Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (кооперативный вариант)

Подождите немного. Документ загружается.

/-(й) = ^,(^ x(t), u{t))dt,

....Л/*,

тд,е

(t, x,u),

вогнуты и непрерывно дифференцируемы по х, и и непрерывны?

по t; система (10) линейна, т. е. ограничения типа равенства

имеют вид

x = A(t)x-\-B(t)u, x(t

) =

;

где элементы матрицы A{t) я В(t) непрерывны; кроме того,

*u(t)£U при почти всех t£[t

, T],

—

замкнутое выпуклое множество в R

и существует

u(t)&n\U'

почти всюду на [t

T], причем соответствующее решение x(fy

такого, что х{Т) = хМ.

Пусть выполнены эти предположения, существуют набор-

программных управлений u

(t)

и соответствующее решение

(t)

системы такие, что

(t),

{i)}£Gi (]

постоянный

вектор a£jR

с неотрицательными компонентами, вектор-функция;.

ty(t),

удовлетворяющая уравнению:

причем а и ty(t) одновременно не равны нулю, такие, что*

выполняется условие

при почти всех t£[to, T] и всех u=u(t), удовлетворяющих тре-

бованию G

Тогда набор программных управлений u

(t) оптимален па

Слейтеру. Приведенные результаты получены В, И, Заботиным

с помощью распространения методов А. Я. Дубовицкого и

А. А. Милютина на задачи оптимизации с векторной целевой:

функцией. Шпреман [341] использовал такой же подход при.

исследовании оптимальности по Парето и локальной оптималь-

ности по Слейтеру.

7.3,

Минимакс по Слейтеру. Пусть в (11)

(u,v)

= \Fi(t, х, и, v)dt, где

-ogl/—-

компакту в RP, а система (10)

остается без изменений: x=f(i, x,u)

x(t

) = x

Минимакс по Слейтеру определим следующим образом. Для

каждого иЩ найдем значение ^

6У такое, что не существует

~->б1Л для которого

63»

Ii(tt{-], в)>/•(»[•],

-J

i = l,...,iV.

Обозначим множество таких v

через l/

. Для каждого фикси-

рованного набора u[t] получаем «свое» множество V

. Таким

образом, при фиксированном наборе управляющих воздействий

' u[t] значение v

оптимально по Слейтеру для игры (10)

—

(11),

конечно, при указанных ограничениях.

Определим затем набор управляющих воздействий u°[t[

такой, что не существует пары [u[t],

}('v

) такой, что

для хотя бы одного набора управляющих воздействий иЩ

выполнялось неравенство:

ЛИ-].

)<Л(«

1-].«>«•). *=-> ...,#.

.для всех v

°eVu°-

Тогда набор управляющих воздействий u°[t] назовем мини-

максом по Слейтеру для игры

(10) —

(11).

Необходимые условия существования минимакса по Слей-

теру получены И. А. Корниенко [80, 81]. Его результаты раз-

вивают подход А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина на мини-

максный случай. Здесь предполагаем, что выполнены ограниче-

ния, указанные в п. 2 настоящего параграфа, а функции

Fi(t, х, и, v) непрерывны и непрерывно дифференцируемые по

х,

й и v, измеримы по t и эти частные производные ограничены

при ограниченных х, и, v.

Теорема [80]. Предположим, что набор программны

управлений a°(t) является минимаксом по Слейтеру, а

.л;

(.^)

—

•соответствующее решение системы (10), х° (T) = xW. Пусть

———J———-=т-0 при cp(jc(/), t) =

Тогда существуют целое число

•&€(0,

-|-оо), v^fcVu», векторы

aJ'QJR"

с неотрицательными компо-

нентами

(У==1,

.. .,k) и "ф(0, причем а? и ty(t) не равны нулю

одновременно, постоянный вектор c£R

и мера d\i(t), сосредо-

точенная на множестве

= {t\q>(x

()

(t),

0},

такие, что

dF{t,x*(t),

а»

(*),"£.)

да

у_

_ у dF(t,x°(t),u«(t),v

«)

<&аА

дХ

/=1

при почти всех uQU и почти всех tQ\t

T].

§ 8. Л- и ф-оптимальность

8.1.

Определение. Порядок предпочтения на множестве зна-

чений векторной функции выигрыша /(#[•]) может быть задан

с помощью некоторого конуса предпочтения AczR

*. Приведем

ряд определений. Выпуклым конусом Л в R

является выпук-

лое множество AczR

, содержащее ©месте с любой своей точ-

кой A,{in}A целиком весь луч (ЗА, (0<р<.,+оо). Колус Л называется

многогранным (полиэдром), если существует набор /V-мерных

векторов

UJ,

/-= 1,..., /, что из А,бЛ следует

X--=2

= Const

\,...J),

(37)

и обратно, (37) влечет включение ЯбЛ. Здесь a

/=1,...,

— система векторов, порождающая конус Л. Множество векторов

y&R

удовлетворяющих при всех ЯбЛ неравенству {X, 7)-^

(

образует сопряженный конус Л*.

Набор управляющих воздействий u

[t] называется Л-опти-

мальным для игры

(10)

—

(11), если не существует другого на-

бора управляющих воздействий u[t], такого, что -f(w

[.])6

€/(и[-])+Л,

При A-={A,{in}/?

|A<0} Л-оптимальные решения являются оп-

тимальными по Слейтеру.

8.2. Необходимые и достаточные условия. Необходимые усло-

вия Л-оптимальности установили Лейтмэн, Ю [367] и Д. Г. Мет-

ревели [98]. Далее в этом пункте используется следующее

ограничение:

А) Пусть в (10)— (И) функции/ иFi дважды непрерывно диф-

ференцируемы, <E>i==0,

i—\,...,

N; допустимый набор програм

мных управлений a(-):\t

, T\~+R

, ||и(^)||<р

—

Const при всех

i{in}[^o- T], компоненты u(t) кусочно непрерывны и u(t) порождает

решенние x(t) системы (10) такое, что x(t

) = x

{l)

, х(Т) = х^,

причем ЛГ(1) и xW фиксированы.

Теорема

[367].

Пусть выполнены ограничения А) и допу-

стимый набор программных управлений u

(t) Л-оптимален для

игры

(10)

—

(11), а х

{1)—соответствующее решение систе-

мы (10). Предположим, что Л — многогранник, а Л* порож-

дается {а

..., a

). Тогда существуют индекс /6 U, 2, ..., q},

q—Действительных чисел {г/

|&---/; k=l, ..., q}, постоянный

множитель а— {аи ..., a

}, непрерывная функция р(-) : [*о, Т]-+-

-W?",

p(t)¥°0, и функция 2ё{-)

XR«-+R\ где

3№(t, х, и, р, a)=p

(t) f(t, x, u)+a'AF{t, х, и), (А — матри-

ца, /-я строка которой есть а/) такие, что справедливы соот-

ношения

а) a?i>0 для всех

k(*{\,

2, ..., q) и a

-=0, если &#/ и

'I{u

{-))>r

;

5—4150 65

6) pit) решение системы p(t) = -'*«.**«)>£«). m «)--

в)

#(*,

л:

(0, м

(^). /К'). cL)>M(t,

(t),

и, p{t), a)

для всех «б/?™, удовлетворяющих требованию ||а||<р;

г) функция M(-):\t

, Г]-»-./?

такая, что

M{t) = ffl{t,

(t),

(t), p{t), a)

непрерывна на [t

, Т\ и удовлетворяет на каждом интервале

непрерывности а

(t) уравнению M(t) = Q

—••

Если предположить, что а неотрицательный вектор, то тео-

рема остается справедливой [367] и при отсутствии требования

а).

Эти результаты доказаны в [367] на основе леммы, анало-

гичной 6 из § 1, но сформулированной с учетом определения.

Л-оптимальности.

Предположим теперь, что в (10)—-(11) функции f(t, х, и)

и F

{

(t, х, и) непрерывны, /(/, х, и) непрерывно дифференцируе-

ма по л: и

Фг

компоненты u{t) также кусочно непрерывны,

при всех tG[t

T] имеет место u(t)eU — компакту в R

; порож-

денное u(t) решение (10) определено на [t

, Т], x(t

)=Xo,.

х(Т)=х*, где х

и х* заданы, а*момент Т заранее не фикси-

руется.

Теорема [98]. Пусть

—многогранник, а Л* порождается

набором векторов {а

..., а

}, обладающих следующим свой-

ством: для произвольного ЯбЛ существует хотя бы один вектор

{a>ik>-

•

•> <2;v

}6{ai»..., a

) такой, что хотя бы одно из

следующих неравенств (к, ak)<0, &=1,...,с7, строгое. Тогда,.

для того, чтобы u

(t) былоЛ-оптимальным

(t),

<*<7\

—

соответствующее решение (10)), необходимо существование та-

ких ^-мерного вектора r = {r

..., r

}

множителей а

>0, ak.

(k = \ q), функций

Pj(t),

./=1-...,

п, необращающихся

одновременно в нуль ни для какого t£[t

> T], и функции

Tf(t, х, и, р, a

p'f(t,

х, и)-|-

Я k q N

+ 2

*2к

/г

(^ •*»«))+«о22^(/,

х,

и),

k = l r=l k.=-l i^\

что (выполняются условия а)—г) предыдущей теоремы. Доказа-

тельство основывается на лемме типа 4 из § 1, но формулируе-

мой для Л-оптимальиых решений [96]. Таким образом, приве-

денные теоремы сводят задачу отыскания Л-оптимальных на-

боров программных управлений для игры (10)—(11) к задаче

оптимального управления с изопериметрическими ограниче-

ниями.

В.

И. Заботин отметил, что приведенная выше теорема из-

[67] может быть перенесена на случай Л-оптимальности, если

конус Л выпуклый, заостренный и с непустой внутренностью.

Достаточные условия Л-оптимальности имеют простой вид

[367]:

если выполнены ограничения А) и хотя бы одно из двух

следующих условий: 1) существует X{in}IntA* такое, что

V/(a

(-)) = maxX'/(a(-)); (38)

и(-)б&

2) существует Я6Л*, 'кф0 такое, чтоu

(t)

—

единственное реше-

ние задачи (38), то набор программных управлений и

(t)

яв-

ляется Л-оптимальным для игры

(10)

—(И).

Приведенные результаты получены на основе введенных Ю

в [360—365] понятий «конусная выпуклость», «структура доми-

нирования», «конусные крайние точки» и формулируемых с их

помощью определений решений: «недоминирующее решение»,

«Л-оптимальность», «групповое сожаление», «компромиссное

решение». Эти понятия использованы в [360—368, 178] при ана-

лизе многокритериальных экстремальных задач © абстрактных

пространствах. Результаты затем применены к многоцелевой

задаче оптимального управления. Такой переход от исследова-

ний многокритериальных задач в топологических пространствах

(М,

И. Гусев [48, 49], В. И. Заботин [67—69], И. А. Корниен-

ко [80—81], Да Кунха и Полак

[215],

Геринг и Асанз

[234],

Джеффри

[236],

Нойштат

[309],

Фишбурн

[231],

Ван [357]

и другие) к задачам оптимального управления с векторной

функцией выигрыша — обычное явление при анализе последних.

Некоторые аспекты теории полезности к играм (10)

—

(11)

применил Стадлер

[342].

Достаточные условия оптимальности

в этом случае включают в себя как ограничения на компонен-

ты игры (10)

—

(11), так и на функции предпочтения. В [342]

получены также требования к функциям полезности, при кото-

рых оптимальность по отношению предпочтения переходит в

оптимальность по Парето. Различным способам введения по-

рядка и соответствующим способам минимизации векторных

критериев посвящена статья В. В. Гороховика [37].

8.3.

«^-оптимальность. Определение ф-оптимальности, обоб-

щающее понятие Л-оптимальности, введено А. Б. Куржанским

и М. И. Гусевым в [50. 272]. Приведем их подход. Пусть

ф:/^->(

—

оо , -+-

оо ] —

выпуклая функция, ф(0) = 0 и

Ф(/(1)_|_

(2))

<ф

(

1))_(_

(

(2)>

))

v/(

/(2)

Определен в R"

порядок: / .-МЛ

)*^ (/(-) —Л

))<0. Задано множество наборов

управляющих воздействий % и функции выигрыша (И)

(/:%->

Определение. Набор управляющих воздействий И*[-]6ЭД на-

зывается ф-оптимальным для игры (10) —(11), если для каждого

и[-\Ь%

из /(и!•])--=/(и*И) следует

/(«[•])-=./(Й*[-]),

где d

—

отношение порядка, порожденное функцией ф.

Если {/6-^

ЛГ

|ф(/)<0}==Л—выпуклый конус, то ф-оптималь-

ное решение игры (10) —(11) является Л-оптимальным. Пусть

%— П%

заданы выпуклые функции

~^-{—

оо, 4-°°Ь

f=.i

i = 1,..., N, определяющие /V отношений порядка (% опреде-

ляет отношение предпочтения для /-го игрока, выбирающего

управляющее воздействие w

[-]6%). Обозначим #.v\i

—••{&!>•

•

..., a-_!,

{cdot}a

i,....

Myv}- Пусть -%<-)(aw\i[-])-множество ф

-опти-

мальных управляющих воздействием i-ro игрока при фиксиро-

ванных m\i\-\e%N\i.

Тогда набор управляющих воздействий u

\-\ называется

ситуацией равновесия для игры (10)

— (11),

если для всех

iG{1.2,...,

/V} имеет место включение

и*

[ • ]

(i)

(«Jvv

-" D"

Если {/,|ф(/)<0}==Л, и Л, = {/ | /

- <0, у = 1-..., Л^}, то

множество ситуаций равновесия содержит все оптимальные по

Млейтеру решения игры

(10) — (11).

А. Б. Куржанский и

С. И. Гусев в [50, 272] получили условия, при выполнении ко-

торых ситуация равновесия существует. Но прежде приведем

определение: отображение I выпуклого множества % в R

на-

зывается Л-вогнутым на %, если для любых

U.W

[•](*%

uW[-]e% имеет место I (ки^ {•]-}-(1-1)а^[-])ЬХ1 {а^

{•])-[-

(+1

—

Х)/(и<

)[-]), где -^

—

отношение порядка в R

\ порож-

денное выпуклым конусом

Л-•{/6-^

ЛГ

|Ф(/)<0}.

Теорема. Пусть

°Ui

— выпуклое компактное подмножество

отделимого локально-выпуклого пространства Ei с сопряжен-

ным _г*, топологии в £j и £.* порождены действительной кано-

нической билинейной формой

<«,.[•],

«**[•]

(и*[-]

-*,

и**['-]--

б._{*), Л*= {/|ф-(/)<0}—выпуклый замкнутый конус, не явля-

ющийся подпространством. Если /(«[•]) непрерывна на Ш и

Лг — вогнута по щ[-] на -2/- для i= 1,..., N, то множество си-

туаций равновесия не пусто.

В [50] установлены необходимые условия существования си-

туации равновесия и рассмотрено применение результатов к

векторному принципу двойственности игровых задач управления

и наблюдения для линейных систем, доказано существование

ситуаций равновесия при различных способах свертывания кри-

териев.

§ 9. Подход Л. А. Петросяна

Излагаются основные результаты и подход Л. А. Петросяна

•к отысканию решений кооперативных дифференциальных игр.

9.1.

Характеристические множества. Будем предполагать,

•что система (10) имеет вид

и при любых начальных условиях х

)

£R

и любом

наборе измеримых программных управлений

•

{щ (fy,

...,

(t)},

<z.<7\

эта

система имеет единственное, продолжимое

на

отрезок

, Т)

решение

x(t), x(t

) = x

Каждый

/-й

игрок

ограничивается кусочно-программным управлением u

(t),

т.е.

парой (<2i, cri),

где

—-

некоторое разбиение отрезка

, T\

точками t

t[<C.

... <Ц = Т и

ai —отображение, ставящее

в соответствие моменту времени ^6cri

состоянию x(t

) про-

граммное управление

(t) при

--б[/

k+l

Функция выигрыша

/-го игрока определится

(и(-))

(х(Т))=~9(х(Т),М

i = l,...,N, (40

где .Mi—некоторая заданная точка

. Итак,

i-й

игрок

заинтересован

максимальном сближении

точкой

момент

окончания игры

(р

(х,

у) — евклидово расстояние между точ-

ками

х и у).

Пусть

)—множество достижимости сис-

темы

(39).

Введем вектор (дележ) Ф(х(Т))

{Ф

...,Ф.у}

множество

(х

)

{у\Ф(у)е^

{й

(х

), уеС

/о

(х

)},

где

подмножество

(хо)аФ(Г)

{Ф{у)\увС

(

°(х

)}.

зависи-

мости

от

способа задания подмножества L

) получаем

те

или иные критерии оптимальности

дифференциальной игре.

Траектория -х(г^) системы

(39)

такая,

что

x(t

)-^x

, х(Г)=у,

y£H

названа

[ИЗ]

оптимальной траекторией,

соответ-

ствующий набор программных управлений

u{t)

—

оптимальным

набором управлений.

Аналогом характеристической функции, используемой

в кооперативной теории Неймана

—

Моргенштерна, являются

введенные

Л. А.

Петросяном

[113]

характеристические мно-

жества коалиций

V (К),

построенные

для

любой коалиции

•^!_{Ь

.-..А/}.

Они

определяются следующим образом:

(0)

—

(0—пустое множество),

1/(1,2,

...,Щ =

{Ф(х(Т))\х(Т)еС

{

°(х

)}-

при любых

К=?={\,

:..,N}

К=^=0 рассматривается вспомо-

гательное семейство антагонистических дифференциальных

игр

(39) —(40),

которых коалиция

•

выступает

как

максимизи-

рующий игрок (иквЧ1к)>

коалиция

N\K

выступает

как

минимизирующий игрок (UN\K£%N\K)- Плата такой игры задается

функционалом

, u

) = ~g(x

(Г),

у), где

у£С

~'°(х

Пусть Yt

(K)

= {y\

va\JR(x

UJV\K)

= 0}.

Определяются затем

характеристические множества коалиций:

(к)={Ф

(х

(Т))

\x(t)=

evt

(К)}.

Характеристические множества коалиций обладают следующими

свойствами:

1) V(0)

= 0,

2) V(Kx[)K2)=>V(Ki)[)V(K

)(Ki(]J<2=0)'

3) V(K)czV{\, ...,N) для всех

К, K

<=:{\,2,

..., N}.

Дележ Ф

(1)

доминирует дележ Ф

(2)

по

коалиции /С(Ф

(1)

с-;Ф

(2)

если Ф

{1)

£У(К)

Ф!

>Ф!

для всех iQK. Дележ Ф

(1)

домини-

рует Ф

{2)

(Ф

(1)

Н1?

(2)

), если существует такая коалиция

К,

что

ф(1)с_ф(2)

Множество дележей

Р,

недоминируемых по коалиции

{1,2,

...,Л/} всех игроков, называется множеством дележей,

оптимальных

по

Парето. Ортогональная проекция

точки

£6со {М

...,

MJV}

на

)

определяется равенством

p({xi},

^----min

(<|, |'),

ортогональная проекция множества

М на

~*°(х

)

(обозначаем W) состоит из ортогональных про-

екций на

(

°(х

)

всех точек из

М.

9.2. Основные результаты. Геометрическую структуру

оптимального по Парето множества дележей устанавливает

Теорема (Н. Н. Данилов [54,55]). Пусть множество

г_

'°(х

) выпукло, тогда

P = {<b{x{T))\x{T)&W).

Множество

LczV{\,

...,

N} называется НМ-решением, если,

во-первых, никакие два дележа Ф

(1)

(2)

б_

не

доминируют

друг друга,

и,

во-вторых, каков бы ни был дележ <&'(&£, всегда

существует дележ Ф"6.£ такой, что Ф^НЗУ. Пусть

дС

(х

) —

граничные точки множества C

Теорема (Л. А. Петросян [ИЗ]). Для того, чтобы

игре

существовало НМ-решение, достаточно, чтобы

(N\i)

дС

(х

)

= 0

при всех

= l, 2, ..., /V.

этом случае

множество

оптимальных

по

Парето дележей совпадает

с НМ-решением.

Если система (39) линейна:

x^A{t)x-\-^Bj{t)tt

(41)

j-i

матрицы A(t),

Bj(t)

непрерывны

ufiUj

—

выпуклому компакту

в R

J, то Н. Н. Данилов [55, 57[ установил следующий факт:

чтобы

игре

(40) — (41)

существовало НМ-решение, достаточно,

чтобы выполнялось неравенство

max [l'X(t,x)B

(x)u

(x)dx-{-l

l'X(t,t

для всех

/---—

...,N и

по всем векторам

||/||—=1,

соответ-

ствующим множеству

W. В

этом случае НМ-решение совпа-

дает

с Р.

Достаточное условие существования С-ядра и его совпаде-

ние с множеством Р оптимальных по Парето дележей получено

Л.

А. Петросяном в 1114].

В приведенных работах авторы исследуют и устойчивость

решений. Решение _ ~

) называется устойчивым, если для

любого yQH^~

) и _любой оптимальной траектории _х (t)

такой, что x(t

) = x

, х(Т)=у, имеет место у£{]Н

~* (x(t)),

•где

~*(ху))*±{у\Ф(

)е1

-*{Ji(t)),

уес

-'(х(щ-

Если в требованиях приведенных двух теорем заменить t

.на

tG[to,

T] и

на x(t), то множества-решения окажутся устой-

чивыми [113, 114]. Устойчивость решения гарантирует разум-

лость движения вдоль оптимальной траектории x(t) в каждый

.момент времени, поскольку при всех tS[t

T] дележ в конечном

состоянии у продолжает удовлетворять критерию оптимальности.

Связь приведенных результатов и аналогичных для кооператив-

ных дифференциальных игр с функциями выигрыша Ф{(х(Т)),

где <bt(x) непрерывны, а множества С/.,- компактны, установлена

Н. Н. Даниловым в докладе [56].

§ 10. Использование формализации дифференциальной игры,

предложенной Н. Н. Красовским

В этом параграфе излагаются результаты В. И. Жуковско-

го,

основанные на математической формализации движений сис-

темы (10), представленной в монографии Н. Н. Красовского и

A. И. Субботина [83]. Введены понятия оптимальности по Паре-

то (п. 10.2), по Слейтеру (п. 10.3), среднеквадратичного

(п.

10.4) и арбитражного (п. 10.5) решения игры (10) — (11) с

учетом указанной формализации движения системы (10). До-

казано, что арбитражное (при специальном ограничении) и

среднеквадратичное решения являются одновременно оптималь-

ными по Парето, последнее в свою очередь оптимально по

Слейтеру. Показано существование названных решений (п. 10.6)

и характеристической функции игры (п. 10.7). В п. 10.8 введено

понятие дележа и доказана стратегическая эквивалентность

дифференциальной игре в 0—1 редуцированной форме. В заклю-

чение (п. 10.9) и (п. 10.10) на основе теории динамического

программирования предложен подход к отысканию «справедли-

вых» дележей. Приведен иллюстрирующий пример, где найден

набор позиционных управлений игроков, реализующий выигрыш

игрокам, диктуемый вектором Шепли. Параграф написан

И. Жуковским.

10.1.

Определение движений. Пусть изменение позиции

{t, x} происходит в соответствии с системой (10).

а) Предполагаем,

что

xeR

;

u£Q,

множество Q

—

компакт

;

функция f(t,x,u) непрерывна;

каждой ограниченной

об-

ласти

пространства

{t,x} для

всех

it,

хЩ

и И,хЩ из G и

всех

w{in}Q существует K

=Const > 0 такая,

что

\\f(t, xW,a)-f(t, х1

\и)\\<Ьо\\хМ-хМ\\;

при всевозможных значениях аргументов

||/(zf, х,

и)

j|<

<х(1

+||

Л:

II),

ч —

Const; фиксированы начальная позиция

, х

}

и момент T>t

окончания игры.

Наборы позиционных управлений игроков

,...,U

}

отождествим

функциями

u(t, x)

—

(t, х),...,

(t, х)},

стес-

ненными лишь включением

u(t,x)GQ

(42)

(используем обозначение

U-±-u{t,

x)).

Движения системы

(10),

порожденные набором позиционных

управлений

определим таким

же

способом,

как в [83].

Имен-

но,

покроем отрезок [t

конечной системой

полуинтервалов

Tj<tf<ty

(У

1,...).

Ломаная Эйлера

[t]

Хд

[t,

U] определяется

как

решение уравнения х&Щ

=f(t, x&[t],

a(tj,

x&lXj]))(tj<t<x

J+l

; y'-=0,

1,..) с

началь-

ным условием

x&.[t

] —

xW.

Движением

x[t]

системы (10), порож

денным набором позиционных управлений

U из

позиции

, х

}

называется всякая функция

[t],

для

которой найдется после-

довательность ломаных Эйлера, равномерно сходящаяся

в-

C[t

,T]

к x\t] при

условии limsup^tW.-Tj.

)) = 0, {XW}-+XQ.

Й->оо

Возможность использования игроками

качестве управляю-

щих воздействий любых функций Ui(t

x)GQi

(не

стесненных

ка-

кими-либо дополнительными ограничениями) расширяет воз-

можности игроков

кооперативной дифференциальной игре,

В этом

состоит,

на наш

взгляд, особое преимущество

пер-

спективность

(в

частности,

для

кооперативных

игр)

формали-

зации дифференциальной игры, предложенной

Н. Н.

Красовским.

Функцию выигрыша

i-ro

игрока определим

виде

h(x[t], 4><*<Г)=Ф*(*[-П).

i^l N. (43)

б) Пусть функции Ф

-(л;), i=l,..,,

непрерывны.

этом параграфе всюду предполагаем,

что

ограниче-

ния

а)—б)

выполнены.

10.2.

Оптимальность

по

Парето. Набор позиционных управ-

лений

назовем оптимальным

по

Парето

для

игры

(10),

(42)

—

(43),

если

не

существует набора позиционных управлений

такого,

что для

некоторого (хотя

бы

одного) движения **[f]G

£{x[t,

хо,

£/

]},

U^t^iT,

имеет место система неравенств

min<Di(x[7\

,U])>®i(x*{T]) (i-=l,...,iV),

(44)

причем хотя

бы

одно

из

неравенств строгое.