. Такой подход может привести к потере

решения, может быть «лучшего», чем найденного таким «упро-

щенным» способом.

13Л.Игровые задачи в механических системах. Четко выра-

женный кооперативный характер имеет задача о встрече управ-

ляемых объектов, причем все к этой встрече стремятся. Такую

задачу для двух объектов рассмотрели Кан

[261],

Колбе и Сати-

ров

[269],

Койво и Реппергер

[268].

Причем в [261] встреча

осуществляется по части координат, а в [268] оба движутся по

эллиптическим орбитам. Оптимальной по быстродействию встре-

че трех объектов посвящена статья Чайнга

[208].

Различные ва-

рианты встречи для любого конечного числа объектов исследо-

ваны Л. А. Плотниковой [117—119]. Встреча с несколькими

целями рассмотрена Т. Танабе

[146],

а сближение и уклонение

в заданные моменты времени

—

М. С. Габриеляном [28].

Использование векторного критерия вносит ряд особенно-

стей (и трудностей) в решение обычных задач теории оптималь-

ного управления. Здесь задачу наблюдения по векторному кри-

терию и приведение ансамбля траекторий линейной си-

стемы в наименьшую окрестность заданного множества

за наименьшее время исследовал А. Б. Куржанский [85],

а аналитическое конструирование регулятора при векторном

критерии —М. Е. Салуквадзе [135—137, 332, 333]; Также от-

метим исследование чувствительности оптимальной системы

(Синха

[340],

Перец и Ли [313]); нахождение всех критериев,

для которых данное управляющее воздействие является опти-

мальным (Мески [303]); стабилизируемость и управляемость

децентрализованных систем (Аоки и Ли [172]); многокритери-

альный подход к минимизации отклонения от заданной траекто-

рии (Двайведи [228]). И, наконец, использование векторной

функции Ляпунова в задаче стабилизации «позволяет получить

более полную информацию о свойствах переходных процессов

замкнутой системы» (В. Д. Фурасов [153, § 30]), именно..

В.

Д. Фурасовым [153, § 30] построены эффективные алгоритмы

адаптации самонастраивающегося регулятора, а Гротт [241]

предложил при нахождении оптимального по Парето решения

в качестве функций Ляпунова использовать функции выигрыша

игроков, определенные для каждой позиции.

Управлению тела, вращающегося вокруг неподвижности оси,.

посвящены исследования В. Е. Рыжовой [132—134], Лейтмэна

и Стадлера

[289].

В [132—134] ставится задача остановки тела

за минимально возможное время и при минимально возможном

импульсе управляющего воздействия. В [289] — минимизация

энергии и отклонения от движения изолированной системы, воз-

мущенной введением измерительных приборов.

Перечислим и другие конкретные задачи: полет на заданной

высоте (М. Е. Салуквадзе [135]); полет беспилотного самолета

(М.

Е. Салуквадзе [135]); оптимальный взлет в заданную

точку пространства (М. Е. Салуквадзе [135]); вертикальный

взлет ракеты в пустоте (М. Е. Салуквадзе [135]); автомати-

ческая посадка летательного аппарата с помощью автопилота

(Гаусков [240]); отыскание регулятора, управляющего

движением спутника (Прасад и Сарма [127]); применение

арбитражной схемы Нэша при выборе траектории ракеты,.

направленной к Юпитеру и Сатурну

[191];

переход /V различных

объектов в /V различных состояний (В. А. Долодоренко и

Э. Н. Федан [59]); анализ качества работы системы

«оператор

—

манипулятор» (Л. И. Кожинская и Л. И. Слуц-

кий [77]); задача определения сечений конструкций за-

данной конфигурации и длины

(Саве

[336]); задача аморти-

зации (В. К- Сивцова [138]); выбор оптимальных значений па-

раметров амортизирующей подвески транспортного аппарата

(Э.

М. Балычавцев, Э. К. Лавровский [5]); исследование энер-

гетической системы при уменьшении потерь мощности в пере-

дающей линии, поддержании напряжения у потребителей и ми-

нимизации стоимости приведенных затрат (Прасад и Сарма

[317]),

оптимальное управление процессом экстракции инсули-

на (Л. Ф. Бурляева, В. В. Кафаров, Р. Е. Кузин, А. В. Нету*

шил [Ю]).

13.2.

Игровые задачи в экономике. Обзоры задач экономики,.

математическая модель которых представляет дифференциаль-

ную игру, провели Хо

[253],

Кейс

[195],

Старр [345] и в сборни-

ке работ [223, гл. IV]. Они включают частично и модели, пред-

ставляющие кооперативную дифференциальную игру. Из таких

задач в первую очередь выделим связанные с экологией: различ-

ные варианты модели развития окружающей среды (Сакава и.