Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
109
После решения имеем уравнения состояния рассматриваемой цепи
pi
1
= {e
1
[1L
2
/(L
2
+L
3
)]e
2
L
2
/(L
2
+L
3
)e
3
[R
1
+L
2
R
3
/(L
2
+L
3
)]i
1
+
+[R
2
L
2
(R
2
+R
3
)/(L
2
+L
3
)]i
2
}/[L
1
+L
2
L
3
/(L
2
+L
3
)] (2.17)
pi
2
= [ (L
3
/L
1
)e
1
+ (1+L
3
/L
1
)e
2
e
3
(R
2
+R
3
+R
2
L
3
/L
1
)i
2
(R
3
R
1
L
3
/L
1
)i
1
]/(L
2
+L
3
+L
2
L
3
/L
1
).
По уравнениям (2.17) составлена структура модели в переменных состояния
цепи с тремя источниками питания, изображенная на рис. 2.18.
Рис. 2.18
В качестве примера на рис. 2.19. приведены зависимости токов,
напряжений, мощностей и энергий элементов схемы рис. 2.15 (с заменой L
2
на емкость C) от времени при включении ее на систему ЭДС е
1
=100sin(314t),
e
2
=10sin(314t), е
3
=0. Параметры цепи: R
1
=10 Ом, R
2
=1 Ом, R
3
=10 Ом, L
1
=0,05
Гн, C=500 мкФ, L
3
=0,2 Гн.
110
Рис. 2.19
111
Рис. 2.19 (продолжение)
2.4. Индуктивно связанные цепи
Рассмотрим модели индуктивно связанных элементов, входящих в
состав многих электромеханических систем. На рис. 2.20 показана цепь
с согласным и встречным включением двух последовательно соединенных
индуктивно связанных катушек с собственными индуктивностями L
1
, L
2
,
взаимными индуктивностями L
12
, L
21
и активными сопротивлениями R
1
и
R
2
, находящихся под действием напряжения e(t).
112
Рис. 2.20
В соответствии со вторым способом
у
равнение соединения
и уравнения элементов цепи рис. 2.20, а при согласном включении ка-
тушек
E(p) = U
R1
(p)+ U
L1
(p)+ U
L12
(p)+ U
R2
(p)+ U
L2
(p)+ U
L21
(p);
U
R1
(p) = R
1
I(p); U
R2
(p) = R
2
I(p);
U
L1
(p) = L
1
pI(p); U
L2
(p) = L
2
pI(p); (2.18)
U
L12
(p) = L
12
pI(p),
U
L21
(p) = L
21
pI(p)
можно записать в виде:
U
L1
(p) = E(p)U
R1
(p)U
L12
(p)U
R2
(p)U
L2
(p)U
L21
(p);
I(p) = U
L1
[1/(L
1
p)];
U
R1
(p) = R
1
I(p); U
R2
(p) = R
2
I(p); (2.19)
U
L2
(p) = L
2
pI(p); U
L12
(p) = L
12
pI(p);
U
L21
(p) = L
21
pI(p),
которым соответствует детализированная структура последовательной цепи с двумя
индуктивно связанными элементами, показанная на рис. 2.21.
После переноса точки съема входных сигналов дифференцирующих
звеньев ( L
2
p, L
12
p и L
21
p ) с выхода интегратора на его вход и исключения
параллельно соединенных звеньев (рис. 2.22, а) а также свертывания
внутреннего безынерционного (алгебраического) замкнутого контура
структуру рис. 2.21 можно представить в виде схемы рис. 2.22, б.
113
Рис. 2.21.
Рис. 2.22
Заметим, что операция исключения безынерционных замкнутых
контуров из детализированных структурных схем в большинстве случаев
является обязательной. Наличие замкнутого алгебраического контура
говорит о незавершенности эквивалентных преобразований и не позволяет
проводить анализ динамики цепи непосредственно по структурной схеме,
так как выражение для переменной pХ = {[е (R
1
+R
2
)Х
(L
2
+L
12
+L
21
)pХ]}(1/L
1
), записанное по схеме рис. 2.22, а, является
неприведенным к уравнению в нормальной форме Коши (уравнению
состояния) и требует дальнейших преобразований. Выражение же
pХ = [е (R
1
+R
2
)Х]/(L
2
+L
12
+L
21
),
114
записанное по модели рис. 2.22, б, является уравнением состояния.
В качестве примера на рис. 2.23 показаны зависимости напряжений,
мощностей и энергий на элементах цепи R
1
=5 Ом, R
2
=1 Ом, L
1
=0,02 Гн,
L
2
=0,01 Гн, L
12
=L
21
=0,005 Гн с встречными индуктивными связями при
включении ее на синусоидальную ЭДС e=100sin(314t).
Рис. 2.23
115
Методику составления моделей в переменных
состояния сложных цепей с индуктивными связями
рассмотрим на примере схемы рис. 2.24.
Произвольно выберем положительное направление
токов в ветвях цепи. Направление обхода контуров
выберем по часовой стрелке. Запишем уравнения по
законам Кирхгофа для узла 1, а также левого (первая
и вторая ветви) и правого (вторая и третья ветви
)
контуров цепи, используя операторную форму
записи величин.
Рис. 2.24
Уравнения соединений цепи:
I
1
(p) = I
2
(p) + I
3
(p);
U
R1
(p)+U
C1
(p)+U
L1
(p)+U
L13
(p)+U
C2
(p)+U
R2
= E
1
(p), (2.20)
U
R2
(p)U
C2
(p)+U
L3
(p)+U
L31
(p)+U
R3
(p) = E
3
(p).
Уравнения элементов ветвей цепи:
U
R1
(p) = R
1
I
1
(p); U
C1
(p) = (1/C
1
p)I
1
(p);
U
L1
(p) = L
1
pI
1
(p);
U
L13
(p) = L
13
pI
3
(p) = MpI
3
(p);
U
C2
(p) = (1/C
2
p)I
2
(p);U
R2
(p) = R
2
I
2
(p); (2.21)
U
L3
(p) = L
3
pI
3
(p); U
L31
(p) = L
31
pI
1
(p) = MpI
1
(p),
U
R3
(p) = R
3
I
3
(p).
Сформируем канал вычисления тока i
1
, для чего определим i
1
из третьего уравнения (2.21)
I
1
(p) = U
L1
(p)(1/L
1
)(1/p). (2.22)
Выражение для U
L1
определим из второго уравнения (2.20)
U
L1
(p) = E
1
(p)U
R1
(p)U
C1
(p)U
L13
(p)U
C2
(p)U
R2
. (2.23)
Используя (2.22) и (2.23) с учетом уравнений элементов из (2.21) для
U
R1
(p), U
C1
(p), U
L13
(p), U
C2
(p) и U
R2
, имеем структуру канала вычисления тока
i
1
, представленную на рис. 2.25.
116
Рис. 2.25
Для формирования канала вычисления тока i
3
найдем его выражение из
седьмого уравнения системы (2.21)
I
3
(p) = U
L3
(p)(1/L
3
)(1/p). (2.23)
Из третьего уравнения выражения (2.20) имеем:
U
L3
(p) = E
3
(p)+U
R2
(p)+U
C2
(p)U
L31
(p)U
R3
(p). (2.24)
По уравнениям (2.23) и (2.24) с учетом уравнений элементов для U
L31
(p)
и U
R3
(p) из (2.21) сформирован канал вычисления переменной i
3
(рис.
2.26).
Рис. 2.26
Для получения развернутой структурной схемы (рис. 2.27) цепи
объединим последние две структуры и учтем, что i
2
= i
1
i
3
. После
исключения из этой структуры дифференцирующих звеньев приходим к
модели (рис. 2.28) с перекрестными связями по производным токов i
1
и i
2
и
замкнутым безынерционным контуром (элементы 1/L
1
, L
31
, 1/L
3
и L
13
).
117
Рис. 2.27
Рис. 2.28
Введем обозначения: i
1
=Х
1
, u
С1
=Х
2
, u
C2
=Х
3
, i
3
=Х
4
и запишем выражения
для входных сигналов интеграторов
pХ
1
= [е
1
(Х
1
Х
4
)R
2
Х
3
L
13
pХ
4
Х
2
R
1
Х
1
]/L
1
;
pХ
2
= (1/C
1
)Х
1
;
pХ
3
= (1/C
2
)(Х
1
Х
4
), (2.25)
pХ
4
= [е
3
+(Х
1
Х
4
)R
2
+Х
3
L
31
pХ
1
R
3
Х
4
]/L
3
.
118
Путем ряда преобразований получим:
pХ
1
= а
11
Х
1
+а
12
Х
2
+а
13
Х
3
+а
14
Х
4
+в
11
е
1
+в
13
е
3
;
pХ
2
= а
21
Х
1
; pХ
3
= а
31
Х
1
+а
34
Х
4
; (2.26)
pХ
4
= а
41
Х
1
+а
42
Х
2
+а
43
Х
3
+а
44
Х
4
+в
41
е
1
+в
43
е
3
,
где
а
11
= [(МR
2
)/(L
1
L
3
)+(R
1
+R
2
)/L
1
]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
а
12
= (1/L
1
)/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
a
13
= [1/L
1
+M/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
a
14
= [R
2
/L
1
+M(R
2
+R
3
)/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
в
11
= (1/L
1
)/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
в
13
= [M/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
а
41
= [R
2
/L
3
+(M/L
3
)(R
1
+R
2
)/L
1
]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
а
42
= [M
1
/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
a
43
= [1/L
3
+M/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
a
44
= [(R
2
+R
3
)/L
3
+(MR
2
)/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
в
41
= [M/(L
1
L
3
)]/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
в
43
= (1/L
3
)/[1М
2
/(L
1
L
3
)];
а
21
= 1/C
1
; а
31
= 1/C
2
, а
34
= 1/С
2
.
По уравнениям (2.26) построена искомая модель в переменных
состояния рассматриваемой цепи, изображенная на рис. 2.29.
Рис. 2.29