Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии

Подождите немного. Документ загружается.

129

2.6. Модели резистивных цепей

Анализ резистивных цепей простой конфигурации обычно проводят

методом эквивалентных преобразований без применения формальных

приемов составления и решения системы алгебраических уравнений цепи.

При анализе же сложных цепей произвольной структуры, содержащих

резистивные элементы и источники питания, используют различные

классические методы, основанные на составлении уравнений цепи

относительно выбранных переменных и

их решении. При этом для цепей

сложной структуры обычно используют запись системы алгебраических

уравнений в матричной форме.

Необходимо отметить, что во всех случаях для анализа резистивных

цепей методом математического моделирования на ПЭВМ используются

специальные программные продукты, неприменимые для анализа динамики

цепей с индуктивными и емкостными элементами.

В настоящей работе предлагается

методика анализа резистивных цепей

методом пространства состояний, широко используемого для анализа

динамических цепей (цепей с элементами, запасающими энергию), в основе

которой лежит расчетная (искусственная) динамическая модель цепи.

Синтез расчетной модели для анализа конечного токораспределения в

резистивной цепи осуществляется в следующем порядке:

- составляют систему алгебраических (статических) уравнений исходной

резистивной цепи;

- по

системе уравнений формируют исходную (естественную

непреобразованную) статическую структурную схему, состоящую из

безынерционных звеньев и сумматоров;

- формируют расчетную (искусственную) динамическую структурную

схему цепи, путем введения в прямые каналы (или в каналы обратных

связей) замкнутых алгебраических контуров апериодических звеньев

(фильтров) с фиктивными малыми постоянными времени;

- составляют детализированную (развернутую) структуру расчетной

модели

цепи;

- формируют уравнения состояния расчетной структуры цепи и ее

модель в переменных состояния.

Предлагаемая методика позволяет произвести расчет токораспределения в

резистивной цепи по расчетной структурной схеме, ее детализированному эквиваленту,

уравнениям состояния, а также модели в переменных состояния с использованием

стандартных программных пакетов анализа динамических цепей.

130

На рис. 2.41 приведена схема цепи, имеющая три резистивных ветви

) и два источника напряжения (е

,е

131

Рис. 2.41

Применяя к этой схеме законы Кирхгофа, составляем три уравнения:

= i

+ i

;

 e

= i

R

+ i

R

, (2.32)

= i

R

+ i

R

Уравнения (2.32) перепишем в виде:

= i

 i

;

= (e

 e

 i

R

)/R

; (2.33)

= (e

 i

R

)/R

Системе уравнений (2.33) соответствует статическая структурная схема

цепи (рис. 2.42), содержащая два явновыраженных алгебраических контура –

внутренний (элементы 1/R

и R

) и внешний (элементы 1/R

, R

, 1/R

и R

Заметим, что элементы 1/R

и R

являются общими для обоих контуров.

Рис. 2.42

132

Для расчета цепи методом переменных состояния структуру рис. 2.42

необходимо трансформировать в динамическую структурную схему.

Последнее может быть выполнено различными путями. Можно, например,

Рис. 2.43

ввести в прямой канал внутреннего замкнутого безынерционного контура

последовательно с элементом 1/R

апериодическое звено (фильтр) с

коэффициентом передачи, равным единице, и малой (фиктивной)

постоянной времени T

(рис. 2.43). После замены апериодического звена его

детализированным эквивалентом может быть легко получена развернутая

структурная схема, записаны уравнения состояния и сформирована модель в

переменных состояния расчетной структуры.

Другой вариант расчетной структурной схемы цепи (рис.2.44) можно

получить путем введения аналогичного фильтра в общую цепь каналов

(элемент R

) обратных связей указанных безынерционных контуров.

Рис. 2.44

Возможен также вариант расчетной структурной схемы с двумя

фильтрами, включенными последовательно в прямые каналы контуров с

коэффициентами передачи 1/R

и 1/R

(рис. 2.45).

133

Рис. 2.45

Структуры рис. 2.43, 2.44 и 2.45 эквивалентны с позиции конечного

(установившегося) распределения токов в цепи. Разница этих структур

проявляется в характере фиктивных переходных процессов в цепи,

"порожденных" принятым в работе методом расчета резистивных цепей.

Заметим, что определение действительных токов ветвей простых

резистивных цепей средствами программных пакетов для анализа

динамических цепей может

быть также произведено с использованием

статической структурной схемы цепи (рис. 2.46), свернутой из схемы рис.

2.42. На схеме рис. 2.46 обозначено: (R

)  коэффициент приведения

напряжения е

к напряжению е

, R

/(R

)  коэффициент приведения

напряжения е

к напряжению е

. Эта схема может быть получена также путем

решения исходной системы уравнений рассматриваемой цепи.

Рис. 2.46

Рассмотренный способ преобразования статической структурной схемы в искусственную динамическую при рациональном

подборе постоянных времени фильтров оказывается особенно эффективным при исследовании систем, модели которых сводятся к

совокупности резистивных и индуктивно (емкостно)-резистивных цепей.

2.7. Катушка индуктивности с ферромагнитным сердечником

134

Общая структура модели катушки индуктивности (рис. 2.47) состоит из

двух функциональных блоков, охваченных обратной связью по магнитному

потоку.

Рис. 2.47

Первый блок – модель электрической части катушки, т.е. модель

обмотки (входной величиной является ЭДС источника питания, выходной –

ток в обмотке; магнитный поток является сигналом обратной связи). Второй

блок – модель магнитной системы (

входная величина – ток в обмотке,

выходная – магнитный поток).

Процессы в обоих блоках имеют тесную связь, поскольку магнитные и

электрические явления являются двумя сторонами единого

электромагнитного процесса. При этом результаты расчета магнитной цепи

используются при определении электродвижущей силы, наводимой в

обмотке по закону электромагнитной индукции, а результаты расчета

электрической цепи, в свою

очередь, оказывают влияние на определение

параметров и характеристик магнитной системы а также на протекающие в

ней процессы.

Модель катушки индуктивности строится на базе теории цепей; для

этого электрическая и магнитная системы представляются в виде их

электрической (а) и магнитной (б) схем замещения (рис. 2.48).

ФФ

135

а) б)

Рис. 2.48

Для этих схем замещения записываются линейные уравнения

электрического и магнитного равновесия, составленные по второму закону

Кирхгофа,

dФ

LRФWi

dФ

LiRee

mm11

11111и







(2.34)

где e

и1

– ЭДС источника питания, R

и L

– активное сопротивление и индуктивность

рассеяния катушки, W

– число витков, R

– магнитное сопротивление, L

–

индуктивность магнитной цепи, введенная для учета потерь энергии в сердечнике, Ф –

основной поток.

После записи системы уравнений в операторной форме при нулевых начальных

условиях, нетрудно составить структурную схему модели катушки индуктивности (рис.

2.49).

Рис. 2.49

p+1)

-E

136

Учет нелинейных свойств материала магнитопровода основан на

приближенной аналитической аппроксимации зависимости намагниченности

вещества от напряженности магнитного поля  = f(H), с ограниченным

набором параметров 

нач

, 

max

, H

кр

(рис. 2.50), причем используемые

параметры являются справочными данными, определяющими основные

магнитные свойства вещества,

)H(

max

нач

кр

max

нач

кр

max





























χ (2.35)

где

max

нач

max

нач

11A

















Рис. 2.50

Порядок параболической составляющей функции изменяется в диапазоне от

0,8 до 1,2 и подбирается индивидуально для конкретного магнитного

материала. Оптимальное значение n, соответствующее подавляющему

большинству применяемых на практике магнитных материалов, равно 1,0.

137

При этом модель рис. 2.47 оказывается разделенной на линейную (1) и

нелинейную (2) части, а третье уравнение в (2.34) становится нелинейным и

записывается в виде

)L(

Rwi

mm11

 ,

где



 ,

))H(1(





 , а

и S означают длину и сечение

сердечника.

Приближенный учет потерь энергии в магнитопроводе основан на

использовании в ветвях магнитной схемы замещения магнитной

индуктивности L

, значение которой пропорционально удельным магнитным

потерям и зависит от конструкции магнитопровода



удm

 , (2.36)

где

изм

K  коэффициент, учитывающий условия, при которых были

определены удельные потери в стали, как то частота f

изм

и амплитуда

магнитной индукции B

изм

; если удельные потери берутся по отношению к

массе магнитопровода, то в числителе этого коэффициента учитывается

плотность ферромагнитного материала. В первом приближении принимаем

эту индуктивность постоянной и соответствующей, например, номинальным

значениям f и B.

Формула для определения постоянной времени магнитной цепи

с учетом (2.36) принимает вид



удm

PT 



 , (2.37)

т.е. постоянная времени не зависит от геометрических размеров магнитопровода.

При использовании описанной выше методики учета нелинейных

свойств ферромагнитных материалов детализированная (алгоритмическая)

структурная схема катушки индуктивности примет вид, изображенный на

рис. 2.51.

На рис. 2.52 и 2.53 показаны зависимости напряжения, тока и потока

катушки от времени при ее включении на источник синусоидальной ЭДС. На

рис. 2.54 приведена зависимость потока от тока для данного режима. Можно

138

видеть, что кривые тока и потока несинусоидальны, а выход на предельную

петлю гистерезиса происходит за несколько периодов сети.

Следует отметить, что в ряде случаев оказывается целесообразным

искусственно ввести малую индуктивность магнитной цепи (как показано,

например, в главе 5). Это позволяет сохранить топологическое соответствие

структурной схемы реальной системе, выделить в ней нелинейные части

, без

преобразования схемы исключить алгебраические контуры.

Рис. 2.51

Рис. 2.52

-E









)

уд

