Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Прямі лінії та площини
41
х у
2.
Рівняння прямої у відрізках:
—
+
—
= 1, де а і Ь з точністю до
а Ь
знака визначають довжини відрізків, що відтинаються на осях координат;
/, : 4х
+
^-8 = 0, /
2
: х-5у-2 = 0,
4х + 7 = 8, х-5у
=
2,
8/4 8 2 -2/5
я = 2 ; 6 = 8 , я = 2 ; Ь = -0,4.
Л,(2;0)є/,; ^1
2
(0;8)є/
1
5
1
(2;0)є/
2
; б
2
(0;-0,4) є/
2
.
3.
Рівняння прямих /], /
2
утворюють систему лінійних алгебраїчних
рівнянь. Розв'язавши цю систему, знайдемо точку перетину /] і /
2
:
\4х+ 7-8 = 0;
х-5у- 2 = 0.
Помноживши перше рівняння на 5 та склавши ліві і праві частини
рівнянь, отримаємо:
21х-42 = 0, х = 2.
Шдетавтоло в перше рівняння
7 = 2(-4) +
8
= 0.
Точка N (2, 0) - точка перетину прямих 1\ і /
2
.
4.
/
2
: х-57-2 = 0 ; М(-4, 7).
Шукана пряма/
3
; /3 Не-
очевидно, що й/
3
= Я/
2
, Я/
3
, й/
2
- нормальні вектори прямих /
3
, /
2
відповідно ; й/
3
= (1,-5).
Рівняння прямої, що задана точкою і нормальним вектором п =
(А,В):
А(х-х
0
)
+
В(у-у
0
) = 0; 1(х + 4)-5(7-7) = 0;
/
3
: х-57 + 39 = 0; ^(0; 7,8)є/
3
.
5.
Шукана пряма /
4
; ЦІ. /
2
.
Запишемо рівняння прямої /
2
: х- 5у - 2 = 0 у канонічному вигляді
х~х
0
_у-у
0
42
Глава 2. Аналітична геометрія
З цією метою проведемо такі перетворення рівняння прямої /
2
:
х-2
=
5у;
х-2
2 •
х-2
1
1/5'
У
0,2
^ = (1;0,2),
5/
- напрямний вектор прямої /
2
, але І/ = пц , Л/
4
-
нормальний вектор прямої Ц . Запишемо рівняння Ц як рівняння прямої,
що задана точкою М(-А, 7) і нормальним вектором Нц =(1; 0,2):
1(х + 4) + 0,2(>>-7) = 0;
х + 0,2у
+
2,6 = 0 ;
10х + 2у + 26 = 0;
/
4
: 5х + у +
13
= 0;
ЛГ
2
(-2,6 ; 0)є/
4
.
6. Відстань від точки М(х
0
, у
0
) до прямої / : Лх + Ву + С = 0 виз-
начається за формулою
І
Ах
0
+
Ву
0
+
СІ
р(М,/) =
-
А^+В
1
М(-4,7);
/
2
: х-5у-2=0 ;
|і(-4)-5-7-2| 41
р(М,/
2
)=-
VI+ 25 л/26 '
Отримані результати проілюстровано на рис. 2.1.
Р(М,1,)
Рис.
2.1
§1.
Прямі лінії
та
площини
43
Приклад
5. Написати рівняння площини
Р, що
проходить
че-
рез точку
М
(2,
3,-1)
паралельно площині
(2:
5х-у
+
Зг-5
=
0.
•
Скориставшись рівнянням площини,
що
проходить через задану точ-
ку, запишемо
А(х - 2) + В(у - 3) + С(г +1) = 0 . Із
паралельності площин
Р
та
б
випливає,
що
нормальний вектор
пр = пд =
(5,-1,
3), тому рівняння
площини
Р має
вигляд
5(*-2)-0>-3)
+
3(2
+
1)
= 0 або Р: 5х-у +
32-4
= 0. <
Приклад
6.
Написати рівняння площини
Р, що
проходить
через
точки
М]
(1,1,1)
і
М
2
(0,2,1) паралельно вектору
а
=
(2,0,1).
•
Перший спосіб.
Знайдемо
М\М
2
; М]М
2
=
(-1,
1, 0). За
нормальний вектор
до
пло-
щини
Р
візьмемо вектор
п
=
М\М
2
х а :
=
ї
+
7-2~к =(1, 1,-2).
1
і к
-1
1 0
2
0 1
Скористаємося далі рівнянням площини, заданої точкою
М\(\, 1, 1)
нормальним вектором
й =
(1,
1 ,-2):
(х-1)
+
(у-1)-2(г-1)
= 0 ; Р: х
+
у-2г = 0.
Другий спосіб.
Точка
М(х, у, г)
належить шуканій площині
Р у
тому, і тільки
у
тому
випадку, коли вектори
М^М, М\М
2
та а
компланарні. Отже,
{М
Х
М, М
Х
М
2
, а)--
тобто
Р : х
+
у-2г = 0
.-4
X
-
І
у-] 2
—
1
-1
1 0
2
0 1
=
0,
44
Глава 2. Аналітична геометрія
Приклад
7. Знайти точку перетину прямої ь: —-— =
у-9
2-1
=
= і площини Р: Зх
+
5у-г-2
=
0.
З
1
•
Зведемо канонічні рівняння прямої до параметричного вигляду:
лг-12
_ у-9 _ 2-1 _
4 3 ~ 1 ~ '
х = 4/ + 12, у = 3? + 9, 2=1
+
1.
Підставимо ці вирази в рівняння площини Р та отримаємо
3(4< + 12) + 5(Зг + 9)-г-1-2 = 0,
звідки і = -3 •
Задані пряма і та площина Р перетинаються в точці з координата-
ми х = 4(-3) + 12 = 0, у = 3(-3) + 9 = 0, 2 = -3 +
1
= -2.««
Приклад
8. Пряма Ь задана загальними рівняннями:
і
Г х
+
у-2 =0;
[2х-у +
2 = 0.
Написати
канонічні рівняння цієї прямої, а також рівняння
її
проекції
на площину Охг.
•
Канонічні рівняння прямої:
х-х
0
=
у-у
0 =
2-2
0
т п р
Знайдемо точку Л(х
0
,уо>
2
о) є і . З цією метою задаємо одну з коор-
динат, наприклад х = 0, а дві інші отримаємо з системи рівнянь, що одержа-
на з даної при х = 0. Система набуває вигляду
у-2 = 0; Г2 = 2;
-у + 2 = 0, \у = 2.
Маємо: Л(0, 2, 2) єі.
За напрямний вектор ? візьмемо вектор з =п
х
хїі-і,
Д
е
Щ
=
0> 1>
_
1)>
Я
2
=
(2,-1,
0) - нормальні вектори площин, лінією перетину яких є зада-
на пряма.
§
1. Прямі лінії та площини
45
Таким
чином,
1
1 -1
2-10
=
-7 - 2] -Зк= (-1,-2,-3),
канонічні
рівняння прямої
х-0 у-2 2-2
1
у-
-1-2-3
12 3
Отримана
пропорція еквівалентна системі трьох рівнянь
•2
\-2х+
у-2
= 0
;
;
або
у-
2
2-2
1
у-2
З
2-2
-Зх+
г-
2 = 0
;
-Зу+22+2=0,
.2
3 '
які
описують три площини, що проектують пряму на координатні площини
Оху,
Охг і Оуг відповідно (рівняння прямої в проекціях). Зокрема, рівнян-
ня
-Зх +
2-2
= 0 є рівнянням проекції заданої прямої на площину Охг. -4
Приклад 9. Задано рівняння площини Р\, прямої Ь
х
і
точка М:
Р,
: 5х +
32-7
= 0, Ц: у = ^- = ^-, М(2,-3,0).
Знайти:
1) рівняння площини Р
2
, що проходить через точку М па-
ралельно площині Р];
2) рівняння площини Р
3
, що проходить через точку М пер-
пендикулярно до прямої Ц;
3)
рівняння прямої
^2
' Щ° проходить через точку М пер-
пендикулярно до площини Р];
4) рівняння прямої
Ьт,,
що проходить через точку М пара-
лельно прямій Ц;
5) точку ТУ перетину прямої Ц і площини Р
х
;
6) відстань від точки М до площини Р] : р (М ,Р
{
);
7)
відстань від точки М до прямої
Р
(М
,Ь
1
).
46
Глава
2.
Аналітична геометрія
•
Згідно з умовою = (5, 0, 3), ї
1(
= (1, 2, 3), п
р
, ?
і[
- нормаль-
ний вектор площини Р\ і напрямний вектор прямої Ь\ відповідно.
1. Враховуючи, що Р
2
\\Р\ , маємо Я^
=
"р
1
>
"р
2
- 0, 3);
М(2,-3,0)єР
2
.
Рівняння площини, що задана точкою М (х
0
, Уо, г
0
) і нормальним
вектором Я = (А, В, С), має вигляд
А(х-х
0
)+В(у-у
0
) +
С(2-2
0
)
= 0 .
Шукане рівняння : 5(х-2) + 0(у + 3) +
3(г-0)
= 0,
Р
2
: 5х + 3г-10 = 0.
2.
Враховуючи, що Р
3
, отримуємо
й
р
3
=
\>
«^
3
=(1.
2,3), М(2,-3, 0)є/>
3
;
1(х-2) + 2(у + 3) +
3(г-0)
= 0,
Р
3
: х + 2у +
32
+ 4 = 0.
3.
Враховуючи, що Ру±Ь
2
, отримуємо
"р =
?
і
2
>
?
і
2
=(5.0, 3), М{2, -
3,
0) є £
2
.
Рівняння прямої, заданої точкою А/ (х
0
, у
0
>
2
0) • напрямним векто-
ром ? = (т, п, р), має вигляд
х - *о
=
у - у
0
_ 2 -
2р
Х~_2 _ у+_3 _ 2-_0
т п р 5 0 3
4.
Завдяки тому, що І
3
[| ^, отримуємо
«і,
= \. =
(1.
2
> 3), М(2, -
3,
0) є £
3
;
.
х-2
_у
+
3
2-0
£
3
:
= = .
12 3
5.
Рівняння площини Р\ і прямої Ь\ утворюють систему, розв'язок
якої дасть координати точки N перетину прямої і площини:
[5х
+32-7
= 0 ;
| X
_ у-\ _ 2 +
1
{Т~~2~~~з~
'
§ 1. Прямі лінії та площини
47
У рівнянні прямої перейдемо до параметричного задання:
'5х
+
32-7 = 0,
5*+ 3г-7 = 0,
X _ у -
1
_ 2 +
1
Т" 2
•І,
х
=
1,
у = 2і
+
1,
2 = 3/-1;
5/
+ 3(3/-1)-7 = 0,
5/
+
9/-3-7
= 0,
14? = 10,
5
/ = -;
5 , 17
у = 2-
—+1
= —
7 7
•»
5
і
8
2 = 3
1
=— ,
7 7
7 7 7
6. Р(Л/,Р,):
\Ах
0
+ Ву
0
+С2
0
+О\ І5-2 + 0(-3) + 3-0-7І
УІА
2
+
В
2
+С
2
і.
5^+0^+3^
34
7.
р(А/, !,) =—
1
, де А(х
ь
у
и
2,) є і,
З рівняння прямої £( випливає, що А(0,1,-1) є
/,];
А/{2, - 3,0);
Ж = (2-0, -3-1, 0 + 1) = (2,-4,1); з
с
=(1,2,3);
АМ х
?і
=
2 -4 1
1 2 З
-4 1
2 1
2 -4
/ -
7+
2 3 1 3
7+
1 2
А
=
= -14/ -5у+8А =(-14,-5, 8);
\АМхЗ
ч
| = 7196 + 25 +64 = л/285 ;
І?,
1
= 71+4 +
9
= 714;
і
л/285
/285" ^
р(М,і,)
=
14
48
Глава 2. Аналітична геометрія
Приклад 10. Задані мимобіжні прямі
у-\
2
+
2
та Ь-,
х
+
\ у+1 2~2
1
-2 0 1 1 2-1
Написати рівняння загального перпендикуляра Ь до цих
прямих.
• Знайдемо рівняння площини Р , яка проходить через пряму Ц па-
ралельно прямій /-2 (рис. 2.2). Точка М
(
(0, 1,-2) знаходиться на прямій
І],
і, тому належить шуканій площині Р . За нормальний вектор до цієї
площини візьмемо вектор
і І к
-2 0 1
1 2 -1
= -2і-у-4*.
Рівняння площини Р:
-2х-О>-1)-4(г + 2) = 0,
або,
у загальному вигляді,
Р:
2х + у + 4г
+ 1 =
0.
Рис.
2.2
Для того, щоб скласти рівняння загального перпендикуляра Ь , знай-
демо рівняння площин Р[ та Р
2
, які проходять через задані прямі Ц і І
2
відповідно, і перпендикулярні площині Р . Маємо:
М
1
(0,1,-2)еР
1
, п
і
=[^,п] = ї-10]
+
2к, щ1Р
х
,
звідки
Р
х
:
х-\0у
+
2г
+
\Л=й.
§ 1.
Прямі лінії та площини
49
Аналогічно
Л/
2
(-1,-1,
2)єР
2
, п
2
=[з
2
,п]
= -9Ї
+
б]
+
Зк,
п
2
1Р
2
,
звідки
Р
2
:
Зх
- 2у - г
+
3
= 0.
Оскільки
Ь = Рі П Р
2
, т°
х-10у
+ 22 +
14
= 0 ;
Зх-
2у-
2+3
= 0
- загальні рівняння прямої
Ь . М
Приклад
11.
Задано координати вершин піраміди
А
Х
А
2
А^А
4
. Знайти:
1)
рівняння прямої
Ь, що
проходить через
точки
А\ і А
2
та
довжину ребра
А
{
А
2
; 2)
рівняння площини
Р,
що проходить через точки
А\, А
2
,
А$
та
площу
5
АіАгЛ
грані
А\А
2
Ат,;
3)
рівняння висоти
Н, що
опущена
з
вершини
А
4
на
грань
А
Х
А
2
А^
та її
довжину
к ; 4)
об'єм піраміди
V ; 5) кут а
між ребрами
А
Х
А
2
та
А
Х
А
4
;
6) кут Р між
ребром
А
Х
А
4
та
гран-
ню
АуА^А^
•
Координати вершин піраміди: ^(2,-1,1), Л
2
(5,
5, 4),
4,(3,2,-1), 4(4,1,3).
•
1.
Знаходження рівняння прямої
Ь, що
проходить через точки
4(2,-1, 1) та А
2
(5, 5, 4), та
довжини ребра
44 .
А
Х
А
2
=х
1
=(5-2,
5 +
1,
4-1) =
(3,
6, 3) =
3(1,
2, 1); 4(2,-1, 1)єІ ;
х-2
_ у
+
\_2-1
1
-
1
~~2
_
~~
;
|
44 | =
Зл/1
2
+ 2
2
+1
2
=
Зл/б
-
довжина ребра
4^2 •
2.
Знаходження рівняння площини
Р, що
проходить через точки
4(2,-1,1), 4,(5,5,4), 4(3,2,-1) та
площі
&а
х
а
2
а
3
г
Р
ані
444-
х-2
у+1 2-ї
З
6 3 =0
1
3 -2
Р:
або
-21(х-2)
+ 9(у +
1)
+
3(
2
-1)
= 0,
50
Глава
2.
Аналітична геометрія
-7(х-2)
+
ЗО>
+
1)
+
(2-1)
= 0,
Р:
-7х
+ Зу
+
2 + 16
= 0.
44
х
44
>А\А
2
А
3
7
]
З
6
1
З
^|
44x44
|
(-21,
9,
3)
=
3(-7,
3, 1),
5а
х
л
2
Л
3
=--3-л/49
+ 9 +
1=-л/59(кв.од.).
3.
Знаходження рівняння висоти
Я ,
що опущена
з
вершини
4И> 3)
на грань
444
(площину
Р) та її
довжини
/і.
Р:
-7х +
Зу + 2
+
16
= 0 ;
п
Р
=
(-7,
3, 1) ; 4(4, 1, 3)єЯ.
х-4
у-1 2-3
Н
:
Н
= р(А
4
,Р).
7
З 1
-7-4
+
3-1-4-1-3
+ 161
Л
/(-7)
2
+3
2
+1
2
59
4.
Знаходження об'єму піраміди
Г
К =
-
(44,44,44)
.
6
1
1
(44,
44, 44)
=
3
6 3 1 2
1
3 -2 =3-2 1 3 -
2
2 2 1 1
=
6-(-3)
=
-18
.
К=
і
|-181=3
(куб. од.)-
6
=
6
5.
Знаходження кута
а між
ребрами
44
та
44 •
44=3(1,2,1);
|44|=з7б;
44=2(1,1,1);
|44|=2л/3;
С08« •
(44,44)
_
3-2(1
+ 2 + 1)
_
4
Зл/б
2л/з Зл/2
44 144