Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
89
2. Запись исходных систем уравнений в изображениях по Лапласу при
нулевых начальных условиях и их преобразование.
3. Составление модели в переменных состояния, которая при
необходимости, путем структурных преобразований может быть приведена к
модели в переменных "вход-выход" (к структурной схеме).
Формирование динамической модели по данному способу поясним на
примере простейшей RL-цепи, уравнение
соединений и уравнения элементов
которой в операторной форме при нулевых начальных условиях имеют вид:
E(p) = U
R1
(p)+U
R2
(p)+U
L
(p);
U
R1
(p) = R
1
I(p);
U
R2
(p) = R
2
I(p), (1.11)
U
L
(p) = LpI(p).
Систему уравнений (1.11) представим в виде
I(p) = U
L
(p)/(Lp), U
L
(p) = E(p) – U
R1
(p) U
R2
(p).
Последним уравнениям соответствуют развернутая структурная схема и
модель в переменных состояния, показанные на рис. 1.9. В случае ненулевых
начальных условий выходная переменная интегратора (рис. 1.9, б)
алгебраически суммируется с заданным начальным значением тока.
Рис. 1.9
Составление динамической модели по дифференциальным уравнениям.
Решение задачи в этом случае осуществляется методом понижения порядка
производной. Для
этой цели исходные уравнения сначала разрешаются
90
относительно старшей производной выходной переменной, а затем по
полученному выражению формируется искомая модель цепи.
Для общего ознакомления с решением дифференциальных уравнений
высокого порядка методом понижения порядка производной составим схему
линейного дифференциального уравнения
а
4
d
4
y/dt
4
+а
3
d
3
y/dt
3
+а
2
d
2
y/dt
2
+а
1
dy/dt+а
о
y = x. (1.12)
Разрешим уравнение (1.12) относительно старшей производной
d
4
y/dt
4
= (а
3
/а
4
)d
3
y/dt
3
(а
2
/а
4
)d
2
y/dt
2
(а
1
/а
4
)dy/dt (а
о
/а
4
)y + x/а
4
, (1.13)
где x, y – входное воздействие и реакция цепи.
Предполагая известной правую часть уравнения (1.13), произведем
последовательное интегрирование и сложение составляющих старшей
производной. В результате получим модель в переменных состояния,
приведенную на рис. 1.10. Очевидно, что количество интеграторов модели
соответствует порядку исходного дифференциального уравнения, а сама
модель не отражает реальной топологии цепи.
Рис. 1.10
Построение моделей по системе дифференциальных уравнений
покажем на конкретном примере. Пусть дана система дифференциальных
уравнений
91
а
1
p
2
y
1
+ a
2
py
1
+ a
3
y
2
= a
4
x
1
;
b
1
py
2
b
2
y
1
= b
3
x
2
; (1.14)
c
1
py
3
c
2
(y
1
+ c
3
x
1
) = c
4
x
3
,
где y
1
, y
2
, y
3
– искомые переменные, а х
1
,х
2
,х
3
– входные воздействия.
При формировании структуры модели в данном случае необходимо
составить отдельные модели каждого уравнения, а затем выполнить
соединение полученных моделей между собой. Разрешим каждое
уравнение выражения (1.14) относительно старшей производной
p
2
y
1
= (a
2
/а
1
)py
1
(a
3
/а
1
)y
2
+ (a
4
/а
1
)x
1
;
py
2
= (b
2
/b
1
)y
1
+ (b
3
/b
1
)x
2
, (1.15)
py
3
= (c
2
/c
1
)y
1
(c
2
c
3
/c
1
)x
1
+ (c
4
/c
1
)x
3
.
По уравнениям (1.15) составляем структуру модели (рис. 1.11).
Рис. 1.11
92
Глава 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
2.1. Последовательная двухэлементная rl-цепь
Рассмотрение методов синтеза моделей начнем с простейших двухэлементных цепей
первого порядка в виде RL-контуров. Для цепи (рис.2.1), состоящей из последовательно
соединенных индуктивности L и резистивных элементов R
1
, R
2
, питающихся от
источника напряжения е(t), справедливо дифференциальное уравнение
e = R·i + Ldi/dt, (2.1)
где e = e(t) – напряжение на зажимах цепи;
R = R
1
+R
2
– суммарное активное сопротивление цепи.
Уравнение (2.1) в операторной форме при нулевых начальных
условиях
Рис 2.1 E(p) = R·I(p) + L·p·I(p).
(2.2)
Ток контура I(p) из (2.2) определится выражением:
I(p) = E(p)/(R+pL) (2.3)
или иначе,
I(p) = E(p)/[R(1+pT)], (2.4)
где T = L/R – электромагнитная постоянная времени контура.
Выражениям (2.3) и (2.4) соответствуют модели в переменных "вход-выход" (структурные схемы рис. 2.2), которые могут
быть представлены в виде детализированных структур, показанных на рис.2.3. Следует помнить, что звенья компьютерной модели
(например, в программе SIMULINK) осуществляют численные операции над переменными во временной области, поэтому
оператор «р» или аргумент «t» в обозначениях переменных на структурных схемах
в дальнейшем отсутствует, а выражение типа pi
означает производную временной функции i. На схемах рис. 2.3: i
с
– свободная составляющая тока, обусловленная процессами,
протекающими в цепи без участия источника е(t); i
в
вынужденная составляющая тока, обусловленная действием источника
напряжения e(t).
93
Рис.2.2
Рис.2.3
Если перенести узел суммирования токов i
в
и i (рис. 2.3, а) со входа
звена R/L (либо звена 1/T рис. 2.3, б) на вход звена 1/р, то получим модель в
переменных состояния рассматриваемой цепи в нормализованном виде (рис.
2.4). Отметим, что эта модель может быть получена непосредственно из
уравнения (2.2) после представления его в виде выражения: p·I(p) =
(R/L)·I(p) + (1/L)·E(p).
Рис. 2.4
При исследовании переходных процессов
динамическую модель цепи
целесообразно дополнить каналами измерения мгновенных значений
напряжений и энергетических переменных (мощности и энергии) контура
и его элементов. Каналы измерения мгновенных значений напряжения,
мощности и энергии элементов цепи могут быть сформированы на основе
следующих уравнений:
u
R1
(t) = R
1
·i(t); u
R2
(t) = R
2
·i(t); u
L
(t) = Ldi/dt·i(t);
S(t) = e(t)·i(t); P
R1
(t) = u
R1
(t)·i(t); P
R2
(t) = u
R2
(t)·i(t); (2.5)
G
L
(t) = u
L
(t)·i(t); W(t) = S(t)dt;
94
W
R1
(t) = P
R1
(t)dt; W
R2
(t) = P
R2
(t)dt; W
L
(t) = G
L
(t)dt,
где u
R1
(t), u
R2
(t), u
L
(t) – мгновенные значения напряжений на резистивных
элементах и индуктивности; S(t),W(t); P
R1
(t), W
R1
(t); P
R2
(t), W
R2
(t); G
L
(t), W
L
(t)
мгновенные значения мощностей и энергий источника, резистивных
элементов и индуктивности соответственно.
Полная развернутая структура модели цепи с учетом энергетических переменных
выражения (2.5) показана на рис. 2.5.
Для оценки корректности расчета динамических процессов эту модель
целесообразно снабдить контрольными каналами с использованием уравнений баланса
мгновенных мощностей и энергий:
S(t)= P
R1
(t)+P
R2
(t)+ G
L
(t), W(t)= W
R1
(t)+W
R2
(t)+W
L
(t).
Рис.2.5
95
Контрольные каналы могут быть выполнены в виде структурных
модулей, представленных на рис. 2.6.
96
Рис. 2.6
Приняв выходные величины интеграторов в структуре рис. 2.5 за
переменные состояния модели (Х
1
= i, Х
2
= W
R1
, Х
3
= W
R2
, Х
4
= W
L
, Х
5
= W),
запишем уравнения состояния и уравнения выходов RL-цепи в виде
выражений:
dX
1
/dt = (e/R Х
1
)R/L; dX
2
/dt = Х
1
R
1
Х
1
; dX
3
/dt = Х
1
R
2
Х
1
;
dX
4
/dt = [(e/R Х
1
)R/L]LХ
1
; dX
5
/dt = eХ
1
; (2.6)
u
R1
= R
1
Х
1
; u
R2
= R
2
Х
1
; u
L
= [(e/R Х
1
)R/L]L;
P
R1
= u
R1
Х
1
; P
R2
= u
R2
Х
1
; G
L
= u
L
Х
1
; S = eХ
1
; i = Х
1
;
i
в
= e/R, i
c
= e/R Х
1
.
Рассмотрим теперь последовательность формирования модели цепи по
второму способу. Суммирование напряжений на элементах
последовательной RL-цепи дает уравнение соединения
e = u
R1
+ u
R2
+ u
L
. (2.7)
Уравнения элементов контура
u
R1
= R
1
i; u
R2
= R
2
i, u
L
= Ldi/dt. (2.8)
Запишем (2.7) и (2.8) в изображениях по Лапласу при нулевых
начальных условиях
E(p) = U
R1
(p) + U
R2
(p) + U
L
(p);
U
R1
(p) = R
1
I(p); U
R2
(p) = R2·I(p), U
L
(p) = L·p·I(p). (2.9)
97
Представим (2.9) в виде:
I(p) = U
L
(p)(1/L)(1/p); U
L
(p) = E(p) U
R1
(p) U
R2
(p); (2.10)
U
R1
(p) = R
1
I(p), U
R2
(p) = R
2
I(p).
Уравнениям (2.10) соответствует ДСС двухэлементной RL-цепи, изображенная на
рис. 2.7 и отличающаяся от схем рис. 2.3 тем, что в ее узле суммируются напряжения.
Рис. 2.7
Полная развернутая структура модели RL-цепи с учетом (2.6) показана на рис. 2.8.
98
Рис. 2.8