Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
99
Заметим, что для детализированной структурной схемы,
удовлетворяющей законам Кирхгофа, справедливо выражение:
Х
вх
Х
вых
(Х
вх.пк
Х
вых.пк
+Х
вх.ос1
Х
вых.ос1
+Х
вх.ос2
Х
вых.ос2
) = 0,
где
Х
вх
= e; Х
вых
= i; Х
вх.пк
= u
L
;
Х
вых.пк
= Х
вых
= i; Х
вх.ос1
= Х
вых
= i; Х
вых.ос1
= u
R1
;
Х
вх.ос2
= Х
вх.ос1
= Х
вых = i
, Х
вых.ос2
= u
R2
.
ос, пк – индексы обратной связи и прямого канала.
Последнее выражение позволяет распространить известную теорему Телледжена
теории электрических цепей на подобные детализированные структурные схемы,
сформулировав ее следующим образом:
Сумма произведений мгновенных значений входных воздействий и
реакции модели равна сумме произведений мгновенных значений
входных воздействий и реакций прямого канала и каналов обратных
связей детализированной структуры, удовлетворяющей законам Кирхгофа,
или
(Х
вхi
Х
выхi
) = (Х
вх.пкi
Х
выхi
) + (Х
вх.осi
Х
вых.осi
).
Отметим, что модели рис. 2.5. и 2.8 позволяют проводить анализ
динамических процессов в цепях с нулевыми и ненулевыми начальными
условиями при воздействиях произвольных источников напряжения. Задание
ненулевых начальных условий в известных пакетах (SIAM, SIMULINK и
т.п.) обычно производится при редактировании параметров (коэффициент
усиления, постоянная времени, начальное значение выходной переменной и
т.д.) конкретного
блока исследуемой системы. Это может быть выполнено
также путем включения на выходы интеграторов дополнительных блоков,
суммирующих начальные значения переменных (в данном случае токов) с
выходными сигналами интеграторов.
В качестве примера на рис. 2.9 приведены зависимости напряжений,
мощностей и энергий на элементах R
1
=10 Ом, R
2
=100 Ом, L=0,5 Гн от
100
времени при включении цепи на постоянную ЭДС Е=100 В. Там же показаны
мощность и энергия источника питания.
101
Рис. 2.9
102
2.2. Последовательная трехэлементная rlc – цепь
Остановимся на рассмотрении трехэлементных цепей. Для
последовательного контура (рис.2.10) с реактивными элементами L и C и
активным
Рис. 2.10
сопротивлением R, характеризующим потери в контуре, сформируем
интегро-дифференциальное уравнение
e = Ri + Ldi/dt +1/Сidt, (2.11)
где e = e(t) – напряжение на зажимах цепи. Выражение (2.11) в операторной
форме запишем в виде:
E(p) = (R+Lp+1/Сp)I(p), (2.12)
или E(p) = R(1+pT
1
+1/pT
2
)I(p).
Из последнего уравнения следует, что
I(p) = E(p)/[R(1+pT
1
+1/pT
2
)], (2.13)
или
I(p) = E(p)pT
2
/[R(p
2
T
1
T
2
+pT
2
+1)], (2.14)
103
где T
1
= L/R; T
2
= RC – электромагнитные постоянные времени.
Выражению (2.14) соответствуют структурные схемы, показанные на рис.
2.11, которые с учетом модели универсального звена второго порядка
а) б)
Рис. 2.11
(табл.1.1)можно представить в виде детализированных структур (рис.2.12).
а) б)
Рис.2.12
На рис. 2.13 изображена полная развернутая структура модели
рассматриваемой цепи с учетом
каналов измерения мгновенных значений
напряжения, мощности и энергии элементов контура.
104
Рис. 2.13
Уравнения состояния и уравнения интересующих нас выходов этой модели
имеют вид:
dХ
1
/dt = (e Х
2
RCХ
1
)/LC;
dХ
2
/dt = Х
1
;
dХ
3
/dt = (e Х
2
RCХ
1
)CХ
1
;
dХ
4
/dt = RCХ
1
Х
1
C;
dХ
5
/dt = eХ
1
C;
i = Х
1
C;
u
R
= RCХ
1
;
u
C
= Х
2
;
u
L
= (e Х
2
RCХ
1
);
P
R
= u
R
i;
G
L
= u
L
i;
G
C
= u
C
i,
S = ei.
В качестве примера на рис. 2.14 приведены зависимости напряжений,
мощностей и энергий на элементах цепи R=25 Ом, L=0,2 Гн, C=50 мкФ от
времени при включении ее на синусоидальную ЭДС е =100 sin (314t).
105
Рис. 2.14
106
2.3. Сложная цепь с несколькими
Источниками питания
Рассмотрим сложную цепь с тремя источниками питания (рис.2.15).
Рис. 2.15
Ее динамику можно описать следующими уравнениями:
I
1
(p) + I
2
(p) + I
3
(p) = 0;
U
R1
(p) + U
L1
(p) U
R2
(p) U
L2
(p) = E
1
(p) E
2
(p);
U
R2
(p) + U
L2
(p) U
R3
(p) U
L3
(p) = E
2
(p) E
3
(p);
U
R1
(p) = R
1
I
1
(p); U
L1
(p) = L
1
pI
1
(p); (2.16)
U
R2
(p) = R
2
I
2
(p); U
L2
(p) = L
2
pI
2
(p);
U
R3
(p) = R
3
I
3
(p), U
L3
(p) = L
3
pI
3
(p).
Уравнения (2.16) для построения детализированной структуры (рис. 2.16)
цепи целесообразно представить в виде:
для канала вычисления тока i
1
(p)
I
1
(p) = U
L1
(p)/L
1
(1/p);
U
L1
(p) = E
1
(p) E
2
(p) U
R1
(p) + U
R2
(p) + U
L2
(p);
U
R1
(p) = R
1
I
1
(p); U
R2
(p) = R
2
I
2
(p); U
L2
(p) = L
2
pI
2
(p),
для канала вычисления тока I
2
(p)
I
2
(p) = U
L2
(p)/L
2
(1/p);
U
L2
(p) = E
2
(p) E
3
(p) U
R2
(p) + U
R3
(p) + U
L3
(p);
U
R2
(p) = R
2
I
2
(p); U
R3
(p) = R
3
I
3
(p),
U
L3
(p) = L
3
pI
3
(p)
107
и для канала вычисления тока I
3
(p)
I
3
(p) = I
1
(p) I
2
(p).
Рис. 2.16
Выполним ряд структурных преобразований: перенос точки съема входного
сигнала звена L
2
p на вход второго интегратора и представление сумматора 1
в виде двух эквивалентных – получим детализированную структуру рис. 2.17,
а; перенос узла суммирования 11 токов i
1
и i
2
со входа звена с
коэффициентом передачи R
3
на его выход, а узла суммирования 12 – на
выход звена с передаточной функцией L
3
p – получим рис. 2.17, б; перенос
точки съема входных сигналов дифференцирующих звеньев L
3
p на входы
интеграторов – получим детализированную структуру, представленную на
рис. 2.17, в.
Из рис. 2.17, в запишем выражения для производных токов i
1
и i
2
pi
1
= [e
1
e
2
R
1
i
1
+ R
2
i
2
+ L
2
pi
2
]/L
1
,
pi
2
= [e
2
e
3
(R
2
+R
3
)i
2
R
3
i
1
L
3
pi
1
]/(L
2
+L
3
).
108
а) б)
в)
Рис. 2.17