Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
341
8. ^§(у-х)сІус& + (2-у)ахск + (х-2)ахау, о -внутрішня сторона
о
замкненої поверхні, утвореної конусом х
2
= у
2
+г
2
і площиною х = \.
9. її^
ха
У
а2
~У
аха2
~
2ахі
%У '
ст
- частина поверхні параболоїда
а
х
2
+у
2
=9—2
, нормальний вектор п якої утворює гострий кут із ортом
к , що відтинається площиною 2 = 0 .
10.
Д(л:
2
-2у
2
+б2)сіхау
, о - зовнішня сторона частини поверхні
о
циліндра у
2
=6г , яка відтинається площинами х=0 і х=3 , 2 = 1.
( х
2 2
\
11.
Л —+— а - нижня сторона частини поверхні параболоїда
о V
16 9
)
2
2
л
Х
У л
2=4
—, яка відтинається площиною 2=0 .
16 9
12.
^(х + г)аусіг+ (г +у)сіхсіу , ° - зовнішня сторона поверхні циліндра
а
х
2
+у
2
=1, яка відтинається площинами 2=0 і 2=2 .
13.
її^
ха
У
а2
+
2у(іхск-2ахау,
о - зовнішня сторона поверхні сфери
о
х
2
+у
2
+2
2
=4.
14.
її(
х2
+
У
2
+?>
22
)
ахс
Ь> >
° - верхня сторона поверхні конуса
2
= -\х
2
+ у
2
, яка відтинається площинами 2=0 і
2
= 2.
15.
її(5х
2
+$у
2
+
2І
)с1хау,
а - верхня сторона поверхні сфери
2=-^4-х
2
-у
2
, яка вирізається конусом
2=д/х
2
+у
2
.
16.
^^-х сіусіг-у сіхск+ 2 сіхсіу»
ст
- зовнішня сторона замкненої поверхні,
утвореної параболоїдом 32 = х
2
+>'
2
і півсферою г~-\4-х
2
-у
2
.
342
Глава 5. Типові розрахункові завдання
17.
^2х
сіусіг
+ (І - г) сіхау, о - внутрішня сторона поверхні циліндра
а
х
2
+у
2
=4 , яка відтинається площинами 2=0 і 2=1.
18. ||
уг
сіусіг
- х
2
сіхсіг
- у
2
сіхсіу , о - частина поверхні конуса х
2
+г
2
=
у
2
-.
нормальний вектор п якої утворює тупий кут із ортом ) , що відтина-
ється площинами у = 0 і у = \.
Я
2
2 2 2
х сіусіг + г сіхсіу, о - нижня сторона конуса х +г =у , яка
о
відтинається площинами 2 = 0 і 2 = 1.
20.
||-хсіусіг + г
сіхсіг
+ 5
сіхсіу
, а - верхня частина площини 2х + 3у + г=6,
а
яка лежить у першому октанті.
21.
^х
2
сіусіг+ 2у
2
сіхсіг-гсЬссіу , о - частина поверхні параболоїда
о
г = х
2
+у
2
, нормальний вектор Я якої утворює гострий кут із ортом к ,
що відтинається площиною 2 =
1
.
22.
Цдг
2
сіусіг
-
г
2
сіхсіг + гсіхсіу, а - частина поверхні параболоїда
о
г = 3-х
2
- у
2
, нормальни й вектор п якої утворює гострий кут із ортом к ,
що відтинається площиною 2 = 0 .
23.
^усіуск+хсіхск + гсіхсіу, о - зовнішня сторона трикутника,
утвореного в перетині площини х-у + г = \ з координатними площинами.
24. ^(у-г)фсІ2
+
(2-х)сіхсІ2
+ (х-у)сіхсіу, а - зовнішня сторона конічної
о
поверхні х
2
+ у
2
=г
2
, яка відтинається площинами 2=0 і г = п.
25. ||
х сіусіг + у сіхсіг+г ахау , О - зовнішня сторона сфери
а
7 2 12
х
А
+у
1
+2 =а .
26. ^х
2
аусІ2
+
у
2
сіхсІ2-2ахау
, а - частина поверхні конуса 2
2
=х
2
+у
2
,
о
нормальний вектор п якої утворює гострий кут із ортом к повідтина-
ється площинами 2=0 І 2=1.
§4.
Індивідуальне завдання 4,
343
27. Ц
-
*-
2
сіуск
+ гахау , а - частина поверхні параболоїда г=х
2
+у
2
,
с
нормальний вектор п якої утворює тупий кут із ортом к , що відтина-
ється
ПЛОЩИНОЮ
2 = 4 .
.„ ге сіхсіу . . т 2 2.
28.
II, , а - частина поверхні гіперболоїда х +у =2 +1,
нормальний вектор п якої утворює тупий кут із ортом к , що відтина-
ється площинами 2 = 0 і 2 = л/з.
29.
^хусіуск + уїахаг + хіахау, а - зовнішня сторона сфери
х
2
+у
2
+2
2
=1, яка лежить у першому октанті.
30.
||(х
2
+у
2
)2йхсЬ
, о - зовнішня сторона нижньої половини сфери
а
х
2
+у
2
+г
2
=9 .
31.
^хг ауск + ху сіхск + уг сіхау, а - зовнішня сторона поверхні циліндра
с
х
2
+ у
2
= 1, що відтинається площинами 2=0 і 2 = 5.
Задача 5. [ гл.4, § З, приклади 5, б, 7, 9]
Обчислити потік векторного поля
<5
= <5(М) через зовнішню сторону
замкненої поверхні о.
Варіанти завдань
\.
а = ху і +
у2
} + ххк ; 2. а = 2 і + (х + у)] + у к ;
х
2
+у
2
+2
2
=\6,
2х + у + 2г = 2,
о: а:
X
2
+у
2
=2
2
(2>0).
* = 0, У = 0,2 = 0.
3.
а = (х + г)і +(х + у)к ; 4. а = 2хі + 2уі +гк ;
а
.х
2
+у
2
=9,
у
=
х
2
,
у
= 4х
2
, у = \,
'
2
= Х,
2=0(2
>0). 2= у, 2 = 0(*>0).
5.
5 = (у + г)і + у у - хк ; 6. а = 2(2- у) і +(х-г)к ;
я-
2
+у
2
=2у, _ 2 = х
2
+3у
2
У = 2. ' х
2
+у
2
=1.
344
Глава 5. Типові розрахункові завдання
7.
а = хі +2} - ук ;
а:
г = 4-2(х
2
+у
2
),
г = 2(х
2
+у
2
).
9. 5 = 2/ + (3у-х))' -гк ;
СТ:
х
2
+у
2
=1,
2
= X
2
+ у
2
+ 2, 2 = 0.
11.
а = 2/ + уг] - хук ;
а:
.
х
2
+у
2
=4,
:
= 0,2 = 1.
13.
З = хі +2уі —гк;
а: х
2
+у
2
+2
2
= 4.
8. 5 = 2і -4уі +2хк ;
а:
2
2
2
= Х +у ,
2
= 1.
10.
а = (2х + у)1 + +(у + 2г)к ;
а:
2
= 2-4(х
2
+у
2
),
2
= 4{х
2
+у
2
).
12.
а = 2х/ -(г
—
\)к ;
а :
.
х
2
+ у
2
=4,
2
= 0, 2 = 1.
14.
З = Зх/ + 2у у -е
х
к ;
а: х
2
+ у
2
+ 2 = 3, 2=0.
15.
а = 2хі - 2
х
і +(г + 1)А ; 16. а = х/ - 2у} -гк ;
а:
2
+ 4 = х
2
+ у
2
,
2
= 8.
..
Х
2
+у
2
+2 = 1,
2
= 0.
17.
а = -2х/
+27+(х
+у)А; 18. 5 = (х + г)7 +;
а :
х
2
+ у
2
=2у,
2
= Х
2
+ у
2
, 2 =0.
19.
3 = (2 + 3х)ї-у] + 2гк ;
а:
2
2 2
X
і
+у
2
=2
2
,
2
= 3, 2 = 0.
21.
а = хЧ + у
3
] + г
і
к ;
2
2 ^ 2
а: //2
2
= 0, 2 = Н.
23.
а =>>/ +у
2
і л-угк ;
.
х
2
+у
2
=22,
2
= 1, х > 0, у > 0.
а:
2
=
8-х
2
-у
2
,
2
2
2
= X +у .
20.
3 = (у
2
+ г
2
)1 + у
2
]-Зугк ;
а:
2
2 2
У +2
1
=Х ,
х = 1, х = 0.
.2
, _2ч7 ..27
22.
3 = 0/ +г
1
)і -у
1
]+2угк ;
а:
2
2 2
.
X
і
+г
2
=у
2
,
у
= і,у =
о.
24.
З = 5х
/'
+ 2г ) - у к ;
X
+ у + 2 = З,
'
х>0, у>0, г>0.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
345
—* 2 ~* 2 ~*
2~* __.
-з —»
3~* З"*
25.
а = ху і +уг ) + х г к ; 26. 5 = х" / + у ] + 2 к;
ет:х
2
+у
2
+г
2
=1. а:х
2
+у
2
+г
2
= Я
2
27.
а = (х + у)/' + (у+ г)і +(г + х)к ;о: у = 2х, у = 4х ,х = 1,2 = у
2
,2 = 0 .
28.
5 =(І> +
Л/?)7+ЗХ7
+ (32
+ 5ХН ; а:г
2
=8(х
2
+
у
2
),
2=2,
2
= 0.
29.
а = (2х + 2)1 + (2у + х)]+ (у+2г)к; а.х
2
+у
2
=4,х = 2,2 = 0.
30.
а = (х + у
2
)7 + (хг + у)7 + (л/х
2
+1 +г)А ; о:х
2
+у
2
=2
2
,г = 2,г = 3.
31.
г
= (2у-Зг)/+(Зх +
2г).7+(х
+ у +
2)£;
а:*
+;; =1
'
2
= 4-Х —у, 2 = 0.
Задача 6. [ гл.4, § 3, приклади 10, 11 ]
Обчислити циркуляцію векторного поля а = а(М) по замкненій кри-
вій £ (обхід кривої проти годинникової стрілки або у напрямі, що відпові-
дає зростанню параметра І).
Варіанти завдань
1.
а
І.
3.
а
5.
а
І
7.
а
І
= (у-х)і
+(х-2)]
+ (г-у)к
\
Х
2
+у
2
+2
2
=16,
ху
/
+х> + у
2
к ;
X
= С051,
Ь
:
\ у = хіп
/,
2 = 5Іп/, 0</<2тс.
= 2
і-ук;
[х
2
+у
2
=16,
|Х+2
= 4.
= у
2
1 + х
2
]-г
2
к ;
[х
2
+у
2
+2
2
=16,
'
[х = 0, у = 0, 2 = 0.
2.
а = угі + ху і + хгк ;
[Х
+ у+2 = 1.
4.
а = 7г / - х
_/
+ уг А;;
х = бсоз?,
/.:
-іу = бзіп/,
> = 1/3, 0<ґ<2я.
у
2
2
3
1
+ ]+гк ;
6. Й
І
8. 5
і
х
2
+у
2
=9,
= -Зг/ +у
2
7+2уА ;
х
2
+у
2
=4,
х-3у-2г = 1.
346
Глава 5. Типові розрахункові завдання
9. а =
у
2
2
2
7
+ х
2
г
2
] + х
2
у
2
к;
х = 2 соз і,
Ь:\у
= 2соз2/,
2
= 2созЗ/, 0</<2л.
11.
а = (у-г)і + (г-х)] +(х-у)к ;
х = 2
соз/,
£:
•(
у = 2 зіп
.2
= 3(1-соз/), 0<г<2гс.
13.
о = (х->>)/
+Х7 +2
2
А
;
І:
х
2
+у
2
-4г
2
= 0,
У
15.
й = -х
2
.у
3
і л-] +гк ;
х =л/4 соз/,
£: • у = л/4 -зіп/,
2
= 3, 0 < / <
27С.
£:
х
2
+у
2
=4,
х +
-
= 1.
2
21.
а = 2 у
/'
-
2
у + х
А:
;
х =
соз/,
Ь:
• у=зіп/,
2
=
4-С05/-8ІПГ-1,
(і<1<2%.
10.
а
І
12.
а
£
= -х
2
у
3
і +
?>і
+ ук;
X
= соз/,
у = зіп
/,
2
= 5, 0 < / < 2тс.
= -х
2
у
2
7 + 3] + ук ;
х = соз/,
у = зіп /,
2
= 5, 0</<2тс.
17.
а = хі + г ] + ук ;
х=соз/,
£ : • у=2зіп/, £
2=2созг-2зіп/-1,
0</<2л.
19.
а =
(у-2)7
+
(2-х))
+ (х-у)А ; 20.5
14.
а = 2уг / + хг) - х А ;
[х
2
+у
2
+2
2
=25,
[х
2
+/ =9, 2>0.
16.
а=(у-г)і +(г-х)і+(х-у)к ;
X
= соз
/,
у = зіп /,
2
= 2(1-соз/), 0</<2л.
18.
а
= 3у
і
—
Зх ) + х к ;
х=Зсоз/,
у=35Іп/,
2
= 3-3соз/-3зіп/,0</<27і.
= ху і + уг ] +хг к ;
|Х
+>> + 2 = 3.
22.
а = 4у і - Зх ) + х к ;
Х=4сОЗ/,
£:-іу
г
=4зіп/,
2=4-4соз/-4зіп/,0</<2л.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
347
23.
5
= уг/ + хуу + хгк ;
Гх
2
+г
2
=і,
[Х + у + 2 = 1.
25.
а = 4хі + 2]
—
хук ;
І:
І2(х
2
+у
2
) = 1,
2 = 7.
27.
5 = у / - ху +2г& ;
„2
х
2
+ у
2
- —= 0,
4
2
= 2.
І:
29. а = ух і - хх у' + ху к ;
І:
[х
2
+у
2
+г
2
=9,
|х
2
+у
2
=9.
31.5
= -2г / - х у + х к ;
24. а = хг і' - ] + у к ;
І:
|х
2
+у
2
+2
2
=4,
2 = 1.
26. 5 = (2 - ху) і
—угі —
хгк;
х
2
+у
2
=4,
І:
[х + у+2 = 1.
28.
а =(х + у)7-х7 + 6 к ;
Лх
2
+у
2
=1,
2
= 2.
30.
5 = 4/ +Зх7 + 3x2 А ;
х
2
+у
2
-2
2
=0,
2 =
3.
X = С05 і/З,
Ь:\у
= 5ІП//3,
2 = 8, 0</<2тс.
Задача 7. [ гл.4, § З, приклад 12 ]
Довести, що векторне поле а = а(М) потенціальне та знайти його
потенціал.
Варіанти завдань
1.
5 = 6х
2
/ +
Зсо5(Зх
+ 2г)у + сок(Зу + 2г)к .
2.
й = (у + 2)7 + (х + 2)7 + (х + у)£.
3.5
=
е
у:
(і + х у + хук).
4. 5 = (у/' +
ху)агсі§2н—~^г£
•
1
+
2
5.
а = 2хух(хі +хк) + х
2
х
2
].
6. 5 =
у
2
х
2
і
+ 2хух{х і + у А).
7.
5 = у*х і + 2хугу + ху £
348
Глава 5. Типові розрахункові завдання
8.
а
= 2хуг{гі+хк) + х
2
г
2
і
.
„
- е
х
1
+
е
у
1
+
еЧ
9.
о= .
е
х
+е
у
+е
г
10.
а
= 2ху
2
гі+ 2х
2
уг] + х
2
у
2
к
.
11.
а
=
(2ху
+
г)1
+(х
2
-2у)] +
хк .
12.
а= .
ХІ + у]
.
^х
2
+у
2
+4
13.
а
= ху(3х-4у)і +х
2
(х-4у)}
.
14.
а
= (уе
ху
-2х8Іп(х
2
~у
2
))1
+(хе
ху
+
2у5Іп(;с
2
-у
2
))]
15.
а
= е
у
(гі+хг}+хк).
16.
5 = (уі
+хУ)со5ху-(гу
+
ук)$іпуг
.
17.
а = е
у
ї
+ (хе
у
-2у)].
18.
5 =
ух
у
~
х
і
+х
у
1пху
.
19.
5 =
(1+х7х
2
+у
2
)/
Т
+
(л/х
2
+.У
2
-ОУІ-
ол
_
\-у-\-2х~.
20.
а =
—-і/
+
—^
.
х
у ху
21.
а=
ХІ
+ УІ + 2І
^х
2
+
у
2
+г
2
-
уг -
22.
а = -/' +(г]
+ ук)агс\&х.
\ +
х
23.
5 = (3х
2
-2ху
+
у
2
)ї
+ (2ху-х
2
-Зу
2
)]
~.
- \-у-
1-2*
-
24.
а
=
—^-і +
—у
.
х
у ху
§4.
Індивідуальне завдання 4.
349
25.
5 = (у
2
е
ху
' +3)І + (2хуе
ху
' - 1)у .
26.
5 =
Гзіп
2
у - у зіп 2х + |/ + (х зіп 2 у + соз
2
х + 1)_/ .
27.
5:
е • —- |< +
* У
зіп Зу-
2 2 V-
х У
28.
З =
І
-Д- + соз
2
у І/ + (у - х зіп 2у)у .
1.x у
У X
і
29.
5= —зіп ^-соз—+
1
/ + —
соз-
-зіп — + —г- І/.
1 „„„ У х . х
X X у' У У
ЗО.
2:
1 + х
2
у
2
/ +
1 + х
2
у
2
10 У
31.
а
•
\2х
2
у + Л
(
і +
4х
2
-
—
У
3
ГЛАВА 6. ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
§1.
Основні формули інтегрального числення функцій
однієї змінної
І. Невизначений інтеграл
Основна таблиця інтегралів
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
а+1
х
а
ах=-— + С,(а*-1), (і сіх = х + С.
а +
1
3
— = ІпІхІ + С .
х
\а
х
сіх= — + С, (а>0,а*1).
1п а
е
х
ах = е
х
+ С .
соз х ах = зіп х + С.
зіп х ах = -соз х + С .
сіх
С05
2
Х
ах
зіп х
г§х + С.
= -сІ§х + С.
ах
4\-х'
= агсзіп х + С.
ох
1
+ х
2
ОХ . X
= агсзіп
—
+ С .
= агс(§ х + С .
ах 1 х
= —
агсІ§—
+ С.
а
2,
2
а +х а
сіх
_\_
2а
1п
а + х
а-х
+ С