Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
1.39. У трикутнику з вершинами
А(\,-\,
2), 5(5,-6, 2) і
С(1,
3,-1) знайти висоту к
=|
ВИ \.
1.40. Визначити значення а і Р , за яких вектор
с = аі+3]
+
$к колінеарний вектору ^ = [а, Ь], якщо
5 = (3,-1,1), £ = (1,2,0).
1.41. Знайти вектор с = [а, а
+
Ь]
+
[а, [а, Ь]], якщо
5 = (2,1,-3), Ь =(1,-1,1).
1.42. Сила Р = 2і-Л]+5ік прикладена до точки
Д4,-2,3).
Визначити момент цієї сили відносно точки
0(3,
2,-1).
1.43. Вектори а,Ь,с утворюють ліву трійку,
|а|=1,
| 6 |=2, | с |= 3 та (а , Ь) = 30°; с1_а, с1.Ь . Знайти (а, Ь, с).
1.44. Задано вектори а
х
=(1,-1,3), а
2
=(-2,2,1) і
а
3
= (3,-2, 5) . Обчислити (а
х
, а
2
, а
3
). Яка орієнтація трійок:
а)а
х
,а
2
,а
3
; б)а
2
,а
х
,а
3
; в)5
1
,5
3
,3
2
?
1.45. Встановити, чи утворюють вектори а
х
, а
2
і «з базис
у множині всіх векторів, якщо:
а) а, =(2,3,-1), а
2
=(1,-1,3), а
3
=
(1,
9,-11) ;
б) 5, =(3,-2,1), а
2
=(2,1,2), 3
3
=(3,-1,-2).
1.46. Обчислити об'єм паралелепіпеда, побудованого на
векторах:
а) а = 2/ + ] - к, Ь = і
+
і
+
3к, с = Зі - 4у + 2к ;
б) а = Зг +бу-8к, 6 =-2г+4у-6&, с = 5г'+2у'-£.
1.47. Знайти довжину висоти паралелепіпеда, побудованого
на векторах а = і - 5і
+
к, Ь = 4і
+
2к, с = / -
у
- к, якщо за ос-
нову прийняти паралелограм, побудований на векторах а та Ь.
32
Глава 1. Векторна алгебра
1.48. Обчислити об'єм піраміди ОАВС, якщо
ОА = ЗЇ
+
4], ОВ = ~3]
+
к, ОС = 2]
+
5к.
1.49. Обчислити об'єм піраміди з вершинами у точках
А(2,
-3, 5), В(0, 2,1), С(-2,-2, 3) та £>(3, 2, 4).
1.50. У піраміді з вершинами у точках А{\, 1,1), В(2, 0, 2),
С(2,
2, 2) і £>(3, 4, -3) обчислити висоту к=\йЕ\.
1.51. Перевірити, чи компланарні задані вектори:
а) а = -2Ї
+
]
+
к, Ь=ї~2]
+
3к, с = 14Ї-\3]
+
1к;
б) а^2Ї
+
]-Зк, Ь=ЗЇ-2]
+
2к, с=ї-4]
+
к.
1.52. Визначити значення X, за яким вектори 5, Ь, с будуть
компланарні?
а) 5 = </\,3,1), 6
=(5,-1,
2), с=(-1,5,4);
б) а =
(1,
2Х, 1), £ = (1Д,0), с = (0Д,1).
1.53. Довести, що чотири точки Д1, 2,-1),
В(0,1,
5),
С(-1,
2, 1) і 0(2, 1, 3) лежать в одній площині.
1.54. Довести тотожності:
а) (5
+
с)Ь(а
+
Ь) = -аЬс ;
б) (5 -Ь)(а -Ь -с)(5 + 2Ь -с) = 356с ;
в) (5 + 6)(6 + с){с
+
а) = 2аЬс ;
г) аЬ(с
+
аа+ рб) = аЬс Уа, Р
.
1.55. Довести компланарність векторів а,Ь,с, якщо
відомо, що [а,Ь]+
[Ь,
с]
+
[с, а] = 0.
ГЛАВА
2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
§1.
Прямі лінії та
площини
І. Короткі теоретичні відомості
Пряма на площині. Наведемо основні види рівнянь прямої на площині:
1)
а(х-х
0
)+
в(у-уо)=0 - рівняння прямої, що проходить через
точку М
0
(х
0
, у
0
) перпендикулярно до нормального вектора я = (А, В);
2) Ах+ В у+ С = 0 - загальне рівняння прямої, де вектор я = {А, В) -
нормальний вектор прямої;
3) у=кх+Ь - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом; к -кутовий
коефіцієнт прямої: к = Щсс, де а - кут між прямою і додатним напрямом
осі Ох, Ь - ордината точки перетину прямої з віссю Оу ;
4)
У
~ у
о
=
к(
х
~
х
о)
~ рівняння прямої, що проходить через задану точку
М
0
(х
0
, Уо) у заданому напрямі, який задається кутовим коефіцієнтом к;
х-х
0
у-уп
5)
У-
= -—- рівняння прямої, що проходить через точку
Мо(х
0
,уо)
паралельно напрямному вектору ї = (т,и) (канонічне рівняння);
де г
0
= (хо, ) - радіус-вектор точки М
0
(хо, у$), що належить прямій,
? = (т, п) - напрямний вектор прямої;
х у
7)
—
+
—
=
1
- рівняння прямої у відрізках, а і Ь - величини напрям-
а Ь
лених відрізків, що відтинаються прямою на координатних осях;
т
п
8)
Х-Х\
У-Уі
-
рівняння прямої, що проходить через дві задані
х
2~
х
і
Уг~У\
точки М,(*і, у
х
) і М
2
(х
2
, у
2
);
34
Глава
2.
Аналітична геометрія
9)
х
соза
+>>со8р-р
= 0 -
нормальне рівняння прямої,
де
соза
та
созР
-
напрямні косинуси нормального вектора
«, р>0 -
відстань
від
початку координат
до
прямої.
Загальне рівняння прямої
Ах
+
Ву
+
С = 0
приводиться
до
нормаль-
ного вигляду множенням
на
нормувальний множник
1
і* і і
±УІА
2
+В
2
де знак перед коренем вибирається протилежним знаку вільного члена
С .
Якщо
щ = (А\, В\), п
2
= (А
2
, В
2
) -
нормальні вектори прямих
/] та
/
2
відповідно,
то кут між
ними визначається
за
формулою:
С08ф
= — .
\"\
\\"2 І
Якщо
к\, к
2
-
кутові коефіцієнти двох прямих,
то кут ф між
ними
визначається
за
формулою
1 +
к
х
к
2
Умова паралельності
та
перпендикулярності прямих
^ та 1
2
:
В,
/,||/
2
о А
=
А
;
/,і/
2
А
{
А
2
+В
х
В
2
=0
або
Н\\і
2
<=>
к
і=
к
2
;
іі±
1
2
<=> к
2
=-~.
к
1
Якщо задано рівняння прямої
/: Ах
+
Ву
+
С = 0 і
точка
М
0
[х
0
,у
0
),
то відстань
від
цієї точки
до
даної прямої обчислюється
за
формулою
і/А
2
*
в
2
Площина
та
пряма
у
просторі. Основні види рівнянь площини:
1) А(х-х
0
) + В(у-у
0
) + С(г-г
0
)
= 0 -
рівняння площини,
що
про-
ходить через задану точку М
0
(х
0
,у
0
,2
0
)
перпендикулярно
до
нормального
вектора п={А,В,С);
2)
Ах
+
Ву
+
Сг
+
О = 0 -
загальне рівняння площини,
де
вектор
п =(А,В,С)
-
нормальний вектор площини;
§
1.
Прямі лінії та площини
35
14
х
У
г
і • • І.
3)
— +
—
+ —
=
1
- рівняння площини у відрізках, де а,Ь,с - довжини
а Ь с
напрямлених відрізків, що відтинаються площиною на координатних осях;
х -х
х
У ~ У\ г -г
х
4)
х
г
-х
х
Уг~У\
2
2
-2,
=0
х
г~
х
і Уз'Уі
2
і~
г
і
-
рівняння площини, що проходить через три задані точки
М
х
(х
х
,у
х
,2
х
),
М
2
(х
2
,у
2
,г
2
),
М
3
(х
3
,7
3
,2
3
)
;
5) х соз а + у соз
(3
+
2
созу - р = 0 - нормальне рівняння площини, де
соха, со«р, соку - напрямні косинуси нормального вектора Я, р>0 -
відстань від початку координат до площини.
Загальне рівняння площини Ах+ Ву + Сг + О = 0 приводиться до
нормального вигляду множенням на нормувальний множник
1
И
= 7======-.
±4а
2
+ в
2
+ с
2
де знак перед коренем вибирається протилежним знаку вільного члена В .
Кут між двома заданими площинами визначається за формулою
А
Х
А
2
+В
Х
В
2
+С|С
2
СОЗф =
/^,
2
+5,
2
+С,
2
•\а
2
+в
2
+ с
2
і
х
і-о] -і-^! ул
2
-т
°1 -<-«-2
Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
б,: А
х
х + В
х
у + С
х
г +
О
х
=0
і £)
2
: А
2
х + В
2
у + С
2
г + В
2
= 0
мають вигляд:
А
_ в
х
_ с,
(2
Х
±(2
2
<=>
А
х
А
2
+В
х
В
2
+С
х
С
2
=0.
А
2
В
2
С
2
Відстань
р(М
0
,2)
від точки М
0
(х
0
,у
0
,г
0
) до площини
£: Ах
+
Ву
+
Сг
+
О
=
0:
,,.
\Ах
0
+ Ву
0
+
С2
0
+Р\
>М
2
+Й
2
+С
2
Пряма у просторі. Основні види рівнянь прямої у просторі:
А
х
х+
В
х
у + С
х
г + й
х
= 0;
1)
|Л
2
Х
+
.в2.>
;
+
С2-
г +
-£
)
2 =0
-
загальні рівняння прямої, що визначена перетином двох непаралельних
площин;
ж
Глава 2. Аналітична геометрія
х
=
дг
0
+
ті ;
2) ІУ
=
Уо
+ п1
>
2 =2
0
+ рі
- параметричні рівняння прямої в просторі, де І є II - параметр.
Ці рівняння у векторній формі мають вигляд
Г = Г
0
+ 5 І ,
де г
0
= (х
0
, Уо, 2
0
) - радіус-вектор точки М
0
( дг
0
, у
0
, 2
0
), що належить
прямій, 5 = (т, п, р) - напрямний вектор прямої;
_. X - Хп
V
- у
п
2 - 2п . .
3)
2-
= - н- =
—
-канонічні рівняння прямої, де
т п р
Л
(*о, Уо, ?о)
_
задана точка прямої, а вектор ? = (т, п, р) - напрямний
вектор прямої;
лл
Х~Х\ У-У\ 2-2і
4)
—
=
— —
=
!
рівняння прямої, що проходить через
х
2~
х
\ Уг-Уі
2
2~
2
\
дві задані точки Му (х\, у
х
, 2\) і М
2
(х
2
, У
2
> 2
2
).
Кут між прямими
ДГ-Х!
У-У] 2-2
Х
х-х
2
7~У2 2-г
2
і, . = = і ь
2
. = =
т
х
П] р
х
т
2
п
2
р
2
обчислюється за формулою
т
х
т
2
+ щп
2
+ р\р
2
СОЗф
:
7
2 2 2 І 2 2 2 '
т\
+щ
+
р
х
т]т
2
+п
2
+
р
2
Умови паралельності та перпендикулярності прямих Ь\ та Ь
2
:
£] ||І
2
<=>— = — = — ; І]Л/.
2
Щ
т
2 +"і"2 + Р\Р2
=
0 .
т
2
«
2
Рі
Відстань р(М
0
,1) від точки М
0
до прямої І, де
Ь:
———
= ——— =
т п
———, точка А (х\, у і, г\) є і, х =(т,п,р), визначається за формулою
Р
АМ
0
хЛ
р(М
0
,і) =
т
ти е. - ••
х
~
х
о У-Уо
г
~Ч •
Щоб знайти точку перетину прямої
—
=
—
= — і площи-
т п • р
ни Ах
+
Ву + Сг + О = 0, слід розв'язати спільно ці рівняння.
§
1.
Прямі
лінії
та площини
37
V т
х
~
х
\ У~У\
г
~
г
\
Кут між прямою Ь:
!
- = - -
т п р
~Ву
+
Сг + й = 0 визначається за формулою
\Ат
+
Вп
+
Ср
і площиною б
:
Ах +
81П
ф = • , .
4
А
2
+В
2
+С
2
у]т
2
+п
2
+ р
2
Умови паралельності та перпендикулярності прямої Ь та площини :
Ь
Ц
Є <=> Ат + Вп + Ср = 0 ; і±£> <=>
Умова належності двох прямих
т
х
п
х
одній площині така
Р\
т п р
х-х
2
=
у-Уг
=
т.-2
2
т
2
п
2
р
2
(А
Х
А
2
, $
х
, 5
2
) = 0 або
х
2~
х
\
Уг~У\
2
г~2\
т
х
я, р,
т
2
л
2
^
2
= 0,
де А
х
(х
х
,у
х
,2
Х
)&Ц,
А
2
{х
2
,У2,22)
є і
2
; «і =(«і.И|,^і)» £
2
=
(т
2
,п
2
, р
2
).
Прямі ^ та Ь
2
мимобіжні, якщо
х
і~
х
\ Уі~У\ 2
2
-2,
Р\
Рг
*0.
Відстань між двома мимобіжними прямими і
(
та £
2
визначається за
формулою:
Р(іі,^
2
)
:
|(^Л
2>
?
ь
5
2
|
5, X 5
2
|
//.
Контрольні питання
та
завдання
1.
Записати загальне рівняння прямої на площині.
2.
Який геометричний зміст коефіцієнтів при х та у в
загальному рівнянні прямої на площині?
3.
Записати рівняння прямої на площині, що проходить
через точку М
0
(х
0
, у
0
) перпендикулярно до вектора Я = {А, В).
38
Глава 2. Аналітична геометрія
4.
Записати канонічне рівняння прямої на площині та вка-
зати геометричний зміст параметрів, що в нього входять.
5.
Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом і вка-
зати геометричний зміст параметрів, що в нього входять.
6. Рівняння яких прямих не можуть бути записані у виг-
ляді рівняння з кутовим коефіцієнтом?
7.
Записати умову паралельності та умову перпендикуляр-
ності двох прямих, заданих рівняннями:
А
х
х
+ В
х
у
+
С] = 0, А
2
х
+
В
2
у + С
2
= 0 .
8. Записати умову паралельності та умову перпендикуляр-
ності двох прямих, заданих рівняннями:
х-х
х
=
у-у
}
, х-х
2 =
У~У
2
т
]
й| т
2
п
2
9. Записати рівняння площини, що проходить через точку
М(х
0
, у
0
, г
0
) перпендикулярно до вектора п = (А, В, С) .
10.
Записати рівняння площини, що проходить через три
точки М
х
(х
{
, у
х
,
2,),
М
2
(х
2
, у
2
, г
2
), М
3
0
3
, у
3
, г
3
).
11.
Записати формулу, за якою знаходиться кут ер між пло-
щинами
£2:
А\х + В
х
у + С
Х
2 + Д = 0 та (3
2
: А
2
х
+
В
2
у
+
С
2
г + £>
2
= 0 .
12.
Записати умову паралельності та перпендикулярності
площин (2і
та
(Зі-
13.
Записати формулу для обчислення відстані від точки
М(Х),
У\, ц) до площини £>: Ах
+
Ву + Сг +1) = 0 .
14.
Записати канонічні рівняння прямої у просторі та вказа-
ти геометричний зміст параметрів, що входять в ці рівняння.
15.
Записати параметричні рівняння прямої у просторі.
16.
Записати рівняння прямої у просторі, що проходить че-
рез точки М
х
{х
х
, уі,г{) та М
2
(х
2
, у
2
, г
2
) .
17.
Записати формулу, за якою знаходиться кут між прями-
ми у просторі Ь
х
та Ь
2
.
18.
Записати умову паралельності та умову перпендикулярності
прямих у просторі Ц та Ь
2
, заданих канонічними рівняннями.
19.
Записати формулу, за якою знаходиться кут ер між пря-
мою у просторі Ь та площиною .
§
1.
Прямі лінії та площини
39
20.
Записати умову паралельності та перпендикулярності
прямої у просторі Ь та площини ().
III. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Задані вершини трикутника А(-2,-3), 5(5, 4),
С(-1,
2). Скласти рівняння медіани АМ .
• Точка М - середина сторони ВС, тому
*л,=^
= ^ = 2; ,
м
=^ = ^ = 3; М(2,3).
Використовуючи рівняння прямої, що проходить через точки А і М,
х + 2 у + 3
знайдемо рівняння медіани АМ: = , звідки Зх - 2у = 0. <
2+2 3+3
Приклад 2. Скласти рівняння прямої, що проходить таким
чином:
1) через точку М
(1,
2 ) та точку N
(3,
5);
2) через точку М (1, 2 ) паралельно вектору ? = (0, -1);
3) через точку М(1, 2) перпендикулярно до вектора
Я=(3,-5).
• Складаючи рівняння прямої, треба передусім вибрати той вигляд
рівняння, який швидше приводить до мети.
1.
Використаємо рівняння прямої, що проходить через дві точки
х-хі
=
у-у
х
х
і~
х
\
Уг~У\
\я У~2 У~2 Т Т 1 п
Маємо: = : = ; Зх - 2у +1 = 0 .
3-1 5-2 2 3
2.
Використаємо канонічне рівняння прямої *
х
° -^°
т
Маємо: ——- =
———
; х -1 = 0 .
0 -1
3.
Використаємо рівняння прямої, заданої точкою та нормальним век-
тором: А(х -х
0
) + В(у -уо) = 0.
Маємо: 3(х-і)-5(у-2)=0 ; Зх - 5
>>
+ 7 = 0
40
Глава 2. Аналітична геометрія
Щоб знайти відстань між прямими, візьмемо на одній із прямих деяку
точку і знайдемо відстань від неї до іншої прямої. Поклавши, наприклад, у
першому рівнянні х = 1, отримаємо у = 2. Таким чином, точка
М
(1,
2) є і[. Використовуючи формулу для визначення відстані від точки
до прямої, одержуємо
Приклад 4. Задано прямі /} та /
2
і точка М ;
/, :4х + ^-8 = 0, /
2
:
д:
- 5^ - 2 = 0 ; М(-4,7).
Знайти:
1) кутовий коефіцієнт прямої ^ і відрізок, який відтинає
ця пряма на осі ординат;
2) рівняння прямих /[ та /
2
у відрізках;
3) точку N перетину прямих Д і /
2
;
4) рівняння прямої /
3
, що проходить через точку М па-
ралельно прямій /
2
;
5) рівняння прямої /
4
, що проходить через точку М пер-
пендикулярно до прямої /
2
;
6) відстань від точки М до прямої /
2
: р(М, /
2
).
Усі результати ілюструвати графічно.
• 1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: у = кх
+ Ь
, де к - ку-
товий коефіцієнт прямої, Ь - відрізок, що відтинається прямою на осі ор-
динат (з точністю до знака).
Зведемо рівняння прямої /] до означеного вигляду:
р(І,,і
2
) = р(Л/,І
2
) =
6
• 1 — 8 -
2
—13 [
_ 23
= — = 2,3. ^
л/36 + 64 10
/] : у
=
-Ах + 8 ;
Аг
= -4, 6 = 8 .