Тимофеев В.А., Тимофеев А.А. Краткий курс лекций по высшей математике. Семестр II (сокращенная программа)

Подождите немного. Документ загружается.

⎩

⎨

⎧

⋅+⋅−=

⋅+⋅=

212

211

eCeCx

Пример 4. Решить систему

⎩

⎨

⎧

++=

−

eexy

Решение. Решим однородную систему

⎩

⎨

⎧

(3*)

Составим характеристическое уравнение:

−

, 01

−

, 1

−=

Общее решение будем искать в виде

(4*)

⎩

⎨

⎧

⋅+⋅=

−

ebeay

eCeCx

Выразим и через и . Для этого подставим (4*) в (3*) и приравняем

коэффициенты при одинаковых членах слева и справа:

a b

⎩

⎨

⎧

−=

⇒

⎩

⎨

⎧

⋅+⋅=⋅−⋅

−

−−

eCeCebea

ebeaeCeC

tttt

Таким образом,

– общее решение однородной системы.

⎩

⎨

⎧

⋅−⋅=

⋅+⋅=

−

eCeCy

eCeCx

Пусть , . Тогда

)(

tCC = )(

tCC =

– подставим в исходную систему уравнений.

⎩

⎨

⎧

⋅−⋅=

⋅+⋅=

−

etCetCy

etCetCx

)()(

Имеем:

⇒

⎩

⎨

⎧

++⋅+⋅=⋅+⋅

′

−⋅+⋅

′

⋅−⋅=⋅−⋅

′

+⋅+⋅

′

−−−−

−−−

,)()()()()()(

212211

tttttttt

tttttt

eeetCetCetCetCetCetC

etCetCetCetCetCetC

⇒

⎩

⎨

⎧

+=⋅

′

⋅

′

−=

′

⇒

⎩

⎨

⎧

+=⋅

′

−⋅

′

=⋅

′

+⋅

′

⇒

−−−

−

,)(2

,)()(

,0)()(

ttt

tttt

eeetC

etCtC

eeetCetC

etCetC

⎩

⎨

⎧

+−=

′

⇒

−

).1(5,0)(

),1(5,0)(

etC

Тогда

)5,0(

)1(

)( CetdtetC

+−=

⎮

⌡

⌠

−−

)5,0(

)1(

)( CetdtetC

++−=

⎮

⌡

⌠

+−= .

Таким образом, общее решение неоднородной системы уравнений

=+−⋅+−+⋅=

−−− tttttt

eeteCeeteCx )5,0(5,0)5,0(5,0

tttt

eeee

teCeC

⋅−

−

⋅+⋅+⋅=

−−

−

=⋅−++−+⋅=

−−− tttttt

eCeeteeteCy

)5,0(5,0)5,0(5,0

tttt

eeee

teCeC

−−

−

⋅+

⋅+⋅−⋅= .

ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных

интегралов.

2. Свойства неопределенного интеграла. Геометрический смысл неопреде-

ленного интеграла.

3. Основные методы интегрирования. Интегрирование методом замены пе-

ременной и по частям.

4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

5. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование пра-

вильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

6. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

7. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.

8. Интегрирование дифференциальных биномов.

9. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

10. Понятие определенного интеграла. Теорема существования. Свойства

определенного интеграла.

11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирова-

ния. Формула Ньютона-Лейбница.

12. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по час-

тям в определенном интеграле.

13. Вычисление площади в Декартовых координатах с помощью определен-

ного интеграла.

14. Вычисление площади в полярных координатах с помощью определенно-

го интеграла.

15. Вычисление длины дуги в Декартовых координатах.

16. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравне-

ниями. Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат.

17. Вычисление объема тела с помощью определенного интеграла.

18. Вычисление площади поверхности тела вращения с помощью опреде-

ленного интеграла.

19. Несобственные интегралы.

20. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

21. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общие понятия. Теорема

существования.

22. Уравнения с разделяющимися переменными.

23. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

24. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли.

25. Понятие дифференциальных уравнений высших порядков.

26. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

27. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Общие свой-

ства.

28. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициента-

ми без правой части, их решение.

29. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициента-

ми с правой частью.

30. Метод вариации произвольных постоянных.

31. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с по-

стоянными коэффициентами со специальной правой частью.

32. Система обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальная сис-

тема дифференциальных уравнений.

33. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-

фициентами.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

Контрольная работа № 3

1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а)

; б)

⎮

⌡

⌠

dxxe

2sin

sin

⎮

⌡

⌠

dxxarctg

;

в)

⎮

⌡

⌠

;

г)

⎮

⌡

⌠

11 x

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

54xx

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и пря-

мой

+= xy

73 +=

y .

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

+∞

Контрольная работа № 4

. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б) . yxyxyxy

′

+=+ )2(

yxyx

′

′′

− )1(

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-

щее начальным условиям:

)1(2 xyy

−

′

−

′′

; 0)0(

y , 1)0(

′

y .

3. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

.24

,64

Вариант 2

Контрольная работа № 3

. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а)

⎮

⌡

⌠

)4(x

xdx

;

б) ;

⎮

⌡

⌠

+ dxee

)31ln(

в)

⎮

⌡

⌠

+−

132

; г)

⎮

⌡

⌠

+ xx

tgsin

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

a )sin(

−= )cos1(,

ay −= )20(

≤

и осью O

≤

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

+∞

ln xx

Контрольная работа № 4

. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б) . xxyyx cos

=−

′

0)()(2

′

′′

yyyy

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-

щее начальным условиям:

xyyy sin1743

−

′

−

′′

; 4)0(

y , 0)0( =

′

y .

3. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−=

.32

,45

Вариант 3

Контрольная работа № 3

. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а)

⎮

⌡

⌠

−

1 x

dxx

;

б) ;

⎮

⌡

⌠

⋅ dxx

в)

⎮

⌡

⌠

+++

−

xxx

1644

)73(

; г)

⎮

⌡

⌠

+++

)3(3 xx

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

cos dxxx .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой )cos1(3

+= .

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

∞−

1xx

Контрольная работа № 4

. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б)

2xyyxy +=

′

xxyy 2sintg =

′

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-

щее начальным условиям:

xyy cos3

′

−

′′

; 0)0(

y , 0)0(

′

y .

3. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

Вариант 4

Контрольная работа № 3

. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а)

⎮

⌡

⌠

+ )1tg3(cos

;

б)

⎮

⌡

⌠

−

arcsin

;

в)

⎮

⌡

⌠

+++ 22

xxx

;

г) dx

⎮

⌡

⌠

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

2sincos

dxxx .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

2sin4= .

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

+∞

∞−

Контрольная работа № 4

. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б)

xyyx =+

′

y =

′

′′

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-

щее начальным условиям:

eyyy

92 =+

′

′′

; 0)0(

y ,

2)0( =

′

3. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−=

.58

,36

Вариант 5

Контрольная работа № 3

. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а) dx

⎮

⌡

⌠

3sin4

3cos

;

б) ;

⎮

⌡

⌠

dxex

x32

в)

⎮

⌡

⌠

+++

xxx

485

; г) dx

⎮

⌡

⌠

cos1

cos

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры,

ограниченной параболами и

xy = xy = .

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

+∞

Контрольная работа № 4

. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) 1sincos =

′

xyxy

; б) . 0)(1

′′

′

+ yyy

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-

щее начальным условиям:

xyy 2cos59 =+

′′

; 1)0(

−

y , 1)0( =

′

y .

3. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−=

Вариант 6

Контрольная работа № 3

. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а)

⎮

⌡

⌠

cos

sin

; б)

⎮

⌡

⌠

arcsin ;

в)

⎮

⌡

⌠

−+

xxx

; г) dx

⎮

⌡

⌠

)4(

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси O

фигуры,

ограниченной полуэллипсом

13 xy −= , параболой yx −= 1 и осью O

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

+∞

∞−

Контрольная работа № 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б) .

2 yxyxy +=

′

0)(5)1(

′

−

′′

+ yyy

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю-

щее начальным условиям:

)23(223 xyyy

−

′

−

′′

; 0)0(

y , 1)0( =

′

y .

3. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=

.82

,23

Вариант 7

Контрольная работа № 3

. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференциро-

ванием:

а) dx

⎮

⌡

⌠

arctg

;

б) ;

⎮

⌡

⌠

+ dxxx )1ln(

в)

⎮

⌡

⌠

−

; г) dx

⎮

⌡

⌠

2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный инте-

грал:

⎮

⌡

⌠

)14( xx

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси O

фигуры,

ограниченной кривыми

= и .

xy =

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

⎮

⌡

⌠

+∞

Контрольная работа № 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) ; б) .

02 =−+

′

−x

xexyy

2 xyyx =

′

′′