Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§2. Криві та поверхні другого порядку
61
б) двопорожнинний:
3.
Конус другого порядку:
4.
Параболоїд
а) еліптичний:
б) гіперболічний
5. Циліндр другого порядку
а) еліптичний
б) гіперболічний
в) параболічний
а
2+
Ь
2
с
2
= -1 (рис. 2.7,6).
2 2 2
±-
+ і--і- = 0 (рис. 2.8).
а
1
Ь
1
с
1
2 2
Р я
2 2
р я
-2 г, рд
>
0 (рис. 2.9, а);
•2г, рд>0 (рис. 2.9, б).
2 2
а о
(рис.
2.10, а);
2 2
а
2
' Ь
2
= \,\/г (рис. 2.10, б);
у =2рх, р>0,\/г (рис. 2.10, в).
Рис.
2.6
§2.
Криві та поверхні другого порядку
63
Зауважимо, що з вказаних рівнянь поверхонь, як частинні випадки,
отримуються рівняння таких поверхонь.
1.
Сфера: х
2
+
у
2
+ г
2
= а
2
.
2 2 2
, • •• *
Х
+ У
2
.
2.
Еліпсоїд обертання: — + —= 1.
а" с
2
3.
Гіперболоїди обертання:
2 2 2
ч "
Х
+У
2
, .
а) однопорожнинний: г 5" '
а с
2 2 2
,., „ X
і
+у
2
2
і
б) двопорожнинний:
т-
= -1 .
а
1
с
4.
Круговий конус: х
2
+у
2
-г
2
=0.
5. Параболоїд обертання: х
2
+
у
2
= 2рг .
6. Круговий циліндр: х
2
+ у
2
= а
2
, Уг.
Зауважимо, що наведено рівняння поверхонь обертання з віссю обер-
тання Ог .
II. Контрольні питання та завдання
1.
Що називається еліпсом?
2.
Записати канонічне рівняння еліпса. Вказати його осі
симетрії, вершини, фокуси.
3.
Що називається гіперболою?
4.
Записати канонічне рівняння гіперболи. Вказати її осі
симетрії, вершини, фокуси, дійсну вісь, уявну вісь, асимптоти.
5.
Що називається параболою?
6. Записати канонічне рівняння параболи. Вказати її вер-
шину; директрису; фокус; вісь симетрії.
7.
Що називається ексцентриситетом еліпса; гіперболи;
параболи?
8.
Написати загальне рівняння кривої другого порядку на
площині. В якому випадку це рівняння являється рівнянням еліп-
тичного типу; гіперболічного типу; параболічного типу?
9. Які фігури визначають рівняння еліптичного типу; гіпер-
болічного типу; параболічного типу?
10.
Яка поверхня називається еліпсоїдом?
12.
Яка поверхня називається однопорожнинним гіпербо-
лоїдом; двопорожнинним гіперболоїдом?
13.
Яка поверхня називається еліптичним параболоїдом;
гіперболічним параболоїдом?
14.
Яка поверхня називається циліндричною?
15.
Яку поверхню визначає в К рівняння Р(х,у) = 0,
якщо в К
2
це рівняння визначає деяку лінію?
16.
Яка поверхня називається конічною?
17.
Яка поверхня називається поверхнею обертання?
18.
Нехай у площині Оху лінія задана рівнянням Р(х, у) = 0.
Написати рівняння поверхні, що отримана обертанням цієї лінії:
а) навколо осі Ох ; б) навколо осі Оу .
НІ. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо
відстань між його фокусами, що лежать на осі Ох , дорівнює 24,
а ексцентриситет дорівнює 3/4 .
• Для того, щоб скласти канонічне рівняння еліпса
2 2
а
2
V '
необхідно знайти а та Ь. Враховуючи, що ексцентриситет є = с/а, а
2с = 24 , маємо 3/4 = 12/а , звідки а = 16 . Використовуючи співвідношен-
ня а
2
- с
2
= Ь
2
, отримаємо Ь
2
= 256 -144 = 112, Ь = А^ї. Таким чином,
шукане рівняння має вигляд
2 2 2 2
х
У і
х
У , ^
•
+ -— = І або + ~
256 112 іб
2
(4л/7)
2
2 2
Приклад 2. Задана гіпербола 9х -16у = 144 . Знайти ек-
сцентриситет гіперболи та рівняння її асимптот.
• Поділивши обидві частини заданого рівняння на 144, отримаємо
канонічне рівняння гіперболи
2 2
16 9
§2,
Криві та поверхні другого порядку
65
з якого видно, що а =16, Ь =9. Використовуючи співвідношення
9 9 9 9 » С
а + Ь =с , маємо, що с =16 + 9 = 25. Оскільки ексцентриситет є = —,
а
то є = 5/4. Підставивши в рівняння асимптот гіперболи у = ± —х значення
а
З
а = 4, 6 = 3, отримуємо рівняння асимптот заданої гіперболи у =
+ —
х .<
4
Приклад 3. Скласти рівняння параболи, яка симетрична
відносно осі Ох і проходить через точки 0(0,0) та Д2,3) .
• Оскільки парабола симетрична відносно осі Ох і проходить через
початок координат, то її рівняння має вигляд
у
2
= 2рх.
Враховуючи, що парабола проходить через точку Л(2,3), маємо
9 = 4р, звідки р = 9/4 . Отже,
- шукане рівняння. Л
Приклад
4.
З'ясувати, яка лінія відповідає заданому рівнянню:
1) 4х
2
+9у
2
-8х-36у
+
4 = 0;
2) х
2
-9^
2
+2х + 36у-44 = 0.
• 1. Оскільки Л-С = 4- 9>0,то рівняння визначає фігуру еліптично-
го типу. Перетворимо задане рівняння таким чином:
4(х
2
-2дг) + 9(>-
2
-4у) = -4;
4(х
2
-2х + 1-1) + 9(>
2
-4у + 4-4) = -4;
4(х -1)
2
+ 9(у - 2)
2
=-4 + 4 + 36 ; 4(х- І)
2
+9(у-2)
2
=36
або
(х-1)
2
|
Іу-2)
2
=1
9 4
Зробимо паралельний перенос осей координат, прийнявши за новий
початок координат точку Оу(\, 2). Скористаємося формулами перетворен-
ня координат:
х,=х-1,
у
х
=у-2.
66
Глава 2, Аналітична геометрія
Відносно нових осей координат рівняння кривої матиме вигляд:
2
2
9 4
Таким чином, задана крива являється еліпсом.
2.
Оскільки АС =1 (-9) < 0, то рівняння визначає фігуру гіперболіч-
ного типу. Перетворимо задане рівняння так:
(х
2
+ 2х +
1-1)-9(.у
2
-4г> + 4-4) = 44;
(х + 1)
2
-9(у-2)
2
=44 + 1-36, (х + 1)
2
-9(у-2)
2
=9
або
(х + 1)
2
(у-2)
2
=1
9 1
Зробимо паралельний перенос осей координат, прийнявши за новий
початок координат точку
0](-1,
2). Формули перетворення координат ма-
ють вигляд:
X)
= х +
1,
у
х
= у -2 .
Після перетворення координат отримуємо рівняння
2
2
9 1
Крива являється гіперболою. -4
Приклад
5. З'ясувати, яку поверхню в К
3
визначає рівнян-
ня
х
2
~ Зг
=
0 .
•
Враховуючи, що в заданому рівнянні відсутня змінна у , а на пло-
2
З
щині Охг йому відповідає парабола, то рівняння х -32 = 0 в К визна-
чає циліндричну поверхню. Твірна цієї циліндричної поверхні паралельна
Осі Оу , напрямною є парабола, задана рівнянням х - Зг = 0 у площині
Охт..
Отже, задане рівняння визначає параболічний циліндр.
Приклад
6. Звести до канонічного вигляду рівняння
4х
2
+ 9у
2
+ 36г
2
- 8х -18> - 722 + 13 = 0.
•
Згрупуємо члени, які містять х, у та і:
4(х
2
-2х) + 9(у
2
-2у) + 36(г
2
-2г) = -13.
Доповнивши до повних квадратів вирази у дужках, отримуємо
4(х
2
-2х + \) + 9(у
2
-2у + \) +
36(2
2
- 2г + 1) = -13 + 4 + 9+ 36
§2.
Криві та поверхні другого порядку
67
або
4(х-1)
2
+9(у-1)
2
+36
(
2-1)
2
=36
=> (х-1)
2
+
(^
+
(
5
_11
2
_
= 1
Зробимо паралельний перенос осей координат, прийнявши за новий
початок координат точку 0|
(1,
1, 1). Формули перетворення координат ма-
ють вигляд:
Х|
= X -
1,
Уу = у -
1,
2] = 2
-1.
Тоді рівняння поверхні запишеться так:
2
2 2
9 4 1
Це рівняння визначає еліпсоїд; його центр знаходиться в новому по-
чатку координат, а півосі відповідно дорівнюють 3, 2 та 1. ^
Приклад 7. Звести до канонічного вигляду рівняння
х
2
-
у
2
-4х +
8у-22
= 0.
•
Згрупуємо члени, які містять х та у :
(х
2
-4х)-(у
2
-8у) = 22.
Доповнимо до повних квадратів вирази у дужках:
(х
2
-4х + 4)-(>-
2
-8у + 16) = 2г + 4-16
або
(х-2)
2
-(у-4)
2
=2(2-6).
Виконаємо паралельний перенос осей координат, прийнявши за но-
вий початок точку О] (2, 4, 6). Тоді
Хі=Х-2,
У\—У~А,
2] =2-6.
В результаті отримуємо рівняння
х
\
-
У\
=
І2
\>
яке визначає гіперболічний параболоїд.
Приклад 8. Яка поверхня визначається рівнянням
4х
2
- у
2
+
Аг
2
- 8х + А у + 8г + 4 = 0 ?
•
Виконавши відповідні перетворення, отримуємо
4 (х
2
- 2х) - (у
2
- 4у) + 4
(2
2
+ 2г) = -4 ;
4(х
2
-2х+\)-(у
2
-4у + 4) + 4(
2
2
+22
+ 1) = -4 + 4-4 + 4;
4(х-1)
2
-(.у-2)
2
+4(2
+ 1)
2
=0.
68
Глава 2. Аналітична геометрія
Виконаємо паралельний перенос осей координат, прийнявши за но-
вий початок точку 0
(
(1, 2,-1). Формули перетворення координат:
Х\=Х~\,
У\-у-2,
2] =2 + 1.
Тоді задане рівняння матиме вигляд:
або
4х
2
-у
2
+4г
2
=0
2
2 2
*і__Л.
+
£ц
=
о.
1 4 1
Це рівняння конічної поверхні. -4
Приклад
9. Яку поверхню визначає рівняння х - у
2
?
•
Виконаємо поворот координатних осей навколо осі Ох на кут
а = 45° (від осі Оу до осі Ог проти годинникової стрілки). Формули пере-
творення координат (див. гл. 4, §1, приклад 7):
х = х
х
, у
=
у
х
соз а - 2, зіп а, г
=
у
х
зіп а+ 2) соз а .
Оскільки
то
або
зіпсс = соз а =
-
2
Х=Х
{
, У=—ІУ\-2\), 2 =
—(
Л
+2,).
Підставивши ці вирази у рівняння поверхні, отримуємо
2
2
1
2 2
2
2 2
1 2 2
(конус з вершиною у початку координат, віссю якого являється вісь
ординат). <
IV. Задачі для практичних занять
2.32.
Побудувати еліпс 9х
+
25у = 225 . Знайти:
а)
півосі; б) координати фокусів; в)
ексцентриситет;
г)
рів-
няння
директрис.
§2.
Криві та поверхні другого порядку
69
2.33.
Написати канонічне рівняння еліпса, якщо:
а) а = 3, 6 = 2; б) а = 5, с = 4; в) с = 3, є =
3
/
5
; г) 6 = 5,
є =
12/13;
д) с = 2 і відстань між директрисами дорівнює 5;
е) є = 1/2 і відстань між директрисами дорівнює 32.
2.34. Написати рівняння еліпса з півосями а та 6 і цент-
ром у точці С(х
0
, у
0
), якщо відомо, що його головні осі пара-
лельні координатним осям.
2.35. Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає
еліпс, знайти його центр С, півосі, ексцентриситет та рівняння
директрис:
а) 5х
2
+9у
2
-30х +18^ + 9 = 0;
б) 16х
2
+25у
2
+32х-100у- 284 = 0;
в) 4х
2
+3у
2
-8х + 12>>-32 = 0.
2.36. Побудувати гіперболу 16х —9у = 144 . Знайти:
а) півосі; б) координати фокусів; в) ексцентриситет; г) рів-
няння асимптот; д) рівняння директрис.
2.37. Побудувати гіперболу 16х
2
- 9
у
2
= -144 (спряжену до
гіперболи задачі 2.36). Яка канонічна система координат для цієї
гіперболи? Знайти: а) півосі; б) координати фокусів; в) ексцент-
риситет; г) рівняння асимптот; д) рівняння директрис.
2.38. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо:
а) а = 2, 6 = 3; 6)6 = 4, с = 5; в)с = 3, є = 3/2; г) а = 8,
4
є = 5/4; д) с = 10 і рівняння асимптот у = -~
х
'•>
е) є = 3/2 і
відстань між директрисами дорівнює 8/3.
2.39. Написати рівняння гіперболи з півосями а та 6 і цент-
ром у точці С(х
0
, уо), якщо відомо, що її дійсна та уявна осі
паралельні осям Ох і Оу відповідно.
2.40. Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає
гіперболу, знайти її центр С, півосі, ексцентриситет, рівняння
асимптот та директрис:
а) 16х
2
-9у
2
-64х-54^-161 = 0;
70
Глава 2. Аналітична геометрія
б) 9х
2
- 16у
2
+ 90х + 32у - 367 = 0 ;
в) 16х
2
-9у
2
-64х-18.у +199 = 0.
2.41.
Побудувати наступні параболи та знайти їх параметри:
2 2
а) у = 6х; б) х = 5у;
в) _у = -4х ; г) х = -у .
2.42.
Написати рівняння параболи з вершиною у початку
координат, якщо відомо, що:
а) парабола розташована у лівій півплощині симетрично
відносно осі Ох і /> = 1/2;
б) парабола розташована симетрично відносно осі Оу та
проходить через точку М(4,- 8);
в) фокус параболи знаходиться в точці Р(0,- 3).
2.43.
Написати рівняння параболи, якщо відомо, що вер-
шина її знаходиться в точці А(х
0
, у
0
), параметр дорівнює р ,
вісь паралельна осі Ох і парабола розташована: а) у правій
півплощині відносно прямої х = х
0
; б) у лівій півплощині
відносно прямої X = х
0
.
2.44. Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає
параболу, знайти координати її вершини А та величину пара-
метра р :
а) у
2
= 4х - 8 ; б) х
2
= 2 - у;
в) у - 4х
2
-8х + 7 ; г) у = --х
2
+ 2х - 7;
6
д)х = -^
2
+^; е) х = 2у
2
-12у + 14.
У задачах 2.45 - 2.56 необхідно встановити тип заданих
поверхонь та побудувати їх.
2 2 2 2 2 2
2.45. — + — + — = 1. 2.46. — + = 1.
9 4 25 16 4 36
2.47. х
2
+у
2
-г
2
=-1. 2Л8. х
2
- у
2
= г
2
.