Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 8
541
8.62.
2^/спх
8.66. (зіпх)
00
. 8.63. е
л
*зп2х. 8.64. хс\\х . 8.65. х*"
+,
(21пх + 1)
( 2
СОЗ X
-
зіпх
•
Іп
зіп х
8.67. (1пд:Г| +
1п1пх
Іпх
8.68. х^~
2
(1-1пх). 8.69. (х
2
+1)
5Іп
-^
2Х
2
81ПХ
+со5х-1п(х
2
+1) |.
х' +1
8.70.
х
1
е
х
зіп2х(3 + 2х
2
+2хсг§2х). 8.71.
2{х-2){х
1
+1ІХ
+
1)
3(х-5)
4
-
3
л/(х +
1)
2
8.72.
л/і-х
2
[(агсзіпх)
2
-1]
V 1
+ агсзіпх
'-
Ж8ІПЇ
8.73.-^.8.74.-
а у
8.75.
ау -х
у
2
- ах
8.76.
2а
3(1-/)
•. 8.77.
у 2
;
8.78. -і. 8.79. 2"-•>'•
у-х
\-2
х
8.80.
5Ш(х + >;)
.8.81.
^^.8.82. -^-.8.83. 3(1 + х-х
2
)(1-2х)Лх .
1+8Іп(х
+ >')
х-у
2-у
8.84.
-^4^х.8.85.
_2
_
=<ят
1п2--^Ц^-Лс.
СОЗ X
С08 X
8.86.
{Х
-
1)8ІПХ
:
?
ХС05Х
а-х.8.Ю.
(1-х-)
2
З *
2
ІПЗ — + 9Х
2
--
2
=
X V*
ах.
8.88. а) 0,05; б) 0,805; в) 0,2. 8.89. а) 0,795; б) 0,770. 8.90. а) 2,25; 4,13;
б) 2,16; 4,13; в) 2,03. 8.91. а) 0,515; б) 0,485; в) 0,965. 8.92. а) 2,09; б) 1,1;
в) 0,9. 8.93. -г
2
.8.94. ^—!-. 8.95. -1.8.96. --сгзф.8.97.
--1§ф.
2 2( а а
8.98. сг§^.8.99. - .8.100. -2е
3
'. 8.101. —^. 8.102. ііііі.
2 2 з.*/?
1
+ І8'
8.103.
1§/
.8.104. 2 . 8.105. 6(5х
4
+ 6х
2
+ 1). 8.106. -2соз2х .
8.107.
2-6х
4
(1+*
4
)
2
8.108. 2е
х
(Зх + 2х
3
). 8.109.
6х(2х
3
-1)
(х
3
+1)
3
542
Відповіді
8.110. _
2
£_ + 2агсІ8х. 8.111.
—
г
^
1
+
*
4(а
2
-х
2
)
3
8.112. -™±£^Ї1. «.„з. -1.8.114.360.8.115.
1
2чЗ
2
8.116. /(0) = 3, /(0) = 12, /"(О) = 9. 8.117. 2.8.118.
6.
8.119.а
я
е
п
8.120. (-1)"е-*. 8.121. е
г
(х + /г). 8.122.
(ах
+
Ь)"
+1
чП-1
Я
8.123. і—^—
у
"
8.124.
(-1)
(-ГГ'
а
>-1)!
,
„„-,(«-!)!
(ях +
Ь)"
х"1па
8.125. (х
2
-379)8Іпх-40х
созх. 8.126.
е
х
(х
2
+
3>9х +
360).
8.127.
4л/2зіп[х--]<Г\
8.128. —^—.8.129. хзІїх + ЮОспх.
1п2х
9
8.130. -4.8.131. 8.132.
-
Зф. 8.133.
-1^
+
^
+5)
7
«У у
5
у
8
8.134.
^ііф.
8
.,35.
-
^,8.136.
,Я(х-1)
2
+
(7-1)
2
1
(2-^)
3
(/-Дх)
3
х
2
(у-1)
3
8.137. 9/
3
. 8.138. 1—. 8.139.
-
3
?
с08
/
.
8.140.
-
1
а8Іп
3
ї
а
3
8Іп
5
/
0(1-С08ф)
2
8.141.
-6ґ'(\
+ 3(
+
Ґ).
8.142.4г
2
. 8.143.
С08
2
І
-48ІП
2
І
9а
2
сов
7
/
-8Іп
3
1
8.144. !-=ах
2
. 8.145. т(т -1)(/и -2)х
т
~
3
йх
3
.
9хЦх
8.146. 4(х +
1)(5х
2
-2Х-1)ЙХ
2
.
8.147. 4^
2
21п4(2х
2
1п4-1)ах
2
.
8.148.
йу
= \пх(іх, <і
2
у =
~йх
2
, (І
3
у
=—\-сіх
3
.
х
х
-і
384
8.149. -<Г*(х~-6х + 6)с/х
3
. 8.150. —-іх
4
.
8.151. 1)0; 2)6;
3) -4;
(2-х)
5
Глава 8
543
4)*,
=2,к
2
=4.8.152. (1,1); (-1,-1). 8.153. 1) (0, 0); 2) [у,1|
8.154. 1) (2,4); 2) ^-|,^;3) (-1,1),
^1-1^.8.155.
(0,0); (1,1); (2,0).
8.156. (0,1).8.157. (2,4).8.158. у =
\2х-\6;
х + 12у-98 = 0;
5,
=|;
а„ =96. 8.159. у
+
4х
+
4 = 0; 8у-2х + 15 = 0; з, = 1; а
п
=8 .
8.160. 7х + 7~3 = 0; х-7у + 71 = 0.8.161. у-5 = 0; х + 2 = 0.
8.162. х-4у + 4 = 0; 4х + у -18 = 0 . 8.163. у-2х = 0; х + 2у = 0.
8.164. х->>-1=0; х +7-1 = 0. 8.165. 7х-10у + 6 = 0;
1
Ох+ 77-34 = 0.
8.166. 7 = 0;
(тс
+ 4)х + (тх-4)7-л;
2
—= 0 . 8.167. 5х + б7-13 = 0;
4
1 1
6х-57 + 21 =0. 8.168. х + 7-2 = 0 . 8.171. а, =агсд§- ; а
2
=агс(§ —.
8.172. а, = - ; а, = агсге-. 8.173. агсІеЗ . 8.174. 45°. 8.175. агсге— .
1
2
2
4 15
8.176. агсі§3 . 8.177. 90°. 8.178. 2 м/с; 2 м/с; 6 м/с.
8.179. у = 5; 4,997; 4,7м/с; а = 0;-0,006;-0,06м/с
2
.
8.180.Д
= -— см/с
2
.
18
8.181.а) г, =0, /
2
=8;б)г, =0, 1
2
=4, г
3
= 8 ; в) І є (0,4)
ІІ(8,+оо);
г) і, = 1(3 +
л/3)
, ї
2
= 1(3 -
л/3)
. 8.182. 1,76 м/с. 8.183. х[ =\[а .
к
8.188. Ні, бо /'(2) не існує. 8.189. Ні, бо
х =
~ - точка розриву функції.
8.190. Ні, бо х = 0 - точка розриву функції. 8.191. с = 0 . 8.192. с =
—\=-.
л/3
8.193. (2,4). 8.194.
с
,=-,с
7
=-. 8.195. а) с = —; б) с = - .
2 3 9 4
544
ВІДПОВІДІ
8.196. -А—- 8.197.0. 8.198.
1.8.199.
- .8.200.
1.8.201.
— а
т
~".
3^
Р 3 п
'Х О 1 о
8.202. 2. 8.203. -. 8.204. - . 8.205. -. 8.206. - . 8.207. Іп-. 8.208. 5.
5 3 2 3 Ь
8.209.
+оо.
8.210. 1.8.211.0. 8.212.
-оо.
8.213. сояЗ. 8.214. 0. 8.215. 1.
2
8.216. 1. 8.217.0. 8.218. а . 8.219.
оо.
8.220. 0. 8.221. 2. 8.222. -1. 8.223. 0.
8.224. 1. 8.225. 0. 8.226. -1. 8.227. -. 8.228. Е~
Ь
. 8.229. Е
2
. 8.230. .
2 З
8.231.
1. 8.232. ~ . 8.233. 1. 8.234. 1. 8.235. 1. 8.236. Е. 8.237. 1. 8.238. 2.
Ь
УІЕ
е
8.239.
1.8.240.
а) 0; б) 1.
8.241.
Р(х)=(х~4)
4
+ 11(х-4)
3
+37(х~4)
2
+21(л--4)-56.
8.242. Р(х) = (х + 1)
3
-5(х+1) + 8. 8.243. />(-1) = 143, Р'(0) = -60,
Р"(0) = 26 . 8.244. а) і-
х +
—- — + ...+ (-1)" ~ + о(х
и
);
2!
З! я!
бА+2г + х
2
-їх
3
-їх
4
- —х
5
+о(х
5
); в) 1-!.г + !х
2
+ —х
3
+о(х
3
);
Ш
3 6 15 2 8 16
Г
)
І.7Г~ + о(х"). 8.245. а) £(-1)(х +
1)*
+о((х + 1)");
б)2 +
^1_(^і)1
+
0((х
_4
)2
);
64
в)
(*.-1)
+ |у(х - І)
2
+ -1)
3
+ А(х -1)
4
+ о((х -1)
4
);
2 4
г)
1_
(х
_і)2
+
-_-(х-1)
4
+о((х-1)
4
).8.246.а) х + о(х
3
);
о
384
з ' •
б) х + — + о(х
4
); в) (х -1) —(х -1)
2
+ о((х -1)
2
). 8.247. а) 0,842;
6 • 2
Глава 8
545
б)
1,648;
в) 0,049 ; г) 2,012. 8.248. а) 1; б) ~ ; в) 1; г) — ; д) -2; е) і .
1 ... 1 „ґ /г ^
8
-
249
-
.У тах =У(1) = - , Утт = У^
1
) = ~^ ^
Т0ЧКИ п
ЄРЄГИНу />,
V
У
Р
2
(0,0), Р
3
'
4
;
асимптота 7 =
0
. 8.250. у
тт
= 7(0) = 1; точок переги-
ну немає; асимптоти х =
±1,
у = 0 . 8.251. Екстремумів немає; точка переги-
ну /°(0,0); асимптоти х =
±1,
7 = 0 . 8.252.
у
тях
= 7(0) = 0 ; точок перегину
немає; асимптоти х
=
±\, 7 = 1. 8.253.
7
тіп
=7(0) = -1 ; точки перегину
|
±
1,--^],
(± л/5,о). 8.254. 7
тш
= 7(3) =
Щ-;
точка перегину (0,0); асим-
V
125у 8
птоти х = 1, 7 = ^ +1 . 8.255. у
тт
= у(-3) = -4,5; у
тіп
= 7(3) =4,5 ; точка
перегину (0,0); асимптоти х = ±л/з, у = х .
1 С 2 ^
8.256.
7
тах
= 7(1) =
—
; точка перегину 2,— ; асимптота 7 = 0 .
е V е-)
8.257.
7
тах
= 7(1) = е ; точки перегину
І2±4І
г
;
асимптота 7 = 0 .
2
8.258. у
тт
= 7(1) = е
;
точок перегину немає; асимптоти 7 = х + 1, х =
0
(пра-
ва асимптота). 8.259. Точка перегину
(1,е
2
);
асимптоти у = 2х + 3,
х = 0(права асимптота). 8.260. у
тж
=7^—^
= -е; асимптоти х = 1, х = 0
(права асимптота), 7 =
0
(права асимптота).
8.261.
у
тт
= 7(0) = 0; точок перегину немає; асимптота х =
-1.
8.262.
7
ІПІІ1
=7(0)
=
0;
точки перегину
(+1,1п2).
8.263. 7
тт
= 7(1) - -1 ; точ-
ки перегину
(0,0),(2,0).
8.264. Точки перегину
(0,1),(1,0);
асимптота
7
= -х . 8.265. Точки перегину
(0,0),
(± 1,±
л/2~);
асимптота 7 = х .
8.266. Точка перегину
(0,0);
асимптоти у = -1 (ліва), 7 =
1
(права).
546
Відповіді
8.267. Визначена при х >
-1,
двозначна; екстремумів немає; графік симет-
ричний відносно осі Ох ; точки перегину (0,1), (0,-1); асимптот немає.
8.268. Визначена при х > 0, двозначна; графік симетричний відносно осі
Ох;\у\
2л/з
;
точок перегину немає; асимптот немає.
8.269. Визначена при х<0 та при х > Чі , двозначна; графік симетричний
відносно осі Ох; |у|
тах
=|у(-1)| = 1; точок перегину немає; асимптоти
х = 0, у = ±
х4ї
8.270. х
тш
=-1 при
1
=
1
0(0 = 3), У
тт
=-1 при
і = -1 (х(-1) = 3); парабола з вершиною у початку координат, вісь якої -
пряма у
=
х (х > 0, у > 0). 8.271. х
тт
= у
тт
=1 при / = 0 (точка звороту),
у = 2х - асимптота при і
-»
+
оо
.
8.272. ^-1 -Зя, -1
+
- максимум,
^1-Зтс,1--^-^
- мінімум, точка пе-
регину (—3л,0); асимптоти у = х, у = х
+
6к. 8.273. Асимптота
х + у +1 = 0; (0,0) - точка самоперетину, дотичними в цій точці є осі коор-
динат; точок перегину немає; у першому квадранті - замкнена петля.
8.274. ф а) Замкнена трипелюсткова троянда;
з
І)
2тс
4тс 5л'
Т'Т
тс 5тс Зтс
;
екстремуми при ф = —,
ер
= — , ф = —
6 6 2
(достатньо дослідити лінію при 0 < ф < я); б) графік отримується з графіка
р = а зіп Зф за допомогою повороту на кут —. 8.275. а) Екстремуми при
6
я Зтс 5тс 7я , ...
Ф = —, ф = —, ф = —,
ш
= — (достатньо дослідити функцію при
4 4 4 4
я
0 < ф < —); б) графік отримується з графіка р = 3§іп2ф за допомогою пово-
роту на кут —. 8.276. 1>(р) =
4
я я
"Зя
5я~
.
4 4
_
;
екстремуми при ф = 0,
Ф = я (достатньо дослідити лінію при 0 < ф < —).
4
Глава 8
547
8.277. Кардіоїда, полюс - точка звороту;
р
тах
= р(0) = 2а , р
тш
= р(л) = 0.
8.278. £>(р) = (0, +
оо);
лінія спірально завивається навколо полюса, асимп-
тотично до нього наближаючись; точка перегину
^\/2л,у|;
горизонтальна
асимптота - полярна вісь (ф = 0). 8.279. Лемніската Бернуллі (див.№ 8.276).
8.280. Чотирипелюсткова троянда (див.№ 8.275а)). 8.281. М = 13, т = 4 .
8.282. М = 10, т = 6. 8.283. Л/=|, т = -\.
8.284. М=1, т = -.8.285. М =-, т = --. 8.286. М т=0.
5 2 2 4
8.287. 4 та 4. 8.288. 1. 8.289. 6 та 6. 8.290.
1[л~У
. 8.291. ти
3
. 8.292. —лг
2
л .
27
8.293.
-го-
3
.
8.294. -^е
3
. 8.295. 2г
2
. 8.296. #(1,1). 8.297. х = к4ї ;
З 9л/3
у = —. 8.298. Розділити відрізок навпіл.
л/2
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ
ЛІТЕРАТУРИ
1.
Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейн-
ман В.Б. Злементьі линейной аліебрьі и аналитической гео-
метрии. - Мн.: Вьіш. шк., 1986. - 272с.
2.
Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сбор-
ник задач по линейной алгебре и аналитической геомет-
рии. - Мн.: Вьіш. шк., 1990. - 286с.
3.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математичес-
кого анализа. - М.: Наука, 1985. - 446с.
4.
Бпох З.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основьі линей-
ной алгебри и некоторьіе ее приложения. - М.: Вьісш. шк.,
1971.-256с.
5. Борисенко О.А., Ушакова Л.М. Аналітична геомет-
рія.
-X.: Основа, 1993. - 192с.
6. Бугров Я С, Никольский С.М. Дифференциальное и
интегральное нечисленне. Т.
1.
- М.: Наука, 1988. - 432с.
7. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.:
Наука, 1971. - 220с.
8. Головина Л.М. Линейная алге^^а и некоторьіе ее при-
ложения. - М.: Наука, 1985. - 407с.
9. Гурский Е.И. Основи линейной алгебрьі и аналити-
ческой геометрии. - Мн.: Вьші. шк., 1982. - 272с.
10.Данко П.Е., Попов АГ., Кожевникова Т.Я. Вьісшая
математика в упражнениях и задачах. Ч.І. - М.: Вьісш. шк.,
1986.
-304с.
11.
Дубовик В.П., Юрик
1.1.
Вища математика. - К.: Вища
шк., 1993.-648с.
12.
Задачи и упражнения по математическому анализу для
втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1970. - 472с.
13.
Ипьин
В.
А.,
Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналити-
ческая геометрия. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. - 320с.
Список використаної та рекомендованої літератури
549
14.
Ильин В.А., Позняк З.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука.
1984.-302с.
15.
Крутицкая
Н.
Ч.,
Шишкина
А.А.
Линейная алгебра в воп-
росах и задачах. -М.: Вьісшая школа, 1985.- 120с.
16.
КручковичГ.И., МордасоваГ.М., Сулейманова
Х.Р.
и др.
Сборник задач и упражнений по специальньш главам вьісшей
математики.-М.: Вьісш. шк., 1970.-511с.
17.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по вьісшей математи-
ке.
- М.: Вьісш. шк., 1983. - 175с.
18.
Кузнецов
А.В.,
КузнецоваД.С, ШилкинаЕ.И. идр. Сбор-
ник задач и упражнений по вьісшей математике: Общий курс. -
Мн.:Вьші. шк., 1994.-284с.
19.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное не-
численне. Т.1. - М.: Наука, 1985. - 551с.
20.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной ал-
гебре. - М.: Наука, 1975. - 319с.
21.
Сборник задач по математике для втузов. 4.1. Ли-
нейная алгебра и основьі математического анализа /Под
ред.
А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1986. - 464с.
22.
Сборник индивидуальньїх заданий по вьісшей матема-
тике.
4.1. /Под ред. А.П. Рябушко. - Мн.: Вьіш. шк, 1990. - 270с.
23.
Тевяшев А.Д., Литвин ОТ. Алгебра і геометрія: Лінійна
алгебра. Аналітична геометрія. - X.: ХТУРЕ, 2000. - 388с.
24.
Тевяшев А.Д., Литвин ОТ. Вища математика. Загаль-
ний курс: Збірник задач та вправ. - X.: Рубікон, 1999. -320с.
25.
Фихтенгольц Г.М. Основи математического ана-
лиза. Т.1. - М: Наука, 1985. - 440с.
Навчальне видання
ТЕВЯШЕВ Андрій Дмитрович
ЛИТВИН Олександра Григорівна
ВИЩА МАТЕМАТИКА
У ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ
Частина 1.
Лінійна алгебра і аналітична геометрія.
Диференціальне числення функцій
однієї змінної
Відповідальний випусковий А.Д. Тевяшев
Редактор Б.П. Косіковська
Комп'ютерний набір Ю.Г. Акімова
Комп'ютерна верстка А.Г. Поляков
Підп.додруку
30.08.01.
Формат 60x84/16. Папірофсетн.
Умов. друк. арк. 34,5. Тираж 1500 прим.
Ціна договірна.
Замовлення № 1543
ХТУРЕ, 61166, Харків, просп. Леніна, 14
Надруковано у ТОВ «Фактор-Друк»,
ул.
Гомоненка, 10