Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Добутки векторів
21
1.18. Задані вершини трикутника Л(3,-1,5), 5(4,2,-5) і
С(-4,0,3). Знайти довжину медіани, проведеної з вершини А.
1.19. Відрізок з кінцями у точках А(3, -2) і 5(6, 4) розді-
лений на три рівні частини. Знайти координати точок ділення.
1.20. Визначити координати кінців відрізка АВ, який точ-
ками С(2, 0, 2) і 0(5, - 2, 0) розділений на три рівні частини.
§2. Добутки векторів
І.
Короткі теоретичні відомості
Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком векторів а та Ь
називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус
кута ф між ними:
(а, В) = аЬ =
|
а 11Ь | созф .
Властивості скалярного добутку.
1°.
(а, Ь) = (Ь, а) (комутативний закон).
2°.
(а, аЬ) = а(а, Ь), а є К (асоціативний закон).
3°.
(а, Ь + с) = (а, Ь) + (а, с) (дистрибутивний закон).
4°.
і і = )) = кк = 1; / ) - ]к =кі = 0.
5°.
Якщо
а = х
х
і + у
х
і + г
х
к, Ь = х
2
і +у
2
І + г
2
к ,
то
(а,Ь) =
х^х
2
+у
х
у
2
+2
1
2
2
.
6° (а,а) = а
2
=|Я|
2
;
\а\ =
іІ(а,а).
7°.
йііо(а,ї) = 0 або
х
х
х
2
+ у\у
2
+
2]2
2
= 0 (умова перпенди-
кулярності векторів).
22
Глава 1. Векторна алгебра
Проекція вектора а на Ь та кут між цими векторами визначають-
ся за формулами:
п
Р
г а =
СОЗр =
(а,Ь)
151161
Робота Л сили Р при переміщенні матеріальної точки вздовж пря-
мої з положення В в С, 5С = ? , визначається за формулою:
А = (Р,1).
Векторний добуток векторів. Векторним добутком векторів а і Ь
називається третій вектор с , що задовольняє таким умовам (рис. 1.4):
_ л _
1) |с |=| а
Ц
6 |
5
іпф, ф = (а,6) ;
2) сіа, сІЬ;
3) вектори а, Ь, с утворюють праву трійку.
Зауважимо, що вектори а,Ь,с утворюють праву трійку, якщо найко-
ротший поворот від вектора а до вектора Ь з кінця вектора с спостері-
гається проти годинникової стрілки.
А
с = а хЬ
Рис.
1.4
Векторний добуток позначається ахЬ або [а,Ь].
Властивості векторного добутку.
1°.
ахЬ = -{Ь ха) (антикомутативний закон).
2°.
а х (ай) = а(а х Ь), а є К (асоціативний закон).
3°. ах(Ь+с) = ахЬ+ахс (дистрибутивний закон).
§2.
Добутки векторів
23
4 . / х і = у х у =
А:
х £ = 0; /' х у = £, у х * = /, кхі = ) .
5 . ЯКЩО в = Х]! + У\) +
2)*
, 6 = + ^гУ + 2
2
к , то
ї 1 і
ахЬ
х\
У\ Ч
х
2
у
г
г
2
тобто а х Ь записується за допомогою визначника третього порядку;
див.
гл. З §1.
6°.
а
Ц
Ь
<=>
а х Ь = 0 або — = — = — (умова колінеарності векторів).
х
2
у
2
г
2
Площа 5] паралелограма та площа 8
2
трикутника, побудованих на
векторах а та А, обчислюються за формулами:
=|
а х
Ь
|, 5
2
=
|
а х
Ь
\.
Момент М сили Р, що прикладена до точки А тіла, відносно точки О ,
визначається за формулою:
М = ОАхР .
Мішаний добуток векторів. Мішаним добутком векторів а, Ь, с
називається скалярний добуток вектора а х Ь на вектор с , тобто (а х Ь)с .
Властивості мішаного добутку.
1°.
(ахЬ)с = -(Ьха)с .
2°.
(ахЬ)с = а(Ьхс).
Завдяки цій властивості мішаний добуток записується у вигляді
(а, Ь, с) або аЬс .
3°.
(а, Ь, с) = (Ь, с, а) = (с, а, Ь) = -(Ь, а, с) = -(с, Ь, а) = -(а, с, Ь).
4°.
Якщо
а = х{і
+
у
х
] + 2]к
;
Ь
=
х
2
і
+
у
2
]
+
г
2
к
;
с = х
3
/ + _у
3
у + г
3
к ,
то
(5,Ь,с):
*1 У]
г
\
х
2 Уг
2
2
*з /з
2
3
24
Глава 1. Векторна алгебра
5°.
Необхідна та достатня умова компланарності векторів а,Ь,с :
(а,Ь,с) = 0 або
*1 У\
2
і
Ч Уг Ч
*з Уг Ч
Об'єм У\ паралелепіпеда, побудованого на векторах а, Ь, с та об'єм
У
2
утвореної цими векторами трикутної піраміди знаходяться за формулами:
У^\{а,Ь,~с)\; У
г
=\\(а,Ь,с)\.
о
Подвійний векторний добуток. Подвійним векторним добутком век-
торів а, Ь і с називається векторний добуток двох із них, помножений век-
торно на третій. Наприклад, (охї)хс; ах(Ьхс). Інше позначення:
[[5,8],
с];
[а,[8,с]].
Подвійний векторний добуток виражається за допомогою скалярного
добутку таким чином:
(а х Ь) х с = Ь(а с) ~а(Ь с),
ах(Ь хс) = Ь(а с)-с{а Ь).
При круговій перестановці векторів а,Ь,с у подвійному векторному
добутку приходимо до трьох різних векторів:
(а хЬ)хс = Ь(а с)-а(Ь с),
(Ь хс)ха -с(Ь а)-Ь(с а),
(с хе)хЬ = а(с Ь)-с(а Ь).
II. Контрольні питання та завдання
1. Що називається скалярним добутком двох векторів?
2.
Як виражається скалярний добуток двох векторів з
використанням проекції одного вектора на другий?
3.
Перелічіть основні властивості скалярного добутку.
4.
Як виражається скалярний добуток векторів через ко-
ординати векторів у декартовій системі координат?
5.
Чому дорівнює кут ф між ненульовими векторами а та Ь1
§2.
Добутки векторів 25_
6. У чому полягає умова ортогональності (перпендикуляр-
ності) векторів а та Ь; умова колінеарності векторів а та Ь ?
7.
В якому випадку вектори а,Ь,с, взяті у заданому по-
рядку, утворюють праву трійку?
8. Що називається векторним добутком двох векторів?
9. Який геометричний зміст модуля векторного добутку
двох неколінеарних векторів?
10.
Перелічіть основні властивості векторного добутку.
11.
Запишіть формулу, за якою обчислюється векторний до-
буток векторів а = а
х
і
+
а
у
]
+
а
г
к та Ь = Ь
х
і
+
Ь
у
]
+
Ь
г
к .
12.
Що називається мішаним добутком трьох векторів?
13.
Який геометричний зміст модуля мішаного добутку трьох
некомпланарних векторів?
14.
У чому полягає необхідна та достатня умова компланар-
ності трьох векторів?
15.
Як виражається мішаний добуток трьох векторів через
координати векторів у декартовій системі координат?
///. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Знайти (2а +Ь,а- ЗЬ) , якщо | а |= 1,
|
Ь |= 2,
(5,=
• Використовуючи властивості та означення скалярного добутку, маємо
(2а +Ь,а-ЗЬ) = 2(5, а) - 6(а, Ь) + (Ь, а) - 3(6, Ь) =
= 2 |а |
2
-5 | а 11Ь
\
со$(а?Ь)- 31
&
|
2
= 2 - Юсоз—- 3-4 = -10-10— =
6 2
/7
= -10(1 + ^-). ^
Приклад 2. У трикутнику з вершинами А(2,
-1,
3),
В(-2,
2, 5), С(1, 2, 3) знайти косинус кута при вершині А .
26
Глава 1. Векторна алгебра
•
АВ = (-4,3,2), АС = (-1,3,0), тоді
-4(-1) + 3-3 + 20
соз<р =
со8(АЗ,
АС) =
(-4)
2
+3
2
+2
2
д/(-1)
2
+3
2
13
*
0,763.
Приклад
3.
Знайти векторний добуток векторів
й=27
+ з7 + 5£ та Ь=ї
+
2]+к
•
Маємо
2 3 5
1 2 1
3 5 2 5 2 3
-у
2 1
-у
1 1 1 2
-7? + 3] + к = (-7, З, І). •«
Приклад
4.
Обчислити площу паралелограма, побудовано-
го
на
векторах
с=а
+ ЗЬ
та д. =35 + 6,
якщо
|а|=|Ь|=1,
(а?6)
= 30°.
•
Маємо
с х а = (а + 36) х (За + 6) = 3(5 х 5) + о х
Ь
+
9(6 х а) + 3(6 х 6) =
= 3- 0 + 5x6 -9(ах£)+ 3- 0 = -8(5 х 6)
(оскільки 5x5 = 6x6=0, 6x5 = -(в х 6)). Тоді
8 =| с х А |= 8 | а х Ь
[=
8
•
1
•
1
•
кіпЗО
0
= 4 (кв. од.). ^
Приклад
5.
Обчислити площу трикутника
АВС, де
А(2,-1,
3), В(-2, 2, 5), С(1,2, 3).
•
Врахуємо, що 5 = = (-4,3, 2), Ь =
~АС
= (-1, 3,0). Тоді
і у А
ах6 =
-4 3 2
-13 0
= -6г - 2у - 9к ,
звідки
15x6
І=л/36
+ 4 + 81
=л/ш=11:
5=-'~
г
,
а х 6
1=
—11
= 5,5 (кв. од.). •<
2 2
§2.
Добутки векторів
27
Приклад 6. Знайти мішаний добуток векторів
а=2і-і-к, 6=/+Зу'-&, с = і+^
+
4к.
• (а, Ь, с) =
2 -1 -1
1 3 -1
1 1 4
= 2
3 -1
1 -1
-1
1 3
+
1
-1
1 4 1 4 1 1
= 26 + 5 + 2 = 33.-4
Приклад 7. Задані вершини трикутної піраміди А(3, 2,1),
В(-2,1,
-2), С(-1, 2, 3), Я(1, -2, 3). Знайти її об'єм.
• а = АВ = (-5,-1,-2), 6 = ЛС = (-4,0, 2), с = 15 = (~2,-4,2).
-5 -1 -З
(а,Ь,с) =
4 0 2
•2 -4 2
-48 + 4-40-8 = -92.
1 46
Отже, об'єм трикутної піраміди V = — | -921= — (куб. од.). Ч
6 З
Приклад 8. Показати, що вектори
5,
=(1,-1,
2), 5
2
=(2,2,-1),
5
3
=(2,1,0)
утворюють базис у У
3
.
• Враховуючи, що базисом у У
3
є три некомпланарні вектори, розв'я-
зання зводиться до перевірки виконання умови компланарності трьох векторів:
1-1 2
(а
х
,а
2
,а
г
) = 2 2-1 =
1 • 1
-(-1)
•
2 + 2(2 - 4) =
1
+ 2 - 4 = -1 * 0 .
2 1 0
Таким чином, вектори некомпланарні, утворюють базис у У
3
.^
Приклад 9. Задано вектори 5 = (2,3,0), 6=(1,-2,2),
с = (3,2,1).
Визначити:
1) довжину вектора а: \а\;
2) скалярний добуток векторів а та &: (а, Ь);
28
Глава І, Векторна алгебра
3) косинус кута між векторами а та і;
4) векторний добуток векторів а та Ь
:
а х
Ь
;
5) мішаний добуток векторів а, Ь, с: (а,Ь,с);
6) чи колінеарні вектори а і Ь;
7) чи компланарні вектори а, Ь, с.
• 1. \а\=^а] +а\+а\ =л/4 +
9
+ 0 = л/ЇЗ .
2. (5,6) = ^6, + а
2
6
2
+
а
з*3 = 2-1 +
3-(-2)
+ 0-2 = -4.
(5,6) -4 4
3.
со«(а , 6)
5І 6І л/ЇЗл/і + 4 + 4 Зл/ІЗ
4.
а хб =
1 у *
2 3 0
1 -2 2
3
0 2 0
_
2
3
і - у +
-2 2 1 2 1 -2
/1
=
= 6 і-4 у-7 £=(6,-4,-7);
І
а х £[ = д/б
2
+ (-4)
2
+ (-7)
2
=л/36+16 + 49 = л/ЙЇЇ .
«і
а
2
а
3
2 3 0 2 3 0
5.
(5, 6, с) =
&3
=
1 -2 2
=
-5 -6 0
С
1
с
2
с
з
3 2 1 3
2 1
2 З
-5 -6
= -12 +
15
= 3.
6. Умова колінеарності векторів а і Ь : — =
—=-
=
Я] а
2
#з
*1 *2 *3
2 3 0 - . г
—
Ф
— ^
—
=> оіі не колінеарні.
1-2 2
7.
Умова компланарності векторів а , 6 , с : (5, 6, с) = 0 ;
(5,6,
<?) = 3 * 0 => вектори 5, 6 , с не компланарні. -4
\
§2. Добутки векторів
29
IV. Задачі для практичних занять
л
1.21.
|
а
х
|= 3,
|
а
2
\- 4, (а
х
, а
2
) -
2тс/3.
Обчислити:
а) а
х
= а
х
а
х
; б) (З^ -25
2
)(аі
+
2а
2
) ; в) (а]+й
2
) .
1.22. \а
х
|=3, | 5
2
|=5. Визначити, за якого значення а
вектори Ь=а
х
+сш
2
та с - а
х
-аа
2
перпендикулярні.
1.23. Визначити довжину діагоналей паралелограма, по-
будованого на векторах а = р-ЗЦ, Ь =5/3 + 2^, якщо відо-
мо,
що
І
р |=
І
<71= 3 та (р , д) = я/4 .
1.24. Визначити кут між векторами а і Ь, якщо відомо,
що
(а-Ь)
1
+
(а
+
2Ь)
2
=20 та
\
а |= 1, |£|=2.
1.25. Обчислити пр
5+
^(2а-Ь), якщо |а|=|6|=1 та
(а?£) = 120°.
1.26. Знайти кут, утворений одиничними векторами е
х
і
е
2
, якщо відомо, що вектори а = е
х
+2е
2
та Ь = 5е
х
-4е
2
пер-
пендикулярні.
1.27. Задано вектори а
х
- (4, - 2, - 4) і а
2
- (6, -
3,
2). Об-
числити: а) а
х
а
2
; б) (2а
х
-За
2
)(а
х
+2а
2
) ; в)(5}-а
2
) ;
г) \2а
х
-а
2
|; д) лр
й
а
2
; е) ир
Й2
^ ; є) напрямні косинуси
Л
вектора а
1
; ж) пр
Пх+аі
(а
х
-2а
2
); з) соз^ ,3
2
).
1.28. Задано точки Л(2, 2) і 5(5,-2). На осі абсцис
„
л _
знайти таку точку М , щоб (АМ , МВ) = тс/2 .
1.29. Для заданих векторів а, Ь і с обчислити
пре (2а- ЗЬ):
а) а = -/
+
2]
+
к, Ь - Зі
+
і
+
к, с - 4і
+
Зі ;
б) я = / - 2у + 3&, 6 = -3/
+
2] - к , с - 6і
+
2}
+
Зк .
зо
Глава 1. Векторна алгебра
1.30. Обчислити роботу сили Р = і + 2у' +
Л
при пере-
міщенні матеріальної точки з положення А(-1, 2, 0) у положен-
ня
5(2,1,
3).
1.31. Знайти координати вектора х, колінеарного вектору
а = (2,1,-1) і такого, що задовольняє умові (а, х) = 3.
1.32. Вектор х, перпендикулярний вектору а
х
=(2,3,-1) та
вектору а
2
=(1,-2,3), задовольняє умові х(2і -у
+
к) = -6 .
Знайти координати вектора х.
л
1.33.
І
а, |=
1,
\а
2
|= 2 і (а
х
, а
2
) = 2л/3 . Обчислити:
а) |[5,, а
2
]\; б)
\
[2а
х
+а
2
, а
х
+2й
2
]|;
в)
|
[а
х
+
3а
2
, За
х
-а
2
]
\
.
1.34. Якій умові повинні задовольняти вектори а
х
і а
2
, щоб
вектори Ь - а
х
+
а
2
та с = - а
2
були колінеарні?
1.35. Спростити вирази:
а) [ї, ]
+
к]-[],І +к]
+
[к,ї +] +к];
б) [а +Ь
+
с, с]
+ [а + Ь +
с,
Ь] + [Ь
-с, а];
в) [2а +6, с -а]
+ [Ь
+с, а
+
Ь];
г) 2І[],к]
+
3][і,к]
+
4к[ї, ]].
1.36.
|
а |=| 6 |=5, (а,Ь) = п/4. Обчислити площу три-
кутника, побудованого на векторах с = а - 2Ь та сі = За + 2Ь .
1.37. Задано вектори = (3,
—
1,
2) і а
2
= (1,2,-1).
Знайти координати векторів:
а) [5], а
2
]; б) [2а
х
+а
2
, а
2
]; в) [2а
х
-а
2
, 25] + а
2
].
1.38. Обчислити площу трикутника з вершинами
Д1,1,1),
5(2,3,4) та С(4, 3, 2).