Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Криві
та
поверхні другого порядку
71
2.49.
х
2
+
у
2
=
2аг, аФО. 2.50. х
2
- у
2
=
2аг, а*0.
2.51.
2г
=
х
2
+^—. 2.52. х
2
=
2аг, а
Ф
0.
2
2
2
2.53.
г
=
2
+
х
2
+
у
2
. 2.54. —-У-
=
бг.
5
4
2.55.
х
2
+
у
2
-г
2
=4. 2.56. х
2
- у
2
+
г
2
+
4 = 0.
У задачах
2.57 -
2.61 необхідно побудувати задані цилінд-
ричні поверхні.
2
2
2.57.
у
2
+г
2
=4.
2.58.—-^-
= 1.
16
9
2.59.
х
2
+
у
2
=
ах
.
2.60. х
2
=6г.
2.61.
2 = 4-х
2
.
У задачах
2.62 -
2.68 з'ясувати,
які
поверхні визначаються
такими рівняннями:
2.62.
х
2
+
2
2
-4х-4
г
+ 4 = 0.
2.63.
х
2
+
у
2
- і
2
- 2у
+
2г
=
0.
2.64.
х
2
+ 2у
2
+
2г
2
- 4у + 4г + 4 = 0.
2.65.
4х
2
+ у
2
- 2
І
- 24х - 4у
+
2г
+ 35
= 0.
2.66.
х
2
+ у
2
- г
2
- 2х - 2у
+
2г
+
2
=
0 .
2.67.
х
2
+ у
2
- 6х + 6у - 42 +
18
= 0 .
2.68. 9х
2
-2
2
-18х-18у-б2 = 0.
ГЛАВА 3. ВИЗНАЧНИКИ ТА МАТРИЦІ. СИСТЕМИ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
§1. Визначники
І. Короткі теоретичні відомості
Основні означення. Квадратна таблиця
(„
~ \
А =
\
а
2\
«22,
де ау, і,) = 1,2 - задані числа, називається матрицею другого порядку.
Визначником другого порядку, що відповідає матриці А, називається
число
«п «12
«21 «22
=
а
п
а
2
г
~а\2
а
2\
деіА =
Квадратна таблиця
'
а
П «12 «13
А= «21 «22 «23
ч
«31 «32 «33,
де а,у, і, у = 1,3 - задані числа, називається матрицею третього порядку.
Визначником третього порядку, що відповідає матриці А, назива-
ється число
«п
«12
«13
аеіЛ =
«21 «22 «23
=
а
11
а
22«33
+«12«23«31 +«13«21«32
«31 «32 «33
«із«22«зі
-«п«9ія« -а^а^а
ІІ"23"32
Ч2"21"33
•
Існує правило, що полегшує складання виразу, який стоїть у правій
частині. Це правило називається правилом трикутників. Згідно з цим пра-
вилом доданки складаються за такою схемою:
^11
«13
«12
Ч * +
«2IV* «22'^«23
А»* Ч» \
«31-
«32
+
«33
«11 «12 «13
\>. А /
«21<\«22
ч
>«23
«31 «32 «33
§1.
Визначники 73
У
цій
схемі плюс означає,
що
добутки вказаних елементів беруться
зі
зна-
ком
"+ ", а
мінус означає,
що
відповідні добутки беруться
зі
знаком
" - ".
Квадратна таблиця
«21
- «1л"
«22
- «2п
«п2
а
пп,
де
а^,
/',7
= 1,п -
задані числа, називається матрицею
п-го
порядку.
Визначником
п -го
порядку,
що
відповідає матриці
А,
називається
число
= І
Н)^""
2
'-
а
"
)
а
Хаі
а
2аг
...а
пап
,
(ог,,а
2
,...,<*„)
де сума розповсюджується
на всі
можливі перестановки
(оц, а
2
,..., а„)
чисел
1,2,...,я; к(щ, а
2
,..., а„) -
число інверсій
у
перестановці;
а
(а)
,
/
= 1,л -
елементи визначника.
Мінором
Му
елемента
а,у
(/',7
=
1,
л)
визначника
п -го
порядку назива-
ють визначник
(л -1) -го
порядку, який утворюється
з
даного визначника
в
результаті викреслення рядка
і
стовпця,
на
перетині яких стоїть елемент
ау.
Алгебраїчним доповненням
Ау
елемента
а^
визначника
п -го
порядку
називається його мінор
М
ір
взятий
зі
знаком (-1)'
+
-
/
, тобто
Ау =
(-^)'
+^
Му.
Виберемо довільно
5
рядків
та і
стовпців визначника
п -го
порядку
з номерами
і\
<
/
2
<
...
<
/^
;
і
х
<
у'
2
< ... <
у°
5
($<п).
Мінором порядку
5
визначника
п -го
порядку називається визначник *
-
го порядку
М, що
лежить
на
перетині вибраних
5
рядків
та .?
стовпців.
Додатковим мінором
до
мінора
М
називається визначник
(п
- з) -го
порядку,
що
отримується
з
визначника
п -го
порядку
в
резуль-
таті викреслення вибраних
і
рядків
та *
стовпців.
Алгебраїчним доповненням мінора називається його додатковий мінор,
взятий
зі
знаком (_і)'і+'2+•••+'*+Л+Л+-+Л
.
«11
«21
аеіЛ
=
«п
«12
«21
«22
«1»
«2«
«пі
««2 -
а
п
7 4 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Властивості визначників
1°.
Величина визначника не зміниться, якщо його рядки зробити сто-
впцями з тими ж номерами.
Ця операція називається транспонуванням.
2°. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (стовпці), то знак
визначника зміниться на протилежний.
3°.
Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівню-
ють нулю, то визначник дорівнює нулю.
4°.
Загальний множник елементів деякого рядка (стовпця) визнач-
ника може бути винесеним за знак визначника.
5°.
Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника однакові, то
визначник дорівнює нулю.
Наслідок. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стопців) про-
порційні, то визначник дорівнює нулю.
6°.
Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного ряд-
ка (або стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне
й теж число (теорема про лінійну комбінацію елементів рядків (стовпців)).
7°.
Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (сто-
впця) на їхні алгебраїчні доповнення (теорема розкладання).
8°.
Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) визначника
на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю
(теорема анулювання).
9°.
Визначник, у якого елементи деякого рядка (стовпця) є сумою
двох доданків, дорівнює сумі двох визначників, у першого з яких у зазна-
ченому рядку (стовпці) стоять перші доданки, а у другого - другі доданки;
всі інші рядки (стовпці) у обох визначників однакові.
Теорема Лапласа. Визначник п -го порядку дорівнює сумі добутків
всіх можливих мінорів 5-го порядку ($<п), що розташовані у довільно
вибраних 5 рядках (стовпцях) на алгебраїчні доповнення цих мінорів.
Основні методи обчислення визначників
Метод пониження порядку оснований на застосуванні теореми розкла-
дання визначника за елементами деякого рядка (стовпця), згідно з якою:
я
п
§1.
Визначники
При цьому корисно, використовуючи основні властивості визнач-
ників, обернути в нуль всі, крім одного, елементи деякого рядка (стовпця)
визначника, а потім застосувати теорему розкладання. Іноді зручно засто-
совувати теорему Лапласа - розкладання визначника за елементами дек-
ількох рядків (стовпців). При цьому добиваються того, щоб у вказаних
рядках були мінори, складені з нулів.
Метод зведення до трикутного вигляду полягає у такому перетво-
ренні визначника, коли всі елементи, що лежать по один бік однієї з його
діагоналей, рівні нулю.
Метод рекурентних співвідношень полягає у тому, щоб даний виз-
начник виразити через визначники того ж вигляду, але більш низького
порядку. Одержана рівність називається рекурентним співвідношенням. От-
римується це рекурентне співвідношення перетворенням визначника та
розкладанням його за елементами рядка (стовпця).
//. Контрольні питання та завдання
1.
Що називається визначником другого порядку; третьо-
го порядку?
2.
Дайте означення визначника п -го порядку.
3.
Що називається мінором елемента визначника п-то
порядку?
4.
Що називається алгебраїчним доповненням елемента
визначника п -го порядку?
5.
Наведіть основні властивості визначників.
6. Запишіть формулу розкладання визначника за елемен-
тами / -го рядка; у -го стовпця.
7.
Як читається теорема анулювання для визначників тре-
тього порядку; п -го порядку?
8. Що називається мінором порядку 5 визначника п -го
порядку?
9. Що називається додатковим мінором до мінора поряд-
ку 5 визначника п -го порядку?
10.
Що називається алгебраїчним доповненням мінора виз-
начника п -го порядку?
7 6 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
11.
Сформулюйте теорему Лапласа розкладання визначни-
ка за елементами декількох рядків (стовпців).
12.
У чому полягає метод зведення до трикутного вигляду
для обчислення визначників?
13.
У чому полягає метод рекурентних співвідношень для
обчислення визначників?
///. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Обчислити визначники:
2 -2 1
1)
2)
З
-1
4 2
0 1
•
1.
Оскільки визначник другого порядку дорівнює добутку елементів
головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі, то
2-4-3(-1) = 11
2.
Використовуючи правило трикутників, отримуємо
2 -2
= 2 • 4 • 1 + (-2) • 2 (-1) + 3 • 0 • 1 -1 • 4 (-1) - 3 (-2) 1-2-0-2-4 2
0 1
= 8 + 4 + 4 + 6 = 22. ^
Приклад 2. Обчислити визначник
-2 1 З
А = 111
0 0 5
розкладанням за елементами: 1) першого рядка; 2) третього
рядка.
•
1.
Застосовуючи теорему розкладання визначника до першого ряд-
ка, отримаємо
А = (-2)(-1)
1+1
1 1
0 5
+ (-1)
1+2
1 1
0 5
+ 3(-1)
1+3
1 1
0 0
= -10-5 = -15 .
§1.
Визначники
77
2.
Застосовуючи теорему розкладання визначника до третього ряд-
ка, отримаємо
-2 1
1 1
Д = 0+0 + 5(-1)* = 5(-3) = -15.<«
Приклад 3. Обчислити визначник третього порядку
5 3 2
Д= -1 2 4 ,
7 3 6
використовуючи теорему про лінійну комбінацію елементів
рядків (стовпців) та теорему розкладання.
• Зробимо всі елементи першого стовпця рівними нулю, крім одного
елемента. З цією метою до елементів першого рядка додамо відповідні еле-
менти другого рядка, помножені на 5, а до елементів третього рядка -
відповідні елементи другого рядка, помножені на 7:
5 3 2 0
13 22
А =
-1 2 4
=
-1
2 4
7 3
6
0
17 34
Розклавши визначник за елементами першого стовпця, отримуємо
+ (-і)(-і)'
+2
0 13 22
д = -1
2 4
= 0
0 17
34
2 4
17 34
= 17
13 22
1 2
13
22
13 22
+ 0
17 34 2 4
68.
= 17(26-22) = 68.^
Приклад 4. Обчислити визначник четвертого порядку:
Д =
3 1 2 -1
2 1 0 -2
1
2
1
2
-2
-3
1
10
7 8 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
• Використаємо метод пониження порядку, оснований на застосу-
ванні теореми розкладання визначника за елементами деякого рядка (сто-
впця).
При цьому заздалегідь, використовуючи теорему про лінійну комб-
інацію елементів рядків (стовпців) визначника, обертаємо в нуль усі, окрім
одного, елементи його деякого рядка (стовпця).
Виконаємо, наприклад, наступні перетворення.
Другий рядок помножимо послідовно на (-1), (-2), 3 і додамо до
першого, третього, четвертого рядків ВІДПОВІДНО.
Отриманий визначник розкладемо за елементами другому стовпця:
10 2 1
Д =
2 1
-З 0
4 0
,2+2
1
-З
4
Далі знов обертаємо в нуль усі елементи першого стовпця, окрім еле-
мента в лівому верхньому куті, і після цього обчислюємо визначник друго-
го порядку, або використовуємо для обчислення отриманого визначника
третього порядку правило трикутників:
7 9
-7 0
63
1 2 1
0 7 9
0-7 0
Обчислення за правилом трикутників має такий вигляд:
1 2
4-3 + 48-4-6 + 24 = 63.-*
-З 1
4 1
Приклад 5. Обчислити визначник, застосувавши теорему
Лапласа:
А
=
2 3 0 0 0
4
7
0 0 0
-8
2
1
0
0
25
17
0 1 0
17 8 0 0
1
§1.
Визначники
79
• Виділимо у визначнику два рядки та застосуємо теорему Лапласа
про розкладання визначника за елементами декількох рядків (стовпців).
Враховуючи, що всі мінори, що розташовані у перших двох рядках,
дорівнюють нулю, крім одного, що розташований у лівому верхньому куті,
отримаємо:
А =
2 З
4 7
(-1)
1+2+1+2
1 0 о
0 1 о
0 0 1
= (14-12)1 =2.
Приклад 6. Обчислити визначник
Д =
1 1 1 1
1 -1 2
2
1 1 -1 3
1 1 1 -1
зведенням його до трикутного вигляду.
• Перший рядок визначника множимо на (-1) та додаємо послі-
довно до всіх інших рядків. Отримаємо:
Д =
1 1 1 1 1 1 1 1
1 -1
2 2
0 -2 1
1
1 1 -1 3 0 0 -2 2
1 1
1
-1 0 0 0 -2
:1(-2)(-2)(-2) = -8.<«
Приклад 7. Обчислити визначник Вандермонда /)
я
, вико-
ристовуючи метод рекурентних співвідношень
1 1
1 1
а
\
а
2
«з •
• <*„
2
і
2
2
а
2
•
а
п
п-\
п-\ п-\ п-\
а
х
а
2
а
3
• а
п
8 0 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
•
Покажемо, що для будь-яких п (п>2) визначник Вандермонда
дорівнює добутку всіх можливих різниць я,- -а
}
•,
1
<) <і<п . Доведення
проведемо за індукцією, використовуючи метод рекурентних співвідношень.
Дійсно, при п ~ 2 маємо
1 1
Я
2
=
я,
а
2
Нехай наше твердження доведено для визначників Вандермонда по-
рядку (п -1), тобто
Е>
п-\=
П
к-о/)-
і<у'<;<и-і
Перетворимо визначник О
п
наступним чином: з останнього п
-то
рядка віднімемо (п -1) -й, помножений на а\, і, взагалі, послідовно відніме-
мо із к
-то
рядка (к -1) -й, помножений на
Я).
Отримаємо
А,
=
я
2
-я,
я
2
-я,я
1
я
3
-я,
1"2 '1"3
0 яГ' - «і«Г
2
а^-а^'
2
1
а„ - я,
.2
а"
1
-я,я,^
2
Розкладемо останній визначник за елементами першого стовпця та
винесемо з усіх стовпців загальні множники. Визначник матиме вигляд
1 1
1 1
о?
я
3
я
4
.
А, =(
а
2 -«і)(
а
з-"))••-(а
п
-
«і)
я
2
2
«3
я
2
.
.
а
2
п
п-2
я
3
аГ
2
!
•
<~
2
= (я
2
-яі)(я
3
-а,
)...(я„
-і •
Отримали рекурентне співвідношення. Використовуючи припущен-
ня індукції, остаточно виводимо:
А,
=(я
2
-я,)(я
3
-а
х
)...{а„-я,) П (я,-д
у
) = Г[ (я,-я
у
).<*
2<
У</<л
1<
]<ііп