Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (кооперативный вариант)

Подождите немного. Документ загружается.

(16)

sin2.rtM

3cr

=-=sin2jtM

, x

(C)

= 0,

= cos2na

= cos2nu

(i—=

1,2,3,4),

где

Их

—

управляющее воздействие первого (второго)

игрока,

1 i

< 1, функции и

}

(t) (/' = 1, 2) непрерывны.

Временной интервал игры [0, 1]. Функции выигрыша (11) опре-

делены следующим образом:

-,^<

)cos[3Tt(i/(l)

— —)

2 =

*<1>

sin [Зя (#(!)

— •§

(17)

где

= 1

•Л.,

"^9'

1 —Jcl

—JCJ,

л(0) = ^(0)--=0.

С помощью I = I

+ H

(i = V— - ) функции выигрыша (17)

можно записать:

/ =

е~-,

(18)

где 2 = я(1)+--3.л;[#(1)——-]. Множество достижимости (16)

•есть квадрат в плоскости

{х,у},

ограниченный прямыми #=-----'

Jf=l и I/

— -— »

#=-1> причем верхняя и правая граница квадрата

не достижима ни при каком наборе управлений. Множество вы-

игрышей задается конформным отображением (18) и имеет вид

Мдажесгпбо

выигрышей.

— L

В этом примере множество выигрышей не замкнуто: не сущест-

вует управлений, реализующих северо-восточную часть границы,

но к ней можно приблизиться сколь угодно близко. Следователь-

но,

не существует оптимальных по Парето решений. Попутно

отметим, что в приведенном примере имеется несчетное множест-

во точек равновесия.

Для случая «отсутствия» оптимальных по Парето решений,

В.

В. Подиновским в [121, 123] введено и исследовано понятие

эффективной последовательности точек, по которой можно

сколь угодно близко «подойти» к оптимальным по Парето вы-

игрышам.

1.3. Необходимые условия, а) И зо пер

м етр

и ч

ески й

подход. В первую очередь рассмотрим результаты, связанные

с леммой 6. Одна из первых работ этого направления — статья

Нельсона [308] опубликованная в 1964 году. В ней сформулиро-

вана в общем виде задача оптимального управления с вектор-

ным целевым функционалом и задача отыскания решения сведе-

на к оптимизации одного из критериев при изопериметрически

ограниченных значениях остальных. Такой подход получил тео-

ретическое обоснование в работе Ю

[364].

Им получены сле-

дующие необходимые условия.

Предположим, что Ф-^л:) ==.(),

i—1,..

., N, в (11), функции

f(t,x,u) и

{

^,х,и),

i=l,...,N,

дважды непрерывно диффе-

ренцируемы; допустимый набор программных управлений

"(•)

'-[*о,

T]-+R™, ||«(*)U{le}p = Const>0 при всех te[t

,T], ком-

поненты m-вектора u(t) кусочно непрерывны и u(t) порождает

абсолютно непрерывное решение x(t) системы из (10) такое,

что x(t

) =х

(1)

, х(Т) =х®\ причем я

и х

{2)

фиксированы.

Теорема

[367].

Пусть допустимый набор программных

управлений u

(t) оптимален по Парето для такой игры (10)

—

(11),

a x

(f),

^t<T,—

соответствующее решение (10). Тогда

для любого индекса /б{1,

2,.,.,

/V},

существуют N—1 действи-

тельное число

{."л|.---?'--•/.

k=l, 2,

...,,Щ,

постоянный множитель

а—• {аь ..., a

}£R

, непрерывная функция

(p-):[t

, T]->R

, p(t)^=0 на \t

, T\ и функция

H(-):R

~+R

где

Н(t, х, и, р, а)="

(t) f(t, x,a)

F (t, x,u),

такие, что имеют место следующие условия: 1) а

>0 для

всех &6{1, 2, . .., N] и ak =

если k^=j и Л

(и

(•))>/",.;

2) р(-) — решение уравнения

Am—

dH{t

хП

^' *

(t),p(t),a) .

3) H(t,x

(t),u

(t),p(t),a)>H(t,x

(t),u,p(t),a) для всех

u£R

удовлетворяющих требованию ||и||<р; 4) функция

M(-):[t

, Tl-^R

— такая, что

M(t) = H(t,

{t),

(t), p(t), a)

непрерывна на \t

, T] и удовлетворяет на каждом интервале

непрерывности u

(t) уравнению

)

—

dH(t,

(t),

(t), p(t), a)

Оптимальное по Парето решение необходимо (лемма 6) яв-

ляется решением скалярной изопериметрической задачи (одна

из функций выигрыша в (11) оставлена в качестве целевого

функционала, остальные переведены в ограничения типа нера-

венства). Поэтому результаты, относящиеся к векторному кри-

терию, немедленно следуют из соответствующих скалярных

условий оптимальности. Этим воспользовались Шмитендорф ж

Лейтмэн

[337],

предложив простой вывод следующих необхо-

димых условий.

Пусть функции f и Fi непрерывно дифференцируемы, Ф

0,-

i=\,..., N; компоненты вектора u(t) измеримы, ограничены,

и(-) : [t

,T]-+U (U — компактное подмножество в R

) и по-

рождают решение x(t),

^t^T,

системы (10), такое, что

x(t

) = x

, 8(Л:(7

))=={0

(А:(Г)),..., Q

{*(?))} = 0,

где вектор-функция Q(-):R

-+R

непрерывно дифференцируема:

дВ

(х)

и ранг матрицы -——- равен q.

Теорема

[337].

Пусть набор программных управлений u

(t)

оптимален по Парето для игры (10)

—

(11), а х

(t), ^

<^<Г,

—

соответствующее решение (10). Тогда существуют постоян-

ный вектор а =

{ъ

...,

а.у}» ai>0, непрерывные вектор-функ-

ции p(-) =

{pi(-),...,

Pn(')}- [*V T]-+R

, где

(p(t),

а)=£0 при

t£\t

, Т], постоянный <7-вектор v и функция

Н(-):R

XR'

X.R

^RK где H{i, х, Й, р, a) = p

f(t, х, #)+-

-\-a'F(t, х, и), такие что

n(t\— <?H(t, .x

(t), a" (Q, p(t), a)

PiV)=Zjl

dXi

"''

2) 0 = #(rf,

{t),

p(t), a)>N(t,

{t),

it, p(i),o.)

для всех u{±U.

6) Существование весов ai. Пусть система (11) ли-

нейна:

x = A(t)x + B(t)u + w(t), x(t

) = x

, (19)

где элементы матриц A (t) к В (t) соответствующих размерно-

стей и компоненты /г-вектора w[t)

—

интегрируемые на [t

функции; набор программных управлений u(-):\t

, T]->R

допу-

стим, если функция a it) измерима, при всех

t£[t

,T\

функция

u(t)£U—выпуклому компакту в R"*, а соответствующие решения

х (t) уравнения (19) удовлетворяют граничным условиям х

)="X

(х

задано) и х (Т) £Р

—

выпуклому множеству в R

; множество'

допустимых u(t) обозначим у>\ наконец, (11) имеют вид

/i(w(-))= \Ft(t, x(t), u(t))dt, t =

l,...,

N. (20)

Здесь предполагается, что функция Ft(t, x, и) непрерывна и

при всех z.6\to> T] вогнута по х, и на £&(t)xU> «^(^

—

множе-

ство достижимости (19) из позиции {t

, х

] в момент t, т. е.

25-

соответ-

-#(*)-= x (t): x (t)=X

(t)

+ X

(t) jj

(t) [_ (*) e(t)+» (t)l dx,

'' dx

.«(t) 6^J,

AT (£)

—фундаментальная матрица системы -=Ах,

X(to) = E,

Я —

единичная «Х^-матрица.

При введенных ограничениях, если допустимый набор про-

граммных управлений ti

(t) оптималэн по Парето для

(19)— (20),

то существует [367] постоянный TV-вектор а с неотрицательными

компонентами, причем а-4

и такой, что

TV N

2а^(«

('))= max 2

*(-*(*))•

Здесь уже множество

{./(#(•)).-

(•)(№}

выпукло, и справедли-

вость утверждения следует из леммы 7.

в) Градиентный подход. Необходимые условия опти-

мальности по Парето, отличные по форме от приведенных выше,

получены Винсентом и Лейтмэном в

[355].

Пусть для игры

(10) — (11)

выполнены следующие ограничения: функции

{Т,х)

и f

(t,

х, и) непрерывно дифференцируемы, a F

= 0, i=\,..., N;

набор программных управлений u(t), ^

<2.<7\ измеримые по t

функции, такие, что при всех t£\t

, Г],

u(t)£U,

U—выпуклое

замкнутое подмножество в R

\т,= 2^тЛ, причем

ствующие решения х (t) системы (10) удовлетворяют при всех

t£\t

, T] включению x(t)£G, где

G —

открытое множество в R

Обозначим через x

(t) решение (10), x(t

) =

для набора

программных управлений u

(t). Рассмотрим решение

Х^(-):

, T]-+R

, i =

l,...,

N, сопряженной системы

удовлетворяющее граничному условию

^л/jn

dOi(x»(T))

^ ' дх

Вв едем

с<->

{t)

{

dnt,xn

(/))

]'*•(->

(*),t=l-..., N, (21)

очевидно,

cW {t)~/тг-мерный

вектор-

Следующие необходимые условия оптимальности по Парето

получены в [355] с помощью классического вариационного под-

хода.

Теорема

[355].

Для оптимальности по Парето набора

программных управлений u

(t) необходимо, чтобы для любого

значения управления vQU и почти всех t£[t

, T] нашлось хотя

•26

бы одно /б{1,

2,...,

N}, где / зависит от iv, t}, такое, что либо

\cM(t)]'{v — u

(t)) = 0,

либо (22)

[cW(t)\'(v — u

(t))>0.

Требование выпуклости U в этом условии существенно: имен-

но,

Сталфордом в [343] сконструирован пример, в котором мно-

жество U не выпукло и оптимальный по Парето набор про-

граммных управлений не удовлетворяет приведенным необходи-

мым условиям (22).

Наглядные геометрические критерии, которые позволяют

определить, принадлежит ли оптимальное по Парето управление

границе или внутренности множества U (возможные значения

управлений), получены Сталфордом в

[343].

Им выделены два

случая:

Случай I. В момент ^б^о. Т\ не существует <?•->(£-),

i=l TV, (см. (21)), такого, что —c<->(*i)€#(*i).

Случай II. В момент tS\t

T\ существует ненулевой век-

тор c^){t

)

(£6{1,

2 /V}), такой, что-cW (^)е^(^). Здесь

(

#(*)= ce#

:c--=2

c(i)

(')'

*>°;

i-=i jv

Если имеет место случай 1, то оптимальный по Парето набор

программных управлений u

(t) лежит на границе множества и.

•Случай II выполняется для почти всех моментов времени

i£[t

, T], для которых оптимальный по Парето набор лежит

внутри множества U. При этом необходимо имеют место условия

(22) оптимальности по Парето u

(t)

[343].

Фактически, таким

образом, проведено сведение задачи отыскания оптимальных по

Парето наборов u

(t) к исследованию внутренности .и границы

множества U. Во избежание ошибок, здесь следует отметить,

что граница множества U включает и точки из (7iX... XtjY-iX

XdUiXUfi+iX ... XU

, где dUi — граница Ui, т. е. из того, что

набор u(t) = {u-i(t),. .., u

(t)} принадлежит dU — границе С/,

вообще говоря, не следует, что Ui{t) принадлежит dUi, i=

= l....,iV\

Подробное обсуждение приведенных результатов содержится

в статье Лейтмэна, Роксина и Винсента

[285].

Ими же получен

другой наглядный критерий: если u

(t) оптимально по Парето

и конус ^(t) при каждом t£[t

, T\ не содержит линейного под-

пространства, то и

(t) принадлежит границе множества U. Кро-

ме того, при каждом t£

T\ в R

существует шар В с цент-

ром в точке u

{t) и числа ai>0 (t=l,..., N), не все равные

нулю и такие, что ^,aic(-)SM<0 для всех u

(t)-\-bu(t)£B (]U

i-l

<*<7\

г) Сведение

линейной связке. Следующий

цикл работ

по

необходимым условиям фактически сводит проб-

лему векторной оптимизации

задаче оптимального управления.

Целевой функционал—линейная форма компонент вектора

(11)

неотрицательными коэффициентами. Первый результат

в этом направлении получен Ч актом

[203] в 1966

году (подроб-

но изложен

[135, стр.

30—31]). Затем следует серия работ

Ку-

на

Полака [215—217],

Дас и

Сарма

[220],

Винсента

Лейт-

мэна

[355],

Блакье, Юричек

Вайса

[186],

Сарма, Рагейда

Прасада

[334, 335],

Мишель

[304],

Хуанга

[256],

Ори

[250].

В основном применяется следующий подход; исходная систе-

ма

(10)

«расширяется»

за

счет дополнительной подсистемы,.

компоненты фазового вектора которой

момент окончания игры

совпадают

выигрышами игроков. Затем выписываются необ-

ходимые условия типа принципа максимума

Л. С.

Понтрягина

для «расширенной» системы.

Здесь следует, однако, иметь

виду следующие

два

обстоя-

тельства. Во-первых,

большинстве указанных результатов

фи-

гурирует требование существования подходящего неотрицатель-

ного постоянного вектора

(t—1,

2,...,

N) (при

максимизации

2аг/г)-

Поэтому успешное применение условий

для

решения

г—1

практических задач связано

выбором коэффициентов

а»,

i —

•= 1,...,

Вопрос определения конкретных значений

сц

являет-

ся открытым,

по

крайней мере,

теоретическом плане. Во-вто-

рых, согласно лемме

необходимость существования вектора

обоснована лишь

случае выпуклости множества

(--[-]),.

когда набор управляющих воздействий

u[t]

пробегает

все

воз-

можные допустимые значения}.

При

отсутствии требования

вы-

пуклости применение таких условий

качестве необходимых

(с

сс

-->0) дает лишь

те

управляющие воздействия, которые удов-

летворяют достаточным условиям оптимальности

по

Парето

(лемма

1).

Поэтому

не все

оптимальные

по

Парето решения

охватываются такими «необходимыми условиями». Однако

в не-

выпуклом случае можно использовать необходимые условия,

ос-

нованные

на

лемме

Типичной

этом отношении является

приведенная выше теорема

из

[337].

Из последних результатов укажем необходимые условия,

по-

лученные Филиппом

[312]

(ограничения типа равенств.

и неравенств

на

правый конец траектории)

и Ю. П.

Кривенко-

вым

[84]

(учет фазовых ограничений).

указанному циклу

ра-

бот близко примыкает статья Салима

Гуришанкара

[331].

Здесь, хотя подход

основан

на

введении штрафных функций..

но фактически задача сводится

оптимизации функционала

ZaJi. Новым является предложенный авторами способ прибли-

женного решения задачи оптимизации векторного функционала..

Из более ранних работ отметим

[203, 215, 265],

д)Максиминный подход. Прежде чем приступить

к необходимым условиям оптимальности по Парето, связанным

с леммой 5, следует вместо функций выигрыша I

из (11)

перейти к функциям выигрыша /i

(и,

[-]) = h (и [•

]) — -

°"•

i =

\,...,N,

где /*----= min //(«[•]),

—сколь угодно малое

"IT6^

•положительное число. Тогда, очевидно, оптимальный по Парето

набор управлений для игры (10)-—(И) является оптимальным

•по Парето для игры (10),

I~i(ti[-\),

г=1 N, и обоатно, что

следует из определения Ь) (стр. 16). Затем нужно использовать

необходимые условия существования решения при некоторых

oci>0 задачи вида (15):

max min ai7

(и

[•!).=-min

ai7i (&"[•]).

"H6%.£l.{cdot}.{cdot}>^

-gl -V

Впервые необходимые условия максимина были получены

A. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным в 1965 г. [60]. Необходи-

мым условиям оптимальности типа принципа максимума

Л.

С. Понтрягина для максиминных задач посвящен цикл ра-

бот В. В. Альсевича

[2—4].

В частности, из результатов статьи

|4] следует принцип максимума для задачи (15) с использова-

нием множителей Лагранжа. Необходимые условия непосредст-

венно для (15) получены В. В. Величенко [16, 354] (с приме-

нием множителей Лагранжа). Характерной чертой этих усло-

вий является возможность непосредственно их получать [16] с

помощью того же математического аппарата, что и необходимые

условия Л. С Понтрягина для однокритериальной задачи. Ин-

тегральный принцип максимина (минимакса) найден Т. К. Ви-

ноградовой и В. Ф. Демьяновым [22]. Однако непосредствен-

ное его использование для разработки численных методов

затруднительно. Поэтому В. К. Сивцовой [138] построено необхо-

димое условие, эквивалентное интегральному принципу макси-

мина, но для функционалов вида min/i(w(-)). Условия в [138]

=-l, ..., N

более «удобны» для построения вычислительных процедур. Необ-

ходимым условиям посвящены также работы Л. Г. Турина и

Е. М. Столяровой [46], В. А. Горелика и В. В. Федорова [34],

И. С. Чеботару, Э. С. Навала и М. И. Сагайдак

[155],

Муралид-

харана и Хо

[306].

Такие условия для линейно квадратичных

игр (при

-=1,

i= 1, . .., N) приведены в статьях Меданика и

Анжелика [300—302], Хо [253, 254, 306]. Отметим также до-

статочные условия минимакса (максимина), полученные

В. Величенко в [16, 18, 354]. Эти условия основаны на соот-

ветствующем результате для однокритериальной задачи опти-

мального управления [17], где достаточные условия формули-

руются на полях экстремалей принципа максимума Л. С. Понт-

рягина и вкладываются вместе с принципом максимума в клас-

сическую схему необходимых и достаточных условий Эйлера—

Бейерштрасса—Гильберта. Вследствие ограниченности объема

обзора,

мы не

упоминаем других значительных результатов

для

указанной специальной задачи максимина.

Заметим,

что,

наряду

максиминным подходом, возможен

вероятностный

[156].

е) Задачи терминального управления.

нако-

нец, задачу терминального управления

дополнительными огра-

ничениями также можно

(В. В,

Гороховик,

С. Я.

Гороховик

[41]) трактовать

как

задачу

векторным критерием. Именно,

пусть допустимый набор программных управлений

u(t), t

^t^T

таков,

что u(t)

кусочно-непрерывны,

при

t£[ta,

T],

u(t)$U — за-

данному множеству

в R

gj(x(T))^0

(/=1,...,

). Качест-

во допустимого набора управлений

u(t)

оценивается функцио-

налом

-7

(й(•))--

max

}

(x(T)),

i=\,...,N.

(23)

;

_.-|-1<Кт

Пусть

(t)

—

оптимальный

по

Парето набор допустимых про-

граммных управлений

для

игры

(10), (23);

(t),

<2?<7\

—

соответствующее решение

(10),

функции f{t,x,u)

и gj(x)

непрерывно дифференцируемы. Обозначим I~{i\g

(T))=0>

если 1<£<яг

gi(x

(T))

Ij(u

(-)), если /tt

--H<i<n^

/=1,

...,£},

—

число элементов множества

H(t, x,tt,p)=p'f(t,

и);

H(t,x,ti,p)=H(t,x,v,p)—H(t,x,ti,p);

{l)

(i)

—

решение системы

„Mm-

dH{t,x*{t),u*{t),pW{t))

p"(T)=-

dgi(

{T))

/е/.

Теорема [41].

Для

того чтобы набор допустимых про-

граммных управлений

был

оптимальным

по

Парето

для

игры

(10),

(23), необходимо, чтобы неравенство

min

А/-—"

(*у, *

(*./).

(i)

(*у))

выполнялось

для

всех f>j6[^

T],

VjSU

->0

(/=1, ..., т).

Подобный подход использован

в [41] для

получения эффектив-

ных условий оптимальности особых управлений

задаче

огра-

ничениями

на

траекторию.

ж) Геометрия пространств Парето. Пусть

в (11)

==0,

...,N, а в

(10) —(11)

функции

/ и F

не

зависят

явно

от

времени

Позиционнное управление

у-го

(у—-1,...,/V)

игрока ограничим непрерывно дифференцируемыми функциями

Uj(x),

определенными при всех x£Xc:R

и порождающими из?..

любой начальной позиции {t

, х

} единственное решение х (t}

системы из (10), определенное при всех t&[t

, T], а х (7)6/14(3)...

Выигрыш у-го игрока в этом случае

y*(x

)-=-/

;

.(jc

, M, ul-])*=$Fj(x(x),u(x(x)))dx, y=-l, ...,//..

Очевидно, что

1/}(х)—-0

при хб-М. Наряду с (10) рассмотрим,

систему

•--fe)4£KH<*'«)-

-el----"!-

Будем предполагать, что функции / и F

}

непрерывно диффе-

ренцируемы. Пусть набор

(х) = и

{г) оптимален по Парето

для игры (10)— (И) (при указанных в п. ж) ограничениях),,.

. —

/,.(х

, М,

[-\)

V*(x

Множество

Е(С)= {z|x{in}X tfj + Vj (*)-=-> / =

1,...,JV}

названо Блакье [180, стр. А-745] поверхностью Парето. Эти по-

верхности содержат траектории системы z =

(p(z,

и), порожден-

ные оптимальным по Парето набором позиционных управлений,

для игры (10)

—

(И). Различным свойствам этих поверхностей

посвящены работы Блакье [180, 183], Блакье .и Вайса

[184],.

Блакье, Вайса и Юричека [186—189], Юричека и Вайса [260]

и докторская диссертация Юричека [258, 259]. Заметим, что-

поверхности Парето строятся в пространстве R

(значений

фазового вектора х и значений функций выигрыша игроков).

Построение множества значений функций выигрыша в R

при всех оптимальных по Парето наборах управляющих воздей-

ствий (множества оптимальных по Парето выигрышей) — само-

стоятельная трудная задача. Некоторые общие свойства указан-

ных множеств в случае линейной системы (10) и двух функций

выигрыша (время приведения системы в начало координат и

импульс управляющих сил) получены А. М. Формальским

[152].

Для ряда конкретных практических задач такие множества по-

строены А. М. Формальским

[152],

В. Е. Рыжовой [132,

133],.

Э. М. Балычавцевым и Э. К. Лавровским [5] (см. § 13). На-

личие множества оптимальных по Парето выигрышей игроков.

приводит к естественному желанию выделить из этого множества

конкретные точки, обладающие специфическими игровыми свой-

ствами. Такими свойствами обладают среднеквадратичное (§ 2),

арбитражное по Нэшу (§ 3), лексикографически оптимальное

(§ 4) решения, элементы С-ядра и т. д.

1.4. Достаточные условия, а) Программные управ-

ления. Прежде всего рассмотрим случай программных управ-

,лений. Предполагаем,

что

(10)

—(11) функции f(t,x,u)

Фг(х)

Fi(t,

х, и)

непрерывно дифференцируемы,

U{(t), i~l,...,

измеримы

по

Лебегу, ограничены

на

интервале

[to,

Т]

таковы,

что любому фиксированному набору программных управлений

(t) — {ui

(t),...,

(t)} соответствует единственное решение

.x(t) системы

(10),

причем {Т,х(Т)}вМ — терминальному мно-

гообразию

(3).

В приведенных

в п. 1.4

теоремах, если

не

оговорено особо,

•ограничимся случаем фиксированного момента

окончания

иг-

ры.

Если момент окончания игры

не

фиксирован,

то

введением

дополнительных уравнений

систему

(10)

иногда можно свести

[278] игру

случаю фиксированного момента окончания игры.

Предположим,

что в (11)

-(Г, х) ==0,

i—l,...,N.

(Это

ограничение

не

ведет

потере общности,

ибо

U из (11)

можно

.переписать

следующем виде

Ii(u(-))^[Fi(t>x(t)>v(t))+[

аф

'^/

(

'» Jf(t,x(t), u{t))

dt^-Oi(t

•а постоянное слагаемое <D

(z?

, x

)

при

фиксированной позиции

, x

}

на

процесс максимизации

влияния

не

оказывает).

Итак, предполагаем,

что

(

(.))

^.(

x{t),u(t))dt,

= 1,...,N.

(24)

Лейтмэн

[278]

получил следующие достаточные условия

оп-

тимальности

по

Парето.

Теорема

[278].

Набор программных управлений

(t)

(соответствующее решение системы

(10)

обозначим x

(t))

оп-

тимален

по

Парето

для

игры

(10),

(24),

если существуют:

1) набор постоянных

<х=

(а

•..,

ajv}, аг.>0,

1,..,, N;

2) абсолютно непрерывная функция %{•)

T]->-R

такая,

что неравенство

2 aiFi

(*.

(0, й

(*))

- 2

«iFi (*,

х,

и)

-%'

(t) f(t,x" (t),

(*))

+ >/(*)/(*, x,u)~i'(t)\x

(t)-~x\>0 (25)

имеет место

для

всех x£R

, uQR

почти всех t£\t

, TV

для

всех

{Т, х}вМ

К{Т)\х*{Т)-х\>0. (26)

Доказательство. Пусть

(^ — произвольный набор про-

граммных управлений,

^(^

—

соответствующее решение

си-

стемы

(10).

Тогда

из

(25)

учетом

(10)

получаем неравенство