Тимофеев В.А., Тимофеев А.А. Краткий курс лекций по высшей математике. Семестр II (сокращенная программа)
Подождите немного. Документ загружается.
10
§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
К простейшим рациональным дробям относят следующие дроби четы-
рех типов:
I.
a
x
A
−
;
III.
qpxx
NMx
++
+
2
;
II. ...,3,2,
)(
=
−
n
ax
A
n
; IV. ...,3,2,
)(
2
=
++
+
n
qpxx
NMx
n
,
где
A
,
M
,
N
,
p
, , – действительные числа, а трехчлен не
имеет действительных корней, т.е. .
q a qpxx ++
2
04
2
<− qp
Рассмотрим теперь как интегрируется каждый из четырех типов про-
стейших рациональных дробей.
I. CaxA
ax
axd
A
ax
dx
Adx
ax
A
+
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
−⋅=
−
−
⋅=
−
⋅=
−
ln
)(
.
Пример 1.
⎮
⌡
⌠
++⋅=
+
+
⋅=
⎮
⌡
⌠
+
Cx
x
xd
x
dx
5ln3
5
)5(
3
5
3
.
II. =+
−
−
⋅=
⎮
⌡
⌠
−−⋅=
⎮
⌡
⌠
−
−
−
C
n
ax
AaxdaxAdx
ax
A
n
n
n
1
)(
)()(
)(
1
C
axn
A
n
+
−−
=
−1
))(1(
.
Пример 2.
C
x
C
x
xdx
x
dx
+
−
−=+
−
−
=
⎮
⌡
⌠
−−=
⎮
⌡
⌠
−
−
−
2
2
3
3
)1(2
1
2
)1(
)1()1(
)1(
.
III. =
=−=
+=
′
++=
=
⎮
⌡
⌠
++
+
=
dtdx
p
tx
p
xqpxxt
dx
qpxx
NMx
J
,
2
,
2
)(
2
1
2
2
=
=−
=
⎮
⌡
⌠
−+
−+
=
⎮
⌡
⌠
+−++−
+−
=
2
2
22222
4
4
2
24
)2(
a
p
q
dt
pqt
MpNMt
dt
qpptpptt
NptM
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⋅=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
+
=
21
2222
22
J
Mp
NJM
at
dtMp
N
at
tdt
M .
11
1
22
22
22
22
1
)(ln
2
1)(
2
1
Cat
at
atd
at
tdt
J ++=
⎮
⌡
⌠
+
+
=
⎮
⌡
⌠
+
= .
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+=
+
=
+
=
⎮
⌡
⌠
+
=
2
22222
2
arctg
1
)(1
)(1
)(1
1
C
a
t
a
at
atd
a
at
dt
aat
dt
J .
Таким образом,
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++⋅= C
a
tMp
N
a
atMJ arctg
2
1
)ln(
2
1
22
C
p
q
p
x
p
q
Mp
N
qpxx
M
+
−
+
−
−
+++=
4
2
arctg
4
2
)ln(
2
22
2
.
Пример 3.
=
⎮
⌡
⌠
+−++−
−−
=
=−=
+=
′
++=
=
⎮
⌡
⌠
++
−
dt
ttt
t
dtdxtx
xxxt
dx
xx
x
102212
1)1(2
,1
,1)102(
2
1
102
12
2
2
2
JJJ
t
dt
t
tdt
dt
t
t
=−=
⎮
⌡
⌠
+
−
⎮
⌡
⌠
+
=
⎮
⌡
⌠
+
−
=
21
222
32
9
3
9
2
9
32
.
1
2
2
2
2
1
)9ln(
2
1
9
)9(
2
1
9
Ct
t
td
t
tdt
J ++=
⎮
⌡
⌠
+
+
=
⎮
⌡
⌠
+
=
.
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
+
=
+
=
⎮
⌡
⌠
+
=
2
222
2
3
arctg
3
1
)3(1
)3(
3
1
)3(1
9
1
9
C
t
t
td
t
dt
t
dt
J
.
C
x
xxC
t
tJ +
+
−++=+−+=
3
1
arctg)102ln(
3
arctg)9ln(
22
.
Пример 4.
⎮
⌡
⌠
=
+
−−
=
=−=
+=
′
++=
=
⎮
⌡
⌠
++
−
dt
t
t
dtdxtx
xxxt
dx
xx
x
32
2
32
)9(
2)1(3
,1
,1)102(
2
1
)102(
23
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
=
+
−
+
= J
t
dt
t
tdt
3232
)9(
5
)9(
3
.
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+
+
−
=+
−
⋅+=
+
+
=
+
−
1
22
1
22
32
2
32
)9(4
1
2
1
)9(
2
1
)9(
)9(
2
1
)9(
C
t
Ct
t
td
t
tdt
.
12
=
⎮
⌡
⌠
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+
−
+
=
⎮
⌡
⌠
+
−+
==
+
dt
t
t
t
dt
dt
t
tt
J
t
dt
32
2
2232
22
3
32
)9()9(
9
1
)9(
9
9
1
)9(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎮
⌡
⌠
+
− dt
t
t
J
32
2
2
)9(
9
1
;
=
+
−
=
+
=
==
=
⎮
⌡
⌠
+
2232
32
2
)9(4
1
,
)9(
,,
)9(
t
v
t
tdt
dv
dtdutu
dt
t
t
22
2
2222
)9(4
4
1
)9(4)9(4 +
−=
⎮
⌡
⌠
+
+
+
−
=
t
t
J
t
dt
t
t
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+=
22
23
)9(4
4
3
9
1
t
t
JJ
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+
−
+
=
⎮
⌡
⌠
+
−+
=
⎮
⌡
⌠
+
=
22
2
222
22
22
2
)9(9
9
1
)9(
9
9
1
)9( t
dtt
t
dt
dt
t
tt
t
dt
J ;
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
+
=
+
=
+
2
222
3
arctg
3
1
)3(1
)3(
3
1
)3(1
9
1
9
C
t
t
td
t
dt
t
dt
;
=
⎮
⌡
⌠
+
−
=
+
+
=
+
=
=
=
=
⎮
⌡
⌠
+
)9(2
1
)9(
)9(
2
1
,
)9(
,,
)9(
222
2
22
22
2
tt
td
v
t
dtt
dv
dtdutu
t
dtt
3
222
3
arctg
6
1
)9(2)9(2)9(2
C
t
t
t
t
dt
t
t
++
+
−
=
⎮
⌡
⌠
+
+
+
−
= ;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+=
)9(2
3
arctg
6
1
9
1
3
arct
6
1
)9(2
3
arctg
3
1
9
1
2
4
2
2
t
tt
C
t
g
t
tt
J
.
5
222
3
)9(4)9(2
3
arctg
6
1
12
1
9
1
C
t
t
t
tt
J +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+= .
=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
+
−
= C
t
t
t
tt
t
J
22222
)9(4)9(2
3
arctg
6
1
12
1
9
5
)9(4
3
C
xx
x
xx
xx
+
++
+
+
−
++
+
⋅−
+−
=
222
)102(4
)1(227
102
1
108
5
3
1
arctg
324
1
.
13
§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Определение. Многочленом -й степени по переменной n
x
с действи-
тельными коэффициентами называется выражение
, (1)
nn
nn
n
axaxaxaxP +⋅++⋅+⋅=
−
−
1
1
10
...)(
где , , …, – действительные числа, называемые коэффициентами
многочлена (1).
0
a
1
a
n
a
Определение. Корнем многочлена (1) называется число такое, что
.
a
0)( =aP
n
Имеет место следующая теорема, которую принимаем без доказатель-
ства.
Теорема 1. Всякий многочлен -й степени с действительными коэф-
фициентами можно представить в виде разложения:
n
, (2)
mk
l
mm
l
t
k
t
n
qxpxqxpxbxbxaxP )(...)()(...)()(
2
11
2
10
11
++⋅⋅++⋅−⋅⋅−⋅=
где , , …, – действительные корни многочлена ), кратности
соответственно , , …, ;
1
b
2
b
k
b (xP
n
1
t
2
t
k
t
, , , , …, , – действительные числа.
1
p
1
q
2
p
2
q
m
p
m
q
Причем квадратные трехчлены в круглых скобках не имеют действительных
корней.
nlllttt
mk
=
+
+
+
+
+
++ 2...22...
2121
.
Определение. Дробно-рациональной функцией или просто рацио-
нальной дробью называется функция вида
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
m
n
= ,
где и – многочлены от
)(xP
n
)(xQ
m
x
степени и m соответственно. n
Пример 1.
x
x
xxx
xR
−
−+−
=
2
23
12
)(.
Определение. Рациональная дробь называется правильной, если сте-
пень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае рацио-
нальная дробь называется неправильной.
Замечание. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить
в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
14
В самом деле, пусть
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
m
n
= – неправильная рациональная дробь,
т.е. . Тогда, разделив числитель на знаменатель, получим тождество mn
≥
)()()()( xrxLxQxP
mn
+
⋅
=
,
где частное
)(
x
L
и остаток
)(
x
r
– многочлены, причем степень остатка
)(
x
r
меньше степени знаменателя . Отсюда имеем представление m
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xr
xL
xQ
xP
mm
n
+= ,
где
)(
)(
xQ
xr
m
– правильная рациональная дробь.
Пример 2.
x
x
x
x
x
xxx
−
−
+−=
−
−+−
2
23
12
1
1
12
.
Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби
)(
)(
xQ
xP
m
n
сводится к интегрированию многочлена )(
x
L
и правильной рациональной
дроби
)(
)(
xQ
xr
m
.
Т.к. интегрировать многочлены мы умеем, то остается рассмотреть интегри-
рование правильных рациональных дробей.
Интегрирование правильных рациональных дробей.
Метод неопределенных коэффициентов
Выясним, каким образом всякая правильная рациональная дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
( ) может быть разложена на простейшие дроби. При этом раз-
ложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби
на произведение линейных и квадратичных множителей.
mn <
)(xQ
m
Пусть для определенности знаменатель разлагается на множите-
ли следующим образом:
)(xQ
m
plk
m
qpxxbxaxxQ )()()()(
2
++⋅−⋅−=
,
где квадратичный трехчлен не имеет действительных корней. То-
гда имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.
qpxx
++
2
15
Теорема. Правильную рациональную дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
, где
, можно единственным образом раз-
ложить в сумму простейших дробей:
plk
m
qpxxbxaxxQ )()()()(
2
++⋅−⋅−=
+
−
++
−
+
−
+
−
++
−
+
−
=
l
l
k
k
m
n
bx
B
bx
B
bx
B
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(
...
)()(
...
)(
)(
)(
2
21
2
21
p
pp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM
)(
...
)(
222
22
2
11
++
+
++
++
+
+
++
+
+ , (*)
где , , , ( ) – действительные числа.
i
A
i
B
i
M
i
N ...,2,1=i
Из формулы (*) видно, что линейным множителям знаменателя
в разложении соответствуют простейшие рациональные дроби I и II типов, а
квадратичным – простейшие дроби III и IV типов.
)(xQ
m
Следует заметить, что правило разложения правильной дроби на про-
стейшие дроби остается справедливым при любом конечном числе линейных
и квадратичных множителей в разложении знаменателя .
)(xQ
m
Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в
разложении правильной дроби на простейшие (*) является метод неопреде-
ленных коэффициентов. Поясним применение этого метода на примерах.
Пример 3.
⎮
⌡
⌠
−
+
dx
xx
x
)3(
2
.
)3(
3)(
)3(
)3(
3)3(
2
−
−
+
=
−
+
−
=
−
+=
−
+
xx
ABAx
xx
BxxA
x
B
x
A
xx
x
,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
.35
,32
,23
,1
B
A
A
BA
Cxx
x
dx
x
dx
dx
xx
x
+−+−=
⎮
⌡
⌠
−
+
⎮
⌡
⌠
−=
⎮
⌡
⌠
−
+
3ln
3
5
ln
3
2
33
5
3
2
)3(
2
.
Пример 4.
⎮
⌡
⌠
−−
−+−
= dx
xx
xxx
J
)2()1(
518175
3
23
.
=
−
+
−
+
−
+
−
=
−−
−+−
2
)1()1(
1
)2()1(
518175
323
23
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xxx
16
=
−−
−+−+−−+−−
=
)2()1(
)1()2()2)(1()2()1(
3
32
xx
xDxCxxBxxA
)2()1(
)222()335()34()(
3
23
−−
−−+−+++−+−+−++
=
xx
DCBADCBAxDBAxDAx
.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
=
=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=−+−−++−
−=
−=
−
=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=−−+−
=++−
−=−+−
=+
.3
,1
,0
,2
,52426210
,2
,3
,5
,5222
,18335
,1734
,5
D
C
B
A
DDDD
DC
DB
DA
DCBA
DCBA
DBA
DA
=+
⎮
⌡
⌠
−+
−
−
−−=
⎮
⌡
⌠
−
+
⎮
⌡
⌠
−
−
−
=
−
Cx
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
J 2ln3
2
)3(
1ln2
2
3
)3(
1
2
2
3
C
x
xx +
−
+−+−=
2
)3(2
1
2ln31ln2.
Пример 5.
⎮
⌡
⌠
+
+++
= dx
xx
xxx
J
3
23
153
.
1)
153
23
+
+
+
x
x
x
x
x
+
3
x
x
xx
x
x
xxx
+
++
+=
+
+++
3
2
3
23
12
3
153
.
1
3
2
3
12
3 Jxdx
xx
xx
dxJ +=
⎮
⌡
⌠
+
++
+
⎮
⌡
⌠
= .
2)
)1(
)(
)1(
)()1(
1)1(
12
2
2
2
2
22
2
+
+++
=
+
+++
=
+
+
+=
+
++
xx
AxCBAx
xx
xCBxxA
x
CBx
x
A
xx
xx
,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=+
.2
,0
,1
,1
,2
,1
C
B
A
A
C
BA
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
++=
+
+= Cxx
x
dx
x
dx
J arctg2ln
1
2
2
1
,
CxxxJ
+
++= arctg2ln3.
x
x
33
3
+
3
12
2
+
+
x
x
17
§ 5. Интегрирование некоторых классов
тригонометрических функций
Рассмотрим некоторые классы тригонометрических функций, интегри-
рование которых сводится к интегрированию дробно-рациональных функций
с помощью специальных подстановок.
1. , , m – целые числа.
⎮
⌡
⌠
dxxx
mn
cossin n
а) – нечетное, в этом случае замена n
x
u cos
=
;
б) – нечетное, в этом случае замена m
x
u sin
=
.
Пример 1.
=
⎮
⌡
⌠
−−=
−=−=
−==
=
⎮
⌡
⌠
duuu
uxx
xdxduxu
dxxx
42
222
43
)1(
1cos1sin
,sin,cos
cossin
C
xxuu
duuu +−=−=
⎮
⌡
⌠
−=
5
cos
7
cos
57
)(
5757
46
.
Пример 2.
C
x
C
u
u
du
xdxdu
xu
dx
x
x
+=+=
⎮
⌡
⌠
−=
−=
=
=
⎮
⌡
⌠
−
2
2
33
cos2
1
2
sin
,cos
cos
sin
.
Замечание. Этот же метод применим и в том случае, когда одно из чисел
или нечетно и положительно, а другое – любое действительное число.
m
n
Пример 3.
=
⎮
⌡
⌠
−=
−=−=
==
=
⎮
⌡
⌠
duuu
uxx
dxxduxu
dxxx )1(
1sin1cos
,cos,sin
cossin
232
222
3
3
2
CxxC
uu
duuu +−=+−=
⎮
⌡
⌠
−=
31135
31135
3832
sin
11
3
sin
5
3
11
3
5
3
)(
.
Определение. Многочленом относительно двух переменных u и
v
называется алгебраическая сумма произведений вида , где и –
целые неотрицательные числа (например,
mn
vuA n m
12
32 3
+−
+
−
uvvuuvvu ).
18
Частное от деления двух многочленов относительно и u
v
называется
рациональным выражением относительно u и
v
(например,
v
u
u
−
+
3
2
1
)
).
Рациональным выражением относительно функций (
x
ϕ
и )(
x
ψ
назы-
вается рациональное выражение относительно и u
v
, в которое вместо
подставлена
u
)(
x
ϕ
, вместо
v
–
)(
x
ψ
. Рациональное выражение относительно
)(
x
ϕ
и )(
x
ψ
принято обозначать:
R
))(),
x
x
(( .
ϕ
ψ
Пример 4.
x
x
xx
xxR
32
cos3sin
cos2sin
)cos,(sin
+
−
= .
2. . dxxxR
⎮
⌡
⌠
)cos,(sin
Всякий интеграл такого вида можно свести к интегралу от дробно-
рациональной функции с помощью универсальной тригонометрической под-
становки
2
tg
x
u = .
Пример 5.
=
+
−
=
+
−
=
+
=
+
=
+
===
=
⎮
⌡
⌠
−
2
2
2
2
22
2
1
1
)2(tg1
)2(tg1
cos,
1
2
)2(tg1
)2tg(2
sin
,
1
2
,arctg2,
2
tg
sin1
u
u
x
x
x
u
u
x
x
x
u
du
dxux
x
u
x
dx
=
⎮
⌡
⌠
−
−
=
⎮
⌡
⌠
−
=
⎮
⌡
⌠
+−
=
⎮
⎮
⎮
⌡
⌠
+
−
+
=
222
2
2
)1(
)1(
2
)1(
2
12
2
1
2
1
1
2
u
ud
u
du
uu
du
u
u
u
du
C
x
C
u
C
u
+
−
−
=+
−
−
=+
−
−
⋅=
−
1
2
tg
2
1
2
1
)1(
2
1
.
Следует заметить, что п.1 является частным случаем п.2. Однако реше-
ние с помощью универсальной тригонометрической подстановки во многих
случаях получается довольно громоздким. Рассмотрим еще два частных слу-
19
чая п.2, когда при нахождении неопределенного интеграла рекомендуется
использовать специальную подстановку, отличную от универсальной триго-
нометрической.
3. .
⎮
⌡
⌠
dxxR )tg(
Замена
x
u tg
=
.
Пример 6.
=
⎮
⌡
⌠
+
=
+
=
==
=
⎮
⌡
⌠
du
u
u
u
du
dx
uxxu
dxx
2
3
2
3
1
1
,arctg,tg
tg
=++−=
⎮
⌡
⌠
+
+
−=
⎮
⌡
⌠
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−= Cu
u
u
udu
du
u
u
u )1ln(
2
1
2
1
)1(
2
1
2
1
2
2
2
22
2
Cx
x
Cx
x
++=++−= cosln
2
1
2
tg
)1tgln(
2
1
2
tg
2
2
2
.
4. .
⎮
⌡
⌠
dxxxR
nm
)cos,(sin
22
Замена:
x
u tg= ,
2
1 u
du
dx
+
= ,
2
2
2
2
2
1tg1
tg
sin
u
u
x
x
x
+
=
+
=
,
22
2
1
1
tg1
1
cos
ux
x
+
=
+
= .
§ 6. Интегрирование некоторых классов
иррациональных функций
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные
выражения.
1.
⎮
⎮
⌡
⌠
+++ dxbaxbaxbaxxR
k
k
n
m
n
m
n
m
))(...,,)(,)(,(
2
2
1
1
, Ζ∈
ii
nm ,.
Данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции с
помощью подстановки:
N
t
bax =+ , где
N
–
{
}
k
nnnНОК ...,,,
21
.