Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
119
2.5. Трехфазные цепи
Производство, передача и распределение электрической энергии а также
питание различных электротехнических установок во многих отраслях
промышленности осуществляются с помощью трехфазных цепей
переменного тока.
Произведем синтез структурной схемы
трехфазной цепи, включенной по схеме "звезда-
звезда" (рис. 2.30), непосредственно применяя
законы Кирхгофа для точек и замкнутых
контуров. После выбора положительных
направлений токов i
а
, i
в
и i
с
и направления обхода
контуров (по часовой стрелке на рис. 2.30), на
основании первого и второго законов Кирхгофа в
операторной форме имеем
Рис. 2.30
I
а
(p) + I
в
(p) + I
с
(p) = 0;
E
a
(p)E
в
(p) = R
а
(1+pT
а
)I
а
(p)R
в
(1+pT
в
)I
в
(p); (2.27)
E
в
(p)E
с
(p) = R
в
(1+pT
в
)I
в
(p)R
с
(1+pT
с
)I
с
(p),
где Т
а
= L
а
/R
а
, Т
в
= L
в
/R
в
, Т
c
= L
c
/R
c
– электромагнитные постоянные времени
ветвей (фаз) цепи.
Выражения (2.27) целесообразно записать следующим образом:
I
а
(p) = [E
a
(p)E
в
(p)+R
в
(1+pT
в
)I
в
(p)]/[R
а
(1+pT
а
)];
I
в
(p) = [E
в
(p)E
с
(p)+R
с
(1+pT
с
)I
с
(p)]/[R
в
(1+pT
в
)], (2.28)
I
с
(p) = I
а
(p)I
в
(p).
Теперь для рассматриваемой цепи можно изобразить структурную схему
рис. 2.31. Развернутая структура этой модели содержит безынерционные
замкнутые контуры (рис. 2.32). Для исключения указанных контуров
вернемся к исходной модели (рис. 2.31), представим ее в виде структурной
схемы, показанной на рис.2.33, а, и перенесем все дальнейшие рассуждения
в структурную плоскость. На схеме рис. 2.33, а
обозначено: e
ав
= e
а
e
в
; e
вc
=
e
в
e
с
; Z
а
= R
a
+L
a
p; Z
в
= R
в
+L
в
p, Z
с
= R
с
+L
с
p. Структурная схема
относительно переменной i
а
(рис. 2.33, ж) получена путем следующих
последовательных преобразований:
- перенос точки съема входного сигнала звена Z
в
на выход сумматора 1
(рис. 2.33, б);
120
- свертывание внутреннего контура (элементы 1/Z
а
и Z
в
) и принятие в
качестве выходной переменной тока фазы i
а
(рис.2.33, в);
- перенос входного воздействия E
вc
с сумматора 1 на вход сумматора 2
(рис. 2.33, г);
- cвертывание внутреннего контура с элементами W
пк
= 1 и W
ос
= Z
c
/Z
в
(рис. 2.33, д);
- перенос воздействия Е
вс
со входа сумматора 2 на вход сумматора 1
(рис. 2.33, е),
- свертывание замкнутого контура с положительной обратной связью
W
ос
= Z
в
Z
в
/(Z
в
+Z
с
) (рис. 2.33, ж).
Рис. 2.31
Рис. 2.32
121
а) б)
в) г)
д) е)
ж)
Рис. 2.33
122
Свернув внутренний контур (элементы 1/Z
а
и Z
в
) и приняв в качестве
выходной переменной ток фазы i
в
, структуру рис. 2.33, б можно также
представить в виде схемы рис. 2.34, а. После переноса входного воздействия
E
ав
с сумматора 1 на вход сумматора 2 (рис. 2.34, б), свертывания
внутреннего контура с элементами W
пк
=1 и W
ос
=Z
в
/(Z
а
+Z
в
) (рис. 2.34, в),
переноса воздействия Е
ав
со входа сумматора 2 на вход сумматора 1 (рис.
2.34, г) и свертывания замкнутого контура (1/Z
в
, Z
с
(Z
а
+Z
в
)/Z
а
) окончательно
имеем структурную схему, изображенную на рис. 2.35.
а) б)
в) г)
Рис. 2.34
Рис. 2.35
123
Если же в качестве выходной переменной принять ток фазы i
с
, то
структуру рис. 2.33, б можно представить в виде схемы, изображенной на
рис. 2.36, а. После выполнения ряда преобразований, аналогичных
предыдущим (перенос входного воздействия E
вc
с сумматора 1 на вход
сумматора 2, рис. 2.36, б; cвертывание контура с элементами W
пк
= 1 и W
ос
=
Z
c
/Z
в
, рис. 2.36, в; перенос выходного сигнала звена Z
в
со входа сумматора 1
на вход сумматора 2, рис. 2.36, г и свертывание контура с элементами
Z
в
/(Z
в
+Z
с
) и Z
в
/(Z
а
+Z
в
)), получаем модель, представленную на рис. 2.36, д.
а) б)
в) г)
д)
Рис. 2.36
124
Объединяя модели рис. 2.33, ж, рис. 2.35 и рис. 2.36, д, получаем полную
структурную схему (рис. 2.37, а) рассматриваемой трехфазной цепи.
Отметим, что на основе моделей рис. 2.33, ж, рис. 2.35 и рис. 2.36, д с учетом
первого уравнения выражения (2.27) могут быть сформированы ее различные
модификации (рис. 2.37, б, в, г).
а) б)
в)
г)
Рис. 2.37
Если в последних структурах заменить динамические звенья их
детализированными структурными схемами (табл. 1.1), то получим модели в
переменных состояния рассматриваемой трехфазной цепи.
На рис. 2.38 показана цепь, в которой к источнику трехфазного
напряжения, соединенному в звезду, присоединена нагрузка (Z
ав
, Z
вс
, Z
са
),
включенная в треугольник.
125
Рис. 2.38
Применяя к обозначенным контурам I, II и III второй закон Кирхгофа,
получим:
Е
а
Е
в
= (I
k1
+I
k3
)Z
а
+I
k1
Z
ав
+(I
k1
I
k2
)Z
в
;
Е
в
Е
с
= (I
k2
I
k1
)Z
в
+I
k2
Z
вс
+(I
k2
+I
k3
)Z
с
; (2.29)
Е
а
Е
с
= (I
k1
+I
k3
)Z
а
+I
k3
Z
са
+(I
k2
+I
k3
)Z
с
,
или
Е
а
Е
в
= I
k1
(Z
а
+Z
ав
+Z
в
)I
k2
Z
в
+I
k3
Z
а
;
Е
в
Е
с
= I
k2
(Z
в
+Z
вс
+Z
с
)I
k1
Z
в
+I
k3
Z
с
, (2.30)
Е
а
Е
с
= I
k3
(Z
а
+Z
са
+Z
с
)+I
k1
Z
а
+I
k2
Z
с
.
Эти уравнения можно представить в виде, более удобном для
построения структурной схемы цепи (рис. 2.39, а):
I
k1
= (Е
ав
+I
k2
Z
в
I
k3
Z
а
)/(Z
а
+Z
ав
+Z
в
);
I
k2
= (Е
вс
+I
k1
Z
в
I
k3
Z
с
)/(Z
в
+Z
вс
+Z
с
), (2.31)
I
k3
= (Е
ас
I
k1
Z
а
I
k2
Z
с
)/(Z
а
+Z
са
+Z
с
).
126
а)
б)
Рис. 2.39
На схеме рис. 2.39 обозначено: W
1
(p)=1/(Z
а
+Z
ав
+Z
в
); W
2
(p)=
=1/(Z
в
+Z
вс
+Z
с
), W
3
(p)=1/(Z
а
+Z
са
+Z
с
). Структура каналов вычисления
линейных и фазных токов цепи, сформированная по уравнениям: i
ав
= i
k1
; i
вc
= i
k2
; i
ca
= i
k3
; i
a
= i
k1
+i
k3
; i
в
= i
k2
i
k1
, i
c
= i
k2
i
k3
, показана на рис. 2.39, б.
В качестве примера на рис. 2.40 приведены зависимости от времени
напряжений, токов, мощностей и энергий в элементах фаз несимметричной
цепи рис. 2.30 при включении ее на систему ЭДС (В): e
A
=100sin(314t),
e
B
=100sin(314t120), e
C
=100sin(314t+120). Параметры цепи R
2
=R
3
=10 Ом,
R
1
=20 Ом, L
2
=L
3
=0,01 Гн, L
1
=0,02 Гн.
127
Рис. 2.40
128
Рис. 2.40 (продолжение)