Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР ВИЩОЇ ОСВІТИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

А.Д. Тевяшев, О.Г. Литвин

ВИЩА МАТЕМАТИКА

У ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина 1.

Лінійна алгебра і аналітична геометрія.

Диференціальне числення функцій

однієї змінної

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів

технічних університетів

УДК 512 (07) + 514(07) + 517 (07)

Тевяшев А.Д., Литвин О.Г.

Вища математика у прикладах та задачах Ч 1 Лінійна алгебра і аналі-

тична геометрія Диференціальне числення функцій однієї змінної - Харків

ХТУРЕ, 2002 - 552 с

I8ВN 5-7763-1513-1

Навчальний посібник входить

до

сери "Математика

технічному універси-

теті"

і є

першою частиною збірника "Вища математика

прикладах

та

задачах",

який складається

трьох частин

Посібник відповідає програмі курсу "Вища математика"

розділів "Лінійна

алгебра

аналітична геометрія"

та

"Диференціальне числення функцій однієї

змінної" Структура посібника така,

що

сприяє розвитку

активізації самостійної

роботи студентів

кожному параграфі посібника містяться короткі теоретичні відо-

мості, питання для самоперевірки, велика кількість задач

розв'язаннями

та

задач

для самостійного розв'язання, призначених для практичних занять,

як

аудиторних,

так

домашніх Наведено також індивідуальні розрахункові завдання

із

зразками

їх

виконання Довідковий матеріал

вказаних розділів

та з

елементарної математики

складає окрему главу

Посібник може бути використаний як довідник, розв'язник

та як

задачник

Для студентів та викладачів технічних університетів

Іл 31 Бібл 25 назв

Рецензенти ЛВ Курпа, д-р техн наук, проф (НТУ ХПІ),

О А Молчанов, д-р техн наук, проф (НТУ КПІ)

ІЗВИ 5-7763-1513-1

ЗМІСТ

Передмова 6

Основні позначення 9

Гіава 1 Векторна алгебра 11

§ 1 Геометричні вектори 11

Короткі теоретичні відомості 11

Контрочьш питання та завдання 15

Приклади розв 'язання задач № 1 - 6 16

Задачі для практичних занять № 1.1 - 1.20 19

§ 2 Добутки векторів 21

Короткі теоретичні відомості 21

Контрольні питання та завдання 24

Приклади розв 'язання задач № 1 - 9 25

Задачі для практичних занять № 1.21

—

1.55 29

Гіава 2 Аналітична геометрія 33

§ 1 Прямі лінії та площини 33

Короткі теоретичні відомості 33

Контрольні питання та завдання 37

Приклади розв 'язання задач № 1 - 13 39

Задачі для практичних занять № 2.1 - 2.31 53

§ 2 Криві та поверхні другого порядку 58

Короткі теоретичні відомості 58

Контрочьш питання та завдання 63

Приклади розв 'язання задач № 1 - 9 64

Задачі для практичних занять № 2.32 - 2.68 68

Гіава 3 Визначники та матриці Системи лінійних алгебраїчних рівнянь 72

§ 1 Визначники 72

Короткі теоретичні відомості 72

Контрольні питання та завдання 75

Приклади розв язання задач № 1 - 7 76

Задачі для практичних занять № 3.1 - 3.40 81

§ 2 Матриці 85

Короткі теоретичні відомості 85

Контрольні питання та завдання 91

Приклади розв 'язання задач № 1 - 11 92

Задачі для практичних занять № 3.41 - 3.108 99

§3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь 105

Короткі теоретичні відомості 105

Контрольні питання та завдання 111

Приклади розв 'язання задач № 1 - 7 112

Зміст

Задачі для практичних занять № 3.109 - 3.150 122

Глава 4. Лінійні простори. Евклідів простір ! 128

§ 1. Лінійні простори. Підпростори 128

Короткі теоретичні відомості 128

Контрольні питання та завдання 130

Приклади розв 'язання задач № 1 - 8 131

Задачі для практичних занять....№ 4.1 - 4.32 137

§ 2. Евклідів простір 143

Короткі теоретичні відомості 143

Контрольні питання та завдання 146

Приклади розв 'язання задач №1-4 146

Задачі для практичних занять № 4.33 - 4.46 149

Глава 5. Лінійні оператори 151

§ 1. Алгебра лінійних операторів 151

Короткі теоретичні відомості 151

Контрольні питання та завдання 153

Приклади розв 'язання задач № 1 - 22 154

Задачі для практичних занять... .№ 5.1 - 5.33 172

§ 2. Власні вектори та власні значення 177

Короткі теоретичні відомості 177

Контрольні питання та завдання 179

Приклади розв 'язання задач № 1 - 7 180

Задачі для практичних занять № 5.34 - 5.67 193

§ 3. Лінійні оператори в евклідовім просторі 197

Короткі теоретичні відомості 197

Контрольні питання та завдання 199

Приклади розв 'язання задач № 1 - 4 199

Задачі для практичних занять № 5.68 - 5.89 204

Глава 6. Квадратичні форми 209

§ 1. Теорія квадратичних форм 209

Короткі теоретичні відомості 209

Контрольні питання та завдання 213

Приклади розв 'язання задач № 1-8 214

Задачі для практичних занять....№ 6.1 - 6.20 228

§ 2. Використання теорії квадратичних форм 233

Короткі теоретичні відомості 233

Контрольні питання та завдання 236

Приклади розв 'язання задач № 1 - 2 236

Задачі для практичних занять....№ 6.21 - 6.34 247

Глава 7. Границі та неперервність функцій 249

§ 1. Границі послідовностей та функцій 249

Зміст 5

Короткі теоретичні відомості 249

Контрольні питання та завдання 258

Приклади розв 'язання задач № 1-17 259

Задачі для практичних занять....№ 7.1 - 7.134 279

§ 2. Неперервність функцій 288

Короткі теоретичні відомості 288

Контрольні питання та завдання 290

Приклади розв 'язання задач №1-7 291

Задачі для практичних занять....№ 7.135- 7.148 296

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної 299

§ 1. Диференціювання функцій 299

Короткі теоретичні відомості 299

Контрольні питання та завдання 306

Приклади розв'язання задач № 1-10 306

Задачі для практичних занять. ...№ 8.1 - 8.150 312

§ 2. Застосування диференціального числення 320

Короткі теоретичні відомості 320

Контрольні питання та завдання 329

Приклади розв 'язання задач № 1 -28 330

Задачі для практичних занять....№ 8.151- 8.298 355

Глава 9. Типові розрахункові завдання 367

§ 1. Індивідуальне завдання 1. Векторна алгебра та аналітична

геометрія 367

§ 2. Індивідуальне завдання 2. Визначники та матриці. Системи

лінійних рівнянь 385

§ 3. Індивідуальне завдання 3. Лінійна алгебра 402

§ 4. Індивідуальне завдання 4. Границі. Неперервність 427

§ 5. Індивідуальне завдання 5. Диференціальне числення функцій

однієї змінної 442

Глава 10. Довідковий матеріал 460

§ 1. Основні формули векторної алгебри 460

§ 2. Основні формули аналітичної геометрії 462

§ 3. Матриці. Системи лінійних рівнянь 467

§ 4. Границі. Неперервність 472

§ 5. Основні формули диференціального числення 474

§ 6. Основні формули елементарної математики 478

Словник ключових слів 486

Предметний вказівник 509

Відповіді 513

Список використаної та рекомендованої літератури 548

ПЕРЕДМОВА

Навчальний посібник призначено для студентів технічних

університетів денної та заочної форм навчання і входить до

збірника під назвою "Вища математика у прикладах та задачах",

що складається з трьох частин, назви яких такі:

- Частина І. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Дифе-

ренціальне числення функцій однієї змінної.

Частина II. Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох

змінних.

Частина III. Диференціальні рівняння. Ряди. Функції комп-

лексної змінної. Операційне числення.

Вказаний збірник входить до серії "Математика в техніч-

ному університеті" і відповідає програмі курсу "Вища матема-

тика", а розподіл його за частинами - розподілу викладання курсу

за семестрами згідно з учбовим планом.

Розглядуваний посібник є першою частиною вказаної

збірки і складається з десяти глав, кожна з яких розбивається на

параграфи. Глави 1 - 6 присвячені лінійній алгебрі та аналі-

тичній геометрії, глава 7 - вступу до математичного аналізу,

зокрема теорії границь та неперервності функцій, глава

- дифе-

ренціальному численню функцій однієї змінної.

Структура перших восьми глав така: матеріал кожного па-

раграфа розбивається на чотири пункти.

У п. І - "Короткі теоретичні відомості" - наводяться ос-

новні теоретичні відомості і формули, необхідні для розв'язан-

ня задач.

У п. II - "Контрольні питання та завдання" - містяться пи-

тання з теорії та прості завдання, що добре ілюструють як вуз-

лові моменти, так і тонкощі теоретичних положень. Враховую-

чи,

що основна робота над теорією ведеться студентами за

підручником та конспектами лекцій, цей пункт включає питан-

ня для перевірки готовності студента до практичного заняття.

У п. III - "Приклади розв'язання задач" - наводяться до-

Передмова

кладні розв'язання типових задач з теми, яка вивчається, що де-

монструє використання на практиці результатів теорії. При цьо-

му велика увага приділяється не тільки розгляданню "технічних

прийомів", але й дослідженню умов застосовності тієї чи іншої

теореми або формули. Кількість розібраних прикладів змінюєть-

ся в залежності від обсягу та важливості теми. Початок і кінець

розв'язання задач позначають відповідно знаками • і <

У п. IV - "Задачі для практичних занять" - міститься до-

сить велика кількість різних за змістом задач, що призначені

для практичних занять як аудиторних, так і домашніх. У кінці

посібника дано відповіді до задач і вправ цього пункту.

Нумерація задач проводиться у межах глави, тобто номер

кожної задачі складається з номера глави та порядкового номе-

ра задачі у цій главі.

Глава 9 містить п'ять параграфів, в яких наведено п'ять

індивідуальних розрахункових завдань, які відповідають розді-

лам програми, викладеної в главах

- 8. Кожне індивідуальне

завдання складається з певної кількості задач, представлених у

31 варіанті кожна. Номер варіанта відповідає порядковому но-

меру студента в журналі групи. Кожна з задач супроводжується

посиланням на аналогічні приклади з розв'язаннями, які наве-

дені у відповідних главах у п. III кожного параграфа. Посилання

містить номер глави, номер параграфа та номери прикладів.

Зазначимо надзвичайну важливість цих посилань, бо вони є

путівником для відшукання зразка виконання даної задачі, а

отже, зразка виконання індивідуального розрахункового зав-

дання.

Глава 10 складається з шести параграфів, які містять довід-

ковий матеріал з усіх наведених розділів вищої математики, пред-

ставлених у навчальному посібнику, а також основні формули

елементарної математики.

Для зручності користування навчальним посібником у змісті

до кожного параграфа у відповідних пунктах наведено номери

прикладів задач з розв'язаннями та номери задач для практич-

них занять відповідно; введені також основні позначення та

предметний вказівник.

Передмова

У даному посібнику наведено словник ключових слів, що

містить найбільш важливі терміни з вищої математики, які пред-

ставлені українською, російською та англійською мовами.

З огляду на характеристику змісту цього посібника можна

констатувати, що він може бути використаний як довідник,

розв'язник і в той же час як задачник, який містить задачі для

практичних занять та індивідуальні розрахункові завдання із

зразками їх виконання. Це дуже зручно для студентів і надає їм

широкі можливості для активної самостійної роботи як аудитор-

ної, так і домашньої.

При написанні навчального посібника автори використали

багаторічний досвід викладання курсу "Вища математика" для

технічних спеціальностей університетів.

Автори сподіваються, що даний посібник допоможе сту-

дентам оволодіти методикою розв'язання практичних задач з

вищої математики, активізує їх самостійну роботу та сприятиме

підвищенню фундаментальної підготовки з розглянутих розділів

вищої математики.

ОСНОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

ІЧ,

2, О, К, С -

множини натуральних, цілих, раціональних,

дійсних, комплексних чисел відповідно.

арифметичний дійсний

-вимірний простір.

С"

арифметичний комплексний

-вимірний простір.

Уі

множина геометричних векторів, колінеарних деякому на-

прямку.

множина геометричних векторів, компланарних деякій

площині.

множина всіх геометричних векторів.

£,£,„- лінійний простір, лінійний простір вимірності

п.

Е,

Е„ -

дійсний евклідів простір, дійсний евклідів простір

ви-

мірності

п.

\],\]„

комплексний евклідів простір (унітарний простір), ком-

плексний евклідів простір вимірності

п .

*Р„

лінійний простір многочленів степеня

< п -1.

сііт

X -

вимірність лінійного простору

X .

Ф.С.Р.

фундаментальна система розв'язків однорідної систе-

ми рівнянь.

нульова матриця.

одинична матриця.

А~

матриця, обернена матриці

А .

і}

алгебраїчне доповнення елемента

матриці

А .

- лінійний оператор,

А -

матриця цього оператора

деяко-

му базисі.

(а,

Б) або а Ь -

скалярний добуток векторів

а та і.

[а,Ь]

або ахЬ -

векторний добуток векторів

а та Ь .

(а,Ь,с)

або

(ахЬ)с

мішаний добуток векторів а,Ь,с.

1,п

індекс

приймає

всі

натуральні значення

від

до п.

[а,Ь]

відрізок; (а,

Ь)

інтервал;

[а,

Ь),

(а,Ь] -

півінтервал.

[а,+оо),

(а,+°о),

(-со,а],

(-оо,а)

-півпряма.

Зх

існує таке

х .

Ух

для будь-якого X

Основні позначення

х є X (х £ X) - число х належить (не належить) множині X.

А У В, А

В - об'єднання, перетин множин А та В.

іпі*Х, зіірХ - точна нижня, точна верхня межа множини X.

{х

} - числова послідовність.

Ііт х

=а - число а є границею послідовності.

Ііт /(х) = 6, /(х)->6 при х—>а - число Ь є границею

х -> а

функції /(х) за умови, що х прагне (прямує) до а.

Ііт /(х) = /(а

0), Ііт /(х) = Да~0),

х -> а+0 х -* а-0

де /(а

0) (/(а - 0)) є границею функції /(х), коли х прямує

до а справа (зліва).

Ііт /(х) =

оо,

Ііт /(х) =

оо

- функція /(х) є нескінчен-

не -> а+0 х -> а-0

но великою в точці а справа (зліва),

[х ] - ціла частина числа х .

8І§пх

- функція "знак х ".

а(х) ~Р(х) при х —»я - а(х), Р(х) еквівалентні нескінченно

малі при х

—»

а.

а(х) =

о(Р(х))

при х

—>

а - а(х) є нескінченно малою вищого

порядку, ніж Р(х) при х

—>

а,

а(х) = 0(р(х)) при х -> а - а(х) і Р(х) нескінченно малі од-

ного порядку при х

—>

а.

Ау - приріст функції в точці.

/'(х),

У(х), — - похідна функції у = /(х) в точці х .

сіх

/'(х

0), /'(х - 0)- права та ліва похідні функції /(х) в точці х .

йу - диференціал функції у(х).

(л)

(х) =^-^- - похідна п

-то

порядку функції Дх) в точці х .

сіх"

сі"у - диференціал п

-то

порядку функції >>(х).