Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
Предметний вказівник
511
Ортогоналізація базису 144
арабола 60
. Іараболоїд гіперболічний 61
- еліптичний 61
Параметр параболи 60
Перетворення матриці елементарні 88
Період функції 252
Підпростір 130
Поверхня
- обертання 63
- конічна 61
- циліндрична 61
Порядок квадратної матриці 85
Послідовність
- збіжна 249
- розбіжна 249
- числова 249
Похідна функції 299
- - вищих порядків 303
Правило Лопіталя 321
Правило прямокутника 110
Правило трикутників 72
Простір
- арифметичний 13
- евклідів 143
лінійний 128
--дійсний 128
-комплексний 128
>
нітарний 145
Радіус-вектор точки 15
Ранг
- квадратичної форми 209
матриці 88
)ператора 153
зняння
шерболи канонічне 59
.-ліпса канонічне 58
- параболи канонічне 60
- поверхні 60
- прямої канонічні 33, 36
- параметричні 33, 36
- у просторі загальні 35
- характеристичне лінійного опера-
тора 178
- матриці 178
Розв'язок системи лінійних рівнянь
загальний 107
нетривіальний 107
нульовий 107
частинний 108
Розкладання вектора за базисом 12
Розкриття невизначеності 266, 321
Розрив функції 289
Система векторів
- лінійно залежна 14
незалежна 14
- ортогональна 144
—ортонормована 144
- лінійних рівнянь 105
невироджена 108
несумісна 106
однорідна 107
сумісна 106
- розв'язків однорідних лінійних рів-
нянь фундаментальна 107
нормована 107
Спектр лінійного оператора 178
простий 178
Стрибок функції 289
Сума векторів 11,13
- лінійних операторів 152
- матриць 86
Суперпозиція функцій 252
Теорема анулювання 74
-Коші 321
- Кронекера-Капеллі 106
-Лагранжа 321
512
Предметний вказівник
-Лапласа 74
- про базисний мінор 88
- про повноту власних векторів са-
моспряженого оператора 198
- про розкладання визначника 74
-Ролля 321
- Ферма 321
Точка екстремуму 326
- критична 326
-неперервності функції 288
- розриву функції 289
- стаціонарна 326
Транспонування матриць 87
Умова екстремуму
- необхідна 326
- достатня 326
Формула
-Лагранжа 321
- Маклорена 324
- Тейлора 323
Формули Крамера 108
Функції еквівалентні 256
- одного порядку 256
Функція елементарна 253
- зростаюча (незростаюча) 252
- монотонна 252
- непарна (парна) 252
- неперервна в точці 288
- нескінченно велика 254
- нескінченно мала 254
- неявна 302
- обернена 252
- обмежена 252
- параметрично задана 303
-періодична 252
- розривна в точці 289
- складна 252
- ціла раціональна 253
Характеристичне рівняння лінійного
оператора 178
— матриці 178
Характеристичний многочлен мат-
риці 178
Центр гіперболи 59
-еліпса 59
Ядро лінійного оператора 153
ВІДПОВІДІ
Гла
в а 1
—
г 12
л
- 2 19
1.1. а) |
Я]
|=л/5, (а,)
0
=(--^=,-^=,0); б)
со5(3,
,;) = — ; в) х = -у ;
4 2 _
г) пр-а = у = 0 . 1.2. а = -2е . 1.3. а = -—є, -
—
е
2
. 1.4. а = -2^ + е
2
-
-е
3
. 1.5. а) 5
0
= ~, 0); б) а! =(3,-^,0); в) / = -2у ;
л/13 л/13 2
г)
И/
7
7
(5-6)
= 6. 1.6. (А 2.,_А). 1.7. ±3л/б. 1.8. )^ 1= л/Ї54,
9
8 3 -
со$а = -
?
=,
со88
= -===,
со8у
= —==•. 1.9. х =-5і +
10/+
10£
.
л/154
л/154 ТІМ
1.10. х=2/" + 2/ + 2£ . 1.11. х =
+57+~у--А*.
1.12. а = -1,р = 4.
л/2 л/2
1.13. 0(9,-5,6). 1.14.
С(6,-2),
£>(2,~4) . 1.15.
Л(-6,-2),
5(2,8),
С(І0,-6).
1.16.
Л/,(7,0)
та
Л/
2
(-1,0).
1.17.
М(0,1,0).
1.18. 7.
1.19. (4,0) та
(5,2).
1.20.
(-1,2,4)
та
(8,-4,-2).
1.21. а) 9; б) -61;
з,
13.1.22. а = ±-.1.23. 15,7593.1.24. —.1.25. -.1.26. (е,^
7
) = -.
5 3 2 З
1.27. а) 22; б) -200; в) 41; г) л/105; д) у; е) у;
-"
соза = —, соз р = --,
со8у
= -—; ж) —^— ; з) —. 1.28. М,
(1,
0)
та
З З
г
3
7г29
21
1
•6.0).
1.29.а)
- —; б) —.1.30. 4. 1.31. (1,-,--). 1.32. (-3,3,3).
5 7 2 2
:.33.
а) лІЗ; б) Зл/З; в) І0л/з. 1.34. [а
ь
а
2
] = 0, тобто 5,11 «2-
135. а) 2(А
:
-Г); б)
2[3,с];
в)
[й,с];
г) 3.1.36. 50>/2 . 1.37. а) (-3,5,7);
-6.10,14);
в)
(-12,20,28).
1.38. 2л/б . 1.39. 5. 1.40. а = -6,р =
21.
1-41.
(-20,7,-11).
1.42.
-47
+ 37+4^. 1-43. -3. 1.44. -7. а) Ліва;
514
Відповіді
32
б) права; в) права. 1.45. а) Ні; б) так. 1.46. а) 42 ; б) 24 . 1.47.
/504
1.48. у . 1.49. 6 . 1.50. Зл/2 .1.51. а)
Так;
б) ні. 1.52. а) -3 ; б) за
будь-
якого X.
Глава
2
2.1. а) 2(х + 1) + 2(у-2) = 0; х + у-1 = 0; ~х + ~^у-~ = 0; р = ~;
л/2 л/2 л/2 л/2
б) 2(х-2) = 0; х - 2 = 0, пряма паралельна осі Оу ; х-2=0,/> = 2;
в) 2(х-1)-(у-1) = 0; 2х-у-1 = 0; ~х—\=у--^ = 0, р = ~.
л/5 л/5 л/5 л/5
х+1 у-2 1 3 5 5
2.2.
а) ; х + 3у~5 = 0; —==х—т=у—== = 0, р-
3-1 л/10 л/10 л/ЇО л/10
б) ~~~~ = -х +
1
= 0 , пряма паралельна осі Оу ; х -1 = 0 , ^ =
1
;
в) —у— = ^ ^ -; у -
1
= 0 , пряма паралельна осі Ох ; у -
1
= 0, р-\-
-
, . х-1 у-2 , . 1 1 1
п
1
1.3. а) = ; х-у +
1
= 0; =х + —я=-у—?= = 0, » = —=?;
-2 -2 ' Л Л
}
4Ї
р
Л
б)
Х
д ^ = х-1=0, пряма паралельна осі Оу ; х-1 = 0, /? = 1;
х
_ 2 у-2
в) —— = —-—; у-2 = 0, пряма паралельна осі Ох; у-2=0, р = 2.
2.4. а) р(М,1) = ~, /'; £±1 = 2121, /":-2(х +1)+(у-2) = 0 ;
б)р(М,/)=1
/'
:
£2І
=
>1 Г:2у=0; в)р(Л/,/) = 0, /'
:
і. = ±±і,
2 0 2 " 1 1
3 1
л
1
/":
х + у +1 = 0. 2.5. Перетинаються у точці М
0
(—, ),
со8(7.
, /
2
) =
—г=-
4 2 ^/5
л 2
2.6. Перетинаються у точці Мп(Ю),
со8(7]
,/
2
) = -т=. 2.7. Паралельні,
л/5
Глава 2
515
л/2
Р(1\у
Ь) = • 2-8. Паралельні, р(/], /
2
) = лІ2 . 2.9. а) 2х-у+
2-2
= 0,
1/л/б;
б) х-у = 0,
1/л/2.
2.10. а) х + у-3 = 0; б)х + 2у-2 = 0.
2.11. а) х-2у + г = 0; б) -х + у + 2г-5 = 0 . 2.12. а) -х + 2у + 3г-3 = 0 ;
б)
2х-2у-2+1=0.
2.13. а) х+у-3=0; б) 2х-у-1 = 0.
1
2.14. Перетинаються, со8(Рі,Р
2
)
=
2л/15
2.15. Паралельні,
р(й
/>
2
)=-4=.
2.16. 8. 2.17. 2х-у-г-2 = 0. 2.18. а) ї=[л,. Я
2
] =
27б
-З/
+ 4у +
5Лг,
рівняння у проекціях:
б) ? = [п], ії
2
] = -/ - 7) - 5к , рівняння у проекціях:
4х + Зу -
5
= 0 ;
5х + Зг - 7 = 0 ;
5у - 4г +1 = 0 ;
7х - у +
1
= 0 ;
5х - 2 -
1
= 0 ;
5у-7г-12 = 0.
х-2
V 2+3
,х-2 у 2 +
3
..х-2 у 2 + 3
2.19. а) =—= ; б) = —= ; в,) =
—
= —
2 -3 5 5 2-1 1 0 0
г)
х-2 у 2+3
0 0
1
д)
х-2 у 2+3
-4 8 10
е)
Х-2
V 2+3
2.20.а) ^±
=
Ш
=
^±,
б
) !^1
=
1±і
=
^
2 3 -2-2 1 -З
1 2 1/2
.2.21.а)
х-2у+
2
= 0;
«ч о ^ і п Ї |х-2у + 2 = 0;
х
у-1 2-2 18
б) 2х +у -1 = 0 ; в) < або — = = ; г) —=
[2х + у-1 = 0 -1 2 5 730
V 5
х + у- 2 + 1=0;
Д) МХ-^---Х). 2.22. а) І/л/ГЇ, (1,-6,-4); б) Зх - у+ 2г-1 = 0 ;
а) <! " ' 2.23. 3. 2.24. а) -=
[Зх-у +
22-1=0.
41
2.26. £±і = 2^. =
£^1.
2.27.-11.
2.28.
б) 21. 2.25. 25.
х -15 _ у _ 2 - 23
4 7 '
2.29. агезіп—. 2.30. б) 6х -Зу -2г + 2 = 0 ; в) 7;
2л/7
516
Відповіді
17х + 16у + 272-90 = 0; , „„ г—
г) \
У
2.31.6) 2х-Зу-4г-74 = 0 ; в) 4л/26 ;
[31х + 58у- 62-20 = 0.
7
г)
~ = ±^ = -±-.2.32.а)а=5,6 = 3; б) ^(-4, 0), Г
2
(4, 0); в) є = 1;
2 2 2 2
г) £>, : х = -—, £>
2
: х = — . 2.33. а) — + ±- =
1
; б) — + —=
1
;
1
4
і
4 9 4 25 9
2 2 22 22 22
ч
х
У , ^
х
У , ч
х
V і ч * У і
в) — + —= 1; г) + ^— = 1; д) — + — = 1; е) — + -і- = 1.
25 16 169 25 5 1 64 48
2.34.
(Х
"^
о)2
+
І±2МІ
= !. 2.35. а) С(3,-1), я = 3, 6 = 7?, є = -,
а
2
б
2
З
£>,:2х
+ 3 = 0, £)
2
:2х-15 = 0; б) С(-1,2), а = 5, 6 = 4, є = |,
£>,
:Зх + 28 = 0, £>
2
:Зх-22 = 0; в) С(1,-2), а = 4, 6 = 2л/з, є = ^,
£>,
: у+ 10 = 0, £
2
: у - 6 = 0 . 2.36. а) а = 3, 6 = 4; б) ^,(-5,0), /^(5,0);
в)є = |; г) у = ±^-х; д) х = ±~ . 2.37. а) а = 4, 6 = 3 ; 6)^,(0,-5),
*2(0,5);
в)
Е
= ~; г) у =+|х ; д) у = ±у . 2.38. а) ~=
1
;
22 22* 22 22
х у X у ху ч * -У і
б)—-
—= 1; в) — = 1; г) — = 1; д) — = 1;
9 16 4 5 64 36 36 64
е)—-і± =
1.2.39.
(Х
"^°
)2
-
{
У-У^
2
=
1,2.40.
а) С(2,-3), а = З,
4 5 а
2
б
2
6 = 4,
є
= |, 4х-3у-17 = 0 та 4х + 3у +
1
= 0, £>,:5х-1 = 0 та
£
2
:5х-19 = 0; б) С(-5,1), а=8, 6 = 6, є = |, Зх + 4у+11 = 0 та
Зх-4у + 19 = 0, £>, : х = -11,4 та £>
2
: х = 1,4; в) С(2,-1), а = 4, 6 = 3,
е =
1,
4х + Зу -
5
= 0 та 4х - Зу -11 = 0, £>, : у = -4,2 та £>
2
: у = 2,2 .
2.41.
а) р = 3; б) р = 5/2 ; в) р = 2 ; г) /? = 1/2 . 2.42. а) у
2
= -х ;
Глава
З
517
б)х
2
=-2.у; в)х
2
=-\2у.
2.43. а)
(у-у
0
)
2
=
2р(х-х
0
);
б) (У-Уо)
2
=
=-2р(х-х
0
).
2.44.а)
/1(2,0),
р = 2; б)
ДО, 2),
р = \/2;
в) Д1,3),
/7
= 1/8; г)
Л(6,-1),
р = 3; д)
Д1,2),
р = 2; е)
Д-4,3),
/з
= 1/4. 2.45.
Еліпсоїд.
2.46.
Однопорожнинний гіперболоїд.
2.47.
Двопорожнинний гіперболоїд обертання.
2.48.
Конус.
2.49.
Параболоїд
обертання.
2.50.
Гіпер-болічний параболоїд.
2.51.
Еліптичний
параболоїд.
2.52.
Параболічний циліндр.
2.53.
Параболоїд обертання
з
вершиною (0,0,2).
2.54.
Гіперболіч-ний параболоїд.
2.55.
Однопорожнинний гіперболоїд обертання.
2.56.
Двопо-рожнинний
гіперболоїд обертання.
2.62.
Круговий циліндр
(х-2)
2
+
(г-2)
2
=4.
2.63.
Конус другого порядку
х
+
(у-\)~-
-(г -І)
2
= 0 з
вершиною 5(0,1,1).
2.64.
Точка (0,1,-1).
2.65.
Однопорож-
2
т
2
нинний гіперболоїд
з
канонічним рівнянням
х
2
+
———
= 1. 2.66.
Дво-
4
4
2
2 2
порожнинний гіперболоїд
з
канонічним рівнянням
Х\ +
у]
-2|
=-1.
2.67.
Параболоїд обертання
з
канонічним рівнянням
х
2
+
у
2
= Аі
х
. 2.68.
2
2
Гіперболічний параболоїд
з
канонічним рівнянням х
2
—=
2у
х
.
Гла
в а З
3.1. 18. 3.2. 4аЬ. 3.3. 1. 3.4. 1. 3.5. .г, =-4,
х
2
=-\.
3.6. х
=
-
+
—,
6
З
кє2.
3.7. -2. 3.8. 4. 3.9. 0.
3.10.
22.
3.11.
28.
3.12.
Х]
=1, х
2
=-3.
3.13.
(-оо,+
оо).
3.14.
(4,+
оо).
3.15. (-6,-4). 3.20. 0. 3.21. 0. 3.22. 0.
3.26. а) 8а +
156
+
12с-19о
г
;
б) 2а -86 + с
+ сі
; в) 2а -Ь-с -сі . 3.27. 0.
3.28. 48. 3.29.
(Ье-са')
2
.
3.30. 665. 3.31. -65. 3.32. 0. 3.33. 394.
3.34.
х-
-х
4
+х
3
+ х
2
3.38.
(-І)""
1
-п
2х +
1
. 3.35. п\ .
3.39.
а". 3.40. а"+р"
3.41.
3.42.
5
2
7
0
3.43.
ґ
о
о
л
о
о
3.44.
3.36.
2/7
+
1
. 3.37. 1.
ґ
2 5 -З"
6
7 -8, '
^56>
3.45.
V"
(\\ -22 29^
9
-27 32
13
-17 26
69
О?,
518
Відповіді
3.46. а) (31); б)
'12 0 -6 9 ЗЛ
4 0-2 З 1
-4 0 2-3 -1
20 0 -10 15 5
8 0 -4 6 2
. 3.47.
( 5^
15
25
ч
35
у
3.48.
13 -14Ї
21 -22
3.49.
'1 па '1 па
. 3.50.
V
Х
п
пХ
1
0 X"
. 3.51.
8 15
0 23
(-3 2^
. 3.52.
)
3.53.
Ґ4 -8
Л2 -4
3.54.
4 19
-2 -6 З
-8 -9 2
3.55.
(а 2Ь
ЗЬ а
+
ЗЬ
, \/а,Ь
3.56.
а ЗЬ
•5Ь а
+
9Ь
(
\
,
Уо,6.3.57.
V
а Ь
с -а
де а + Ьс = 0 .
3.58. ±Е;
"
М
де
й
2
+
6с =
1.3.59.ґ
7
"
4
"
1-5 З
^« ґ
С08а
зіпоЛ „ ^
3.60. .3.61.
І^-зіпа сокої^
1 -1 1
-38 41 -34
27 -29 24
. 3.62.
-8 29 -11
-5 18 -7
1 -3 1
л
1
2
°1
1
1
1
-2 0
4 1
-1 0 2
,1
-1
0
-2,
3.64.
'-7/3 2
5/3 -1
-2 1
1/ЗЛ
1/3
3.65. -
9
1 -
-2
П 1 1 1
. 3.66. -
4
1 1
-1
-1
1
-1
Глава З
519
3.67.
' -7
З
41
1-59
5 12 -19
Л
-2 -5 8
ЗО -69 111
43 99 -159
3.68.
(
. 3.69.
, 2 3,
V
3.70.
1 2
V- V
ч
3
4
'2 1
(ь
4
5
Ч
Ґ1 2
3^
ґ
3.71.
2 1 2 . 3.72.
4 5
6
. 3.73.
Із
3
Ь
,7 8
9>
V
З -2
Л
5 -4,
-1
0 -1
3.74.
3.75. 2. 3.76. 3. 3.77. 2. 3.78. 2. 3.79. 2. 3.80. 3. 3.81. 5. 0 2 1
,0 0 2
у
3.82.4.3.83. Лінійно незалежна. 3.84. Лінійно залежна. 3.85. 3.3.86. г = 3;
Р = (й
2
, а
3
, а
4
) . 3.87. /- = 3; р = (о,, а
2
, а
5
) . 3.109. х = 16, у = 1 .
3.110. х = 2, у = 3. 3.111. х = -Ь, у = ~а . 3.112. х = 2, у =
-1,
2
= 1.
3.113.
х = 1, у = 3, 2 = 5. 3.114. х = 3,
>>
= 1,
2
=
-1.
3.115. х, =1,
х
2
=
-1,
х
3
= 2, х
4
= -2 . 3.116.
X]
=2, х
2
= х
3
= х
4
= 0 . 3.117.
Х|
= -З,
х
2
= 2, х
3
= 1. 3.118.
X]
=
-1,
х
2
=1, х
3
= -2 . 3.119.
X]
=1, х
2
= 1,
х
3
=
-1,
х
4
=
-1.
3.120. х
(
= -2, х
2
=0, х
3
= 1, х
4
=
-1.
3.121. Система
несумісна. 3.122. (-1 + 2с
и
1
+ с
ь
с, )
Т
, с, є К 3.123. (-1, 3,-2, 2)
т
.
і
ГП
О
1
3
"і
т
і Г
2 1 9 10 5 1
V
і
3.124. 0,2,-,— . 3.125. +
—сі
с
7
, с, +—с
2
,с,,с, ,
ч
3 2) \ 11 11
1
11
2
11 11
1
11
2 1 1
)
с\,с
2
є К .3.126. Система несумісна. 3.127.
(С],
-13 + Зс], - 7, 0)
т
,
б] є К . 3.128. Система несумісна. 3.129. X * 6 . 3.130. При будь-якому
X. 3.131. Х = -2 . 3.132. Якщо X # 0, система несумісна; якщо X = 0,
к
С 3 5 ІЗ
1
7 7 19 ^
3.133.
Якщо (А -1) (А + 3) * 0 , X = —і— (1,1,1,1)
т
; якщо X = -3, система
А,
+ З
несумісна; якщо X =
1
, X = (1 -с\ -с
2
-с
3
,
С],
с
2
, с
3
) , сі,с
2
,с
3
єК.
520
Відповіді
3.134. £,=(3,1, 5)
Т
,
Х
=
с
1
Е
]
, с,єК.
3.135.
£, =
(2,1,0)
т
,
Е
2
=(3, 0,1)
т
,
X
=
с
х
Е
х
+
с
2
Е
2
,
С\,с
2
єК .
3.136. Система
має
тільки
тривіальний розв'язок. 3.137.
Е
х
=
(4,1,—
5)
т
, Х=с
х
Е
х
,
с
х
єК.
3.138.
Е
х
=(1,0,0,-|,|)
Т
,
Е
2
=(0,1,0,-|.|)
Т
»
£з =
(0,0,1,-2,1)
т
,
X
=
с,£і+с
2
£
2
+с
3
£
3
, с
];
с
2
,с
3
єК. 3.139.
£,
=^1,0,--|,^
,
Е
2
=(0,1,
5,-7)
т
, Х=с
і
Е
1
+
с
2
Е
2
,
с
ь
с
2
є К .
3.140.
а
х
=
2,
Х=с,£,,
£і =(1,0,-2)
т
;
й
2
=-4,
X =
С]£,,
£,
=^1,--у,--^
,
с^єК,
с,*0.
3.141.
о,
=-1,
Х
=
с
х
Е
х
,
Е
х
=^-|,І,
^ , с
х
єК, *0.
3.142.
Х =
Х
0
+с,£і+с
2
£
2
+с
3
£
3
,
Х
0
=^уІ
;
о,0,0^ , £,
=(0,1,1,0,0)
т
,
Е
2
=(0,1,0,1, 0)
т
,
£
3
=|у,-|,0,0,^
,с
ь
с
2
,с
3
єК.
3.143.
X
=Х
0
+с
х
Е
х
+с
2
Е
2
+с
3
Е
3
,
Х
0
=
^|,і,0,0,о]
(2
2 ^
т
(2 \ 1
Т
£,
=1-,-,1,0,0
,
£
2
=^-,--Д^
, £
3
=
(1,1,0,0,1)
т
,
с
х
,с
2
,с
3
еК.
ЗЛ44. X
= Х
0
+с
х
Е
х
+с
2
Е
2
+ с
3
Е
3
+с
4
Е
4
,
Х
0
=
-^,0,0,0,0^
,
Е
х
=(1,1,0,0,0,0)
т
,
Е
2
=(-1,0,1,0,0,0)
т
,
£
3
=(0,0,0,1,1,0)
т
,
Е
4
=(0,0,0,-
1,0,1)
т
,
с
ь
с
2
,с
3
,с
4
єК.
3.145.
X
=
Х
0
+с
х
Е
х
+с
2
Е
2
+с
3
Е
3
,
Х
0
=Гі,-у,0,0,0І
,
£
1
=Го,-|,1ДОІ
, £
2
=(0,-2,0,1,0)
т
,