Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (кооперативный вариант)
Подождите немного. Документ загружается.
N
N
2
aft
(*,
х-
(0,
и*
(*))
—
^
«i-Fi
(Л
л
(*), и
(*))
-
i = l i==l
-^[И-9(*
п
Ю-*<9)1>0,
Справедливое
для
почти всех t£[t
Q
,
Т].
Интегрируя
его и при-
влекая
(26),
имеем 2
a
i-"( (
цП
('))>^
a
i^i(
u
(*))»
чт0
*
в
СИЛ
У
i=,l
i-=l
леммы
1, и
означает паретовость набора и
п
(t).
Доказательство последующих утверждений проводится ана-
логично,
но с
использованием следующих свойств вогнутых
функций: линейная комбинация вогнутых функций
с
неотри-
цательными коэффициентами есть функция вогнутая
и,
если
функция
щ(х)
вогнута
и
непрерывно дифференцируема,
то
Ф*
(*(->)
-
ф
А
(*
(2)
)
<
[grad 9k
(хЩ'
(*<->
- xW).
Предположим,
что F^t, x,
u)=z=0,
i
= l,.. .,N, в (И).
(Этого
можно достичь, добавляя
к
системе
(10)
новые
/V
уравнений
вида
y
i
= F
l
(t,
х,
и),
yt(i
Q
)
=
0,
i
—
\,...,N, а
вместо функций
выигрыша
(11)
рассмотреть
1
1
(а(-))
=
Ф
1
(х(Т))-\-у
1
(Г).
Итак, пусть
Л(я(0)
=
Ф|(*(Г)),
i = h...
t
N,' (27)
и множество
/14
является,
при
фиксированном
Т,
гладким мно-
гообразием
в R
n
,
полученном пересечением
р< п
гладких
по-
верхностей. заданных уравнениями
Ф
/
(х)
=
0,
/ = 1,...,р. (28)
Здесь функции
q>j(x)
непрерывно дифференцируемы
и
матрица
—- имеет максимальный ранг
для
всех
х,
удовлетворяющих
<28).
Теорема
[278].
Пусть функции ср
у
(х),
j =
l,...
t
p, вогну-
ты.
Тогда набор программных управлений
u
n
(t)
(соответствую-
щее решение
(10)
обозначим
х
и
(t))
оптимален
по
Парето
для
игры
(10), (27),
если существуют:
1)
наборы постоянных
а^={а
х
ау-Лб./^, vG/?-
3
, причем ai>0, t=l,..., /V,
и
N
2
a
i
=
-
->
2)
абсолютно непрерывная функция X(-):\t
Q
;T\-^R
n
,
для которой
N
где
Ф
(х)
= 2
a
t®t
(
x
)
такие,
что
имеют место соотношения
3-4150
33
V(t)f{t*x,tt)-X'{t)f{t,x
n
{t),if{t)) + V(t)lx--x
n
(t)\<(>
дли всех x6R
n
, u£R
m
и почти всех te[t
Q
, T];
^—-—^——(jc
—
.x
n
(r))>0
для всех x£R
n
.
При дополнительных ограничениях из приведенной теоремыг
следует 1278] утверждение: пусть функции Ф
г
(х), f(t,x,u) и
Ф
у
(х) при каждом
*б
[-.о-
Т] вогнуты. Тогда набор программных
управлений u
n
(t) (соответствующее решение "(10) обозначим
х
11
(t))
оптимален по Парето для игры (10), (27), если сущест-
вуют: 1) наборы постоянных o£R
N
, vg/^, причем ai>0
(i=-l,.. .,.V)>
2
CC
--
==1
и
v
y
>0 (y'=l-...,/?); 2) абсолютно не-
прерывная функция А,(-):[^
0
; T]-*-R
n
, удовлетворяющая условию»
где Я
&
(0>0 для всех *6[-*-0'-П>
&
= 1,...,
пг,
и
V
(Г)
= [grad
Ф
(х
п
(Т))}', +
V
—_-g—_L
I
здесь,
как и в предыдущей теореме, Ф (x)=^a^
i
(x)\, та-
кие,
что имеет место неравенство
V(t)
a/tt.«-P)..--(0)
[и
_
иП(<)1<0
для всех «{in}/?™, лб-
1
?" и почти всех г?6[^
0
> У].
Предыдущие две теоремы базируются на лемме 1. Анало-
гичные утверждения следуют из леммы 2, однако компоненты
вектора а здесь уже могут быть неотрицательными. Например,.
аналогом предыдущей теоремы в этом случае является
Теорема
[278].
Пусть функции Ф
1
(х) вогнуты. Тогда на-
бор u
n
(t) будет оптимальным по Парето для игры (10), (27),
если существуют: 1) постоянные векторы a£R
N
, vQR
p
, причем
N
ai > 0
(i
= 1,..., N) и ^_
ai
=
1;
2) аб солютно непрерывная функ-
ция
Я(•):[tf
0
,
T\->R
n
, для которой
Х{Т) =
1&&йФ{х
и
<Т))]'+у'
^
(Г))
,
такие, что для всех наборов программных управлений a(t) вы-
полняются неравенства
К (t)f{t, x(t),u{t))-K (t)f(t, x
n
{t)
t
t?(t)) +
+ V(*)lxlt]
—
x
n
(t)]<0
34
для почти всех t£[t
0
,
Г],
строгое неравенство имеет место
на
подмножестве
из
[t
Qi
T]
ненулевой меры,
и
V
' д
Ф
(^(Т))
(JC (Т) —
х
и
(Т))
>
0.
Здесь х(t)(х
п
(t)), *
0
<*<7\-решение системы
(10),
соответ-
ствующее набору u(t)(u
n
(i)).
б) Позиционные управления. Предполагаем,
что
функции
f(t, х, и), Ф
1
(х) и Fi(t, х, и) в
(10)-(11) непрерывный
a
u
t
(t, x)
измеримы
по
Борелю, Ui[t]&i(t,
x(t)),
i
= l,.. ,/V,
для всех t£\t
0
,T]; здесь
x{t)
—
решение
(10) при
u
= u(i, x),
(t,
x):[/
Q
,
T\xX-+R
mi
—
заданная многозначная функция
x(t)£XczR
n
при
всех te[t
Q
,
T\.
Способ формирования решений
x(i),
£
0
<J?<7\ системы
10).
порожденных набором позиционных управлений, пояснен
в
первой.
части обзора
[151],
посвященной бескоалиционному варианту
игры.
Пусть задано 23-счетное разбиение множества
Х:Ю
=
=
{Xi,
je^\Xi(]X
k
= 0, [}Xj = X;
£—-счетное множество'
индексов}.
Непрерывная функция
V(t, x),
определенная
на
[t
Q
,
Т] X
X,
называется непрерывно дифференцируемой отно-
сительно 33, если
для
каждого
J£X
существует пара {Wj(t,
x),.
Y
J),
такая,
что
открытое множество
Y/ZDXJ, a W
f
(t,
x):[t
Q
,
Т]Х
XYj-+R
l
есть функция класса
С
1
; при
этом
ее
сужение
на
1*о»
-ИХ-
5
-"; совпадает
с V(t, х), т. е.
Wj(t,x)
= V{t, x)
для *el.*o.
-П»
xeXj.
Теорема
[2781.
Если существуют
1)
набор положительных
постоянных
а-, а
2
.. .,a
N
; 2)
счетное разбиение 33 множества
X
и функция
V
{t,
x),
непрерывно дифференцируемая относительно
3);
3)
набор позиционных управлений
u
n
(t, x)
(соответствующее
решение
(10)
обозначим
x
n
(t)),
такие,
что V
(Г, x)=J^a$
l
(x)
N
при
{Т, х}£М
(определено
в (3)); при
всех
xQX
jt
u^TLu^t,
x),
Щ*
0
,
Т] и )еЯ5
2 «л с. *.
«)+(
а
—-^—)'/(-.
х.
и
)+
Щ^л<о
i==1
и
для
всех
/6.2J
N
2«i^(^
-*
п
(о- я
п
м)+(
аУ/(
1'/
Д(0)
)'/(t,
x"(t),
g
"M)+
dWjjt,
*"(Q) _
0
'
dt
3*
35
почти всюду на Т], где u
n
[t] =
tL{t,
x
n
(t)) и
T*j={te\t
Q
,
T]\x
n
(t)eXj},
тогда набор позиционных управлений u
n
(t, x) оптимален
по Парето для игры
(10)
—(11).
Доказательство следует из соответствующих результатов
Сталфорда [344] в теории оптимального управления. Им же
получено [343] аналогичное достаточное условие оптимальности
по Парето.
Перейдем к случаю гладких позиционных управлений
Ui{t, х),
i=\,...,
N, (функции Ui(t, x) непрерывно дифферен-
цируемы). В этом случае ограничения предыдущей теоремы
можно ослабить. Именно
[278],
если существуют: 1) набор
гладких позиционных управлений u
u
(t, х) м непрерывно диффе-
ренцируемая функция V(t, х); 2) набор положительных посто-
янных «ь
а
2
,...,
ах, такие, что
и
У(Т,х)=^а
1
Ф
1
(х), VxeR
n
;
для любых х$Х, u£R
m
, te[t
Q
, Т]
N
2 <**-*•/('•*•
«)
+ (^)7(^*.я)+_^<0,
Г Г N
I 2 «^
<*»
*
п
ю-
"
п
in)+(^(^(0)
р
{i>
х
п
(0>
и
п
[t])+
.1=1
. dV(t, x
n
(t))
dt
dt = Q
(как и выше u
n
[t] = u
u
(t, jc
n
(£)), x" (t)
—
решение (10)
при а=и
и
^, х)), то набор управлений ti
u
(t, х) оптимален по Парето
для игры (10) —(11).
Последнее равенство интегрального типа в [63] заменено
частным, но более удобным для решения конкретных задач:
N
2Х/М*. *, tt
n
(*,x))-+(
dV
^
x)
)'f{t, х, u»(t, х))+-
I дУ.у, х)
0
-t-
dt
_u
для всех x£R
n
и t£[t
Q
, T].
В работе Прасада и Сарма [317] и тезисах докторской дис-
сертации Прасада [316] сформулированы необходимые условия
выполнения (12) в классе «почти» гладких позиционных управ-
лений игроков.
Отметим также достаточные условия из форме условий аб-
солютного минимума В. Ф. Кротова и метод выбора решения,
основанный -на равенстве относительных потерь составляющих
скалярных критериев, предложенный И. А. Корниенко [81].
Некоторый подход к оценке влияния значений коэффициентов
36
ал на динамические свойства оптимальной системы рассмотрен
А. И. Максимовым и В. Ф, Филаретовым [90].
1.5. Теоремы существования. Существование оптимального
по Парето набора управляющих воздействий и
п
Щ
для игры
(10) — (11)
легко установить следующим путем. Рассматривается
N
задача оптимального управления: max Zj
a
Ji
(
и
\'))
П
Р
И
ограни-
чениях ai>0,
i
= \ и (10). Применив затем любой из многочис-
ленных результатов по существованию оптимального управления
в указанной задаче [27], получаем ограничения на функцию /
в (10), класс управляющих воздействий и функционал
N
ai/i(#[-]), гарантирующие существование оптимального управ-
ления, и, следовательно, в силу леммы 1, существование опти-
мального по Парето набора управляющих воздействий для игры
(10)
—(И).
Остается затем выяснить, каким условиям
1
должны
удовлетворять функции выигрыша l
t
(11), обеспечивающие
N
выполнение принятых ограничений на 2J
a
JI
П
Р
И
хотя бы одном
i
--=i
наборе положительных чисел ai, i=l,
...,N.
Таким путем,
например, Штерн и Бен-Израель [348] доказали существование
оптимального по Парето набора программных управлений в диф-
ференциальной игре
x = A{t)x-\-B(t)a,
t
Q
<t^.T,
x(t
0
) = x
Q
,
т
I
t
(a)
= [х
(Т)-t
t
]'W
t
[х (Г)-h\+l {[x
i
(*)-
и
- С
-
(0 х
(t)YQi
(t) [*,
(Л
- Ci (t) x
(*)]
+
+ b
l
(t)\\u
l
{t)\\*}dt
(i
=
\,...,N).
Здесь xGJR
n
t
ueR
m
, элементы матриц A(t), B(t), Ci(^), Qi(rf)
и функции x
t
(t),
b
L
(t) непрерывны, матрицы W
t
и
Qi
(t) сим-
метричны; я-векторы li \i x
t
(t) заданы; матрицы W
t
и Q
t
{t)
определенно отрицательны, а &i(£)<
—
6.
o—-Const>0; компо-
ненты вектора u(t) измеримы по Лебегу и ограничены на [^
0
, Т].
Аналогичное сведение к задаче оптимального управления
использовано при конструировании вычислительных алгоритмов
для отыскания оптимальных по Парето решений (Бамба
[174],
Сейдж
[323],
Сакава
[324],
Крикелиз
[270],
Салама и Гури-
шанкар
[331],
Меданик и Анжелик [302]) применение штраф-
ных функций
—IB
[227].
Теоремы существования Дас и Сарма
[220],
Олеха
[310],
Чезари и Суриянараяна
[202],
А, Е. Радиевского
[130],
2
37
М. И. Гусева [48, 49] доказываются на основе определения
в (п. 1 из
§
1) оптимальности по Парето
и
привлечения аппа-
рата выпуклого анализа.
Приведем результаты М, И. Гусева. Рассматривается
управляемая система
x = A(t)x +
B(t)u+w(t),
(29)
где x^R*, ttQR
m
;
A(t) и
В
(t) —
непрерывные матрицы, w(t)
—
интегрируемая
на
[t
Q
,
T]
функция, допустимое управление
и
(t) —
элемент банахова пространства измеримых, суммируемых
с квадратом вектор-функций из
L
2
m
таких,
что при
всех
*Gl*o» Т\ значения и
(t)QU—выпуклому
компакту
в
R
m
,
а
отве-
чающее u(t) решение
x(t)
системы
(29)
удовлетворяет кра-
евым условиям
x
(t
Q
) =
x
Q
,
Qx{T)№
и фазовым ограничениям
Рх
(t)e&>
при te\t
0
, Т];
здесь
$>
и
М
—
выпуклые замкнутые множества
в
RP
И
R
q
>
соответственно, Int^-^0,
Р и
Q—постоянные матрицы
порядка pXft и
qXn-
Задано
N
функционалов
т
-Л(«)
=
]>*(*, к).4*,
i
= \, ...,7V,
.-•
где F
t
(t,
а) — измеримые
по
t,
выпуклые
по и при
каждом
*6[*о.
Т\ функции, определенные
на
выпуклом множестве
%
таком, что Uczlnt%,
и
равномерно ограниченные
по t
на %.
Вводится функционал
т
W(X,A,
I,
y)
=
[
max {k'F (t,
и)
+
s (х)
В (г)
и} dx
-f
to
v
-
Г
+ var 9 A -
Л
(*))-[-
?м
(-
0
+
J <*A' (t)e
l
(t) + t'e
2
-X'y,
где y£JR
N
, X
—
вектор из
R
N
с
неотрицательными компонентами'
F(i,
u)
= {F
1
(t, и), ..., FNV,
и)};
s(x)
— решение
системы в рас-
пределениях
^=-
S
A(x)~^P-L'Q6(t--T),
(30)
удовлетворяющее краевому условию s(x)= 0, т>7 (s-«.-
вектор-строка); Л(£)-вектор-функция ограниченной вариации
на [^
0
, Т], которую будем рассматривать
как
элемент про-
38
странства С*
р
; pr(/)—=sup < f,y) —опорный функционал
WczS, /6S*, S*
—
сопряженное к 5 пространство; l£R
q
;
t
ei (t)=*P
X{t,
t
Q
)x
Q
+ §X(t, x)w{x)dx
*
0
<*<7\
e
2
=
Q
X(T,t
Q
)x
0
+ $X(T,x)w(x)dx
a X(t, t) —фундаментальная матрица системы —
д
' =
-=
A (t) X(f, x) (X (t, t) = E
— единичной
матрице). Существова-
ние оптимального по Парето решения устанавливает следующая
Теорема [49]. Допустимое управление существует тогда
ги только тогда, когда выполняется равенство
inf Ф(0. Л('). *.
0)
=
0.
Если
и*
(t)—допустимое
управление,' то существует оптимал
иое по Парето управление
ti
n
(t),
такое, что /i («"(•))>
>/,(«*(•)), t = l, ...,/V.
Теорема [49]. Если управление u
n
(t) оптимально по
Парето, то
1Я,
П
1'
F (t, u
n
(*))
+ s
n
(t)
В
(t)
if
(t)
=
=max{[X
n
YF(t, a)+
s
n
(*).S
(*)«},
t
0
<t<T,
я отвечающее u
n
(t) решение x
n
(t) системы (29) удовлетворяет
соотношению
т т
\dA
n
'(t)Px
n
(t) = min f dA
n
'(t) z (t),
l
a
'Qx
n
(T)=minl
n
'y,
где
s
n
(t),
£
0
<£<Г,— решение системы (30), полученное при
A(t)~A
u
(t),
1 =
1",
а Х
п
, Л
п
('), I
й
образует нетривиальное
решение задачи
ЫУ(%, Л(-М> F) = 0
•лри F=F(u
n
).
Эти результаты доказаны М. И. Гусевым [49] на основе
выведенных им необходимых и достаточных условий разреши-
мости и необходимых условий оптимальности (в форме 'пр>ин-
ципа максимума) для задачи на минимум выпуклого операто-
ра при ограничениях в форме операторных неравенств.
39
Задачу управления ансамблем траекторий .в случае одно-,
временного быстродействия .в окрестность заданного терминаль-
ного множества и .минимума этой окрестности рассмотрел:
А. Б. Куржанский в монографии [85]. Им исследованы свой-
ства области значений выигрышей при оптимальном по Парето
наборе программных управлений для линейной системы урав-
нений (10).
1.6. Линейно-квадратичные игры. Предположим, что сис-
тема (10) линейна
N
x = A[t)x + ^Bj{i)u
P
(31>
;
а функция выигрыша i-ro игрока квадратична относительно
вектора состояния х и управляющих воздействий и/.
1г(Щ,
Ujr)
= X'{T)C
t
X(T) +
+ Ux'Q
i
(t)x+%uft
i
j(t)u
J
Ydt (i=l,...,N). (32)
h
У
У-1 J
Предполагаем, что элементы матриц A(t),
Bj(t),
Q
t
(t) и
Rij{t) непрерывны, Ci постоянны, матрицы Ci, Qt(t) и R
if
t)
симметричны. Позиционные управления г'-го игрока, i=\, ..., N,
ограничим функциями вида a
t
(t, x) = P
i
(t)x> где элементы
матрицы P
t
(t) непрерывны яа
[t
Q
,
T].
Справедливо утверждение [63,346]; если при некотором;
наборе постоянных a
l5
...,ajy таких, что ai>0, система
уравнений
N N Г N -1-1
0
=
_eA—^e—2«
/
-Q
/
-+e2-5£ 2
а
Л
У-1
1=1
U-1
_;е=а
N
B(T)^a
t
C
h
i=i
имеет продолжимое на интервал
[t
Q
,
T\ решение Q(t), а квад-
ратичные формы u'
t
^
o-jRji)
Щ
определенно отрицательны, то
набор позиционных управляющих воздействий u
n
(t, x) =
=
{u^(t,
х), ...,u
n
N
(t, x)} оптимален по Парето в игре
(31)-(32); здесь
N
uy(t,
х)
=
2<v?
ji
L;-i
B'fix,
i=l,
...,N.
В [170] исследуется зависимость Q(t) от t
0
(при t
Q
->—оо)
и от параметра. В работе Штерна .и Бен-Израель [348] рас-
40
смотрен алгоритм нахождения оптимального по Парето реше-
ния игры (31) —(32) с помощью штрафных функций.
Метод оптимизации и построение множества значений функ-
ций выигрыша на оптимальных по Парето решениях предложен.
Б.
В. Гороховиком и М. П. Дымковым [43] и М. П. Дымковым.
[61].
Линейные задачи также рассматривались в работах Ка-
цутоши
[263],
О.ри
[247],
Андерсона и Летеша
[277],
Лозера
и Вольза
[276].
1.7. Принцип оптимальности и равновесные ситуации, опти-
мальные по Парето. Метод динамического программирования,
на котором основывается большинство достаточных условий в-
[151] и в настоящем обзоре, в свою очередь следует из прин-
ципа оптимальности Беллмана [6]. Пусть x(t),
t
0
^t^T,—
оптимальная траектория системы (10) и момент времени
^i
6
(-o-
T), Принцип оптимальности утверждает, что отрезок
оптимальной траектории от точки x\t\) до точки х(Т) также
является оптимальной траекторией. Это фактически означает,
что для начального состояния x(t{) та часть траектории, кото-
рая соответствует переходу из точки x(t{) в точку х(Т), являет-
ся оптимальной независимо от предыстории системы, т. е. от-
того,
каким образом система достигла состояния
x(t{).
Такой интуитивно очевидный принцип с успехом применяет-
ся в задачах оптимального управления и в антагонистических
дифференциальных играх двух лиц. Однако в дифференциаль-
ных неантагонистических играх (с ненулевой суммой) принцип
оптимальности требует уточнения. Дело в том, что в задачах
оптимального управления и антагонистических дифференциаль-
ных играх двух лиц понятие «оптимальности» достаточно ясно и.
однозначно — либо максимизируется целевая функция (опти-
мальное управление), либо один игрок максимизирует, другой —
минимизирует плату дифференциальной антагонистической
игры. В дифференциальных играх с ненулевой суммой само
понятие «оптимальность» требует уточнения: здесь под «опти-
мальностью» можно понимать и равновесность по Нэшу, и оп-
тимальность по Парето, по Слейтеру и т. д.
Поэтому, на наш взгляд, принцип оптимальности для диф-
ференциальных игр с ненулевой суммой нужно формулировать
в следующем виде. Пусть до начала 'игры все участники кон-
фликта согласовали между собой, какой концепции оптималь-
ности они будут придерживаться в течение игры. Предположим,.
что набор управляющих воздействий u°[t] = {u
l
°(t),..., u
N
°(t)}
(решение игры) и порожденная ими оптимальная траектория
x°(t) системы (1)
—
(2) реализуют выигрыши .игроков, удовлет-
воряющие выбранной концепции оптимальности, а момент
^6(/
0
,
Т) произволен. Тогда, чтобы а
0
было решением игры,.
необходимо, чтобы набор управлений и
0
на втором периоде
игры [t
u
T] и порожденная ими оптимальная траектория x°{t)
системы (1) с начальным состоянием x{t{) также реализовали
4Ъ
явыигрыши игроков, удовлетворяющие принятой концепции опти-
мальности. Иначе говоря, решение игры w° не зависит от пред-
илстории системы, а определяется лишь начальным условием и
конечной целью.
Отличительная особенность метода, использующего такой
принцип оптимальности, состоит в том, что отрезки оптималь-
ной траектории определяются в обратной последовательности,
начиная с конечного состояния х(Т). Для рассматриваемых
нами задач дифференциальных неантагонистических игр на
-основе принципа оптимальности обычно получают дифференци-
альные уравнения в частных производных, из которых и нахо-
.дят решение игры (см., например, в [151]). Особенно удобен
этот принцип, если рассматриваемый динамический процесс
может быть подвергнут квантованию во времени. Однако при-
веденный нами принцип оптимальности, как необходимое усло-
вие существования решения игры, не всегда .верен (см. следую-
..щий ниже пример). При применении его необходимы дополни-
тельные ограничения на компоненты задачи.
Пример
[347].
Рассмотрим пример двухшаговой игры
двух лиц с ненулевой суммой, в которой равновесный набор
управляющих воздействий не является оптимальным по Паре-
то,
в то время как на каждом шаге отдельно этот равновесный
набор оптимален по Парето.
В игре двух лиц, представленной на рис. 1, каждый игрок
имеет два возможных управления: 0 или 1. На каждом шаге
•оба игрока одновременно выбирают свои управления. Резуль-
тирующая пара управлений определяет 'переход к следующему
шагу. С каждым переходом связаны выигрыши (внутри кругов)
для каждого из игроков. При этом каждый участник стремится
.максимизировать свой суммарный выигрыш к моменту t=2
-окончания игры.
- t=D t=f t=2
Рис.
l
Игра, представленная на рис. 1, предельно проста; одна и та
же биматричная игра, сыгранная дважды. Так как -имеется
только одно состояние х
—
0,
то здесь нет различия .между про-
граммными и позиционными управляющими воздействиями,
.Для составляющей биматричной игры на каждом шаге (рис. 2)
ситуация 0,1 доставляет равновесие по Нэшу. Здесь отсутствует
так называемая «дилемма заключенного» [89], когда сущест-
вует оптимальный по Парето набор управляющих воздействий,
доставляющий игрокам «лучшие» выигрыши, чем в равновесной
•-42