Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

Прямі лінії

та

площини

6. Знаходження кута р між ребром А\Ац та гранню

А\А

А-

^=2(1,1,1); «,=(-7,3,1);

|=2л/3;

|й

|=л/59;

зіпР =

|2(-7 +

+ 1)|_ 6

2л/з759

~2л/Зл/59

Приклад 12. Знайти: 1) проекцію точки М на пряму Ь ;

2) точку М', симетричну відносно прямої Ь .

Ь:^

= -^ = ^, М(0,1,2).

2 -1 1

•

1. Знайдемо рівняння площини Р, такої, що Р±Ь, М еР . Вра-

хуємо, що п

= ?

(2,-1,

1):

Р:

2(х-0)-1(7-1) +

1(2-2)

= 0,

/>:

2х-7 +

2-1

= 0.

Точка К перетину прямої Ь та площини Р і буде проекцією точки

М на пряму і . Знайдемо цю точку.

|х = 2? + 1,5;

х-1,5 у _ 2-2

2х-у

г-\ = 0 ,

= -г;

2=1+2;

2х-7

2-1=0,

2(2г + 1,5) + / +

+ 2-1 = 0

6г = -4,

•

_4 3

3 2 ~ 6

2 2 „ 4

у = - ; 2 = — + 2 = - .

3 3 3

1 2 4

Точка АГ(—, —, —) - проекція точки М на пряму Ь .

6 3 3

Для знаходження точки М', симетричної відносно прямої Ь , ско-

ристаємося формулами:

Ук

Ум

+Уі

Глава 2. Аналітична геометрія

Звідки

м'

м ' Ум' " 2у

Ум

^,=2.--0 = -, >>=2.--1=-, ^=2

-2

=Т

1 1 2

Таким чином, А/'(—, —, —) - точка, симетрична точці М відносно

прямої Ь. -4

Приклад 13. Знайти: 1) проекцію точки М на площину ();

2) точку М', симетричну відносно площини ()•

0: 2х-2>> + 102 +

= 0, М(-2,0,3).

• 1. Знайдемо рівняння прямої Ь такої, що М є І, £_І_<2- Вра-

хуємо, що ?і = «

= (2, -2,10):

* + 2 _ у _2-3

2 ~^2~~ 10

Точка АГ перетину прямої Ь та площини і буде проекцією точки

М на площину (). Знайдемо цю точку.

х = 2г-2; ^

2 :-3

2 -2 10

2х-2у + 102 +

= 0 ,

= і ;

= -2 / ;

2 = 10/ + 3 ;

2х-2у +ІОг +

= 0 .

2(2/-2)-2(-20 + Ю(10/ + 3) +

= 0,

27 1

108? = -27,

= -— = --,

108 4

х =

2-(-1)-2=-2,5;

у = -2 •(--) = 0,5;

= 10-(--) +3 = 0,5.

4 4 4

Точка К(-2,5; 0,5; 0,5) - проекція точки М на площину .

Для знаходження точки М', симетричної відносно площини £),

скористаємося формулами:

2х

—

, у

. = 2у

—

, 2

, = 2г,,

—

,=2-(-2,5) + 2 = -3, у

, =20,5-0 = 1, г

. = 2-0,5-3 = -2 .

Таким чином,

М'(-3,

1,-2) - точка, симетрична точці М відносно

площини 2 • ^

§1,

Прямі лінії та площини

IV. Задачі для практичних занять

У задачах 2.1 - 2.3 необхідно:

1) написати рівняння прямої, звести його до загального

вигляду та побудувати пряму;

2) звести загальне рівняння до нормального вигляду і вка-

зати відстань від початку координат до прямої.

2.1.

Пряма / задана точкою М

(х

, у

) є І та нормальним

вектором Я = (А, В):

а)М

(-1,2), Я =(2, 2);

б)М

(2,1), Я = (2,0);

в)М

(1,1), Я = (2,-1).

2.2.

Пряма / задана точкою М

(х

, _у

) є / та напрямним

вектором ? = (т, п):

а)М

(-1,2), * =(3,-1);

б) М

(1,1), ? = (0,-1);

в) М

(-1,1), £ = (2,0).

2.3.

Пряма / задана двома точками М] (х

, у

) та М

(х

, у

)'•

а) А/,(1,2), М

(-1,0);

б)М,(1,1), М

(1,-2);

в)М,(2,2), М

(0,2).

2.4.

Задані пряма / та точка М . Необхідно:

1) обчислити відстань р(М,/) від точки М до прямої /;

2) написати рівняння прямої /', яка проходить через точку

М перпендикулярно заданій прямій /;

3) написати рівняння прямої /", яка проходить через точку

М паралельно заданій прямій /.

Вихідні дані:

а) /: -2х + ^-1 = 0, М(-1,2);

б) /: 2^ +

= 0, М(1, 0);

в) /: х + ^ +

= 0, М(0,-1).

У задачах 2.5-2.8 дослідити взаємне розташування зада-

них прямих /, і /

При цьому, якщо /,

, знайти відстань р(/,, /

)

між прямими, а якщо ж прямі перетинаються, то знайти косинус

кута між ними і точку М

перетину прямих.

2.5. /, : -2х

у-1 = 0,

2.6./,: ї-± = ї,

-2 Г

2.7./,: х-у

+ 1

= 0,

2.8. /, : х + у -1 = 0 ,

2.9. Задані площина Р і точка М . Написати рівняння пло-

щини Р', яка проходить через точку М паралельно площині

Р,

та обчислити відстань р(Р, Р'), якщо:

а)Р: -2х

у-г + \ = 0, М(1,1,1);

б) Р: х-у -1 = 0, М(1,1,2).

2.10. Написати рівняння площини Р', яка проходить через

задані точки М

і М

перпендикулярно заданій площині Р,

якщо:

а) Р: -х

у-1 = 0, М,(1,2,0), М

(2,1,1);

б)Р:

2х-у

+ 1

= 0,

М,(0,1,

1), М

(2,0,1).

2.11.

Написати рівняння площини Р, яка проходить через

точку М паралельно векторам а, і а

, якщо:

а) А/(1,1,1), й,=(0,1,2), а

= (-1,0,1);

б)

М(0,1,

2), щ = (2, 0,1), а

(1,1,

0).

2.12.

Написати рівняння площини Р, яка проходить через

точки М, і М

паралельно вектору а , якщо:

а) М, (1,2,0), М

(2,1,1), 5 = (3,0,1);

б) М,(1,1,1), М

(2,3,-\), а

=(0,-1,

2).

: 2у +1 = 0. .

2 _ у

і ~"о'

: 2х - 2у +1 = 0.

х у

2 •

Прямі лінії та площини

2.13.

Написати рівняння площини Р, яка проходить через

три задані точки М

, М

та М

, якщо:

У задачах 2.14-2.15 дослідити взаємне розташування за-

даних площин

Р]

і Р

. При цьому, якщо Р] \\Р

, знайти відстань

р(Р[,

) між площинами, а якщо ж площини перетинаються,

знайти косинус кута між ними.

2.14. Р

\-х

2у-2 + \ = 0,Р

: ^ + 3г-1 = 0.

2.15. Р

:2х-у

г-1 = 0, Р

: - 4х + 2у - 2г -1 = 0 .

2.16. Обчислити об'єм піраміди, обмеженої площиною

Р:

2х - Зу + 6г -12 = 0 та координатними площинами.

2.17. Скласти рівняння площини Р, яка проходить через

точку А(\, 1,-1) та перпендикулярна до площин Р

}

: 2х - у +

+ 5г + 3 = 0 і Р

:х + 3.у- 2- 7 = 0.

2.18. Пряма Ь задана загальними рівняннями. Написати для

цієї прямої канонічне рівняння та рівняння у проекціях, якщо:

2.19. Написати канонічні рівняння прямої Ь, яка проходить

через точку М

(2, 0,-3) паралельно:

а) вектору ? = (2,- 3, 5);

а) М,(1,2,0), М

(2,1,1), М

(3,0,1);

б) М,(1,1,1), М

(0,- 1, 2), М

(2, 3,-1) .

б) прямій Ц :

х-1_

2 +

5 2

-1

в) осі Ох;

г) осі 02;

Глава 2. Аналітична геометрія

е) прямій Ь

'х = -2+ І ;

у = 21 ;

2= 1-і

12.

2.20. Написати рівняння прямої Ь, яка проходить через дві

задані точки М

та М

, якщо:

а)М,(1,-2,1), М

(3,1,-1);

б) М,(3,-1,0), М

(1,0,-3).

2.21.

Задані пряма ^~^~~^

~^~

1 точка

М(0,1,2)££

(перевірте!). Необхідно:

а) написати рівняння площини Р, яка проходить через пря-

му Ь і точку М ;

б) написати рівняння площини Р

, яка проходить через

точку М перпендикулярно прямій Ь ;

в) написати рівняння перпендикуляра, що опущений з точ-

ки М на пряму Ь ;

г) обчислити відстань від точки М до прямої Ь р(М, Ь) ;

д) знайти проекцію точки М на пряму Ь.

2.22.

Задані площина Р:х

у-2

\ = 0 і пряма

Ь : ~~

~" - ——, причому Ь £ Р (перевірте!). Необхідно:

а) обчислити §іп(Р , Ь) та координати точки перетину пря-

мої і площини;

б) написати рівняння площини (?, яка проходить через

пряму Ь перпендикулярно до площини Р;

в) написати рівняння проекції прямої Ь на площину Р.

2.23.

Знайти відстань між паралельними прямими

х-2

у +

2 , х-1 у-1 2-3

Ь : = =

—

та

Ь-у

: = = .

З 4 2 3 4 2

§1.

Прямі лінії та площини

2.24. Знайти відстань від точки А(2,

-1) до заданої прямої Ь:

х = Зі

2х-2у + 2+ 3 = 0;

ІЗх- 2^ + 22 + 17 = 0,

У= 21;

г = -21-25.

2.25. Довести, що прямі

[2х + 2.у-2-10 = 0; . х + 1 у-5 2-9

[ х-

у-г-22

= 0 3 -1 4

паралельні та знайти відстань р(/,

, Х

2.26. Скласти рівняння прямої Ь , яка проходить через точ-

ки перетину площини Р:

х-3д>

+ 2г +

= 0з прямими

х-5_^+1_2-3

. _

х-3_у+4_2-5

'5-2-1 ^4-62

2.27. За якого значення X площина Р:

5х-Зд>+А2+1=0

буде

паралельна прямій

Гх

-42-1 = 0;

{ 7-32 + 2 = 0,

2.28. Знайти рівняння проекції прямої Ь: *^

на площину Р: х-З^- 2 + 8 = 0.

2.29. Визначити кут між прямою

2-2 = 0;

[2х + у - 2 -

= 0

і площиною Р, яка проходить через точки Д2,3,-1), 5(1,1,0),

С(0,-2,1).

У задачах 2.30 - 2.31 для заданих прямих Ц і £

необхідно:

а) довести, що прямі не лежать в одній площині, тобто яв-

ляються мимобіжними;

б) написати рівняння площини, яка проходить через пряму

паралельно Ь

;

в) обчислити відстань між прямими р(Ц, Ь

);

Глава 2. Аналітична геометрія

г) написати рівняння загального перпендикуляра до пря-

мих Ь

і Ь

х у-9_г+2 х—2_ у _^ + 7

2.30. Ь

1 -З

2 •

2.31.

^ =£±1 = ^ = ^4,^

З -2 З

2-2 9

х-1 у + 8 2 + 12

1 -1

§2. Криві та поверхні другого порядку

І. Короткі теоретичні відомості

Криві другого порядку. Загальне рівняння кривої другого порядку:

Ах

+ 2Вху + Су

+ Ох + Еу + Р = 0,

де \А\+\В\ + \С\*0.

Еліпс. Канонічне рівняння еліпса:

2 2

^г

~ = 1, 0<Ь<а.

2 ,2

а Ь

Еліпс має форму, що зображена на рис. 2.3.

Ох

Рис.

2.3

Параметри а та Ь - півосі еліпса; точки

А\(-а,

0), А

(а, 0),

2?!

(0,-6), і?

(0, Ь) - його вершини; осі Ох, Оу - головні осі еліпса, вісь

§2. Криві та поверхні другого порядку

Ох - фокальна вісь; точка О - центр еліпса. Точки Р

(-с, 0), Р

(

> 0), де

= V

а -

Ь > 0 - фокуси еліпса; Г], г

- фокальні радіуси точки М , що

2 2

належить еліпсу. При а = Ь маємо х + у = а - рівняння кола.

Число є =

—

(0 < є < 1)

—

ексцентриситет еліпса (при є = 0 маємо коло).

Прямі й\ : х =

— —

та В

: х = —, що перпендикулярні фокальній осі, -

є є

директриси еліпса.

Гіпербола. Канонічне рівняння гіперболи:

^-^

= 1, а,Ь>0.

Гіпербола має форму, що зображена на рис. 2.4.

Параметри а та Ь - півосі гіперболи; точки А

(-а, 0), А

(а, 0) -її

вершини; осі симетрії Ох та Оу -дійсна і уявна осі; точка О - центр гіпер-

боли. Прямі у = ±

—

х - асимптоти гіперболи.

Точки Р\{-с, 0), Р

{с, 0) , де с = ^а

> 0 - фокуси гіперболи;

Г],

- фокальні радіуси точки М , Що належить гіперболі.

о.

£>

^о

^(х,у)

Рис.

2.4

Число є =

—

(1<с<+оо)-

ексцентриситет гіперболи.

Прямі £>і : х =

——

та Б

: х = —, що перпендикулярні дійсній осі, -

є є

директриси гіперболи.

Глава

Аналітична геометрія

Парабола. Канонічне рівняння параболи:

у =2рх, р > 0 .

Парабола має форму, що зображена на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Число р - параметр параболи, точка О - її вершина, вісь Ох - вісь

симетрії параболи.

Точка ^Т"^"» 0) ~ фокус параболи, г - фокальний радіус точки М

параболи.

Пряма £>: х = , що перпендикулярна осі симетрії параболи, -ди-

ректриса параболи.

Величина р = р(М,0) - відстань від точки М до її директриси.

Ексцентриситет параболи є =

—

= 1.

Поверхні другого порядку. Загальне рівняння поверхні другого порядку:

Ах

+ Ву

+ Сг

+ ІОху

2Ехх

2Руг + Сх + Ну + ]г + К =0 ,

де \А\ + \В\ + \С\ + \й\ + \Е\ + \Р\Ф0.

Наведемо канонічні рівняння наступних поверхонь.

Еліпсоїд:

Гіперболоїд

а) однопорожнинний:

2 2 2

+ і

+ £

= 1

(Р

ис

а Ь с

~ с

(рис.

2.7, а);