Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 6
531
г) і(х
ь
х
2
, х
3
)={х
х
х
2
х
3
)
г
\ О ОУх,
Л
х
2
д) і(х
ь
х
2
, х
3
) = (х, х
2
х
3
)
1 ¥х^
О О -1/2
1 -1/2 0 _
х
2
4*3 У
е) і(х,, х
2
, х
3
)=(х, х
2
х
3
)
Ґ
0 1/2 3/2¥х,
л
1/2 0 -1
3/2 -1 О
х
2
6.4. а) і( X,, х
2
) =
X]
2
+ Зх
2
- 4х]Х
2
; б) і( х\, х
2
) = -Зх
2
+ 2х[Х
2
;
в) /.(х,, х
2
, х
3
) = 2х,
2
+х\- 4х,х
2
- 2х
2
х
3
;
г) ь(
Х[,
х
2
, х
3
) = Зх
2
- 2х
2
+ х
3
+ 4х[Х
3
+
2х
2
х
3
;
д) і(
X],
х
2
, х
3
) = -Зх
2
+1 Ох]Х
2
;
е) і(
Х|,
х
2
, х
3
, х
4
)
= -х
2
+ 2х
3
+
6Х]Х
2
+
2х|Х
4
+ 8х
2
х
3
+10х
3
х
4
.
6.5. Відповідь визначається неоднозначно.
а)
б)
в)
хі
=
Х2
:
х,
=
Х2
X, =
Х2 -
І
і(у\ . У2 )=У\ +?>У2 '
У\
У2
У2
)=
4
)'\ -Уг'
5
Л+
^
2
'
Т2
У
'
+
Ь
У2
''
^
+
Т2
У2
к{у]>
У2 )=У\ -У2;
532
Відповіді
г)
1 1
1
1
_1_
Ге'
і
Хї=
Тз
Ух
~Т2
У2+
Ть
Уг
''
4~6
Уз >
к{уі>Уі>Уз
)=
4
у
2
+
4>
2
-2^1;
д)
Хі
=
7з^
уз
;
хг=-)=У\+-і=У2
—77 Уз ' к(У\> У2 . Уз ) = 9у? + 6у| + 6_у|
4і 41
2
41
2
+
—УЗ
е)
-^У
2+
^УЗ
1 1
У\+-У2+^Уз
1 1 1
*3
=
ТгУі +ГУ2 +ТУЗ
х
х
х
2
=
42
4І
к{)'\'
У2
>
Уз
)=42у\-42у\
;
6.6.
Уз
; А(Уі.У2.Уз)=-Уі
2+2
У2
+2
Уз
*з^У,
1
4ї
Ух
*Ть
У2+
Т2
у
'
:
Х2=
ТУ
х+
ТЬ
У
^Т2
у
'
Хі=
І
Уі
~7Е
У2
>
к(Уі.
У2 . Уз
) =
5
У
2
"У
2
-Уз
2
Глава 6
533
^г(
2
і
>
2
2
>
2
3 )
=2
? ~
2
2 ~
2
3 • 6-7. Відповідь визначається неоднозначно.
ч
ІУі =
х
\ + *2 і , / \ 2,2
а
) 1 ^іІ7ь 72 ) =
У\
+У2'>
\У2
х
2 .
б)
Уі
=х
\
+
х
2+
х
3~,
У2= - 2
х
2 +
х
з;
7з
=
х
з ,
у, = 2х, - х
2
;
в) \у
2
= х
2
-Зх
3
;
"
Уз = *з .
г)
Д)
е)
у, =хі -х
2
+ х
3
;
у
2
= - х
2
+ х
3
;
7з
= *з .
У\ = 0,5хі + 0,5х
3
;
У2= ~
х
2+
х
з;
Уз = -
0,5А'і
+ 0,5х
3
,
У\ = 0,5х] + 0,5х
2
- 0,5х
3
;
у
2
= -0,5х] + 0,5х
2
- 0,5х
3
;
Уз
Х
\=У\--У2+тУз
і
о
х
3
6.8.
х
2 =
Х
3
=
1У
2^УЗ
-Уз
1
\ІУ\>
У2>
Уз )=У\ + 72 і
1
\{У\ . У2> Уз )=У\ +УІ +
5
Уз;
^(л. ^2
>
Уз )=7і
2
- Я ~
4
Уз;
А(7ь 72' 7з )=7і
2
+72 -7з ;
Муі' 72 . 7з )=7і
2
~72-
і
і(7і.72.7з)=7і
+72-7з
•
6.9.
а)
х
\
=7і -272 -0,4у
3
;
•*2
= 72 + °>
2
7з ; А (7і. 72 . 7з ) = 7
2
~ 572 +
3
>
2
7з
2
•
х
з=
Уз
>
534
Відповіді
б)
Х
\=У\
+ 0>5у
2
х
г
= Уг
х
г
= Уг
к (уі
>
Уі. Уз) =
2
у?
+
°.5у2
+
5
Уз
2
;
в)
дг,
=у\+3у
г
+ — у
г
;
х
2
*3
:
У2+^У
3
УЗ
.
УЬ У2
-
УЗ )
= -Уі
+11
У2 •
6.10. У випадках 1, 2 відповідь визначається неоднозначно.
а) 1.
1
1
УІ
=-тт
х
\
+
~тт
Х
2;
Л
1
&
'
2=
7Г'~7Ї
Х2
к{у\'Уг
)=2уІ;
2.
>ї =
*1
-
Х
2
[У2
= *2 .
3.
Не можна застосувати метод;
к(уі>У2
)'-
Уі
2.
б) 1.
2д/2 1
;,=-—х
1 +
-,
2
1 2л/2
У2=
-*і+-
3
—*2
2.
3.
і
\у\=
х
\ ;
[у
2
=
л/2х,
+ 2х
2
,
2л/2
х
і
=уі
+-^-У2;
Х
2
= У2 •
^(уі.
У2
)=5л
2
-у|;
А(уі.
Уг
)=
3
У
2
-уУ
2
;
\
Глава 6
535
в)
ЇЇ ЇЇ'
73 =
7=
^2+-7=^3
2.
^
71
= *1
72=
*2+у*з;
73 =
х
3
^і(7ь 72. 7з )=7і
2
+272 +-7з ;
*1
=7]
*2
=
х
3 =
72
- у-
1
'
3
'
7з
,
^1
(71.
72
-
7з
)
= 7
2
+ 272 + -7з •
6.11.Додатно визначена. 6.12.Не є знаковизначеною. 6.13. Не є
знаковизначеною. 6.14. Додатно визначена. 6.15. Від'ємно визначена.
6.16. Не є знаковизначеною. 6.17. V
Я,
> 0 . 6.18. Ні при якому значенні
У'
2
V'
2
X. 6.19. Х>4/3. 6.20. А.<-4/3. 6.21. Еліпс —+ •£—
2 1
"і-Ні.
Ґ
1 2
Л
ЇЇ' її
е
2
Ґ
2
р
ЇЇ' її
)
\
^ (
<?
2
=
ЇЇ' ЇЇ
.
6.22. Парабола у'
2
=4ЇЇх', 0'(2, і),
V
-Х=, А— . 6.23. Гіпербола 2!— = 1, О'
(1,
1),
ЇЇ ЇЇ) 4 9
1
' "
л/Гз'
л/Гз
е
2
із
VIз
.
6.24. Паралельні прямі х = +
ЇЇ
О'І--,-
—
5 10
-_2_
_±
,
ЇЇ' ЇЇ,
>
?2 =
ч>/5 ' ЇЇ,
або,
у старих змінних,
536
Відповіді
,2
<2 ґ~, <
2х-у +
1
= 0, 2х-у-4 = 0. 6.25. Еліпс -і—+ = 1, О' -,
' 35/6 35/36 І ^
,6 3
'
2
—і.'
'_1_
_2_^
е
1 =
,л/5'
л/Х
>
е
2 =
.75
' VI,
. 6.26. Парабола у'
2
=—!=-х', 0'(3, 2).
л/5
*1
_2 1_
л/5
' л/5
Є2
=
V
^ 2_
л/ї^л/І
'2 -2 ,,2
6.27. Еліпсоїд
——
+ ——н-^—= 1,
2 12/3
е
2
=
2 1
<?
3
=
2 1
6.28. Гіперболічний параболоїд
2 1 2
'з'
З' З
'1 2 2
е
2=ІТ>-
2 1
2
.3'
з' З
6.29. Двопорожнинний гіперболоїд
з'з'
зі' "
л
и з'з
•22',
0'(1,2,3)
г2 -2
е
3
2 2 _1_
З' 3' 3.
-2 '2 >:
X
V 2
-
+
-
4/5 4/15 4/25
О
1
0, 1, [, е
1
=
л/Г
л/Г
е
2
=
^ і_
л/ї'л/г"'
е
3
=(о, 0, 1).
6.30. Еліптичний параболоїд
х
1
^ у'
2
,
0
,Г__1_
__19 Г
5Л/2/4
+
Л/2/2
2
' I 40' 40' 2,
^ 1 2_
ч
л/б'л/б' л/б,
е
2
Г_і_
_і_ _і_
л/3
1
л/3 ' л/3
е
3
1
1
ЇЇ''Л'
6.31. Параболічний циліндр у'
2
=ух', 0'(2,1,-і), е. =(1, ),
е
2
\_ _2 2
з'
з' зі'
Єз
Чз' з'з
6.32. Еліптичний циліндр
^ і ^
Л/з'Л/з'
З
е
2
^ 2 1_
л
л/б' л/б' л/б
е
3
Г
' о, '
л/2
ЇЇ)
Глава 7
537
6.33. Однопорожнинний гіперболоїд + —,— = 1, О' (- — ,- — , — І,
У
1/3 1/6 1/2 1, 3 3 3)
_1 1 1_
л/з'
л/з'л/з.
е
2
Л/б ' Л/б ' Л/б
<?3 =
' о '
л/2 л/2
6.34. Гіперболічний циліндр ^-—^— = \ О] —, —,-— 1,
н
1/3 1/3
ч
6 3 6/
.,0,-
л/2'"'
ЛЯІ'
?2
І л/з' Л/з' 7з
1 1 1
.
е
3
(\_ 2_ _И
Л/б ' л/б ' л/б
Глава
7
3 2 5 4 14 17 20
7.1.
а)
0,^,^,...;б)
2, 0, 6, 0,10,...; в) -8, 11, у, у, у,....
7.2. а) х
н
= ЬІІІ.
б) х =
і
+
(_!)« .
в) =
2«.
7
.4. 1.
7
.
5
. _ |
я +1 2я -1 З 9
7.6. 0. 7.7. -і. 7.8.
оо.
7.9. 0. 7.10. 3. 7.11. 0. 7.12. 1. 7.13. 0. 7.14. 4. 7.15. 0.
2
7.16. 0. 7.17. 1. 7.18. - .7.19. -.7.20. --. 7.21. -1. 7.22. а) 1; б) 0. 7.23.
3 2 2
0. 7.24. 1. 7.25. -^2.. 7.26. 1. 7.27. - . 7.28. 0. 7.29. 0. 7.30. 0.
З 2 2
7.31.а) [-2,0)11(0,2]; б)
[0,4];
в) х * "
(2я+
н є 2 . 7.32. а) [1,+ ю):
б)
(-оо,3];
в) [-2,4]. 7.33. а) у =
1-х / х-1
; б) у = +V х -1 ; в) у-
г) у = 1±л/х7Т;д) у = \
&
^;е) у = -2 +10
х
-'; є) у =
2
х
>
х
;
1 х
ж) У = ~агсзіп—. 7.34. а) Непарна; б) ні парна, ні непарна; в) парна.
538
Відповіді
7.37. а) ; б) к; в) к. 7.45. -2. 7.46. 2. 7.47. оо. 7.48. 0. 7.49. -2.
7.50. оо
.
7.51. 0. 7.52. --. 7.53. оо. 7.54. - . 7.55. —. 7.56. Зх
2
. 7.57. 0.
5 2 п
7.58. оо
.
7.59. 4. 7.60. -
.
7.61. -- . 7.62. -. 7.63. -
.
7.64 '
4 л
•> •> Зл/х
2
7.65. 12. 7.66. -
.
7.67. —. 7.68. - . 7.69. 0. 7.70. оо. 7.71. -
.
7.72. -1.
2 я 3 2
7.73.
100. 7.74. -1 . 7.75. 1. 7.76. оо
.
7.77. -1 . 7.78. оо
.
7.79. 0. 7.80. - .
4
7.81.
0. 7.82. 0. 7.83. - —. 7.84.
—
, якщо х ->
+оо
;
-оо
, якщо х ->
-со
.
2 2
7.85. +-.7.86.
1.7.87.3.7.88.
£.7.89. 1.7.90.
1.7.91.
1.7.92. 1.
2 5 3 3 2
7.93.
1. 7.94.
со
. 7.95. -1. 7.96. 1. 7.97.
оо
. 7.98. 0. 7.99. 1. 7.100.
оо
.
4 2 2
7.101.
1. 7.102. -. 7.103. 1. 7.104. --.7.105. — . 7.106. 2. 7.107. е
тК
.
2 п тс 2
7.108. 1. 7.109. е
6
. 7.110. е"
2/3
. 7.111.0, якщо х ->
+со
;
оо
, якщо х ->
-оо
.
е
7.112. оо , якщо х
—> +оо
; 0, якщо х
—>
-оо
. 7.113. оо , якщо х
—>
+оо
; 0,
якщо х ->
-оо
. 7.114. е
2
. 7.115.
1.7.116.
л/е. 7.117. к.
7.118. 1.7.119. а. 7.120.
1.7.121.
та. 7.122. 1.7.123. е. 7.124. 1.
а е 3 2
7.125.2. 7.126.
1.7.127.
-1.7.128. е. 7.129. 1.7.132. а) а(х) = оф(х));
2 е
б) сц» = 0(Р(х)); в) а(х) ~ Р(х). 7.134. а) 2; б) 1; в) 1; г)
10;
д) 2; е) 1; є) |.
7.136. а) х, = 0, х
2
=
1
- точки розриву другого роду; б) х = 1 - точка розриву
першого роду (стрибок); в) х = 0 - точка розриву першого роду;
г)
X]
=2, х
2
= -2 - точки розриву другого роду; д) х = 2 - точка розриву пер
шогороду;е) х = -2 -точка розриву другого
роду,
х = 2 - точка усувного розриву;
Глава 8
539
є) х = 0 - точка розриву першого роду (стрибок); ж) х = -1 - точка усув-
ного розриву, х =
1
- точка розриву першого роду (стрибок); з) х =
1
-
.. п
точка розриву першого роду; і) х =
—
- точка розриву першого роду.
4
7.137. а) а = 1; б) А = 3 ; в) Ь = у; г) А =
-1,
В = 1;
д) а = 2, Ь =
-1;
е) а = 1, Ь =
-1.
7.138. а) /(0) = п ; б) /(0) = 1;
в) /(0) = 2 ; г) /(0) = 2 ; д) /(0) = 0; е) /(0) = 1. 7.139. |. 7.140.Усувний
розрив; розрив другого роду. 7.141. х = 0 - точка розриву першого роду.
7.142. Три точки розриву: х = 0 - точка усувного розриву, х = ±1 - точки
розриву другого роду. 7.143. Ні, бо /(0 + 0) = —, /(0-0) = -—.
2 2
7.145. Рівномірно неперервна. 7.146. Не є рівномірно неперервною.
7.147. Рівномірно неперервна. 7.148. Не є рівномірно неперервною.
Г лава 8
8.1.
6х-5.8.2. -2 +
-х
3
.8.3.
—\- + \ + А- . 8.4. 4= + ^г-
З х
2
х
3
х
4
Тх^ х
2
8.5.1
/
3 2
Л
•—==
+
х
4/„3 3/2
8.6. 4х
3
- Зх
2
- 8х + 9.
8.7. 7х
6
-10х
4
+8х
3
- 12х
2
+4х + 3. 8.8. К=\
1
+
-
2л/х
8.9. 2х(3х
4
+8х
2
-41). 8.10.
—±—.8.11.
1
^
Х
* .
(х + 1)
2
(х
3
-х)
2
8.12. .-
2
Г7
. 8.13. -
3(
"
2+1)
2
. 8.14.
-*£^..
8.15. /(1) = 1;
Л-(2-л/х)
2
(х
3
+3х-1)
2
(с + ^х)
2
/'(1) = 2 ; /(4) = 8; /'(4) = 2,5. 8.16. /(-1) = -5 ; /'(-1) = -8 ;
/'(2) = ^ . 8.17. /'(0) = 11; /'(1) = 2 ; /'(2) =
-1.
8.18. /"(0) =
-0,25;
16
540
Відповіді
/'(-1) = 0,5 . 8.19. 24х(1 + 4х
2
У . 8.20. - 20(1 - х) .
8.21.
6(х
3
- х)*(3х
2
-1). 8.22. 5П+*
2
)У+2х-1)
_
^ - 4(1 -
іГх?
(1
+ х)
6
' л/7
2х хГх
2
+ 2а
2
Л
8.24. . 8.25. ; ' . 8.26. ЗсозЗх. 8.27. 9соз(Зх + 5).
З-^І
+
х
2
)
4
' ' '
уІ(х
2
+а
2
)
3
8.28. -4зіп—.8.29. -зіп2х.8.30. -12соз
2
4х-зіп4х.
З
З , 7
8.31.
-зіп 2х(2-зіпх). 8.32. -зіпх -Зх
2
.
Х-СОЗл/1
8.33. 2зіПх(х8ШХС08Х + +С03Х-81ПХ ). 8.34. ... .—
лАТх
7
8.35. 4(1 + зіп
2
х)
3
-8Іп2х . 8.36. -і-созх . 8.37. агсзіпх +
-
Х
2
' 4~7
2
8
.3
8
.
2агс8іпх
_
&ж
_ ^
1
агссо8х
=
£^
_
8Ж
1
_
^ 2х
4\-х
2
х
2
-4-х
2
л/2х-х
2 1 +
*
2 2агсІ§- ,
8.42. . 8.43. г^.8.44. 2х 1о
8з
х + —-. 8.45. —
2
/. 4
1
+ х ІпЗ х
4
1 2х-4 2х 2
8.46. і— . 8.47. „ . 8.48. — . 8.49. —=—.
х1п
2
х х
2
-4х (х
2
-1)1пЗ 8іп2х
8.50.
41п
3
8іпх-с1§х.
8.51. 10* (1
+хЬ10)
. 8.52.
е*(1+х).
8.53. (созх-зіпх). 8.54. Зх
2
-З'їпЗ . 8.55. 2
•
10
2ї_3
ІпІО.
8.56.
а
8І
"
3
*
1п
а •
3зіп
2
х
•
соз х . 8.57. -12-
ІО
1-8
'"
4
Здг
1п 10
•
зіп
3
Зх
•
соз Зх .
8.58. ЗзЬ
2
х-спх . 8.59. Лх . 8.60. ,
2
*
• •
. 8.61. 2зп2х .
сп
2
(1-х
2
)