Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
139
Рис. 2.53
Рис. 2.54
140
Глава 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМАТОРОВ
3.1. Идеальный трансформатор
Рассмотрим модель двухобмоточного воздушного трансформатора,
широко используемого в электромеханических системах. Известно, что
простейший трансформатор состоит из двух индуктивно связанных катушек
с индуктивностями L
1
и L
2
, расположенных на общем сердечнике,
выполненном из ферромагнитного или неферромагнитного материала.
Примером трансформатора последнего типа является воздушный
трансформатор. На рис. 3.1 изображена схема такого трансформатора с
потерями в активных сопротивлениях первичной R
1
и вторичной R
2
катушек
(обмоток), нагруженного на R
н
L
н
.
Рис. 3.1
Для синтеза модели в переменных состояния составим систему
дифференциальных уравнений трансформатора для взаимосвязанных
контуров I и II в операторной форме при нулевых начальных условиях
U
1
(p) = R
1
(1+pT
1
)I
1
(p) + pL
12
I
2
(p);
E
2
(p) = pL
21
I
1
(p) = R
2
(1+pT
2
)I
2
(p)+U
2
; (3.1)
U
2
(p)= R
н
(1+pT
н
)I
2
(p),
где T
1
=L
1
/R
1
; T
2
=L
2
/R
2
, T
н
=L
н
/R
н
электромагнитные постоянные времени.
Эти уравнения удобнее представить в форме
I
1
(p) = [U
1
(p)pL
12
I
2
(p)]/[R
1
(1+pT
1
)];
I
2
(p) = U
2
(p)/[R
н
(1+pT
н
)], (3.2)
U
2
(p) = pL
21
I
1
(p) R
2
(1+pT
2
)I
2
(p).
141
Уравнениям (3.2) соответствует структурная схема двухобмоточного
воздушного трансформатора, изображенная на рис. 3.2, где обозначено:
Z
1
=R
1
+L
1
p; Z
2
=R
2
+L
2
p; Z
н
=R
н
+L
н
p, Z
m
=L
12
p=L
21
p=Мp.
Рис. 3.2
Для получения модели в переменных состояния рассматриваемого
трансформатора произведем ряд структурных преобразований схемы рис.
3.2, считая входным воздействием (входом) напряжение u
1
, а выходом
(реакцией) – ток i
2
. Во-первых, исключим внутренний контур, заменив его
звеном с передаточной функцией 1/(Z
2
+Z
н
) (рис. 3.3, а). Во-вторых, после-
довательное соединение звеньев в прямом канале заменим одним сложным
звеном Z
m
/Z
1
(Z
2
+Z
н
) (рис. 3.3, б). В-третьих, свернем внешний контур
(рис.3.3,в) и получим передаточную функцию воздушного трансформатора
по каналу U
1
i
2
W
2
(p) = I
2
(p)/U
1
(p) = Z
м
/[Z
1
(Z
2
+Z
н
)Z
м
2
].
После подстановки Z
1
=R
1
+L
1
p, Z
2
=R
2
+L
2
p, Z
н
=R
н
+L
н
p и Z
m
=Мp
передаточная функция примет вид:
W
2
(p) = в
12
p/(а
02
p
2
+а
12
p+а
22
),
где в
12
= М;
а
02
= L
1
L
2
М
2
;
а
12
= R
1
L
1
+R
2
L
1
+R
н
L
1
+R
1
L
н
,
а
22
= R
1
R
2
+R
1
R
н
.
142
Рис. 3.3
Затем, приняв за выходную переменную i
1
(рис. 3.4, а), заменим
последовательное соединение звеньев в канале отрицательной обратной
связи одним звеном Zm
2
/(Z
2
+Z
н
) (рис. 3.4, б) и свернем внешний контур с
положительной обратной связью по току i
1
(рис. 3.4, в). В результате
получим передаточную функцию воздушного трансформатора по каналу
u
1
i
1
W
1
(p) = I
1
(p)/U
1
(p) = (Z
2
+Z
н
)/[Z
1
(Z
2
+Z
н
)Z
m
2
],
Рис. 3.4
143
или, после подстановки выражений для Z
1
, Z
2
, Z
н
и Z
m
, имеем
W
1
(p) = (в
11
p+в
21
)/(а
01
p
2
+а
11
p+а
21
),
где а
01
=а
02
; а
11
=а
12
; а
21
=а
22
; в
11
=L
2
+L
н
, в
21
=R
2
+R
н
. Объединение структурных
схем рис. 3.3, в и 3.4, в дает полную структурную схему воздушного
трансформатора (рис. 3.5). Модель в переменных состояния, сформированная
на основе полученных передаточных функций и данных табл. 1.1,
представлена на рис. 3.6, где а
0
=а
01
=а
02
=L
1
L
2
М
2
; а
1
=а
11
=а
12
=R
1
L
1
+R
2
L
1
+
+R
н
L
1
+R
1
L
н
; а
2
=а
21
=а
22
=а
22
=R
1
R
2
+R
1
R
н
; в
11
=L
2
+L
н
; в
21
=R
2
+R
н
; в
12
= М.
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Уравнения состояния и уравнения выходов модели рис.3.6 имеют вид:
pХ
1
=( U
1
а
2
Х
2
а
1
Х
1
)(1/а
0
);
pХ
2
=Х
1
;
i
1
=в
11
Х
1
+в
21
Х
2
,
i
2
=в
12
Х
1
.
144
3.2. Реальный трансформатор
Рассмотрим синтез модели реального трансформатора по первому
способу.
Рис. 3.7
Для его схемы рис. 3.7 справедлива система уравнений в операторной
форме записи:
U
1
= R
1
(1+pT
1
)I
1
+ w
1
pФ;
w
2
pФ = R
2
(1+pT
2
)I
2
+ U
2
; (3.3)
U
2
= R
н
(1 + pT
н
)I
2
,
w
1
I
1
+ w
2
I
2
= R
м
(1+pT
м
)Ф.
Или иначе
I
1
= (U
1
w
1
pФ)/[R
1
(1+pT
1
)];
Ф = (w
1
I
1
+ w
2
I
2
)/[R
м
(1 + pT
м
)]; (3.4)
U
2
= w
2
pФ R
2
(1+pT
2
)I
2
,
I
2
= U
2
/[R
н
(1+pT
н
)].
Структурная схема трансформатора и ее детализированная структура показаны на рис. 3.8, а и 3.8, б. На схемах обозначено:
W
1
= 1/[R
1
(1+pT
1
)]; W
2
= 1/[R
m
(1+pT
м
)]; W
3
= 1/[R
н
(1+pT
н
)];
W
4
= R
2
(1+pT
2
); а = 1/R
1
; b = 1/T
1
; c= w
1
; d = 1/R
m
;
e = 1/T
m
; f = w
2
; g = 1/R
н
; h = 1/T
н
; m= R
2
; n = T
2
.
145
Рис. 3.8
Необходимо отметить, что структура рис. 3.8, б требует дальнейших
преобразований, так как содержит замкнутый контур с безынерционными
элементами (g, h, n и m). Для исключения этого контура сначала перенесем
узел суммирования 1 со входа элемента m на его выход, а узел суммирования
2 с выхода элемента g на его вход (рис. 3.8, в), после чего свернем вновь
образовавшийся контур
(элементы 1/(L
2
+L
н
) и L
2
) и объединим в одну две от-
146
рицательные обратные связи с коэффициентами передачи R
2
и R
н
(рис. 3.8, г).
Перейдем к выполнению операции приведения параметров и
переменных к первичной цепи трансформатора, для чего представим
исходную структуру рис. 3.8, а в виде схем рис. 3.9 и 3.10.
Рис. 3.9
Рис. 3.10
На схеме рис.3.10 обозначено:
W
1
= 1/[R
1
(1+pT
1
)]; W
2
' = W
1
w
1
w
2
p;
W
3
= 1/[R
н
(1+pT
н
)], W
4
= R
2
(1+pT
2
).
Структурная схема рис.3.10 позволяет записать соотношения:
е
2пр
= w
1
/w
2
е
2
; R
2пр
= (w
1
/w
2
)
2
R
2
; L
2пр
= (w
1
/w
2
)
2
L
2
;
u
2пр
= w
1
/w
2
u
2
; R
нпр
= (w
1
/w
2
)
2
R
н
; L
нпр
= (w
1
/w
2
)
2
L
н
,
i
2пр
= w
2
/w
1
i
2
.
147
Из этих соотношений следуют выражения для коэффициентов
приведения к первичной цепи переменных и параметров трансформатора:
К
e2
= w
1
/w
2
; К
R2
= (w
1
/w
2
)
2
; К
L2
= (w
1
/w
2
)
2
;
К
U2
= w
1
/w
2
; К
Rн
= (w
1
/w
2
)
2
; К
Lн
= (w
1
/w
2
)
2
; К
i2
= w
2
/w
1
.
Для приведения параметров и переменных ко вторичной цепи
представим структурную схему рис. 3.8, а в виде cхемы рис. 3.11, где
W
2
'= w
2
2
W
2
p.
Рис. 3.11
Из структурной схемы рис. 3.11 имеем:
u
1пр
= w
2
/w
1
u
1
;
i
1пр
= w
1
/w
2
i
1
; e
2пр
= w
2
/w
1
е
1
; R
1пр
= (w
2
/w
1
)
2
R
1
,
L
1пр
= (w
2
/w
1
)
2
L
1
.
Коэффициенты приведения переменных и параметров трансформатора к
его вторичной цепи определятся выражениями:
К
e2
= w
2
/w
1
; К
R1
= (w
2
/w
1
)
2
; К
U1
= w
2
/w
1
; К
L1
= (w
2
/w
1
)
2
; К
i2
= w
1
/w
2
.
На рис. 3.12 приведены зависимости от времени токов, ЭДС,
напряжений, мощностей и энергий в обмотках трансформатора при его
включении на синусоидальное напряжение e=100sin(314t). Параметры
трансформатора: R
1
=0,02 Ом, R
2
=0,05 Ом, R
н
=0,5 Ом, R
m
=50 Ом, L
1
=0,0005
Гн, L
2
=0,001 Гн, L
н
=0,002 Гн, L
m
=0,4 Гн, w
1
=10, w
2
=1.
Насыщение магнитопровода учитывается так же, как в случае катушки
индуктивности с ферромагнитным сердечником (раздел 2.7). ДСС
трансформатора показана на рис. 3.13.
148
Рис. 3.12