Тимофеев В.А., Тимофеев А.А. Краткий курс лекций по высшей математике. Семестр II (сокращенная программа)
Подождите немного. Документ загружается.
20
Пример 1.
=
⎮
⌡
⌠
+
=
⎮
⌡
⌠
+
⋅
=
=
=
=
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+
=
+
1
6
1
6
6
,
1
1
2
6
2
5
5
6
31
61
3
6
t
dtt
t
dttt
dttdx
tx
dx
x
x
dx
x
x
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=
⎮
⌡
⌠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+−= Ctt
tt
dt
t
tt arctg
35
6
1
1
16
35
2
24
Cxx
xx
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=
66
65
arctg
35
6.
2.
⎮
⌡
⌠
++
+
dx
CBxAx
NMx
2
.
а)
()
⎮
⌡
⌠
=+=
−
=
=
=
=
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
−
=
−
Cu
u
du
adudx
uax
ax
dx
a
xa
dx
arcsin
1
,
1
1
2222
C
a
x
+= arcsin
.
б)
=
⎮
⌡
⌠
+ mx
dx
2
=
+
=+
−
=+−
+
=
+−
=
−
=+−=++−=+
=
t
tm
t
t
tm
txdt
t
mt
dt
t
mtt
dx
t
mt
xtxtxmxtxmx
22
,
24
224
,
2
,2,
22
2
2
2
22
2
2222
⎮
⎮
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
⌠
+++=+==
+
+
= CmxxCt
t
dt
t
tm
dt
t
mt
2
2
2
2
lnln
2
2
.
Интегралы вида
⎮
⌡
⌠
++
+
dx
CBxAx
NMx
2
после замены переменной
(
′
++= CBxAxt
2
2
1
)
приводятся к интегралам вида
⎮
⌡
⌠
+
+
dt
mpt
NtM
2
11
, вычисле-
ние которых сводится к вычислению интегралов вида а) или б).
Пример 2.
(
)
=
=−=
+=
′
++⋅=
⎮
⌡
⌠
=
++
+
xtdxdt
xxxt
dx
xx
x
5,0,
,5,025,0
2
23
2
2
21
⎮
⌡
⌠
=
+
+
=
⎮
⌡
⌠
+−++−
+−
= dt
t
t
dt
ttt
t
47
5,03
25,041
25,13
22
J
t
dt
dt
t
t
=
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
+
+
=
47
2
1
47
3
22
.
(
)
1
2
1
2
2
2
2
1
47247
2
1
47
47
2
1
47
CtCt
t
td
dt
t
t
J ++=+⋅+⋅=
⎮
⌡
⌠
+
+
=
⎮
⌡
⌠
+
=
.
2
2
2
2
47ln
47
Ctt
t
dt
J +++=
⎮
⌡
⌠
+
= .
=+++++=+= CtttJJJ 47ln
2
1
473
2
1
3
22
21
Cxxxxx ++++++++= 2
2
1
ln
2
1
23
22
.
3.
(
)
⎮
⌡
⌠
++ dxCBxAxxR
2
,.
Заметим, что п.2 является частным случаем п.3.
После замены переменной
(
)
′
++= CBxAxt
2
2
1
данный интеграл, в за-
висимости от значений
A
,
B
и
C
сводится к одному из следующих интегра-
лов:
I.
(
)
⎮
⌡
⌠
− dttatR
22
,;
II.
(
)
⎮
⌡
⌠
+ dttatR
22
,;
III.
(
)
⎮
⌡
⌠
− dtattR
22
,
.
Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок:
I. ua
t
sin= ; II.
ua
t
tg
=
; III.
u
a
t
cos
= .
Пример 3.
=
−=−−++−=−+
=−=+=
′
−+=
=
⎮
⌡
⌠
+
−+
43221232
,,1,1)32(
2
1
)1(
32
222
2
3
2
ttttxx
dtdxtxxxxt
dx
x
xx
22
=
=
−
=−
=−⋅
−
==
=
⎮
⌡
⌠
−
=
u
u
u
t
du
u
u
duu
u
dt
u
t
dt
t
t
tg2
cos
cos1
24
,
cos
sin2
)sin(
cos
2
,
cos
2
4
2
2
2
22
3
2
⎮
⌡
⌠
=
−
=
⎮
⌡
⌠
=⋅
⎮
⌡
⌠
⋅
= du
u
duudu
u
uuu
2
2cos1
2
1
sin
2
1
cos
sin2
2
costg2
2
23
3
=
−
=−=−=
==
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
t
t
tuu
t
u
t
u
C
u
u
4
41cos1sin
,
2
cos,
2
arccos
2
2sin
4
1
2
22
C
x
xx
x
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
−
+
=
2
2
)1(
322
1
2
arccos
4
1
.
4. Интегрирование дифференциальных биномов
Определение. Дифференциальным биномом называется выражение
вида
(
)
dxbxax
p
nm
+⋅ ,
где , n , m
p
– рациональные числа.
Теорема. Интегралы от дифференциальных биномов выражаются че-
рез элементарные функции только в трех случаях:
1)
p
– целое число; тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной
дроби с помощью подстановки
N
t
x
=
, где ),( nm
H
O
K
N
=
;
2)
n
m 1+
– целое число; к той же цели ведет подстановка
sn
t
bxa =+ , где
s
– знаменатель дроби
p
;
3)
p
n
m
+
+1
– целое число; интеграл рационализируется с помощью под-
становки
sn
t
bax =+
−
, где
s
– знаменатель дроби
p
.
Пример 4.
=
⎮
⌡
⌠
+⋅=
⎮
⌡
⌠
+
−−
dxxx
xx
dx
2131
3
)1(
1
23
=
⎮
⌡
⌠
−
=
−
===
+
===+
−=
+
−==−=
=
1
3
2
)1(3
2
3
2
1
,
3
2
,23,1
целое,0
1
,
2
1
,3,1
2
23
3
2
223
t
dt
t
dt
tx
tdt
xt
dx
xx
dx
x
tdt
dxtdtdxxtx
n
m
pnm
J
tt
dt
=
⎮
⌡
⌠
+−
=
)1)(1(3
2
.
Разложим подынтегральную функцию:
1
)(
11)1)(1(
1
2
−
−
+
+
=
+
+
−
=
+−
t
BABAt
t
B
t
A
tt
.
⎩
⎨
⎧
−=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=−
=+
.21
,21
,12
,
,1
,0
B
A
A
AB
BA
BA
Следовательно,
)1(2
1
)1(2
1
)1)(1(
1
+
−
−
=
+− tttt
.
Тогда:
()
=+
+
−
⋅=++−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎮
⌡
⌠
+
−
⎮
⌡
⌠
−
⋅= C
t
t
Ctt
t
dt
t
dt
J
1
1
ln
3
1
1ln1ln
3
1
112
1
3
2
C
x
x
+
++
−+
⋅=
11
11
ln
3
1
3
3
.
§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся
в элементарных функциях
Как мы видели в дифференциальном исчислении, производная элемен-
тарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная
дифференцированию – интегрирование. Можно привести многочисленные
примеры таких элементарных функций, первообразные от которых хотя и
существуют, но не являются элементарными функциями. Так, например, хотя
по теореме существования для функций ,
2
x
e
−
x
xsin
,
x
xcos
,
x
ln
1
существуют
первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря
на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены под-
робные таблицы, помогающие практически использовать эти функции.
Если первообразная для некоторой функции не является элементарной
функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях.
Для его исследования нужно применять специальные методы (или пользо-
ваться уже готовыми таблицами).
24
Глава V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
Рассмотрим функцию
)(
x
f
– непрерывную и положительную на отрез-
ке . Часть плоскости, ограниченная графиком функции
];[ ba )(
x
f
y =
O
, осью
x
и вертикальными прямыми
x
a
x
b
=
и
=
, называется криволинейной
трапецией
. Найдем площадь данной трапеции.
Разобьем отрезок на частей с помощью точек ];[
ba
bx
n
n
xxxax
n
=
<<
<
<<=
−1210
...
O
. Проведя через точки деления прямые, па-
раллельные оси
y
, мы разобьем данную криволинейную трапецию на
малых криволинейных трапеций (рис. 5.1). Ясно, что площадь всей криволи-
нейной трапеции равна сумме всех малых криволинейных трапеций:
n
n
. (1)
∑
=
Δ=Δ++Δ+Δ=
n
i
in
SSSSS
1
21
...
a
b
1
x
1−n
x
1−i
x
i
x
y
Но вычислить площадь этих малых трапеций так же трудно, как и пло-
щадь большой. Поступим следующим образом: в каждом из малых отрезков
разбиения (i ) выберем произвольную точку ] n...,,2,1=;[
1 ii
xx
− iii
xx
≤
≤
−
ξ
1
и построим в этой точке ординату кривой
)(
i
f
ξ
.
Заменим теперь каждую малую криволинейную трапецию с основани-
ем прямоугольником с тем же основанием и с высотой, равной
];[
1 ii
xx
−
)
i
(f
ξ
. Площадь такого прямоугольника равна )()(
1−
−
⋅
iii
xxf
ξ
.
Приняв площадь этого прямоугольника за приближенное значение
площади малой криволинейной трапеции, получим:
)()(
1−
−
⋅
≈
Δ
iiii
xxfS
ξ
. (2)
Отсюда для площади данной криволинейной трапеции
S
имеем при-
ближенное равенство:
Рис. 5.1
)(
i
f
ξ
x
O
i
ξ
25
(3)
∑
=
−−
−⋅=−⋅++−⋅≈
n
i
iiinnn
xxfxxfxxfS
1
11011
)()()()(...)()(
ξξξ
Обозначим через
λ
наибольшую из длин отрезков разбиения:
{}
)(...;);();(max
11201 −
−
−
−
=
nn
xxxxxx
λ
.
С уменьшением
λ
точность приближенной формулы (3) увеличивает-
ся. Поэтому естественно за точное значение площади
S
принять предел сумм
(3) при условии, что наибольшая длина отрезков разбиения 0→
λ
. Таким
образом,
. (4)
∑∑
=
→
=
−
→
Δ⋅=−⋅=
n
i
ii
n
i
iii
xfxxfS
1
0
1
1
0
)(lim)()(lim
ξξ
λλ
§ 2. Понятие определенного интеграла
Пусть на отрезке ] задана функция );[ ba (
x
f
. Выполним следующие
действия:
1)
с помощью точек деления bxxxxax
nn
=<
<
<
<
<
=
−1210
... разобьем
отрезок ];[ ba на n частей:
];[
10
xx ; ; …; ; …; ; ];[
21
xx ];[
1 ii
xx
−
];[
1 nn
xx
−
2)
в каждом из отрезков разбиения
];
, n
[
1 ii
xx
−
i ...,,1
=
выберем произ-
вольную точку
iii
xx
≤
≤
−
ξ
1
и умножим значение функции в этой точ-
ке
)(
i
f
ξ
на
1−
−
=
ii
xxΔ
i
x
– длину отрезка;
3)
составим сумму всех таких произведений
, (5)
∑
=
Δ⋅=
n
i
iin
xfS
1
)(
ξ
которую назовем интегральной суммой;
4)
назовем наибольшую из длин отрезков разбиения
];
шагом
разбиения и обозначим через
[
1 ii
xx
−
λ
.
Пусть число отрезков разбиения неограниченно растет и n
λ
при этом
стремится к 0. Если при этом интегральная сумма имеет предел
n
S
J
, кото-
рый не зависит ни от способа разбиения ] на малые отрезки, ни от вы-
бора точек
;[ ba
i
ξ
в каждом из них, то это число называется определенным инте-
гралом от функции )(
x
f
на отрезке ][ и обозначается ; ba
⎮
⌡
⌠
b
a
dxxf )(.
Читается: определенный интеграл от до b от )a (
x
f
на . dx
Здесь: – нижняя граница (предел) интегрирования, a
– верхняя граница (предел) интегрирования, b
26
)(
x
f
– подынтегральная функция,
x
– переменная интегрирования,
] – отрезок (область) интегрирования. ;[ ba
Замечание 1. Для заданной функции и заданного отрезка ] мы, оче-
видно, имеем бесконечное множество интегральных сумм. Значения этих ин-
тегральных сумм зависит как от выбора точек деления , , …, , так и
от выбора промежуточных точек
;[ ba
2
x
1
x x
1−n
i
ξ
.
Замечание 2. Интегральная сумма, очевидно, не зависит от того, какой бук-
вой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, и ее предел, т.е.
определенный интеграл, не зависит от обозначения переменной интегриро-
вания:
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
b
a
b
a
b
a
dttfdzzfdxxf )()()(
.
Замечание 3. Выше мы установили тот факт, что определенный интеграл от
неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапе-
ции, построенной на отрезке интегрирования (геометрический смысл опреде-
ленного интеграла).
При определении определенного интеграла мы исходили из предполо-
жения . При положим: ba < ba >
⎮
⌡
⌠
−=
⎮
⌡
⌠
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(, . 0)( =
⎮
⌡
⌠
a
a
dxxf
В связи с определением определенного интеграла возникает вопрос,
при каких условиях существует предел интегральной суммы, т.е. существует
определенный интеграл.
Теорема (условие существования определенного интеграла).
Всякая непрерывная на отрезке ] функция интегрируема, т.е. для
такой функции существует определенный интеграл.
;[ ba
§ 3. Свойства определенного интеграла
1.
Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от
слагаемых функций:
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.
Доказательство.
=Δ+Δ=Δ+=
⎮
⌡
⌠
+
∑∑
=
→
=
→
n
i
iiii
n
i
iii
b
a
xgxfxgfdxxgxf
1
0
1
0
])()([lim)]()([lim)]()([
ξξξξ
λλ
27
=Δ+Δ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ+Δ=
∑∑∑∑
=
→
=
→
==
→
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
xgxfxgxf
1
0
1
0
11
0
)(lim)(lim)()(lim
ξξξξ
λλλ
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(.
2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за
знак интеграла:
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(.
Доказательство.
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ=Δ=
⎮
⌡
⌠
∑∑
=
→
=
→
n
i
ii
n
i
ii
b
a
xfkxfkdxxfk
1
0
1
0
)(lim)(lim)(
ξξ
λλ
] ]
.
⎮
⌡
⌠
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ⋅=
∑
=
→
b
a
i
n
i
i
dxxfkxfk )()(lim
1
0
ξ
λ
3. Если область интегрирования ] разбить на две части и ,
то
;[ ba ;[ ca ;[ bc
. (6)
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Доказательство.
а) Пусть . bca <<
]Т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения и
выбора
;[ ba
i
ξ
, положим . Тогда
cx
k
=
∑∑∑
+===
Δ+Δ=Δ
n
ki
ii
k
i
ii
n
i
ii
xfxfxf
111
)()()(
ξξξ
.
Отсюда
∑∑∑
+=
→
=
→
=
→
Δ+Δ=Δ
n
ki
ii
k
i
ii
n
i
ii
xfxfxf
1
0
1
0
1
0
)(lim)(lim)(lim
ξξξ
λλλ
,
или
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(.
б) Формула (6) справедлива и в том случае, когда ];[ bac
∉
. Пусть, например,
. bac <<
28
Тогда .
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
b
a
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
)
⎮
⌡
⌠
+
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
−
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
c
a
b
c
a
c
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()(.
4. Если 0)( ≥
x
f
на , то . ] 0;[ ba )( ≥
⎮
⌡
⌠
b
a
dxxf
Доказательство.
Т.к. 0)( ≥
i
f
ξ
и 0>
Δ
i
x для любого , то i
0lim)(
0
1
≥=⇒Δ⋅=
→
=
∑
n
n
i
iin
SJxfS
λ
ξ
.
5. Если )()(
x
g
x
f
≥ на , то . ];[ ba
⎮
⌡
⌠
≥
⎮
⌡
⌠
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
Доказательство.
По условию, )()(
x
g
x
f
≥ на ], следовательно, ;[ ba
0)()( ≥
−
x
g
x
f
на ], следовательно (по свойству 4), ;[ ba
⎮
⌡
⌠
≥
⎮
⌡
⌠
⇒≥
⎮
⌡
⌠
−
⎮
⌡
⌠
=
⎮
⌡
⌠
−
b
a
b
a
b
a
b
a
св
b
a
dxxgdxxfdxxgdxxfdxxgxf )()(0)()()]()([
2,1.
.
6. Теорема (о среднем значении).
Если )(
x
f
– непрерывная на ] функция, то существует точка
такая, что
;[ ba
]; b[ac ∈
)()()( abcfdxxf
b
a
−⋅=
⎮
⌡
⌠
.
Доказательство.
Обозначим )(min
];[
xfm
bax∈
=
, )(max
];[
xfM
bax∈
=
. Тогда для
любого b
x
a ≤≤ выполняется
M
x
f
m
≤
≤
)(. По свойству 5 имеем:
⎮
⌡
⌠
≤
⎮
⌡
⌠
≤
⎮
⌡
⌠
⇒
⎮
⌡
⌠
≤
⎮
⌡
⌠
≤
⎮
⌡
⌠
b
a
b
a
b
a
св
b
a
b
a
b
a
dxMdxxfdxmdxMdxxfdxm )()(
1.
.
;
n
b
a
Sdx
0
lim
→
=
⎮
⌡
⌠
λ
=
Δ
⋅
+
+
Δ
⋅
+
Δ
⋅
=
nn
xxxS 1...11
21
29
⇒−
=
−
+
−
+
+−
+
−=
−−−
abxbxxxxax
nnn
)()(...)()(
121121
. ababdx
b
a
−=−=
⎮
⌡
⌠
⇒
→
)(lim
0
λ
Имеем
)()()( abMdxxfabm
b
−≤
⎮
⌡
⌠
≤−
a
, или
M
ab
dxxf
m
b
a
≤
−
⎮
⌡
⌠
≤
)(
.
Число
μ
=−
⎮
⌡
⌠
)()( abdxxf
b
a
является промежуточным между наи-
меньшим значением функции )m (
x
f
и ее наибольшим значением
M
. По
свойству непрерывных на ] функций );[ ba (
x
f
принимает все свои промежу-
точные значения, т.е. существует ];[ac b
∈
такое, что
μ
=)(c
f
. Тогда
)()()( abcfdxxf
b
a
−⋅=
⎮
⌡
⌠
.
§ 4. Определенный интеграл с переменным
верхним пределом интегрирования
Пусть )(
x
f
y
=
– функция, непрерывная на ]. Рассмотрим инте-
грал . При заданной подынтегральной функции значение интеграла
зависит от обеих границ интегрирования и . Если закрепить нижнюю
границу и изменять верхнюю границу , то интеграл будет функцией сво-
ей верхней границы. Чтобы подчеркнуть, что верхняя граница переменная,
обозначим ее через
;[ ba
⎮
⌡
⌠
b
a
xf )(
a
dx
a b
b
x
. Переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее
с верхней границей, обозначим через
t
. Как мы уже говорили ранее, интеграл
не зависит от того как обозначается переменная интегрирования. Таким об-
разом, интеграл с переменной верхней границей является некоторой функци-
ей
x
:
⎮
⌡
⌠
=
x
a
dttfxJ )()(
.
Теорема. Производная интеграла )(
x
J
по переменной верхней грани-
це равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования
заменена верхней границей, т.е.