Тимофеев В.А., Тимофеев А.А. Краткий курс лекций по высшей математике. Семестр II (сокращенная программа)
Подождите немного. Документ загружается.
60
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=
+
−
.299
,298
,089
,598
B
A
BA
BA
Таким образом, частное решение имеет вид
xxy
част
2sin
29
9
2cos
29
8
+−= .
Общее решение исходного уравнения
xxxCxCeyyy
x
частодн
2sin
29
9
2cos
29
8
)3sin3cos(
21
2
+−+=+=
−
.
3. Если в уравнении (1) правая часть имеет вид
]sin)(cos)([)(
21
nxxPnxxPexf
mx
⋅+⋅⋅= ,
где и – многочлены, а числа
)(
1
xP )(
2
xP inm
±
не являются корнями харак-
теристического уравнения, то частное решение следует искать в виде
]sin)(cos)([
21
nxxRnxxRey
mx
част
⋅+⋅⋅= ,
где и ) – многочлены степени, равной высшей из степеней много-
членов и .
)(
1
xR
1
P
(
2
xR
) (
2
P(x )x
Если числа являются корнями характеристического уравнения,
то указанную форму частного решения следует умножить на
inm ±
x
.
Замечание 1. Случай 1 получается из приведенного общего при 0
=
n , а
случай 2 при 0
=
m , , axP =)(
1
bxP
=
)(
2
.
Замечание 2. В результате решения может случиться, что степень одного из
многочленов и будет меньше взятой первоначально, т.е. некото-
рые старшие коэффициенты этого многочлена окажутся равными нулю.
)(
1
xR )(
2
xR
Пример 7. Решить уравнение xxyy sin4
=
+
′
′
.
Решение. Характеристическое уравнение 01
2
=
+
r
имеет корни i
r
±
=
.
Общее решение однородного уравнения
xCxCy
одн
sincos
21
+
=
.
Здесь , 0 1
=m
=
n , поэтому частное решение ищем в виде
]sin)(cos)[(
11
xBxAxBAxxy
част
+
+
+
= .
Имеем
+++−+−=
′′
xBAxBAAxy cos)]22()4([
11
2
.
xBAxBAxA sin)]22()4([
11
2
1
−++−−+
Подставляя в уравнение, находим
xxxBAAxxBAxA sin2sin)](2[cos)](2[
111
=
−
+
−
+
++ .
Это равенство будет тождественным только при
02
1
=A
,
0
1
=
+
BA
, 22
=
−
A
,
0
1
=
−
BA
.
Отсюда
1−=
A
, 0
=
B
, 0
1
=
A , 1
1
=
B .
Следовательно, частное решение имеет вид
61
)cos(sin
xxxxy
част
−
=
.
Общее решение исходного уравнения
)cos(sinsincos
21
xxxxxCxCyyy
частодн
−
+
+
=
+
=
.
Утверждение. Пусть правая часть уравнения (1) равна сумме двух
функций:
)()()(
21
xfxfxf +
=
, а и есть решения уравнений с той же ле-
вой частью, но с правыми частями, соответственно равными и ;
тогда будет решением данного уравнения.
1
y
2
y
)
xf )xf
+
)
(
1
(
2
2
y
1
y
7.4 Метод вариации произвольных постоянных
Этот метод позволяет отыскивать частное решение линейного уравне-
ния с правой частью
(
21
xfyayay
=
+
′
+
′
′
, (1)
где )(
x
f
– любая функция.
Пусть уравнение без правой части, соответствующее уравнению (1)
0
21
=
+
′
+
′
′
yayay (2)
имеет общее решение
2211
yCyCy
⋅
+
⋅
=
,
где и – произвольные постоянные.
1
C
2
C
Будем искать решение уравнения (1) в виде
2211
)()( yxCyxCy
⋅
+
⋅
=
, (*)
где и – неизвестные функции, подлежащие определению, а и
– известные частные решения уравнения без правой части (2).
)(
1
xC )(
2
xC
1
y
2
y
Продифференцируем равенство (*)
22221111
yCyCyCyCy
′
+
′
+
′
+
′
=
′
.
Положим
0
2211
=
′
+
′
yCyC
. (А)
Тогда
2211
yCyCy
′
+
′
=
′
.
Продифференцируем еще раз
22221111
yCyCyCyCy
′
′
+
′
′
+
′
′
+
′
′
=
′′
.
Подставим ,
y
y
′
и в левую часть уравнения (1):
y
′′
=+
+
′
+
′
+
′
′
+
′′
+
′
′
+
′′
22211222111122221111
yCayCayCayCayCyCyCyC
)()()(
2221221211112211
xfyayayCyayayCyCyC =
+
′
+
′
′
+
+
′
+
′′
+
′
′
+
′′
=
.
Выражения в обеих скобках равны нулю, т.к. и являются решениями
уравнения (2). Значит, чтобы функция
1
y
1
y
2
y
2
y
21
CCy
+
=
была решением урав-
нения (1), помимо условия (А) должно еще соблюдаться условие
)(
2211
xfyCyC
=
′
′
+
′
′
. (Б)
Таким образом, приходим к системе уравнений
62
⎩
⎨
⎧
=
′′
+
′′
=
′
+
′
).(
,0
2211
2211
xfyCyC
yCyC
Определитель этой системы в нуль не обращается:
0
21
21
≠
′′
yy
yy
,
и поэтому мы можем сначала найти
1
C
′
и
2
C
′
, а затем интегрированием и са-
ми функции и . Если при интегрировании производных и
1
C
2
C
1
C
′
2
C
′
ввести
произвольные постоянные, то мы сразу получим общее решение неоднород-
ного уравнения.
Пример 8. Решить уравнение xyy tg
=
+
′
′
.
Решение. Однородному уравнению 0
=
+
′
′
yy соответствует характеристи-
ческое уравнение
01
2
=+
r
. Его корни i
r
±
=
. Поэтому xy cos
1
=
и
. Общее решение однородного уравнения имеет вид
xy sin
2
=
xCxCy sincos
21
+
=
.
Решение исходного уравнения будем искать в виде
xxCxxCy sin)(cos)(
21
+
=
.
Составим систему уравнений для отыскания и :
)(
1
xC )(
2
xC
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
′
−=
′
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
′
+
′
−
=
′
+
′
.sin
,
cos
sin
,tgcossin
,0sincos
2
2
1
21
21
xC
x
x
C
xxCxC
xCxC
Отсюда
⎮
⌡
⌠
−=
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=
x
dx
xdx
x
xdx
x
x
xC
cos
sin
cos
1
cos
cos
sin
)(
2
1
.
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
=
+
+
−
=
−
=
⎮
⌡
⌠
=
=
=
u
du
u
du
u
du
duxdx
xu
x
dx
12
1
12
1
1
cos
,sin
cos
2
=+
−
+
=+
−
+
=+−−+= C
x
x
C
u
u
Cuu
sin1
sin1
ln
1
1
ln1ln
2
1
1ln
2
1
C
x
C
x
x
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
++
+−
=
24
tgln
)2cos(1
)2cos(1
ln
π
π
π
.
Таким образом,
11
24
tglnsin)(
C
x
xxC +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
π
.
.
22
cossin)( CxdxxxC +−=
⎮
⌡
⌠
=
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
63
[]
=⋅+−+⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= xCxxC
x
xy sincoscos
24
tglnsin
21
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅−⋅+⋅=
24
tglncossincos
21
x
xxCxC
π
.
7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейное уравнение n -го порядка имеет вид
, (7) )(...
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyayayayay
nn
nnn
=+
′
++++
−
−−
где коэффициенты , , …, – функции независимой переменной
1
a
2
a
n
a
x
или
постоянные величины.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
, (8)
0...
1
)2(
2
)1(
1
)(
=+
′
++++
−
−−
yayayayay
nn
nnn
Рассмотрим систему функций )(
1
x
ϕ
, )(
2
x
ϕ
, …, )(x
n
ϕ
, определенных в
одном и том же интервале. Линейной комбинацией этих функций называется
выражение
)(...)()(
2211
xCxCxC
nn
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
+
+
⋅
+
⋅ ,
где , , …, – постоянные величины.
1
C
2
C
n
C
Определение. Система функций )(
1
x
ϕ
, )(
2
x
ϕ
, …, )(x
n
ϕ
называется
линейно независимой, если ни одну из этих функций нельзя представить в
виде линейной комбинации остальных.
Это означает, например, что не может быть равенства
)(...)()()(
33221
xkxkxkx
nn
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
,
где , , …, – постоянные величины.
2
k
3
k
n
k
Следовательно, ни одна из линейно независимых функций не может
тождественно равняться нулю. В частности, две функции )(
1
x
ϕ
и )(
2
x
ϕ
ли-
нейно независимы, если их отношение не есть константа:
const
x
x
≠
)(
)(
1
2
ϕ
ϕ
.
Система функций, не являющаяся линейно независимой, называется
линейно зависимой.
Теорема (о структуре общего решения линейного уравнения n-го
порядка).
Если , , …, – частных линейно независимых решений
уравнения (8), то общим решением этого уравнения является их линейная
комбинация
1
y
2
y
n
y n
nn
yCyCyCy
⋅
+
+
⋅
+
⋅
= ...
2211
. (9)
Существует простое условие линейной независимости частных реше-
ний , , …, – неравенство нулю определителя Вронского (определи-
тель, составленный из функций , , …, и их производных):
1
y
2
y
n
y
1
y
2
y
n
y
64
0
...
............
...
...
)...,,,(
)1()1(
2
)1(
1
21
21
21
≠
′′′
=
−−− n
n
nn
n
n
n
yyy
yyy
yyy
yyyV .
Линейно независимые решения линейного уравнения -го порядка об-
разуют фундаментальную систему решений.
n
Утверждение. Общее решение линейного уравнения -го порядка с
правой частью (7) слагается из общего решения соответствующего ему одно-
родного уравнения (8) и какого-либо частного решения самого уравнения.
n
Метод вариации произвольных постоянных употребляется и в случае
линейных уравнений любого порядка . Для его применения нужно знать
фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравне-
ния.
n
Утверждение. Если , , …, – фундаментальная система реше-
ний уравнения
1
y
2
y
n
y
0...
1
)2(
2
)1(
1
)(
=+
′
++++
−
−−
yayayayay
nn
nnn
,
то решением уравнения
)(...
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyayayayay
nn
nnn
=+
′
++++
−
−−
является функция
nn
yCyCyCy
⋅
+
+
⋅
+
⋅
= ...
2211
,
где , , …, – функции независимой переменной, производные кото-
рых , , …, удовлетворяют следующей системе линейных алгеб-
раических уравнений:
1
C
1
C
′
2
C
2
C
′
n
C
n
C
′
n
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅
′
++⋅
′
+⋅
′
=
′
⋅
′
++
′
⋅
′
+
′
⋅
′
=⋅
′
++⋅
′
+⋅
′
−−−
).(
,0
,0
)1()1(
22
)1(
11
2211
2211
xfyCyCyC
yCyCyC
yCyCyC
n
nn
nn
nn
nn
K
KKKKKKK
K
K
7.6 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами любого
порядка производится аналогично решению уравнений 2-го порядка.
Пусть дано однородное уравнение n-го порядка:
, (8) 0...
1
)2(
2
)1(
1
)(
=+
′
++++
−
−−
yayayayay
nn
nnn
где , , …, – действительные постоянные.
1
a
2
a
n
a
Характеристическим уравнением для него называется уравнение n-ой
степени:
0
1
1
1
=+⋅++⋅+
−
−
nn
nn
ararar K .
65
Имеют место следующие утверждения:
1)
Каждому
k
-кратному действительному корню
r
характеристического
уравнения соответствует
k
частных решений вида:
rx
e ,
rx
x
e , ,
rxk
e
x
1−
2)
Каждой паре
t
-кратных комплексно сопряженных корней ir
β
α
+
=
1
,
ir
β
α
−=
2
характеристического уравнения соответствует
t
2 частных
решений вида:
xe
x
β
α
cos , , , xxe
x
β
α
cos xex
xt
β
α
cos
1−
xe
x
β
α
sin , , . xxe
x
β
α
sin xex
xt
β
α
sin
1−
Общая сумма кратностей всех корней должна равняться степени харак-
теристического уравнения . n
§ 8. Системы дифференциальных уравнений
8.1 Общие определения. Нормальные системы уравнений
Определение. Системой дифференциальных уравнений называется
совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая перемен-
ная, искомые функции и их производные.
Всегда предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных
функций. Независимую переменную будем обозначать буквой
t
, а неизвест-
ные функции этой переменной или через , , …, , или, если их
не больше трех, через
) )(
2
tx(
1
tx )(tx
n
)(
t
x
, )(
t
y , )(
t
z . Производные по
t
обозначаются точ-
ками.
Решением системы дифференциальных уравнений называется совокуп-
ность функций ,
)(
11
txx = )(
22
txx
=
, …,
)(txx
nn
=
, которая при подстановке
в каждое из уравнений превращает его в тождество.
Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений
называется система уравнений вида
(1)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
).,,,,(
),,,,,(
),,,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxtfx
xxxtfx
xxxtfx
K
&
KKKKK
K
&
K
&
Нормальная система уравнений может быть заменена одним диффе-
ренциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы.
Эта замена часто позволяет решать такие системы.
Пример 1. Решить систему
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
=
=
.
,
,
zyxz
zy
yx
&
&
&
66
Решение. Продифференцируем первое уравнение по
t
и заменим производ-
ную ее выражением из второго уравнения y
&
zy
x
=
=
&&&
.
Продифференцируем еще раз и заменим ее выражением из третьего урав-
нения
z
&
zy
x
z
x
+
−
=
=
&
&&&
.
Т.к.
x
y
&
= ,
x
z
&&
= , то окончательно получим
0
=
−+−
x
x
x
x
&&&&&&
– линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Характеристическое уравнение 01
23
=
−
+
−
r
r
r
, или , име-
ет корни , . Следовательно,
0)1)(1(
2
=+− rr
1
1
=r ir ±=
3,2
tCtCeCx
t
sincos
321
⋅+⋅+⋅= .
Т.к.
x
y
&
= и
x
z
&&
=
, то
tCtCeCy
t
cossin
321
⋅+⋅−⋅= ,
tCtCeCz
t
sincos
321
⋅−⋅−⋅= .
Общее решение нормальной системы (1) имеет вид
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,,,,(
),,,,,(
),,,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
CCCtx
CCCtx
CCCtx
K
KKKKKK
K
K
ϕ
ϕ
ϕ
где , , …, – произвольные постоянные.
1
C
2
C
n
C
Начальные условия, при помощи которых из общего решения выделя-
ется частное, задаются следующим образом:
101
0
xx
tt
=
=
,
202
0
xx
tt
=
=
, …,
0
0
nttn
xx =
=
.
Подставляя начальные условия в общее решение, получаем систему
уравнений для определения произвольных постоянных
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
.),,,,(
,),,,,(
,),,,,(
021
20212
10211
nnn
n
n
xCCCt
xCCCt
xCCCt
K
KKKKKK
K
K
ϕ
ϕ
ϕ
Теорема. Если правые части нормальной системы непрерывны вместе
со своими частными производными в окрестности значений , , , …,
, то существует единственная система функций , , …, , яв-
ляющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным ус-
ловиям.
0
t
)t
10
x
x
20
x
)(t
n0n
x )(
2
x(
1
tx
67
8.2 Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных урав-
нений
(2)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
,
,
,
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
K
&
KKKKKKK
K
&
K
&
или в векторной форме
Ax
x
=
&
, где , , .
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
x
x
x
&
M
&
&
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
x
x
x M
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
K
KKKK
K
K
21
22221
11211
Составим характеристическое уравнение:
0
21
22221
11211
=
−
−
−
λ
λ
λ
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
K
KKKK
K
K
.
Пусть характеристическое уравнение имеет различных корней n
1
λ
,
2
λ
, …,
n
λ
, Пусть каждому
k
λ
соответствует собственный вектор
, где
),,
2 nkkk
pp ,K(
1
p
n
k
,,2,1 K= .
Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений: n
1-е решение, соответствующее корню
1
λ
λ
=
t
epx
1
1111
λ
= , , …, ;
t
epx
1
2121
λ
=
t
nn
epx
1
11
λ
=
2-е решение, соответствующее корню
2
λ
λ
=
t
epx
2
1212
λ
= , , …, ;
t
epx
2
2222
λ
=
t
nn
epx
2
22
λ
=
… … … … … … … … … … …
-е решение, соответствующее корню n
n
λ
λ
=
t
nn
n
epx
λ
11
= , , …, .
t
nn
n
epx
λ
22
=
t
nnnn
n
epx
λ
=
Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение
системы таково
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅++⋅+⋅=
⋅++⋅+⋅=
⋅++⋅+⋅=
.
,
,
2211
22222112
11221111
nnnnnn
nn
nn
xCxCxCx
xCxCxCx
xCxCxCx
K
KKKKKKKK
K
K
68
Если среди простых корней характеристического уравнения есть ком-
плексные, то и решение получится в виде комплексных функций. Если при
этом коэффициенты системы (2) вещественны, то решение можно выразить
только через вещественные функции. Для этого надо воспользоваться тем,
что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего
корню
i
β
α
λ
+= (0≠
β
), является линейно независимыми решениями.
Если характеристическое уравнение имеет корень
λ
кратности , то
этому корню соответствует решение , , …,
, где , , …, – многочлены степени не выше
.
m
tt
etPx
λ
⋅= )(
11
)
etP
λ
⋅= )(
2
x
2
t
nn
etPx
λ
⋅= )(
1−
m
)(
1
tP )(
2
tP (tP
n
Пример 2. Решить систему
⎩
⎨
⎧
−−=
+
−
=
.52
,7
yxy
yxx
&
&
Решение. Составим характеристическое уравнение:
0
52
17
=
−−−
−
−
λ
λ
,
0)5)(7( =−−−−
λ
λ
, 02)5)(7(
=
+
+
+
λ
λ
, 03712
2
=+
+
λ
λ
.
Решим полученное уравнение:
4148144374144
−
=
−=⋅−=D , i
i
±−=
±
−
= 6
2
212
2,1
λ
.
Возьмем корень
i+−= 6
λ
. Найдем собственный вектор );( ba
μ
:
⎩
⎨
⎧
+=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
+
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=−+−
=
+
−
−
⇒=−
.1
,1
,22
,)1(
,0)1(2
,0)1(
0)(
ib
a
aa
aib
bia
bai
EA
μλ
Решение, соответствующее корню
i
+
−
=
6
λ
имеет вид
, )sin(cos
6)6(
titeex
tti
+==
−+−
. ))cos(sinsin(cos)1(
6)6(
ttitteiey
tti
++−=+=
−+−
Тогда
⎩
⎨
⎧
−=+=
==
−+−
−+−
),sin(cos)1Re(
,cosRe
6)6(
1
6)6(
1
tteeiy
teex
tti
tti
⎩
⎨
⎧
+=+=
==
−+−
−+−
).cos(sin)1Im(
,sinIm
6)6(
2
6)6(
2
tteeiy
teex
tti
tti
Общее решение
⎩
⎨
⎧
+⋅+−⋅=
⋅+⋅=
⇒
⎩
⎨
⎧
⋅+⋅=
⋅+⋅=
−−
−−
).cos(sin)sin(cos
,cos
,
,
6
2
6
1
6
2
6
1
2211
2211
tteCtteCy
eCteCx
yCxCy
xCxCx
tt
tt
69
Пример 3. Решить систему
(*)
⎩
⎨
⎧
+=
+=
.46
,37
212
211
xxx
xxx
&
&
Решение. Составим характеристическое уравнение:
0
46
37
=
−
−
λ
λ
,
018)4)(7( =−−−
λ
λ
, 01011
2
=
+
−
λ
λ
.
Решим полученное уравнение:
, 81104121 =⋅−=
D
2
911
2,1
±
=
λ
, 1
1
=
λ
, 10
2
=
λ
.
Возьмем корень 1=
λ
. Найдем собственный вектор );( ba
μ
:
⎩
⎨
⎧
−=
=
⇒=+⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=
+
⇒=−
.2
,1
02
,036
,036
0)(
b
a
ba
ba
ba
EA
μλ
Решение, соответствующее корню 1
=
λ
имеет вид
t
ex =
11
, .
t
ex 2
21
−=
Возьмем корень 10=
λ
. Найдем собственный вектор );( ba
μ
:
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒=−⇒
⎩
⎨
⎧
=−
=
+
−
⇒=−
.1
,1
0
,036
,033
0)(
b
a
ba
ba
ba
EA
μλ
Решение, соответствующее корню 10
=
λ
имеет вид
t
ex
10
12
= , .
t
ex
10
22
=
Общее решение
⎩
⎨
⎧
⋅+⋅−=
⋅+⋅=
.2
,
10
212
10
211
tt
tt
eCeCx
eCeCx
2-й способ.
Итак, корни характеристического уравнения 1
1
=
λ
, 10
2
=
λ
. Исходя из
структуры общего решения, будем искать общее решение в виде
(**)
⎩
⎨
⎧
⋅+⋅=
⋅+⋅=
.
,
10
2
10
211
tt
tt
ebeax
eCeCx
Выразим и
b через и . Для этого подставим (**) в (*): a
1
C
2
C
⎩
⎨
⎧
⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅
.446610
,337710
1010
21
10
10
21
10
21
tttttt
tttttt
ebeaeCeCebea
ebeaeCeCeCeC
Приравняем коэффициенты при одинаковых членах в правой части и левой
части:
⎩
⎨
⎧
=
−=
⇒
⎩
⎨
⎧
+=
+=
.
,2
,3710
,37
2
1
22
11
Cb
Ca
bCC
aCC
Таким образом, общее решение имеет вид