Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Матриці. Системи лінійних рівнянь
471
Продовження таблиці
3.2
1 2
Квадратна система
лінійних алгебраїчних
рівнянь
•
а
и
х
\+
а
\2
х
2+ •••
+
а
\п
х
п=
Ь
Х
;
а
2
\
х
\
+
а
22
х
2
+
•••
+а
2п
х„=
Ь
2
;
Квадратна система
лінійних алгебраїчних
рівнянь
•
а
пХ
Х\+
а
п2
х
2
+
•••
+а„
п
х
п
= Ь
п
.
Квадратна система
має
єдиний розв'язок
дсіА
*0
Квадратна система
має
безліч розв'язків
СіЄіЛ
= 0, КцА
= К^А=г<п
Квадратна система
несумісна
сісіЛ
= 0,
К§,А*К£А
Однорідна система рівнянь
АХ
=
0
Однорідна система
має
тільки нульовий розв'язок
К§Л
= л
Однорідна система
має
нетривіальні розв'язки
К§Л
= г
<
п
Квадратна однорідна
система
має
тільки
нульовий розв'язок
<ІЄіЛ*0
Квадратна однорідна
система
має
нетривіальні
розв'язки
оіеі
А = 0
Структура загального
розв'язку однорідної
системи
п-г
Е\,Е
2
,...,Е„_
Г
-Ф. С. Р.
С(,
і = \,п-г -
довільні числа;
г
=
К§
А
<
п ,п -
число невідомих.
Структура загального
розв'язку неоднорідної
системи
У
= У
0
+ х,
де
У
0
-
деякий частинний розв'язок неодно-
рідної системи,
X -
загальний розв'язок
відповідної однорідної системи.
472
Глава 10. Довідковий матеріал
§4.
Границі.
Неперервність
Таблиця
4.1
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Число
е
1іт|1 +
—]
=е
Границя
суми,
добутку,
частки
за умови: Зііт Дх),
3
Ііт §(х)
Х—НІ
Ііт с Дх)
= с Ііт
Дх),
с =
соші;
X—>«
X—>(1
Ііт [Дх) ± ф)] =
Ііт Дх)
±
Ііт §(х);
\—>и
х —» а х —> а
1іт[Дх)
•
ф)] = Ііт Дх)
•
Ііт §(х);
х-^а
х~>а х->а
НтДх)
,.
т
У(х)
=
,-,
0
, ш„
х->а
£(х) Ііт §(х)
х—>а
Перша важлива
границя
..
8ІПХ „
Ііт
=
1
х->0 X
Наслідки
з
першої
важливої іраниці
,. агскіпх
,
Ііт
= 1;
х->0
X
..
Щх
агсІ§х
нт-
2
—=
1; Ііт =
1
дг—»0
х г->0 X
Друга важлива
границя
1іт[]+ —)
=е
х->к\
х)
Наслідки
з
другої
важливої границі
1іт(1 + х)
г
= е;
х->0
1іт
І0
^
(1
+ ї)
=
1
; К
т
1п(І + лс)
= 1;
г->о
х \па х
Ііт
=
1па;
Ііт = 1,
*->0 X л->0 Л"
,.
(1
+ х)
м
-1
Ііт
= ц
д-~>0 X
§4.
Границі.
Неперервність
473
Продовження таблиці
4.1
1
2
Еквівалентні
нескінченно
малі
х ~
йіпл"
~ 1§х ~ агсзіпх ~ агсідх ~
1п(1
+ х) ~ е
Л
-1
х->0
Еквівалентні
нескінченно
малі
и(х)
~
8Іпн(х)
~
і%и{х)
~
агс8Іпи(х)
~
агсі§м(х)
~
~1п(1 + г,(х))~<?"
(Л)
-1,
и(х) -> 0 при
х
—»
а
Еквівалентні
нескінченно
малі
а
х
-\~х\па,
1о§
а
(1 +
х)~-^-,
Іпа
(1
+ х)
м
-1~их
при
х
—>
0
Еквівалентні
нескінченно
великі
Р„(х) =
а
0
х"
+а
|
х""
і
+ ...
+ а„
~а
0
х"
при
X
—»
00
Таблиця
визначеностсй
1)-
=
оо,
с*0;
2)
— =
оо;
3)— =
0;
0
0 оо
4) —= 0;
5)с-оо
=
со,
с^О;
6)со-со
=
со;
оо
7)оо
+
оо
=
оо;
8)0^=0;
9)оо°°=оо.
Типи
невизначеностей
{?}.{^}.{0-Н«»-оо},Н,И.{0
0
}
Неперервність
функції
в точці
х = а
Ііт Дх)=Д«)
Ііт ДДд) =
0
Дг->0
/(я+0)
=
/(я-0) = /(а)
Розрив першого роду
а) усувний
б) стрибок
ЗДя +
0),
Да-0);
значення
/(а
+ 0),
/
(а
-
0),
/(а) -
різні.
Да+0)
=
Дя-0)*Дв)
Дд + 0)*Да-0)
Розрив другого роду
Хоча
б
одна
з
границь
Да
+ 0),
Дв-0)
не існує або дорівнює нескінченності.
474
Глава 10. Довідковий матеріал
§5.
Основні формули диференціального числення
Таблиця 5.1 - Основні правила та формули диференціювання
Основні правила диференціювання
1. С' = 0 .
2.
(Си)'
=
Си'.
3. 0±У)' = И'±У'.
4.
(К-У)'
= И'-У + К-І
/.
-,
У*0.
5
-
Н
=—Ї—
-,
У*0.
6. (/(«))'. =/;•«;.
7. *„ = — ,де
х
= )
Ух
((у)
- обернена функція для функції у = у(х).
Тут С - стала, и = и(х),
V
= •
Правило диференціювання добутку п функцій
и
=
и(х),
У
=
У(Х),
н>= у,{х),...,г = г(х)
'•
(и•
V•
и\..г)' = и
•
V
и>...г + и-
V
і
-\у...г
+
...+ и-у-М!...г'.
Основні формули диференціювання
1.
(и
а
)'
= аи
а
-
і
-и', аєК.
2.
(і
08и
«)'=-!—«'.
иіпа
3.
(1ПИ)'
= --И'.
и
4.
(я")'
= а
н
1па-г/.
5.
(е")'
=
е
и
-и'
•
6.
(5тц)'
=
со8к-ц'.
7. (созм)' =
-%ти-ії.
8.
(І8«)'
=
—у—м'.
СОЗ
«
9.
(счзи)' = ^--и'-
ЗІП
«
§5.
Основні формули диференціального числення
475
Продовження таблиці 5.1
10.
(агсвіпи)' =
—т—
и'.
4-й
2
(агсвіпи)' =
—т—
и'.
4-й
2
11.
(агссоіш)' = —;— и'.
4-й
2
12.
(агсг§и) = --и .
1 +
и
13.
(агсс(§и)' = ^г»'
•
1
+ІҐ
14.
(зЬи)'
= сЬи -и'.
15.
(спи)'
=
$\\ии'.
16.
(±и)'
=
-\-.
и
'.
сЬ"«
17.
(сіпи)'
=
]
—и'.
8ІГм
Тут и = и(х). Якщо
и(х) = х , то и'(х) = х' =
1
.
Таблиця 5.2 - Основні поняття та формули
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1 2
Похідна
' ,- АУ
у = Ііт
Д-г—»0
Дх:
Диференціал
<іу = у'
•
Дх або с/у = у'
• сіх
Похідна п -го порядку
ах
Формула Лейбніца
4=0
т, (0) (0)
Тут іг = и , V
і
=
V
, С„ - число
, п\
комбінацій з /; по к, С„ = .
" (п-к)\к\
476
Глава 10. Довідковий матеріал
Продовження таблиці 5.2
1
2
Похідні від функції,
заданої параметрично
\х
=
х(1),
[У =
}>(')•
у'Л
X,
у
= Ц
>;
х
<
Диференціал п -го порядку
сі"у = сІ(а"
,А
у)
Таблиця 5.3 - Застосування похідної
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Рівняння дотичної
до кривої у = / (х)
У
ТОЧЦІ
(Хо.Уо)
У-Уо =/'(*о)(*-*о)
Рівняння нормалі
до кривої у = ] (х)
у точці (х
0
,у
п
)
У Уо- Л
х х
о)
Кут між двома кривими
У = /\(х) та
У
= М
Х
)
у точці їх перетину (х
0
,у
0
)
1
йф=
Л'^о)-/.'(^о)
При прямолінійному русі
точки з законом руху
5=5(/):
швидкість у
прискорення а
а = л"(0
Формула Коші
(відношення скінчених
приростів)
ЯА)-/(а) /їс)
Формула Лагранжа
(формула скінчених
приростів)
ДЬ)-/(а) = Г(с)(Ь-а),
С
є(а,Ь)
Формула Тейлора
для функції Дх) з центром
розкладу в точці
х
= а
я
і (*) / \
§5.
Основні формули диференціального числення
477
Продовження таблиці 5.3
Залишковий член у формі
Лагранжа
Я „(*) = - Щх-а)"+
х
.
(и + 1)!
^
=
а + &(х-а), 0 < 0 < 1
Залишковий член у формі
Пеано
Я
п
(х)
=
о((х -
а)"),
х-*а
Формула Маклорена
(Тейлора при а = 0)
А=0
Основні розклади функцій за формулою Маклорена
е
х
= £^
+
о(х");
к=0
к\
п 2к~] „ 2к
ПА
- = VЛ. +
0
(.г
2
"); созл-=
У(-1)*
-^+о(л-
2и+І
)
г-Г
(2к-\у
гі Пк\\
к х_
А=О (2*)!
Щ\+х)=У2(-1)
к
-
]
~
+
о(х");
(1
+
Х)'"=1 + Х
к=\
^т{т-\)...(т-к
+ \)
к\
к , / П \
х +о(х ).
Екстремуми функцій
Необхідна умова локального екстремуму функції /(х) в точці г
0
/Ь
0
)
=
0
Достатні умови локального екстремуму в точці „г
0
I
правило.
/ (х) змінює знак з "+" на "-" в околі <3(л-
0
,5) => /(х
0
) = у
тах
;
У (х) змінює знак з "-" на "+" в околі О(.г
0
,8) => /'(х
{1
) = у
тт
;
/(х) не змінює знака в околі О(лг
0
,8) => Дх
0
)фу
тяіі
, /'(х
0
)*у
шп
.
II
правило.
/\х
0
)<0 => /(.*„) = у
пшх
;
/(*„)> 0 => .Лл-
0
) = у
п1Іп
;
.Ґ(
х
о)
=
0 => потрібне додаткове дослідження.
478
Глава 10. Довідковий матеріал
§ 6. Основні формули елементарної математики
6.1 Алгебраїчні функції
6.1.1 Властивості степенів
Для будь-яких х,у та додатних а, Ь мають місце такі рівності:
в° = 1; (аЬУ = а
х
Ь
х
;
аЛ
х
=
а__
Ь) ~Ь
Х
'
а-
х
=±.
X
а
(а
х
у=а
х
>;
6.1.2 Многочлени
Для будь-яких а, Ь.с мають місце такі рівності:
а
2
-Ь
2
= (а-Ь)(а
+
Ь);
(а + Ь)
2
=а
2
+2аЬ
+
Ь
2
;
(а-Ь)
2
=а
2
-2аЬ
+
Ь
2
;
(а
+
Ь)
3
= а
3
+
2а
2
Ь
+
2аЬ
2
+
Ь
3
;
(а-Ь)
3
= а
3
-За
2
Ь
+
ЗаЬ
2
-Ь
3
;
а
3
+ Ь
3
=(а + Ь)(а
2
-аЬ
+
Ь
2
);
а
3
-Ь
3
=(а-Ь)(а
2
+
аЬ
+
Ь
2
);
ах
2
+
Ьх
+
с = а(х-х, )(х-х
2
),
2
, „ -Ь
+
лІЬ
2
-Аас
де х, ,х
2
- корені рівняння а х +Ьх
+
с = 0, х
І2
=
—
2а
Для « є N
а" -Ь" =(а-Ь)(а
п
~
І
+
а"'
2
Ь
+
а"'
3
Ь
2
+ ...
+
аЬ"~
2
+Ь"~
1
).
§
6.
Основні формули елементарної математики
479
Якщо
п -
парне,
а"
-
Ь"
=(а
+
Ь)(а"'
1
-
а
п_2
і
+ а'^Ь
2
-...
- аЬ"'
2
+
Ь'"
х
).
Якщо
п -
непарне,
а"
+
Ь"
=(а
+
Ь){а"
А
-а"~
2
Ь
+
а"^Ь
2
-...
-
аЬ"~
2
+
Ь"'
1
).
6.1.3 Властивості арифметичних коренів
Для будь-яких натуральних п
, к ,
більших одиниці,
та
будь-яких
не-
від'ємних
а , Ь
мають місце такі рівності:
п
іаЬ=Та-"4Ь;
{Уа~)"
=
а
(а
>
0);
»Е
=
^Ї
(й*
0
);
п
4~<ЧІЬ,
якщо 0<а<Ь;
В
/="^7;
47
=
\а\7
яп
Р
и.>0,
-а при
а
<
0;
Vл/я
= у/а ; \а =
І
а |;
\а
= \а ; V-а = - л/а (а
> 0).
6.2
Тригонометричні функції
(У всіх формулах, наведених
у
цьому пункті, слід враховувати
область припустимих значень лівої
та
правої частини формул)
6.2.1 Співвідношення
між
тригонометричними функціями
одного
і
того
ж
аргументу
зіп"
х +
соз"
х = І ;,
1§хсІ§х
= 1;
ЗІП .V
, . 2 '
\\%х
=
;
\
+ Щ
х
созх соз
2
X
СОЗХ
, 2
сЩ х = —
;
1
+
сі§
х =
зіп
2
X
6.2.2
Формули додавання
зіп(х
+ у) =
зіпх соз
у +
созх зіп
у ;
480
Глава 10. Довідковий матеріал
зіп (х ~ у) = зіп
л'
соз у - соз х зіп
у;
соз (х + у) = соз х соз у - зіп х зіп у ;
соз(х - у) = созх соз у + зіп х зіп у ;
Іах + Іау . . сі§хсгйУ-1
Ч(х
+
у) = -* —; сі
е
(х + у) =
1-г§хг§у сІ8х+с!§у
г§х~г§у сідхсіцу + і
і£{х-у)=-
с1§(х-у) =
1 + 1§хг§у сі^х-сі^у
6.2.3 Формули подвійного аргументу
зіп 2х = 2 зіпх созх ;
соз 2х = соз
2
х-зіп
2
х = 2 соз
2
х -1 =
1
- 2 зіп
2
х ;
, - 2і
8
х
с<е
2
х-1
ІІ 2х = — ; сІ§ 2х = -— .
1-ій-
дг
2сі§х
6.2.4 Формули половинного аргументу
. ? х
1-созх
2
х І + созх
5іп
—
= ; соз
—
= ;
2 2 2 2
->
X
1-СОЗХ
2 х
1
+ созх
І£--
= ; - сІ§ - = ;
2 1+созх 2
1-созх
х зіпх
1-созх
X зіпх
І
+ созх
1§—= = —; с(§— = =
2
1
+ созх зіпх 2
1-созх
зіпх
6.2.5 Формули зниження степеня
. і
1-соз2х
2
1
+ соз2х
зіп
_
х = ; соз х =
6.2.6 Формули перетворення суми в добуток
. .
X
+ у
X
-
V
зіп х +зіп у = 2 зіп
—
соз ;
2 2
х+у . х-у
зіпх-зіпу = 2 соз зіп ;