Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах

Подождите немного. Документ загружается.

Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницае-

мостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режи-

мах фильтрации.

Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодиче-

ских средах методом анизотропного эквивалентирования.

Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных

течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлён-

ных пластах с конечной переменной толщиной, которая по сравнению с из-

вестной в этом направлении моделью О.В. Голубевой [41, 43] точнее учиты-

вает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точ-

ность расчётов.

Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные

фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследова-

нии течений к одиночным и групповым скважинам.

Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в много-

слойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных

дугами координатных линий изотермических систем координат.

Предложены:

качественная и точная количественная математические модели работы

скважины с гравийным фильтром;

качественные математические модели работы основных конструкций

промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин;

качественные математические модели работы скважин при вертикаль-

ном и горизонтальном гидроразрыве пласта.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут найти при-

менение:

при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с ко-

нечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых могут

быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неоднородны-

ми;

в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослойных

анизотропных и изотропных средах;

в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом

эквивалентирования последних подходящими многослойными средами;

в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонтальны-

ми трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и

размеры трещин;

в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профи-

лям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций ком-

плексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика,

а также для студентов нефтегазовых специальностей.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов

исследований подтверждаются следующим:

1) корректностью применения апробированного математического аппа-

рата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория

уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии,

линейной алгебры, тензорного исчисления);

2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильт-

рации О.В. Голубевой [41, 43]; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тон-

ких круговых конических и параболоидных пластах [102]; методы «изотро-

пизирующих» преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации

в однородных анизотропных средах В.И. Аравина [2 - 6], Е.С. Ромма [121],

Г.К. Михайлова [90, 91]; теория В.Н. Щелкачёва [229] работы круговой бата-

реи скважин; методика расчётов потенциальных полей в многослойных сре-

дах из однородных изотропных слоёв В.Н. Острейко [97]) следуют из резуль-

татов защищаемой работы как частные случаи;

3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей

влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с эксперимен-

тальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией

фильтрации В.П. Пилатовского [102] к скважине с системой круговых поро-

гов и с системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева

[112] о влиянии призабойной неоднородности пласта на дебит скважины; с

результатами опытно-промышленных испытаний [31] Р.А. Гасумова,

В.А. Машкова и др., исследовавших влияние глинисто-песчаных пробок на

дебит скважины).

Основные положения, выносимые на защиту:

1). Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моде-

лей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных

режимов фильтрации жидкости.

2). Математические модели линейной фильтрации в искривлённых ани-

зотропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и

изотропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщи-

ны.

3). Математические модели фильтрации жидкости в призабойных зонах

скважин (ПЗС).

4). Математические модели влияния особых фильтрационных свойств

ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.

5). Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в

многослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограничен-

ных дугами координатных линий изотермических систем координат.

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получе-

ния докладывались:

1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руково-

дством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.);

2) на семинарах по математической физике и гидродинамике под руко-

водством акад. П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР

(1974-1985 гг.);

3) на семинарах по прикладной электродинамике под руководством чл.-

корр. АН СССР Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (г. Ленинград, 1987,

1989 и 1991 гг.);

4) на Воронежской весенней математической школе «Современные ме-

тоды в теории краевых задач» (Воронеж, 1996 г.) и на зимней математиче-

ской школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы»

(Воронеж, 1999 г.);

5) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моде-

лирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 1999 и 2000 гг);

6) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделиро-

вание в научных исследованиях» (г. Ставрополь, СГУ, 2000 г.);

7) на 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Проблемы ком-

пьютерных технологий и математического моделирования в естественных,

технических и гуманитарных науках», (г. Георгиевск, СевКавГТУ, 2001,

2003 гг.);

8) на 7-ой и 9-ой Всероссийских научно-технических конференциях

«Современные проблемы математики и естествознания» и «Информацион-

ные технологии в науке, проектировании и производстве», (Нижний Новго-

род, НГТУ, 2003);

9) на 4-ой Международной научно-практической конференции «Методы

и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике»

(г. Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический универ-

ситет, январь 2004 г.)

10) результаты диссертации в целом докладывались на научном семина-

ре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования в Рос-

сийском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г.

Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара – М.Г. Сухарев, доктор техниче-

ских наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 82 на-

учных статьях [18, 45, 53, 55, 56, 94, 126, 127, 136-210], 25 из которых – в

центральной научной печати. Во всех совместных статьях автором работы

поставлены задачи и получены их аналитические решения, по которым соав-

торы представляли решения иллюстративных примеров и проводили число-

вые расчёты.

Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, 6 глав, за-

ключения, списка литературы из 260 наименований, 2-х приложений, 17 таб-

лиц и 69 иллюстраций.

В 1-ой главе

предлагаются математические модели линейной и нелиней-

ной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой,

получающиеся в результате трояко-периодического повторения в простран-

стве основного структурного элемента (ячейки)

этой среды, имеющего в

диссертационном исследовании вид прямоугольного параллелепипеда.

В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких

периодических, структурный элемент ω которых представляет прямоугольный

параллелепипед с весьма малыми по сравнению с характерным размером облас-

ти фильтрации размерами. К этим периодическим структурам относятся распро-

странённые в естественных условиях слоистые среды, трещиноватые коллекто-

ры с одной системой трещин или с двумя и тремя взаимно ортогональными сис-

темами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы

с упорядоченной ориентацией их в пространстве и н. др. Метод построения ли-

нейной анизотропной модели пористой среды с названными периодическими

структурами базируется на первичных понятиях главных направлений анизо-

тропии (ГНА) и главных проницаемостей. Основное определяющее свойство

ГНА в том, что в фильтрационных течениях вдоль них векторы

и P

∇

колли-

неарны. Проницаемость пористой среды вдоль ГНА названа главной. Для ли-

нейных анизотропных моделей рассматриваемых периодических сред ГНА из-

вестны априори - ими служат перпендикулярные к боковым граням структур-

ных ячеек ω оси симметрии

. Главные проницаемости λ

, λ

и λ

в ани-

зотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависи-

мости от постановок задач усреднения главные проницаемости λ

, λ

и λ

могут

вычисляться в смысле метода 1) локального или 2) предлагаемого автором инте-

грального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида

расчётной области и геометрии конкретной периодической структуры и влияет

на точность расчётов фильтрации в периодической среде, моделируемой анизо-

тропной. Исследования точности метода анизотропного эквивалентирования

слоистых сред в диссертации проводятся в 3-ей и отчасти в 6-ой главах.

В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему

поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В дис-

сертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных

систем криволинейных поверхностей, векторы нормалей к которым определяют

ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров прони-

цаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для

различных серий законов распределения ГНА.

Во 2-ой главе

выводятся общие уравнения двумерной линейной фильт-

рации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к кано-

ническому виду и общие методы решения.

В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации

жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях

постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли про-

мысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как

частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной

фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.

В 3-ей главе

исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых

средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.

В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования

расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в ме-

стных для ячейки ω декартовых координатах. Главные проницаемости нахо-

дятся из равенства потоков вдоль осей симметрии

321

h,h,h

в ячейке ω соот-

ветствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме ω, приня-

том за анизотропную среду с ГНА

321

h,h,h

В методе интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования

расчёт главных проницаемостей выполняется для всей многослойной области

Ω в целом в системе координат, координатные линии которой совпадают как

с границами раздела чередующихся изотропных слоёв многослойной среды,

так и с границами ∂Ω области Ω. Они находятся из равенства потоков вдоль

слоёв

и перпендикулярно к ним

в многослойной области Ω соответст-

вующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же области,

принятой за анизотропную среду с ГНА

h,h

. Недостаток метода инте-

грального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные ли-

нии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но не

совпадать с границами ∂Ω расчётной области. В этом случае расчёт главных

проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выполнять по

методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и

объясняет его широкое применение на практике.

В 4-ой главе

исследуются особенности фильтрации в призабойных зонах

скважин (ПЗС). В частности, влияние на дебит скачка проницаемости в ПЗС.

Учёт конструктивных особенностей скважинных фильтров и наличия трещин

гидроразрыва требует пространственной детализации картины течения в

ПЗС. Изучение некоторых из этих проблем составило содержание четвёртой

главы.

В 5-ой главе

исследуются математические модели интерференции неф-

тедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких

же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемо-

сти и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному.

В 6-й главе

разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтрацион-

ных течений в многослойной области G в виде криволинейного четырех-

угольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной изо-

термической системы координат P, Q.

В заключении

перечисляются основные результаты работы.

В приложении 1

приведены справочные сведения по законам ортого-

нального преобразования базисов, координат векторов и тензоров 2, 3 и 4

рангов.

В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для ли-

нейной фильтрации в средах со следующими законами распределения глав-

ных направлений анизотропии:

1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распре-

деления ГНА.

2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим зако-

ном распределения ГНА.

3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распреде-

ления ГНА.

4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распре-

деления ГНА.

4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА

4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с коорди-

натной осью (осью Оz)

В заключение скажем о принятом в диссертации порядке нумерации

параграфов и формул. В работе применяется двойная нумерация парагра-

фов. При ссылке на параграф (например, на 2-ой) из главы (например, 1-ой)

пишется §1.2. Аналогично даются ссылки на параграфы приложений. На-

пример, запись §П1.2 обозначает 2-ой параграф из приложения 1. Для фор-

мул применяется традиционная тройная нумерация (например, (1.2.3) – фор-

мула (3) в §2 из 1-ой главы) в сокращённом, по примеру книги [17], варианте

её записи. А именно, в пределах любого параграфа главы или приложения

идёт сквозная одинарная нумерация формул. При ссылке внутри текущей

главы на формулу (3) из §2 добавляется номер параграфа и в тексте в круг-

лых скобках пишется (2.3). При ссылке в текущей главе на формулу (3) из §2

из другой главы (например, из 1-ой) добавляется номер главы, затем номер

параграфа и потом номер формулы и пишется (1.2.3). Все ссылки на форму-

лы из приложений делаются аналогично. Например, запись (П1.2.3) означает

ссылку на формулу (3) в §2 из приложения 1.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИ-

НЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕ-

ДАХ

В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелиней-

ной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, ко-

торые получаются в результате трояко-периодического повторения в простран-

стве некоторого основного структурного элемента (именуемого также ячейкой,

элементарным объёмом усреднения) ω этой среды. В диссертации рассматри-

ваются только такие среды с периодическими структурами (сокращённо, пе-

риодическими средами), структурная ячейка ω которых представляет прямо-

угольный параллелепипед. К ним, в частности, относятся наиболее распростра-

нённые в естественных условиях 1) слоистые среды (рис.1), 2) трещиновато-

пористые среды с одной, двумя или тремя попарно ортогональными системами

трещин, 3) осадочные породы из частиц вытянутой формы и расположенных в

пространстве некоторым упорядоченным способом, 4) некоторые композици-

онные материалы [17] и др.

1.1. Математическое моделирование линейной фильтрации в периодиче-

ских средах методом анизотропного эквивалентирования

Будем изучать линейную фильтрацию в таких пористых изотропных грун-

тах с периодической пространственной структурой, коэффициент проницаемо-

сти в которых можно задавать в виде функции

()

)]z,y,x(r[f)]z,y,x(q[f)]z,y,x(p[fr,q,pfk

321

⋅

= , (1)

периодической по одному, двум или всем трём промежуточным аргументам p,

q и r, зависящим от декартовых координат x, y, z. Практическая важность вы-

бранной серии изотропных грунтов с проницаемостями (1) обусловлена тем,

что они позволяют моделировать свойства всех выше перечисленных периоди-

ческих сред. Роль промежуточных аргументов p, q и r в формуле (1) в том, что

они задают геометрию периодической структуры пористой среды, а периоды по

p, q и r - размеры повторяющихся ячеек ω, из которых составлена пористая сре-

да. Для того чтобы коэффициент проницаемости в (1) описывал фильтрацион-

ные свойства периодической среды с ячейкой ω в виде прямоугольного парал-

лелепипеда, от промежуточных аргументов p, q и r потребуем выполнения трёх

условий:

1º. Поверхности уровня

const)z,y,x(r,const)z,y,x(q,const)z,y,x(p =

образу-

ют во всём объёме пористой среды триортогональную систему

поверхностей, т.е.

0)r,q()r,p()q,p(

∇

∇ . (2)

2º. Всюду в области фильтрации длины

rqp

,, lll дуг p, q и r координатных

линий, соответствующих периодам

rqp

T,T,T функции (1), бесконечно малы по

сравнению с её характерным размером L.

Другими словами,

L),,max(

rqp

<<lll , где

∫∫∫

∂

rqp

,dq

,dp

, (3)

()

(

)( )

kr,q,pzjr,q,pyir,q,pxR

++= - радиус-вектор точки наблюдения M(x,y,z).

(Если вдоль какого-то направления, например, r проницаемость не меняется, то

период этого направления можно брать любым, например, равным T

или T

3º. В криволинейном параллелепипеде

, ограниченном координатными по-

верхностями p = C

, p= C

, q= C

, q = C

, r = C

(где C

, C

– постоянные), концы A

′

, B

′

, C

′

координатных дуг l

, l

отклоняются от

концов A, B, C соответствующих касательных прямых столь незначительно,

что (рис. 2)

)CC,BB,AAmax()MC,MB,MAmin(

′′′

>> . (4)

При выполнении условий 1

, 2

, 3

криволинейный параллелепипед

да-

лее будем рассматривать как прямоугольный ω с рёбрами |MA| = l

, |MB| = l

|MC| = l

(рис. 2).

Задачи фильтрации жидкости и газа в неоднородных изотропных средах с

периодически изменяющейся проницаемостью вида (1) приводят к уравнениям

математической физики с быстро осциллирующими коэффициентами, которые