Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии

Подождите немного. Документ загружается.

159

Вместе с тем следует отметить, что для большинства типовых ЛАД

полюсное деление в семь и более раз превосходит немагнитный зазор. В этом

случае двумерностью магнитного поля в зазоре можно пренебречь без

большого ущерба для точности расчетов. На рис. 4.6 показаны механические

характеристики двигателя SL-5-270 (ЛАД) и его кругового аналога (КРАД),

рассчитанные методом детализированных

схем замещения в двумерном и

одномерном вариантах. На рисунке приняты следующие обозначения: 1,2 –

КРАД при зазоре между индуктором и ВЭ, равном 0,001 м, по одномерной

(1) и двумерной (многослойной, 2) моделям; 3,4 – ЛАД при зазоре 0,001 м по

одномерной (4) и двумерной (3) моделям; 5,6 – КРАД при зазоре 0,005 м по

одномерной (6) и двумерной (5) моделям; 7,0 – ЛАД при зазоре 0,005 м по

одномерной (0) и двумерной (7) моделям. Основные параметры

исследуемого ЛАД: полюсное деление – 0,05 м, отношение эквивалентного

зазора к полюсному делению – 0,08 при световом зазоре 0,001 м и 0,16 при

световом зазоре 0,005 м, частота питающего тока 50 Гц.

Из сравнения характеристик можно заключить, что даже при

пятикратном увеличении зазора двумерность магнитного потока в нем

оказывает ограниченное влияние на

результаты расчета. К тому же в

рационально спроектированном двигателе для рассматриваемых

практических приложений (например, транспортного назначения) полюсное

деление выбирается обычно в комплексе с эквивалентным зазором и

частотой питающего тока так, чтобы указанное отношение было

наименьшим из возможных для обеспечения высоких энергетических

показателей двигателя.

Выбор шага разбиения по координате x

. Следует выделить еще один

аспект синтеза детализированной магнитной схемы замещения. Как известно,

в движущихся контурах ВЭ индуцируется ЭДС движения, пропорциональная

производной от потока в ярме сердечника по координате х. При переходе к

магнитной схеме замещения с шагом разбиения по х, равным зубцовому

делению, производная заменяется конечно-разностным аналогом с таким

же

приращением координаты в его знаменателе. В случае числа пазов на полюс

и фазу q=1 для области скоростей, близких к синхронной, такая замена может

привести к существенной ошибке в вычислении ЭДС. В этом случае следует

перейти к более мелкому шагу разбиения q

 2 c сохранением неизменности

пространственной формы кривой МДС индуктора, т.е. обеспечить раскладку

проводников обмотки в модели через паз, через два паза и т.п.

160

Рис. 4.6

Рис. 4.7

161

На рис. 4.7 показаны механические характеристики двигателя SL-5-270

для нескольких значений q=1,2,3. Как видно, достаточно перейти от q=1

(кривая F со значком 2) к q=2 (кривая F со значком 3), чтобы получить

приемлемые по точности результаты. На этом же рисунке показаны для

сравнения характеристики ЛАД при q=3 (кривая F со значком 4) и КРАД при

q=2(кривая F со значком 1).

4.2. Аналитическая модель лад в осях





На основании (4.1), (4.2) и (4.3) для потока в ярме сердечника в зоне II

справедливо









 



.xsintixcostiN

t,xФ

cэ































(4.14)

Переходя к относительным единицам и изображениям [25] ,

получаем









 



xsinpixcospi

x,pФр

x,pdФ

x,pФd

βα

βε



















, (4.15)

где



 изображения токов в фазах α и β,

ε  электромагнитная

добротность, V  скорость движения ВЭ,

ω  круговая частота.

Преобразуем правую часть (4.15) к виду

xsinixcosi











, (4.16)

где



 jiiI



 изображающий вектор тока статора [18, 32],





сопряженная ему величина.

Решение (4.15) может быть получено двумя путями:

- с использованием изображающих векторов величин,

- через величины фаз в координатах , .

162

Решение через изображающие векторы

Находим решение (4.15) для «изображающего вектора» потока



оставив в правой части уравнения слагаемое (





) и опустив индекс 2.

eIФр































. (4.17)

Решение (4.17) записывается в виде





210s

ФФФIeCeCeDФ









, (4.18)

где

Ф  круговая составляющая потока, характерная для симметричной

вращающейся машины,

Ф и

Ф  составляющие, порожденные

продольным краевым эффектом,

Vjр1

jDED























2,1

DCр

















Аналогично находится решение (4.15) при подстановке в правую часть



 .



























ФФФIeCeCeDФ

. (4.19)

Результирующий поток равен полусумме решений (4.18) и (4.19)

ФReФФ





















. (4.20)

163

Для краевых зон I и III решения записываются соответственно

,eCФ,eCФ

III

1211









(4.21)

где

рCD,DC,DC

1112111

βλλ 

Для отыскания

C и

C записываем граничные условия, исходя из

неизменности потоков (4.18) и (4.21), а также индукций

dxdФB 



при

переходе через границы зон





В результате получим





 



,bcoslbsinkjbsinlbcoske

acosnasinmjasinnacosme











λ

(4.22)

где



























DDeDDeK





DDCEm

 ,





EDCDn

 ,





DDCEk







EDCDl



Аналогично определяется постоянная

Решение через фазовые величины

Решения (4.15) для случаев питания только обмотки α (т.е. 0i



) и

одной обмотки β (т.е.

0i 

) записываются соответственно











,ФФФieCeCxcosDxsinEФ

,ФФФieCeCxsinDxcosEФ

210

ββββ

ββ

αααα

αα





(4.23)

где

CJmC,CReC,CJmC,CReC







βαβα

Результирующий поток в ярме выражается как сумма выражений (4.23)

164

ФReФФФФФФ

210







, (4.24)

что совпадает с (4.20).

Если поделить выражения (4.23) на

i и

соответственно, то получим

передаточные функции потока в сечении х

ярма



  



  

.x,pwx,pwx,pw

x,pФ

x,pw

,x,pwx,pwx,pw

x,pФ

x,pw

210











(4.25)

Эти выражения устанавливают связь между потоком в каком-либо

сечении х ярма и токами в фазных обмотках βα, (входными воздействиями),

т.е. несут в себе всю информацию о ЛИМ как объекте управления. Они

аппроксимируются дробно-рациональными функциями оператора р и могут

быть найдены также с помощью экспериментов на физических

или

математических моделях.

Уравнения связи интегральных величин статора

Для фаз βα, статора можно записать [16, 17, 25] в о.е.

    

   



pipTrpu

βββ

ααα



(4.26)

где

T,r  сопротивление и постоянная времени обмотки.

Потокосцепления каждой обмотки определяются путем интегрирования

по длине активной зоны произведения результирующего потока в ярме (4.24)

на обмоточную функцию обмотки (в относительных единицах xcos для α и

xsin для β )

165

   

















.pipMpipMxdxsinФ

,pipMpipMxdxcosФ

(4.27)

Здесь передаточные функции М, связывающие основные

потокосцепления обмоток с токами в них, при учете (4.24) и (4.25)

записываются как

  





  

,xdxsinWkpM,xdxsinWkpM,xdxcosWkpM

,xdxcoseCeCxsinDxcosEkxdxcosWkpM

211

























βββαβαβαβ

αααα

(4.28)

где

 .

Полные выражения для передаточных функций (4.28) приведены в [25,

32]. Структурная схема, соответствующая (4.26), (4.27) и (4.28) показана на

рис.4.8, где x

=a и x

=b в соответствии с рис. 4.1, а передаточные функции W

связывают изображения потоков в этих точках (на краях сердечника) с

изображениями токов в фазах.

Перейдем к изображающим векторам, умножив второе уравнение (4.26)

на

j и сложив с первым,



ssss

IpTrU 









, (4.29)

где















jxjx

12s1s0ss

eiweiwkj





,dxeФФ

dxeФФk

























,juuU









e  комплексная обмоточная функция.

166

Рис. 4.8

Составляющие потокосцеплений – круговая





и от ПКЭ











записываются как









 















































































.ee

ICIC

,ee

ICIC

,IeeD

jIabD

b2j

ajbj

a2jb2j



(4.30)

167

В результате изображающий вектор потокосцеплений статора

выражается в виде













IpMIpM





, (4.31)

где

 















































eeC

abD

aj2bj2

ajbj

, (4.32)



 





 









































eeC

eeD

aj2bj2

ajbj

a2jb2j

.(4.33)

Для симметричной вращающейся машины второе слагаемое и

экспоненты в (4.31) отсутствуют.

Тяговое усилие

В соответствии с [25] тяговое усилие записывается в виде

 













aФbФ

FdxxjxBF

222











, (4.34)

где первое слагаемое означает усилие, действующее на токи статора, а второе

– разность сил, действующих на торцы его сердечника.

Усилие

F можно выразить через изображающие векторы

 

  



  











































































































































jajb

eaФebФIRe

IJIJ

dxeIeIBB

dxxjxBF



(4.35)

154

или через фазные величины обмоток βα,, например, при четном числе

полюсов

















aФbФiiiF





ααββα

ψψ

. (4.36)

Следует отметить очевидный недостаток рассмотренной аналитической

модели – такие параметры системы, как скорость и сопротивления цепей,

входят в передаточные функции в виде коэффициентов. При необходимости

учета изменения этих параметров нужно изменять структуру модели.

Этого недостатка лишена рассматриваемая далее численная модель в

переменных состояния.

4.3. Численная модель лад с многофазной кольцевой обмоткой «фаза –

паз»

В основу модели положены детализированные до секции и стержня

электрические схемы замещения обмоток индуктора и ВЭ а также

детализированная до зубцового деления магнитная схема замещения машины

[10, 26]. На рис. 4.9 показана схема питания элементарной фазы «j»

многофазной обмотки индуктора. В данном простейшем случае фазой

является секция кольцевой обмотки с числом витков

w , заложенная в паз

сердечника. Приняты следующие обозначения

sjФj



 ,

e ,

i 

мгновенные значения ЭДС фазы, источника питания и тока фазы,

sjsj

L,R -

суммарные активное сопротивление и индуктивность фазы обмотки

индуктора и источника питания,





поток в участке ярма индуктора.

Индукционная машина как многоканальный многополюсник.

Как следует из рис. 4.9, модель ЛАД при питании “фаза-паз” может быть

представлена в виде нелинейного многоканального многополюсника,

имеющего k пар электрических входов, соответствующих k элементарным

обмоткам индуктора, уложенным в его пазы вокруг ярма, и k пар

механических выводов, на каждом из которых в результате

электромеханического преобразования энергии при скорости вторичного

элемента V

развивается элементарное электромагнитное усилие f

(Рис.4.10).

Приложенные к элементарным обмоткам напряжения (E

… E

) связывают

ЛАД с системой управления двигателем. Выходные переменные f

… f

двигателя являются управляющими воздействиями для механической части

электропривода.