Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Індивідуальне завдання 1.
311
15.
Р : правильна чотирикутна піраміда, обернена вершиною вниз.
Сторона основи піраміди дорівнює а = 2 м, висота Я = 6 м.
16.
Р : зрізаний конус, у якого радіус верхньої основи Я
}
=
1
м, ниж-
ньої - К
2
= 2 м, висота Я = 3 м.
17.
Р
:
циліндрична цистерна, радіус основи якої К = 1 м, довжина / = 5 м.
18.
Р : правильна трикутна піраміда, обернена вершиною вниз, сто-
рона основи якої а = 4 м, висота Я = 6 м.
19.
Р : конус, обернений вершиною вниз, радіус основи якого К = 3 м,
висота Я = 5 м.
20.
/": зрізаний конус, радіус верхньої основи якого Я
]
= 3 м, ниж-
ньої основи К
2
=
1
м
> висота Я = 3 м.
21.
/>: правильна чотирикутна зрізана піраміда, сторона верхньої
основи якої а = 8 м, нижньої - Ь = 4 м, висота Я = 2 м.
22.
Р
:
параболоїд обертання з радіусом основи Я = 2м, глибиною Я = 4 м.
23.
/> : половина еліпсоїда обертання, радіус основи якого Я =
1
м,
глибина Я = 4м.
24.
Р : циліндр з радіусом основи Я = 1 м і висотою Я = 3 м.
25.
Р : півсфера радіуса Я = 2м.
26.
Р : правильна шестикутна піраміда з вершиною, оберненою вниз,
сторона основи якої а = 2 м, висота Я = 6 м.
27.
/>: правильна шестикутна піраміда з вершиною, оберненою вниз,
сторона основи якої а =
1
м, висота Я = 2 м.
У варіантах 28 - 31 треба: обчислити кінетичну енергію тіла Р , що
обертається навколо заданої осі з постійною кутовою швидкістю м>.
28.
Р : круглий диск маси М, радіуса Я ; вісь обертання проходить
через його центр перпендикулярно до його площини.
29.
Р
:
круговий циліндр, радіус основи якого Я, висота Я ; вісь обертан-
ня - вісь циліндра; густина матеріала, з якого зроблено циліндр, дорівнює у.
30.
Р : однорідна трикутна пластинка з основою а висоти Н ; вісь
обертання - основа трикутника; густина матеріала пластини дорівнює у.
31.
Р : круговий конус маси М , радіус основи Я , висота Я ; вісь
обертання - вісь конуса; густина матеріала, з якого зроблено конус, дорів-
поє у.
312
Глава 5. Типові розрахункові завдання
§2. Індивідуальне завдання 2.
Функції багатьох змінних
Задача 1. [ гл.2, § 1, приклад 1 ]
Знайти та побудувати область визначення Б даної функції.
1. м:
3.
и-
5.
и
7. и
9. и
11.
и
Варіанти завдань
•4У
2
-2Х+4
. 2. и = ф-х
2
-у
2
.
л/ч-х
2
-2у
2
. х і—
=
агсзіп — + у]ху .
1п(1 +
2-х
2
-у
2
)
'
1п(-х
2
-у
2
+4г).
х'+у).
13.
и =
15.
и
17.
и
19.
и
21.
и
2
2 2
.хуг
1
+ — + -
4 9 16
:
агс5Іп(х
2
+ у
2
-5) .
= ^х + у + г .
у
= агсі§ —.
і = х +
д/д
Х
+ д/Х
2
-у
2
23.
м
25.
н
27.
и = 1п(-х-у)
29.
и
2
2 2
2
-X -у
4.
и =
7^
6. « = агссоз—.
х
8. и =
4ху
х - 3 у +1
10.
и = 1п(1-х
2
-у
2
+2
2
).
12.
и = у](х + 2)(у-3)
14.
м
=
1 1
: + -
16.
м = 1п(22
2
-6х
2
-Зу
2
-6),
^л/і-х
2
+^\-у
2
. 18. м = л/х
2
-4+7^
20.
и = агсзіп(х
2
+ у
2
- 3) •
• х
22.
м = агсзіп —.
24.
и = д/25-х
2
-у
2
-г
2
1
26.
М
:
ІП(1-Х
2
-у
2
-2
2
)
28.
и = агс5Іп(х + у).
=
л/х
2
+ у
2
-1 +1п(4-х
2
-у
2
).
§2.
Індивідуальне завдання
2, 313
1.
2
= агсі§(х
2
+ у
2
).
2.
2
= агссо8(х-у
2
).
3.
2
=
1п(3х
2
-/).
4.
2
= агсзіп
(х
2
+ у).
5.
2
=
5ІП-у/х-у
3
.
6.
2
=
л/3х
2
~2у
2
+5
7.
2
=
агсї£дс
2
+у[у .
8.
2
= 1п(^-1).
9.
2
= ст%(3х-2у).
10.
2
= агсІ§(2дг
- у) .
11.
2
X
І
=
агсі§—.
У
12.
2
х
3
=
агс!§—.
У
13.
2
= ^3х
2
-у
2
+х .
14.
2
=
-^х
2
+
у
2
-2ху
15.
2
= \п(3х
2
-у
2
).
16.
2
=
\п(х
+
ху - у
2
) .
17.
2
=
С08(Х
2
- у
2
) + Х
3
.
18.
2
= агсзіп ху-Зху
2
19.
2
= соз(д:
3
- 2ху).
20.
2
=
Г£(*У).
21.
2х-у
2
22.
х-у
21.
2
—
Щ
X
22.
2
-соз
.
х
+у
23.
2
.
х
=
СІ§—.
У
24.
2
= СІ§
/—.
\х-у
25.
2
26.
2
= агсзіп
*[ху .
27.
2
=
агс8Іп(2дг
3
у).
28.
2
= агссоз(х->'
2
).
29.
2
2х-у
2
=
*8 —
•
X
ЗО.
2
= \г\(Зл[х-Лу).
31.
2
=
агс8Іп(х-}
,|/2
).
30.
и =
уІ9-х
2
-у
2
+л/*
2
+У
2
-4 .
31.
и = ^\ + х-у
2
+^\-х-у
2
.
Задача
2. [ гл.2, § 1,
приклади
6, 7 ]
Знайти частинні похідні першого порядку
, і
повний диферен-
дх
ду
ціал
аг
функції
2 =
/(дг,
у).
Варіанти завдань
314
Глава 5. Типові розрахункові завдання
Задача 3.
[гл.2,
§ 1,
приклад
20 ]
Задана функція г = /(х,у). Перевірити, чи задовольняє ця функція
3
2
г д
2
г
заданому рівнянню; перевірити, що = .
дхду дудх
Варіанти завдань
і і / 2 2\ 1 дг 1 дг і
1.
г = у1п(х -у
г
); —— + -— = —.
х дх у ду у
А
-і
х
& ,
2. г = АГС5ІП ; х— + у— = 0.
х + у дх ду
, х
2
х 1 1
2
дг
7
дг х
3
3.
г = — +
—
+ — + —; х — + у — = —
•
2у 2 х у дх ду у
4
2
_ У 1 Й2 1 Й2 _ 2
(х
2
-у
2
)
5
' X Зх
>>
Зу ~ V
2
'
с .У Зг Зг
5.
г = хагсі£—; х—- + у— = г.
6. 2 =
10.
2 = ,
дх ду
х + у дг дг _ х + у
х-у
дх ду х-у
д
2
г д
2
г
7.
г = 1п(х
2
+у
2
); ^ + ^
= 0
.
Зх
2
ду
2
8.г
=
А
/^7; Т
+
¥ =
дх ду 2
. У ї>
2
г д
2
г
п
9. г =
агсі§—;
—- + —т- = 0.
х дх
2
ду
2
-со5(л+оу).
2 3
2
г _ 3
2
г
0
.2 ~ 3..2 •
Зх
2
Зу
2
,. і/2 2
ч
дг дг
11.
г = 1п(х
2
+ху + у
2
); х—+ у—= 2.
Зх ду
\2.
г = х
у
•
у* \
х
^-+ у^- = г(х + у + 1пг) .
Зх Зу
§2,
Індивідуальне завдання 2.
315
13.
г = ху + хе
х
;
2х + 3у
ш
2
2 '
х
г
+ у
л
14.
г--
15.
г = 1п(л/х +у[у);
16.
г = е
2
зіп
™_21 І-
4 2
17.
2 = л/х зіп— ;
18.
г = (х
2
+у
2
)
1§
-;
У
19.
2 = Ще* +е
у
);
20. г =
е
Нх+3у)
зіп(х + Зу); 9
21.
2
= е^;
22.
2
= хіп
—;
х
23.
г = Щх + е~
у
);
25.
2
=
х + у
26.
2 = Іп- + х
3
-у
3
;
27.
2 = 1п(х
2
+(у + 1)
2
);
дг дг
X —+
У—=
Ху
+
2
.
дх ду
дг дг
Л
х
—+у—+
2 = 0.
Зх
ду
дг_
дг_
=
}_
дх ду 2
'дг_
+
32
>
Зх
Зу
І
х • 2 У
= — Є
81П — .
Зг
Зг _ г
Зх
Зу 2
Зг
Зг
х—— +
у—
=
2г .
Зх
Зу
Зг
Зг
— +
— = 1.
Зх
Зу
З
2
-
з
2
-
9^4+^4=0.
Зх
2
2
--
2
ду'
2
д
2
2
2
д
2
2
х —--у
Зх
2
ду
2
дг дг _
Зх
Зу
Зг
3
2
г Зг 3
2
г _
Зх
ЗхЗу Зу дх
2
24.
г = 1п(х
2
+у
2
+2х + 1); ^!і
+
і!і = о.
Зх
2
^-
2
ду
1
•
2г.
дг дг
дх ду
дг дг „, •> і.
Х
— + У— =
ЦХ
3
-у
3
),
дх ду
— +
— = 0
Зх
2
+
*~
2
ду
2
316 Глава 5. Типові розрахункові завдання
1.
2
—
1 + 15х-2х
2
-ху-2у
2
.
2.
2
=
1 3
--(Зх + 2>>)
3
+-х
2
+у
2
+2ху + у
3.
и =
х
2
+у
2
+2
2
-4х + 6у-2г .
4.
2
=
--(2х + 3у)
3
+х
2
+-у
2
+3ху-у
6 2
5.
М
=
х
3
+у
3
+2
3
+\2ху
+ 2г .
6.
2
=
-~(2х + уУ +х
2
+]-у
2
+ху + у.
6 2
7.
и =
9
2 2
Х~+_у
+2
+Ху-Х-у-22.
8.
2
-
-і(х
+ 2у)
3
+ ~х
2
+ у
2
+ 2ху - у .
9.
и =
ху
2
г
3
(\-х-2у-3г).
10.
2
=
•і(3х
+ 2у)
3
+|х
2
+у
2
+2ху + у.
11.
2
=
х
3
+у
2
-6ху-39х + І8у + 20 .
12.
2
=
\(-2х + у)
3
- х
2
+і
у
2
+ ху - 3у .
о 2
13.
2
= 2х
3
+2у
3
-6ху + 5.
14.
2
=
•^(2х + .у)
3
+х
2
+|.у
2
+ху + у.
Л
д
2
2
2
д
2
2
Зх'
•-у
ду
2
= 0.
2
дг 2 г.
х ~—ху— + у'=0.
дх ду
а
2
-
д
2
2
х — + 2ху^
Г
+ у
дх
Зх
2
•
2ху
ЗхЗу
2
д
2
-
ду
2
З
2
-
= 0.
+
у'~ + 2ху2 = 0.
дхду ду
у
2
29.
г = -—і- агсзіп (ху);
Зх
30.
2=^-;
х
31.
г = є";
Задача 4. [гл.2, § 2, приклади 4, 5 ]
Дослідити на екстремум вказані функції.
Варіанти завдань
§2.
Індивідуальне завдання 2.
317
15.
2
= 3х
3
+3у
3
-9х>> + 10.
16.
2 = |(х + 2у)
3
+^х
2
+ у
2
+2ху-у .
17.
2 = -Ах
2
- 2у
2
+ 2ху + 40х + 60у - 700.
18.
2
= - -2у)
3
+ |х
2
-у
2
-2ху + 3у.
19.
2
= -2х
2
-Зу
2
+ 2х>> + 100>>-800.
20.
2
= і(-3х + 2у)
3
- ~х
2
+ у
2
+ 2ху - 5у
21.
2
= х
4
+у
4
-2х
2
+4ху-2у
2
.
22.
2 =
х
3
у
2
(]-х-у).
23.
2 = х
3
+8у
3
-6ху + 5 .
24.
2 = х
2
+ ху + у
2
- 6х - 9у .
25.
2
= ху(6-х-у) .
26.
2 = х
3
+у
2
-6ху-39х+18у + 20 .
27.
2
= х
2
+ у
2
-ху + х + у .
28.
2
—
х
2
+ху + у
2
—
2х - у .
29.
2
=
1
+ 6х-х
2
- ху-у
2
.
30.
2 = 3х
3
+3у
3
-9ху + 10.
31.
2
= 6(х-у)-3х
2
-Зу
2
.
Задача 5. [ гл.2, § 2, приклад 7 ]
Знайти найбільше та найменше значення функції г = /(х,у) у замкне-
ній області й . Зробити рисунок області Б .
Варіанти завдань
1.
2 = х
2
+3у
2
+х-у , Б: х = 1, у = 1, х + у = 1.
1 ,
2
2.
2 = —х -ху, й:у = %,у = 2х.
3.
2 = 3х
2
+3у
2
-2х-2у + 2, О:х = 0,у = 0,х + у-\ = 0.
318
Глава 5. Типові розрахункові завдання
4.
2 = 2х
2
+ 3у
2
+1,
5.
2
= х
2
-2ху-у
2
+4х + \,
6.
2 = 3х
2
+3у
2
-х-у + 1,
7.
2
і 1 і
= 2х
2
+ 2ху-—у
1
-4х,
8.
2 = х
2
-2ху + ^у
2
-2х,
9.
2
= ху - Зх - 2у,
10.
2 = х
2
+ху-2,
11.
2
= х
3
+ у
3
- Зху ,
12.
2 = 4(х-у)-х
2
-у
2
,
13.
2
= х
2
- ху + у
2
-4х,
14.
2
= ху + х + у,
15.
2
= ху,
16.
2
= \-х
2
-у
2
,
17.
2
= *У
2
,
18.
2
= х-2у + 5,
19.
2
= х + у,
20.
2
= х-2у + 5,
21.
2
= Зх + у - ху,
22.
2 = ху-х-2у,
23.
2
= х
2
+ 2ху-4х + 8у,
24.
2 = 5х
2
-Зху + у
2
,
25.
2
= х
2
+ 2ху-у
2
-4х,
26.
2
= х
2
+у
2
-2х-2у + 8,
27.
2 = 2х
3
- ху
2
+ у
2
,
28.
2 = Зх + 6у - X
і
- ху - у
2
,
29.
2 = х
2
- 2у
2
+
4ху-6х-1,
£»:
у = 0,у = ^х
2
.
£>:
х = -3, у = 0, х + у +1 = 0.
£>:
х = 5, у = 0, х-у-\ =
:0 .
£>:
х = 0, у = 2, у = 2х.
£>:
х = 0, х = 2, у = 0, у =
:2.
£>:
х = 0, х = 4, у = 0, у -
:4.
£:
:у = 4х
2
-4, у = 0.
0: х = 0, х = 2, у =
-1,
у = 2.
£>:
х + 2у = 4, х - 2у = 4, х = 0.
£>:
х = 0, у = 0, 2х + Зу - 12 = 0
£>:
х = 1, х = 2, у = 2, у =
3.
£>:
:х
2
+у
2
<
1
.
£>:
:(х-1)
2
+(у-1)
2
<1.
О:
:х
2
+у
2
<1 .
£>:
:х>0,
у>0, х + у<1.
£>:
:х
2
+у
2
<1.
£>:
:х>0,
у>0,
у-х<1.
£> :х = 0, у = х, у = 4.
О:
:х = 3, у = х, у = 0.
£»:
: х = 0, х = 1, у = 0, у =
2.
£>:
: х = 0, х = 1, у = 0, у =
2.
£>:
:х-у +
1
= 0, х = 3, у
=
=
0.
£> : х = 0, у = 0, х + у -1 =
=
0.
£> : х = 0, х = 1, у = 0, у = 6.
І):
: х = 0, х = 1, у = 0, у
=
=
1.
£» :х = 0, у = 0, х + у - 3
= =
0.
§3.
Індивідуальне завдання 3.
319
30.
г = х
2
+2ху-\0, £>:у = 0, у = х
2
-4.
31.
г = ху-2х-у, Б:х = 0,х = 3,у = 0,у = 4.
§3. Індивідуальне завдання 3.
Кратні інтеграли
Задача 1. [ гл.З, § 1, приклад 3 ]
Змінити порядок інтегрування в заданих інтегралах.
Варіанти завдань
2 х 2 х-Л
1.
\ах \Дх,у)сіу . 2. \сіх ]Дх,у)сіу .
а
^2ах-х
2
а а+4а
2
-х
2
3.
\с1х \Дх,у)ау. 4. І сіх [Дх, У) сіу.
а
/
2
0 0
^аҐх
1
•І2 у
2
12 1 )-у
2
5. \ау \Дх,у)сіх. 6. І сіу І Дх, у) сіх.
-І2 у
2
-\ -1 у
2
-\
4 -ІХЬ-Х
1
1 4У
7. \сіх \Дх,у)сіу. 8. |сіу \Дх,у)сіх.
0
>С7
0
у
1
т!\-х*
г
іІ2гх-х
2
9. \сіх \Дх,у)сіу. 10. {А \Дх,у)сіу.
-10 о
1 -Уг 2 2х
11.
\сіу\Дх,у)сіх. 12. І сіх \ Дх, у) сіу.
0 у 1
6 -3+А/І2+4*-дґ
2
2 2*
ІЗ. \сіх \Дх,у)сіу. \4.]сіхІДх,у)сіу.
"
2
-3-у/і2+4*-х
2 0
*
2 2-і 1 х
2
15.
/А _[Дх,уОау. 16. \сіх\Дх,у)сіу.
-6 ^2 0
х
з
320
Глава
5,
Типові розрахункові завдання
Ііх-х*
2а
чІ2ах
17.
\Дх,у)ау.
18. \сіх
\Дх,у)сіу,
а>0-
е
\пх \ 1-х
2
19.
|ох
|Дх,у>)а>.
20. |Л
(Дх,г>)а>.
1
0 -1
2я зіпх
1 5х
21.
|с&
\/(х,у)ф.
22. І
сіх
І Дх, у) сіу.
0
0 0 2х
1
г-2 2
2х+3
23.
}ф
|/(х,>>)Л.
24. \сіх
\Дх,у)сіу.
-1
^-4 1 2х
1
V
2
-/ 2 72І
25.
\сіх
\Дх,у)сіу. 26.
І
сіх
І
Дх, у) сіу.
Ох
0 0
1
2-х
2
2 х
27.
І
сіх
І
Дх,
у)
сіу.
28.
]
сіх \Дх,у)сіу.
0
*
1
Ьх-х
2
2а'-х<
29.
І
сіу \Дх,у)сіх. ЗО. | аг \Дх,у)сіу.
0
а-у 0 х
1
2-х
2
31.
І
сіх \Г(х,у)сіу.
Задача
2. [гл 3, § 1,
приклади
1, 2, 5}
Обчислити подвійний інтеграл ||Дх,у)сіхау
за
заданою областю
о
Б
і
функцією
Дх, у).
Область
£>
задана обмежуючими
її
лініями
або
сис-
темою нерівностей.
Варіанти завдань
1.
й:у = х, х = 0,у = \,у = 2 ; Дх,у) = х
2
+ у
2
.
2.
£>:
х =
0,
х = у
2
, у = 2 ; Дх,у) = 3х
2
-2ху
+
у .
3.
О: у = х, у = х
2
, х = 3 ;
/(х,у)
= х-у.
4.
0:х
2
+у
2
<9,у>у
+ 3; Дх, у) =
Зх+у*.