Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

6. Основні формули елементарної математики

481

у х-у

соз х

сову = 2 соз соз :

2 2

„ . х+у . х-у

соз х-созу = -2 зіп зіп

2 2

соз х + зіпх =

лІ2

созі

—

-х |=

УІ2

кіп(

—

+ х І;

СОЗ

- зіпх

*І2 зіп

—- х 1= >/2 созі

—

+ х .

и ; и )

8ІП(Х+ у) 8ІПІХ+ V)

1§ х + 1§ у = ; сг§ х + сІ§ у = , . ' ;

созх соз у зіпх зіп у

зіп (х-у) зіп (х-у)

і£х-г§у = і ^; еї§х-с(-

у = - . /'

созх соз у зіпх зіп у

6.2.7 Формули перетворення добутку в суму

зіп х зіп у = у (соз(х - у) - соз(х + у)) ;

созх соз у = і (соз(х - у) + соз(х + у));

зіп х созу = ^ (зіп(х - у) + зіп(х + у)).

6.2.8 Вираження тригонометричних функцій через тангенс

половинного кута

зіпх = —; созх =

—

;

її ? X

18"

482

Глава 10. Довідковий матеріал

6.2.9 Формули зведення

Назва функції не змінюється Назва функції змінюється на подібну

-а л-а л + а

— а

—+ а

Зя

Зл

— + а

8ІП

-8Іпа

зіпа -8Іпа соза сова

-соза

-сова

соя

сова

-сова

кіпа -зіпа

-8Іпа кіпа

-1§а

-І£<Х

Ща

сі^а

-сг§а

сіца

-сІ§а

-сі§а

-сІ§а

1§а

-Ща

18 а

-18 «

6.2.10

Значення тригонометричних функцій

Значення кута а

Функції

град

рад

8Іп а

соз а

сіц а

0 0

1 0

не існу<

30°

л/3

45°

1 1

60°

7з~

90°

не існує

180"

-1

не існує

270°

Зя

не існує

360° 2я 0

не існує

6.2.11

Властивості обернених тригонометричних функцій

агсзіп(-а) = -агсзіпя, |я|^1

агесоз (-а) = л -агесоз я, |а | < І

агс(8 (-а) = - агсг§ а, а еК

агссг§(-о) = л -агссІ8 о, а є К

агезіп а + агесоз а = —, І«! < І

2 ' '

л і і і

агсІ8 а + агсс(8 а = —, |

|^1

§ 6. Основні формули елементарної математики

483

6.2.12

Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння Розв'язки рівняння

зіпх = я, |а|<1

х = (-1)" агсзіп а + лп, ИЕ2

созх = а, \а\<І

х = іагесоза

2лп, пєХ

Щх

а , ЙЕК

х = агсІ§ а + лп , п є 2,

сІ§

х = а , а є К

х = агссІ§ а + лп , п є X

Окремі розв'язки тригонометричних рівнянь

зіпх = 0

зіп

= ±1 => X

созх = 0

=> X

созх = 1 => X

созх = -1

х = лп, пе2

±—і- 2лп

—и лп, п

6.3 Властивості логарифмів

1°.

Основна логарифмічна тотожність :

х =

І0&

х>0, а>0, а*1.

2° . Логарифм основи дорівнює одиниці:

" =

•

3° . Логарифм одиниці дорівнює нулю :

1о

8о

1=0.

4°.

Формула для логарифма добутку :

І0£

(х,

) = 1о§„ х, + 1о§

, х, > 0 , х

> 0.

5° . Формула для логарифма частки :

І08

—

1о§

х,

1о§„ х

х,

> 0

484

Глава 10. Довідковий матеріал

6 . Формула для логарифма степеня :

1о§

= р 1о§

х, х

0, р є К .

7°.

Формула переходу до нової основи логарифма :

\о&

х = ^^-, х>0, ЬєН, Ь>0, Ь*1.

Зокрема,

Ьйо

* = т—^— і

І0

§а

•

І0

8/> " =

•

6.4

Прогресії

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

а„

=о

_і

+ я\

де

І/ -

різниця прогресії

Ь„

= VI °.

де

а ~

знаменник прогресії

Формула

/7-го

члена

„ =°і

+(л-1)^

1,2,...

К = <Г'

п =

1,2,...

Формула суми перших «членів

і-я

Формула

для

різниці

Формула

для

знаменника

сі = а„ -в„_,

-і

Сума натуральних чисел

від

до п

Сума нескінченної

геометричної прогресії

_ "(л

*•

1-9

6.5

Основні формули комбінаторики. Біном Ньютона

Число перестановок з п елементів знаходяться за формулою

Р„ =1-2-...-(л-1)л = и!, 0!=1.

6. Основні формули елементарної математики

485

Число розміщень з п елементів по т елементів знаходяться за формулою

А™ =п(п -1)...(и -(т-])) =

•

(п-т)\

Число

комбінацій з п елементів по т елементів знаходяться за формулою

„ _ К _и(и-1)...(я-(ія-1))

" ?

1-2-..,т

або

, С

=С°

=1.

т\

(п —т)\

Властивості комбінацій:

Формула бінома Ньютона має вигляд

(в +

й)"

Хсу-

=СУ +С

]

„а"-

Ь+

... +

СГ'ай"-'

С>",

т=0

л!

де С"

= число комбінацій з п елементів по т елементів; п є N.

т\

(п —т)\

Сума біноміальних коефіцієнтів £С™ = 2".

т=0

б. б

Числові значення деяких величин

Позначення

величини

Числове

значення

Позначення

величини

Числове

значення

3,14159 е 2,71828

2л

6,28318

1/е

0,36788

л/2

1,57080

7,38906

л/3

1,04720

Ге

1,64872

я/4

0,78540

\%е 0,43429

я/6

0,52360 ІпІО

2,30258

1/л

0,31831 1 радіан

57°17'45"

9,86960

1°(град)

0,0174 (рад)

-Уя

1,77245

1,41421

7л~

1,46459

1,73205

СЛОВНИК КЛЮЧОВИХ СЛІВ

Українською

Російською

Англійською

мовою мовою

мовою

абсолютний

абсолютний аовоіиіе

абсциса абсцисса

аЬксізза,

х-соогсііпаїе

адитивність аддитивность асісііиуігу

аксіома аксиома ахіот

алгебра.

алгебра

а1§еЬга

алгебра векторна

алгебра векторная уесіог а1§еЬга

алгебра лінійна

алгебра линейная а1§еЬга Ііпеаг

алгебраїчне

алгебраическое

соГасІог

доповнення дополнение

алгебраїчний

алгебраический а1§еЬгаіс

аналіз;

анализ; апаїукія;

математичний

аналіз;

математический

анализ; саісиїш;

гармонічний аналіз гармонический анализ Ьагтопіс апаїукік

аналізувати

анализировать апаїузе

аналітична

аналитическая апаїуііс

геометрія геометрия §еотеігу

антикомутативність антикоммутативность

аппсоттиіагіуігу

анулювання

аннулирование аппиїтепі

апліката

аппликата

2-соогаіпаІе

аргумент

аг§итепІ,

іпаерепсіепі уагіаЬІе

арксинус

арксинус агскіпе

арктангенс арктангенс

агсгап§епІ

асимптота асимптота аяутріоіе

асоціативність

ассоциативность

акзосіаііуігу

базис базис Ьакіз

біном

бином Ьіпотіаі

Словник ключових слів

487

Українською

мовою

біном Ньютона

Російською

мовою

бином Ньютона

Англійською

мовою

Ьіпотіаі Гогтиіа

блок блок

Ьіоск

будь-який, усякий любой апу, агЬіІгагу

варіація вариация уагіаііоп

вгнутий вогнутьій сопсауіїу

вгнутість вогнутость

сопсауе

Вейєрштрас Вейерштрасс \УеіегзІгазз

векторний добуток

векторное произведение

УЄСІОГ ргоаисі

векторний простір

векторное пространство УЄСІОГ зрасе

велика вісь большая ось

та^г ахіз

величина величина

Яиапіігу, 8І2Є

величина змінна величина переменная

уагіаЬІе уаіие

верхній верхний иррег, іор

верхня межа;

верхня грань

взагалі

верхняя граница;

верхняя грань

вообще

иррег

ЬОШКІ;

зиргетит

іп

§епега1,

§епега11у

взаємно однозначна

взаимно однозначное опе-ю-опе

відповідність

соответствие

соггезропоепсе

взаємоспряжений

взаимносопряженньш зеїі-сопіи^аіе

вигляд;

у вигляді;

явний вигляд

визначник

вид;

в виде;

явний вид

определитель

азресі, ґогт, УІЄ\У;

іп те ґогт, аз;

ехріісії ґогт

сіеіегтіпапі

використання

использование иза§е, иіііігаиоп

використання;

повторне

використання

вимагати

использование;

повторное

использование

требовать

изе,

иіііізаііоп;

геизе, геизіп§

із геяиігеа"

вимірність

размерность

штепзіоп

488

Словник ключових слів

Українською Російською Англійською

мовою мовою мовою

вимірність

размерность

шшепхіоп

вимірювання, вимір;

измерение;

теа$игетепІ,аітетіоп;

число вимірів число измерений

штеп5Іоп

вимога

требование сопсіігіоп

виняток;

исключение;

ехсшзіоп, ехсерііоп;

за

винятком

за

исключением

\УІПІ

те

ехсерііоп

оГ

вираз,

вираження вьіражение

ЄХрГЄ88ІОП

висновок;

вьівод;

сопсіизіоп;

робити висновок делать вьівод

с!га\у

сопсіивіоп

виходити; исходить;

соте

ггот,

зіагі

ггот;

вихідний, початковий; исходньїй;

іпіііаі,

огі§іпа1,

іприї;

вихідне

рівняння;

исходное

уравнение;

іприї

е^иа^іоп;

вихідні

данні;

исходньїе

данньїе;

іприї

сіаіа;

вихідна

формула;

исходная

формула;

а88итрІіоп

ґогтиіа;

виходячи исходя 8ІагІіп§

йот,

Ье§іппіпц Ггот

вищевикладений;

вмшеизложенньїй;

зіаіе

аЬоуе;

вищевказаний;

вьішеуказанньїй;

аЬоуе-тепІіопеа;

вищедоведений;

вьішедоказанньїй;

ргоуеа

аЬоуе;

вищезгаданий;

вьішеупомянутнй;

аЬоуе-сігесІ,

аЬоуе-тепІіопесІ;

вищеописаний;

вьшіеописанньш;

аехсгіЬеа

аЬоуе;

вищенаведений вьішеприведенньїй

іоге£оіп§,

аЬоуе-тепІіопеа

вищий вьісший пі§Ьег

від'ємний;

отрицательньїй;

пе§а1іуе;

від'ємник;

вьічитаемое;

8иЬггапепс1;

віднімання;

вьічитание;

зиоггасііоп, сіеа'исііоп;

віднімати;

вичитать; виЬігасІ,

сіеаисі;

відняти

вьічесть

киЬігасі

від'ємно отрицательно

пе§а1іуе

визначений определенньїй

сІеГтіїе

відновити

восстановить

ГЄ810ГЄ,

ГЄ8ІаЬ1І8І1

відношення

отношение

гаїіо,

циоііепі,

геїаііоп

відповідність;

соответствие;

соггезропо'епсе;

відповідності

соответствии

ассогсііп£Іу

Словник ключових

слів

489

Українською Російською Англійською

мовою мовою мовою

відповідь ответ

ап8\уег,

геріу,

гекропзе

відрізок

отрезок

5е§тепі,

сіозеа

іпіегуаі

відстань

расстояние

сііаіапсе

відтворювати воспроизводить

гергоаисе,

яиоіе

вісь

ось

ахік

вказівка указание іпшсагіоп

включно

включительно

іпсішіуеіу

власне

собственное

еі§епуа1ие,

значення значение

сЬагасІегікй'с

уаіие

власний

собственньїй

спагасіегізгіс

власний вектор

собственньїй вектор

ЄІ§ЄПУЄСІОГ

властивість свойство ргореіїу

внаслідок вследствие

зо таї, оп

ассоипі

оГ

вперше впервьіе

Гіг8ї,

тог те

Гіг8І

ііте

вправо,

праворуч вправо

Іо те

гщЬі

враховувати учитьівать

С0П8ІСІЄГ

всередині;

внутри;

іп,

іпзісіе,

зиЬзеїя

оГ;

рівномірно збігається равномерно сходится ипііогтіу

СОПУЄГ§ЄПІ

оп

всередині

внутри

сотрасі виЬзеїз

оГБ

вступ введение

іпігооисгіоп

геометричний

геометрический §еотеггіс

гіпербола гипербола

ЬурегЬоІа

гіперболічний

гиперболический

ЬурегЬоІіс

головна

вісь

главная

ось

ргіпсіраї ахіз

головний;

главньїй;

ргіпсіраї,

еззепііаі,

таіп;

головним

чином;

главньїм

образом;

сЬіеЯу, таіпіу;

головна частина главная часть ргіпсіраї рагі

границя

предел

Іітії

490

Словник ключових слів

Українською

Російською Англійською

мовою мовою мовою

граничний перехід предельньїй переход ракза^е

Іо те

Іітії

громіздкий громоздкий

ситЬегзоте,

Ьиіку

груба помилка

грубая ошибка

£Г088

еггог

давати давать

§ІУЄ

Даламбер Даламбер

сі'АІетЬегІ

двічі

дваждьі Ішісе

двовимірний

двумерньїй

(\уо-аітеп8Іопа1

двократний двукратньїй

гереаіеа,

аоиЬІе

двопорожнинний

двуполостньїй

ЬурегЬоІоіа

оГ

Ї\УО

гіперболоїд гиперболоид

8ПЄЄІ

Декарт Декарт Ое8сагІе8

декартів

декартов СаПе8Іап

директриса директриса

аігесігіх

диференціал; дифференциал;

штїегепііаі;

диференціювання;

дифференцирование; олпегепііаііоп,

аегіуаііоп;

диференціювати;

дифференцировать;

шіїегепгіаіе,

аІ8й'п§иі§п;

диференщйовшсть; дифференцируемость;

аЧгГегепііаЬіІігу;

диференційовний дифференцируемьій

сІїтТегепііаЬІе,

аіГГегепІіаІегі

діагоналізація;

диагонализация; аіа^опаїігаїіоп;

діагоналізовний;

диагонализуемьій;

сІіазопаІігаЬІе;

діагоналізовність;

диагонализируемость;

(ііа^опаІігаЬіІіІу;

діагональ;

диагональ;

ша^опаї;

діагональний диагональньїй

ш'а§опа1

діаметр

диаметр

шатеїег

дійсна вісь действительная

ось

геаі

ахІ8

дійсний

действительньїй

геаі,

Ігие

дійсно

действительно

геаііу,

іп

Гасі

ділене

делнмое

с-іуіаепа'