Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ТОЛПАЕВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И
МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ
Диссертация на соискание учёной степени
доктора физико – математических наук
Научный консультант:
доктор физико-математических
наук, профессор Семенчин Е.А.
Ставрополь
2004
2
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. 11
ГЛАВА 1.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.................................................................................... 29
ГЛАВА 2.
УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.................................................................................... 62
ГЛАВА 3.
ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ
РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО
ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ..................................................................................... 92
ГЛАВА 4.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС) ................................................... 131
ГЛАВА 5.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К
ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ
ФИЛЬТРАЦИИ............................................................................................................ 193
ГЛАВА 6.
ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В
МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.............................................................................. 233
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................... 267
ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................. 268
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И
ТЕНЗОРОВ ..........................................................................................................294
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ
ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ
ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА.................................................................. 304
РИСУНКИ .................................................................................................................... 317
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ 11
ГЛАВА 1.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ............................................................................... 29
1.1. Математическое моделирование линейной фильтрации в
периодических средах методом анизотропного эквивалентирования ............ 29
1.2. Определения полей главных направлений анизотропии (ГНА) и
главных проницаемостей в линейных анизотропных моделях
периодических сред .............................................................................................. 38
1.3. Расчёт эффективных тензоров проницаемостей по заданным полям
ГНА и главных проницаемостей при линейном режиме фильтрации ............ 40
1.4. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в
анизотропных средах методами кристаллофизики ........................................... 43
1.4.1. Векторно-матричная форма обобщённого закона Дарси
(ОЗД) нелинейной фильтрации в анизотропных средах....................... 45
1.4.2. Задача построения тензоров заданной симметрии. .................. 46
1.4.3. Математические модели нелинейной фильтрации для
конкретных примеров анизотропных сред. ........................................... 48
1.5. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в
анизотропных средах обобщённым методом С.Н.Нумерова ........................... 52
1.6. Пример построения математической модели нелинейной
фильтрации в анизотропной среде обобщённым методом С.Н. Нумерова .... 56
ГЛАВА 2.
УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ............................................................................... 62
2.1. Уравнения неразрывности для пространственных, двумерных и
плоскопараллельных и фильтрационных потоков жидкости........................... 62
2.1.1 Уравнение неразрывности для трёхмерного
пространственного фильтрационного течения..................................... 62
4
2.1.2 Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных
течений сжимаемой и несжимаемой жидкости в искривлённых
слоях переменной толщины ....................................................................... 63
2.1.3 Уравнение неразрывности для двумерных течений
несжимаемой жидкости в теории О.В. Голубевой................................ 65
2.1.4 Уравнение неразрывности для плоскопараллельного
фильтрационного течения. Функция тока плоскопараллельного
течения ........................................................................................................ 66
2.2. Уравнения линейной двумерной фильтрации несжимаемой
жидкости в анизотропных искривлённых слоях переменной толщины ......... 67
2.2.1. Вывод уравнений двумерной фильтрации в ортогональных
криволинейных системах координат общего вида ................................. 68
2.2.2. Расчёт коэффициентов проводимости для двумерной
фильтрации в анизотропных искривлённых слоях постоянной
конечной толщины...................................................................................... 74
Пример 1. Слои вращения ................................................................ 75
Пример 2. Цилиндрические слои постоянной толщины............... 76
2.3. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений
несжимаемой жидкости в анизотропно-неоднородных средах и их связь
с обобщёнными аналитическими функциями комплексного переменного.... 78
2.4. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений
несжимаемой жидкости в анизотропно-однородных средах и их связь с
аналитическими функциями комплексного переменного ................................ 80
2.5. Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных
течений в анизотропно-однородных средах со специальными законами
распределения ГНА............................................................................................... 82
2.5.1. Теорема о комплексном потенциале для специальной серии
законов распределения ГНА ....................................................................... 82
2.5.2. Следствие 1
. Конгруэнтные законы распределения ГНА ............ 83
5
2.5.3. Следствие 2. Центрально-симметричные законы
распределения ГНА ..................................................................................... 84
2.5.4. Следствие 3
. Изотермические законы распределения ГНА ........ 85
2.5.5 Типичные граничные условия для комплексных потенциалов
плоскопараллельных течений в анизотропных средах ........................... 87
2.6. Комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в
однородных средах с прямолинейной анизотропией при произвольной
ориентации ГНА.................................................................................................... 87
ГЛАВА 3.
ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ
РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО
ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ................................................................................ 92
3.1. Исследования точности расчётов дебита центральной скважины в
слоистой круговой области методом анизотропного эквивалентирования.... 92
3.1.1. Обобщение формулы Дюпюи для сред с центрально-
симметричными законами распределения ГНА ........................................ 93
3.1.2. Постановка задачи и численные расчёты дебита
центральной скважины в круговых анизотропных пластах ................... 94
3.1.3. Исследования точности методов интегрального и локального
однородно-анизотропного эквивалентирования в расчётах дебита
центральной скважины в слоистой среде ................................................. 101
3.2. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для
анизотропных сред................................................................................................ 104
3.2.1. Теорема об окружности .................................................................... 105
3.2.2. Теорема о прямой................................................................................ 107
3.2.3. Примеры применения теорем............................................................ 108
3.3. Искажение поступательного фильтрационного потока в изотропной
среде круглым включением с прямолинейной анизотропией.......................... 111
3.4. Исследования точности аппроксимации включений из слоистых
сред их анизотропными моделями ..................................................................... 114
6
3.4.1. Искажение плоскопараллельных течений круглым слоистым
включением..................................................................................................... 115
3.4.2. Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и в её
радиально-анизотропной модели ................................................................ 117
3.4.3. Расчёт коэффициентов разложения для комплексных
потенциалов изотропных колец .................................................................. 120
3.5. Исследование точности фильтрационных расчётов в слоистых
средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.................... 122
3.5.1. Расчёт полного фильтрационного потока в прямоугольной
анизотропной области................................................................................. 123
3.5.2. Расчёт фильтрационного потока в слоистой области................. 126
ГЛАВА 4.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ
ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС)........................ 131
4.1. Причины выделения исследования течений в призабойных зонах
скважин в самостоятельный раздел теории фильтрации.................................. 131
4.2. Влияние неопределённости в критериях существования линейного
режима фильтрации на погрешность в расчётах дебитов скважин ................. 133
4.3. Исследование фильтрации в призабойной зоне и в стволе
нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром ..................................... 139
4.3.1. Постановка задачи ............................................................................. 139
4.3.2. Вывод основных уравнений ................................................................ 139
4.3.3. Анализ работы гравийного фильтра при при линейном
режиме фильтрации..................................................................................... 145
4.3.4. Выводы:................................................................................................ 149
4.4. Точное решение задачи фильтрации к скважине с гравийным
фильтром при линейном законе Дарси ............................................................... 150
4.4.1. Постановка задачи ............................................................................. 150
4.4.2. Уравнения и граничные условия......................................................... 151
4.4.3. Расчет потенциала
ϕ
1
(r,z)................................................................. 153
4.4.4. Расчет потенциала
ϕ
2
(r,z)................................................................. 155
7
4.4.5. Алгебраизация граничных условий сопряжения............................... 156
4.4.6. Вычисление дебита скважины.......................................................... 158
4.5. Математическая модель работы фильтра каркасно-стержневой
конструкции........................................................................................................... 162
4.6. Математическая модель работы фильтра кольчатой конструкции .......... 165
4.7. Математическая модель работы фильтра перфорационной
конструкции........................................................................................................... 167
4.8. Выводы из вычислительных экспериментов по исследованию
работы фильтров нефтедобывающих скважин .................................................. 169
4.9. Теорема о подобии фильтрационных полей в грунтах со
специальными законами изменения проницаемости и её применения........... 170
4.9.1 Теорема о подобии фильтрационных полей.................................... 170
4.9.2. Фильтрация под плоским флютбетом в кусочно-однородном
грунте........................................................................................................... 172
4.9.3 Фильтрация к скважинам с кусочно – однородной
призабойной зоной (1–ый способ расчета )............................................. 173
4.9.4 Фильтрация к скважинам с кусочно – однородной
призабойной зоной. (2–ой способ расчета )............................................. 176
4.10. Математическое моделирование фильтрации к скважине с
вертикальными трещинами гидроразрыва ......................................................... 181
4.11. Математическое моделирование фильтрации к скважине с
горизонтальными трещинами гидроразрыва ..................................................... 186
ГЛАВА 5.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К
ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ
ФИЛЬТРАЦИИ...................................................................................................... 193
5.1. Расчёт дебита и поля давления для одиночной скважины ........................ 193
5.1.1. Методом функций Грина ................................................................ 193
8
5.1.2. Построение серий точных решений полуобратных
граничных задач о дебите круговой скважины в однородных
изотропных средах в постановке для двухсвязных областей................ 196
5.2 Применение вариационных методов для расчёта двусторонних
оценок дебитов одиночных скважин в анизотропных средах при
линейном режиме фильтрации ............................................................................ 202
5.2.1. Метод пробных эквипотенциалей .................................................. 203
5.2.2. Метод пробных линий тока............................................................. 205
5.3. Расчёт двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных
режимах фильтрации ........................................................................................... 208
5.3.1. Уравнения движения и граничные условия .................................... 208
5.3.2. Вариационная формулировка краевых задач ................................. 210
5.3.3. Верхняя оценка дебита скважины.................................................. 213
5.3.4. Нижняя оценка дебита скважины ................................................. 214
5.3.5. Дебит скважины в пласте овальной формы ................................. 216
5.4. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин
(многоскважинная система без учёта ПЗС)........................................................ 218
5.4.1 Постановка задачи и общий метод решения................................. 219
5.4.2 Интерференция скважин, эксплуатирующих однородный
круговой пласт ............................................................................................ 221
5.4.3 Вычислительные эксперименты по интерференции скважин,
произвольно расположенных в изотропном однородном пласте
круговой формы........................................................................................... 222
5.5. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин обладающих
индивидуальными фильтрационными свойствами в призабойных зонах
(многоскважинная система с учётом индивидуальных свойств ПЗС) ............ 225
5.5.1 Постановка задачи учёта особых фильтрационных свойств
ПЗС и общий метод её решения.................................................................. 225
5.5.2 Пример. Влияние скачков проницаемости ПЗС на
интерференцию скважин, произвольно расположенных в
9
однородном пласте круговой формы. Обобщение формулы
Щелкачева В.Н. ............................................................................................. 227
5.6. Интерференция скважин с нелинейным режимом фильтрации в
призабойных зонах................................................................................................ 230
ГЛАВА 6.
ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В
МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ......................................................................... 233
6.1. Постановка задачи и принятые обозначения .............................................. 233
6.2. Граничные условия 1-го типа (Дирихле по одной паре
противоположных сторон прямоугольника и смешанные — по другой
паре) ........................................................................................................................ 235
6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче .............................. 236
6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче ........................... 238
6.5. Представление решений
)y,x(w
i
рядами Фурье ......................................... 239
6.6. Алгебраизация граничных условий в модельной задаче ........................... 241
6.7. Вычисление коэффициентов в рядах Фурье методом прогонки............... 243
6.8. Применения развитой теории ....................................................................... 245
6.8.1 Метод интегрального эквивалентирования кусочно-
неоднородных сред. Однородно-анизотропное эквивалентирование... 246
6.8.2 Расчёт полей в изотропных неоднородных средах методом
многослойного эквивалентирования ........................................................ 251
6.9 Граничные условия 2 – го типа (Неймана по одной паре
противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре) ... 257
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 267
ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................... 268
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И
ТЕНЗОРОВ ............................................................................................................ 294
П1.1 Закон преобразования базисов ................................................................... 294
П1.2 Закон преобразования координат векторов............................................... 297
10
П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го
ранга........................................................................................................................ 298
П1.4 Законы ортогонального преобразования координат тензоров
третьего и четвёртого рангов ............................................................................... 300
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ
ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ
ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА.............................................................. 304
П2.1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом
распределения ГНА............................................................................................... 304
П2.2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим
законом распределения ГНА................................................................................ 305
П2.3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом
распределения ГНА............................................................................................... 307
П2.4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами
распределения ГНА............................................................................................... 309
П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов
распределения ГНА ..................................................................................... 309
П2.4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с
координатной осью (осью Оz)................................................................... 313
РИСУНКИ.............................................................................................................. 317