Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии

Подождите немного. Документ загружается.

149

Рис. 3.13

150

Глава 4

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДУКЦИОННЫХ МАШИН

С РАЗОМКНУТЫМИ И ЗАМКНУТЫМИ

МАГНИТОПРОВОДАМИ

4.1. Динамические модели линейных

индукционных машин

Многообразие динамических моделей линейного асинхронного

двигателя (ЛАД) объясняется рядом особенностей электромагнитных

переходных процессов, которые вызваны разомкнутостью его

магнитопровода а также эффектами «входа-выхода», обусловленными

переходом элементарных проводящих контуров вторичного элемента (ВЭ) из

краевой зоны в активную на набегающем крае индуктора и из активной зоны

в краевую на его сбегающем крае [11, 10].

Разомкнутость магнитной цепи в ЛАД приводит к отклонению от

синусоидальной формы распределения потока в ярме и индукции в

воздушном зазоре по продольной координате машины, искажение картины

магнитного поля ухудшает ее тяговые и энергетические характеристики. Из-

за неравномерности распределения поля вдоль продольной координаты

катушки обмоток разных фаз находятся в неодинаковых магнитных

условиях

, что вызывает асимметрию ЭДС в фазах обмотки индуктора. Это

влечет за собой возникновение асимметрии фазных токов при питании

машины от источника с симметричной системой напряжений.

Вторичное магнитное поле, обусловленное токами ВЭ, оказывает

большое влияние на суммарный магнитный поток в зазоре машины.

Вторичный элемент можно представить себе как непрерывную

последовательность проводящих

контуров, которые входят в зону индуктора,

движутся в ней и затем покидают активную зону. Явления «входа-выхода»

сопровождаются появлением индуцированных токов и дополнительных

потерь. Даже при движении ВЭ с синхронной скоростью относительно поля

во ВЭ существуют токи и потери, вызванные наличием границ индуктора,

т.е. явлениями «входа-выхода». Возникающие при этом

усилия могут быть

как тормозными, так и двигательными.

Особенности работы ЛАД, обусловленные реакцией ВЭ, получили

название вторичного продольного краевого эффекта, а особенности,

имеющие место при отсутствии реакции вторичной части – первичного

краевого эффекта. В целом совокупность рассмотренных особенностей

электромагнитных процессов в машинах с разомкнутыми магнитопроводами

получила название продольного краевого эффекта (ПКЭ) [11, 35, 39].

Идеальный ЛАД, в котором отсутствует ПКЭ, является его круговым

151

аналогом (КРАД). Он получается путем устранения краевых зон («краев»),

когда магнитопровод оказывается замкнутым.

Для исследования нестационарных режимов работы линейной

индукционной машины (ЛИМ) применяются различные модели,

отличающиеся разным уровнем допущений и сложности вычислений.

Можно выделить два типа моделей, достаточно корректно учитывающих

влияние продольного краевого эффекта [26]:

- Двух- и трехмерные модели с расчетом

магнитного поля методами

конечных разностей или конечных элементов [38] на каждом временном

шаге. Они слабо ориентированы на синтез системы автоматического

управления, требуют больших вычислительных ресурсов, мало пригодны для

моделирования процессов в реальном времени, отличаются сложностью

учета индуцированных токов в массивных элементах.

- Модели, основанные на детализированных магнитных схемах

замещения (ДМСЗ) рис. 4.1. Они

сводят задачу к расчету цепи, параметры

которой (сопротивления R

, R

ase

и МДС пазов) интегрально

представляют участки конструкции и МДС при моделировании устройства

[10, 25, 26]. Эти модели более успешно могут быть применены для синтеза

систем автоматического управления и для исследования переходных

процессов в электромеханической системе.

Рис. 4.1

В данной работе рассматриваются математические модели, основанные

на ДМСЗ с распределенными (раздел 4.2) и сосредоточенными (разделы 4.3 –

152

4.5) параметрами, использующие аппарат передаточных функций и

структурных схем.

На рис. 4.2 показана одномерная расчетная модель ЛИМ, в которой

гладкие сердечники отделены эквивалентным немагнитным зазором

δ . В

краевых зонах I, III сердечника введена магнитная проницаемость по оси х,

отличная от проницаемости стали

μ в зоне II. На поверхности сердечников

индуктора и вторичного элемента (ВЭ) сосредоточены линейные плотности

токов

J и

Рис. 4.2

В соответствии с обходом по контуру единичной ширины



на

основании закона полного тока можно записать для зоны 2



  

t,xJt,xJt,xФ

t,xФ

















, (4.1)

где

эс

δμ

 ,

h и

h  высота ярма и глубина паза индуктора.

В зонах I и III отсутствует

J и в

ββ



заменяется

μ на

μ .

153

На основании закона электромагнитной индукции линейная плотность

тока ВЭ записывается как











t,xФ

t,xJ

22r









, (4.2)

где

γ  электрическая проводимость участка ВЭ единичной ширины 1t



V  скорость движения ВЭ.

С учетом [41] линейную плотность тока i-й обмотки (фазы) статора

запишем в виде [25]













tixNt,xJ

sisisi





, (4.3)

где обмоточная функция обмотки с начальной пространственной фазой













isi

dxsinNxN







, (4.4)

амплитуда обмоточной функции

обii

sim









, (4.5)

τπα 

, остальные обозначения общеприняты.

Совокупность уравнений 4.1, 4.2, 4.3 в частных производных дает

одномерную аналитическую модель ЛИМ с распределенными параметрами.

Преобразование Лапласа позволяет перейти в ней к обыкновенным

дифференциальным уравнениям, как показано далее в разделе 4.2.

Переход в 4.1 и 4.2 от производных по координате х к конечно-

разностным аналогам с шагом не менее зубцового деления

t позволяет

перейти к системе дифференциальных уравнений, порядок которой

определяется количеством зубцовых делений в области существования

магнитного поля (в зонах I, II, III). Она дает численную модель на основе

ДМСЗ

с сосредоточенными параметрами в расчете на зубцовое деление.

Обмотка статора представлена в этом случае системой дифференциальных

уравнений электрического состояния для каждой секции. Переход к

изображениям с помощью преобразования Лапласа дает возможность

использовать аппарат передаточных функций и детализированных

структурных схем (ДСС), как показано в разделе 4.3 и [21].

154

При кажущейся ограниченности возможностей одномерной модели она позволяет

параметрически учесть достаточно широкий спектр конструктивных особенностей

машины.

Потокораспределение в краевой зоне. Принимаем, что схема

замещения магнитной цепи в краевых зонах имеет тот же вид, что и в

активной, однако значения магнитных сопротивлений участков

магнитопровода требуется скорректировать в соответствии с реальной

картиной поля за пределами активной зоны [10].

Показанному на рис. 4.2 контуру магнитной цепи в краевой зоне соответствует уравнение, составленное на основании закона

полного тока:

шa



















, (4.6)

где

R и

aш

R  магнитные сопротивления зазора и магнитопровода в

расчете на шаг t

= 1 по координате x.

С учетом того, что В

= dФ/dx, приведенное выше уравнение после

дифференцирования по

x перепишется в виде:

0Bβ

 , (4.7)

где

ск

эш









Распределение по оси x нормальной составляющей индукции в краевой

зоне при отсутствии вторичных токов описывается кривой, близкой к

экспоненте [11] (B

/B) = exp(x/c). Подставляя выражение для B

в (4.7),

получаем

222



 (4.8)

Коэффициент

c, определяющий интенсивность затухания магнитного

поля шунтирующих участков по мере удаления от края сердечника, зависит

от магнитных свойств стали, конструктивных размеров индуктора а также от

величины воздушного зазора. Он определяется на основании расчета

картины поля за пределами активной зоны при отсутствии токов во

вторичном элементе. В частном случае, полагая c

/

, приходим к

варианту [10], когда параметры магнитной схемы замещения шунтирующих

155

участков рассчитываются по тем же соотношениям, что и параметры

активной зоны, но абсолютная магнитная проницаемость материала

магнитопровода заменяется магнитной проницаемостью воздуха 

Насыщение ферромагнитных участков. Сопротивления магнитных

цепей зависят от свойств среды, в которой существует магнитное поле, и

могут быть определены на основании данных о конструктивных размерах

участка магнитопровода и магнитной проницаемости вещества, из которого

этот магнитопровод изготовлен





, (4.9)

где l

– длина i-го участка магнитной цепи; S

– площадь сечения i-го участка

магнитной цепи; 

– абсолютная магнитная проницаемость вещества.

Из этого выражения видно, что нелинейность R

обусловлена

нелинейной зависимостью абсолютной магнитной проницаемости от

напряженности магнитного поля, которая в свою очередь определяется

зависимостью  (H)



)H(1

)H(B

)H(



, (4.10)

где   магнитная восприимчивость вещества.

На рис. 4.3 представлена основная кривая намагничивания и

зависимость  = f(H) для участка магнитной цепи (l = 0,4 м, S = 0,005 м

выполненного из электротехнической стали Э1411, имеющей следующие

справочные данные:

;2501

нач

начa

нач







53001

max

maxa

max





 ;

мA90H

кр

 (4.11)

156

Рис. 4.3

Двумерность магнитного поля в зазоре. В методе детализированных

магнитных схем замещения двумерность магнитного поля наиболее

корректно может быть учтена введением многослойной магнитной цепи

рис. 4.4, в которой потоки рассеяния Ф в зазоре имеют возможность

проходить по тангенциальным магнитным сопротивлениям R

, минуя

вторичный элемент. Естественно, что в одномерной модели такой

возможности нет, поскольку эти сопротивления бесконечно велики и схема

замещения вырождается в однослойную, заставляя магнитный поток

проходить только поперек зазора по нормальным магнитным

сопротивлениям R

и полностью сцепляться с обмоткой вторичного

элемента. Погрешности, порожденные использованием одномерной модели,

достигают недопустимо больших значений лишь при существенных

значениях отношения эквивалентного зазора к полюсному делению

превышающих 0,15. Если в слоях немагнитного зазора отсутствуют

индуцированные токи I

, а проводящий слой вторичного элемента

размещается на поверхности его ферромагнитного сердечника, то путем

исключения неизвестных векторов контурных потоков Ф

из системы

матричных уравнений магнитного состояния для схемы рис. 4.4 можно

записать уравнение относительно вектора контурных потоков в участках

ярма индуктора Ф

157

FaFb 







( 4.12)

где

F,F

 векторы МДС в пазах ВЭ и

индуктора.

При однослойной структуре схемы

рис. 4.4, а превращается в единичную

матрицу, а элементы матрицы b для

2.0

показаны на рис. 4.5, а. В случае отсутствия

токов во ВЭ (режим идеального холостого

хода) формула (4.12) принимает вид

s11

FZ 



Φ . (4.13 )

Элементы матрицы Z показаны также на

рис. 4.5,а.

Для многослойной структуры схемы

рис. 4.4 элементы a, b, Z для

2.0

показаны

на рис. 4.5, б.

Рис. 4.4

Сравнение элементов матриц свидетельствует о существенном влиянии

двумерности магнитного поля в зазоре на вычислительные процедуры.

Видно также, что для учета двумерности поля в рамках одномерной модели

необходимо скорректировать вектор

умножением его на матрицу

многослойной модели а также заменить матричный коэффициент

. Это

ведет к изменению структурных схем машины, что вполне понятно,

поскольку появляются связи каждого канала (зубцового деления) уже с

несколькими соседними каналами (матрицы

имеют более трех

ненулевых диагоналей).

158

а)

б)

Рис. 4.5