Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Індивідуальне завдання
3.
331
11.
Знайти масу
і
середню густину тіла,
яке
обмежено поверхнями
х
1
+ у
2
+2
Г
=4 , х
1
+ у
2
=
2
І
,
х = 0, у = 0 (х >0, у > 0, 2 >0),
якщо гус-
тина
\і(х,у,2)
= 62 .
12.
Знайти масу
і
середню густину тіла,
яке
обмежено поверхнями
25(х
2
+у
2
) =
2
2
,
х
2
+у
2
=4,
х = 0, у = 0, 2 =
0(х>0,
у>0,2>0),
якщо густина \і(х,у,і)
= 2(х
2
+у
2
).
13.
Знайти масу
і
середню густину тіла,
яке
обмежено поверхнями
х
2
+ у
2
+2
2
=а
2
і х
2
+ у
2
+г
2
=4а
2
, якщо густина
в
кожній точці оберне-
но пропорційна відстані точки
від
початку координат.
14.
Знайти масу
і
середню густину тіла, обмеженого поверхнями
х
2
- у
2
+г
2
= 0, у =
Н
,
якщо густина
в
кожній точці його
ц(х,у,2) = у .
15.
Знайти масу
і
середню густину тіла, обмеженого поверхнями
2х
+
2
= 2а, х + 2 = а , у
2
= ах, у =
0(у>0), якщо густина ц(х,
у, г) = у .
16.
Знайти масу
і
середню густину квадратної пластинки
із
стороною
2а, якщо густина
в
кожній точці пропорційна квадрату відстані
від
точки
перетину діагоналей
і на
кутах квадрата дорівнює одиниці.
17.
На
фігурі,
яка
обмежена еліпсом
з
півосями
а і Ь,
маса розподіле-
на так,
що
густина
її
пропорційна відстані
від
більшої осі, причому
на
одини-
ці відстані
від
цієї
осі
вона дорівнює
у.
Знайти масу
і
середню густину.
18.
Обчислити масу
і
середню густину тіла, обмеженого круговим
циліндром радіуса
К ,
висоти
Н ,
якщо густина
в
кожній точці пропорційна
квадрату відстані
від
цієї точки
до
центра основи циліндра.
19.
Обчислити масу
і
середню густину тіла, обмеженого поверхнями
2
2 2 2 2 2
х
+ у = 2о2, х + у +2 =3а (г > 0),
якщо густина
в
кожній точці
до-
рівнює сумі квадратів координат.
20.
Густина кулі
х
2
+ у
2
+2
2
<2Кг
в
кожній точці чисельно дорів-
нює квадрату відстані
від
точки
до
початку координат. Знайти масу
і
серед-
ню густину тіла.
21.
Знайти масу
і
середню густину тіла, обмеженого поверхнями
х
2
+ у
2
- г
2
= а
2
, 2 = 0, 2 = а (а > 0),
якщо густина
в
кожній точці пропор-
ційна аплікаті
г і в
площині
г = а
дорівнює
у
0
.
22.
Знайти масу
і
середню густину тіла, обмеженого поверхнями
х
2
—
у
2
= аг , х
2
+ у
2
= а
2
, г = 0 (г > 0),
якщо густина
в
кожній точці про-
порційна аплікаті
2 , а
найбільше значення густини
у
0
.
23.
Знайти масу
і
середню густину тіла С7
:
64(х
2
+у
2
) = г
2
, у = 0,
х
2
+ у
2
= 4 , 2 = 0 (у > 0, 2 > 0),
якщо густина
ц(х,у,2) =
—
(х
2
+у
2
).
4
332
Глава 5. Типові розрахункові завдання
24.
Знайти масу і середню густину тіла О : х
2
+ у
2
+ г
2
= 4, х
2
+ у
2
< 1,
х > 0, якщо густина \х,{х,у,г) = 4| г \.
25.
Знайти масу і середню густину тіла О: х +у ~~^
2,х +
У ~"д
2
'
х = 0, у = 0 (х > 0, у > 0), якщо густина ц(х,у,2) =
28x2
.
26.
Обчислити масу і середню густину пластинки, яка обмежена ліні-
2
2
X
у х у
ЄЮ
І
— + —
4 2
2
..2
V
„2 ,.2
і має густину, що дорівнює одиниці.
4 9
27.
Обчислити масу і середню густину пластинки, яка обмежена ліні-
ями (х + у -ах) =а (х + у ),х + у = аул/З і має густину, що дорів-
нює одиниці.
X
2
2
28.
Знайти масу і середню густину пластинки £) : — + у < 1, х > 0 ,
4
у > 0, якщо густина ц(х,у) = х
3
у
3
.
29.
Знайти масу і середню густину тіла, яке утворено від перетину
поверхонь: сфери х
2
+ у
2
+ г
2
= с
2
(х > 0, у > 0, г > 0), координатних пло-
х у ,
щин,
площини — + — = 1, причому, початок координат належить тілу, якщо
а Ь
густина дорівнює аплікаті в кожній точці.
30.
Тіло має форму кулі х
2
+ у
2
+ 2
2
< а
2
, 2 > 0 , густина пропорцій-
на відстані точки від центра. Знайти масу і середню густину тіла.
х
2
у
2
31.
Знайти масу і середню густину пластинки £>: 1 < — + —р < 2 ,
у > 0, у < —х, якщо густина р.(х,у) = —.
З х
§4. Індивідуальне завдання 4.
Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
Задача 1. [ гл.4, § І, приклади 1, 2,3, 4 \
Обчислити криволінійний інтеграл першого роду по заданій кривій Ь .
Варіанти завдань
1.
§{х
2
+ у
2
)сІІ, Ь - коло х = Зсо&г, у = Ззіпг.
§4.
Індивідуальне завдання 4,
333
2
Ґ 2
2.
—= г-аУ, £ - перший виток гвинтової лінії х = 9созг, у = 9зіпг,
І* + У
і
=
91, 0 < і < 2к .
3.
§(х-у)сіІ,
£ -коло х
1
+у
2
= 2х.
і
4.
§іІх
2
+у
2
сії, £ - коло х
2
+ у
2
~2у .
5.
|(2
2
+у
2
)сіІ,
£ - коло 2
2
+у
2
= 4.
і
6. |-====•<//, і - дуга кардіоїди р = 2(1 + созф), 0 < ф < ті/2 .
і
-у/*
2
+ У
2
1.
^і[х^¥у^сії,
£ - дуга лемніскати Бернуллі р = а
Л
/соз2ф ,0<<р<л/4 .
з_
8. ^(х
2
+ у
2
)
2
сії, Ь - дуга лемніскати Бернуллі р = аф\п2(р , 0<ф<л/2 .
і
9.
|(4
3
Ух"-3
3
Уу"у/,і
- дуга астроїди х =
соз
3
1,
у =
зіп
3
1
між точками
і
/1(1,0) і 5(0,1).
10.
ГагсІ§—а7, £ - дуга кардіоїди р = 1+созф, 0<ф<л/2.
І *
11.
|(х +
2у-32)аУ
, £ -відрізок прямої між точками Л(1,3,-1) і 5(3,5,-1).
і
12.
|(Зх-5і' + 2 + 2)с//, £ -відрізок прямої між точками Л(4,1,6) і 6(5,3,8).
і
13.
)(х +
у)сіІ,
£
/ІВО
-контур трикутника з вершинами Л(1,0), 5(0,1), О(0,0).
1
АВО
14.
І-У/1+4У+9Х2
сії, £ - дуга кривої х = /, у = /
2
, 2 = /
3
, 0 < ? < 1.
15.
^(х +
у)сіІ,
Ь
0
АВС
- контур прямокутника з вершинами у точках
к>лвс
О(0,0),
А(5,0), В(5,3),
С(0,3).
334
Глава 5. Типові розрахункові завдання
16.
|>>а7 , І - дуга параболи у
2
= 2х , що відтинається параболою х
2
=2у .
і
17.
§ хуг сії , І - дуга кривої х = —1
2
, у = 1, г =
-л/бТ
3
"
, 0 < / < 1.
/. 2 3
18.
^^Іу сії, Ь - перша арка циклоїди х = 2(/-зіп/), .у = 2(І-соз/),
0</<2гс.
19.
\(х +
у)сіІ,
І - перший виток лемніскати Бернуллі р
2
= а
2
соз2ф.
2 2
Г х у
20.
)хус11, І - перша чверть еліпса
—+-^-=1.
/. а Ь
21.
|(х + .у)#7, і - чверть кола х
2
+_у
2
+г
2
= /?
2
, у = х, що лежить в
і
першому октанті.
22.
[ . ^ .——, І - відрізок прямої, що з'єднує точки 0(0,0) і 5(2,2).
Ц*-х
2
-у
2
23.
|(х
2
+ у
2
+2
2
)сіІ,
І - дуга гвинтової лінії х=соз/, у = зіп/, г = іл/з ,
і
0 < / < 2л.
24.
|хуа7, І -дугаеліпса х = асоз/, _у=£зіп/, 0</<—.
25.
|2#7, І - дуга конічної гвинтової лінії х=/соз/, у=/зіп/, г=1,
0</<тс.
26.
|л/х
2
+у
2
сії, І - коло х
2
+ у
2
=йх .
27.
^2у
2
+г
2
сії, А - коло х
2
+у
2
+2
2
=а
2
, х=у.
28.
^угсіі,
і
ОАВС
- контур прямокутника з вершинами у точках
'юлвс
0(0,0,0), Л(0,4,0), 5(0,4,2), С(0,0,2).
29.
^усй, Ь - дуга параболи у
2
=6х , що відтинається параболою х
2
=6у.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
335
30.
|(х + у +
г)сіІ,
і - відрізок прямої між точками /1(0,0,0) і 5(1,1,1).
ь
(*
С08^
X
31.
[ ,
—сії,
І - дуга синусоїди у = &іпх, 0 < х < л.
/,\І + С05
2
X
Задача 2. [ гл.4, § 1, приклади 8, 9, 10, 11 ]
Обчислити криволінійний інтеграл другого роду по заданій кривій Ь .
Варіанти завдань
1.
[соз
2
хах + -~ау , Ь -дуга кривої
>>
= 1ах від точки А(п/4, 1) до
і У
точки в(ф, -Уз).
2.
^(х
2
+
у
2
)сіх
+ ху сіу, І -дуга кривої у = е
х
від точки /1(0,1) до
і
точки В(ї, е).
3.
$(х
2
+у)сіх + (х+у
2
)ау,
Ь
АСВ
- ламана , де А(2,0), С(5,0), 5(5,3).
4.
^хсіу - усіх, це І - контур трикутника АВС,де Л(-1,0), 5(1,0), С(0,1)
і
при додатному напрямі обходу.
5.
[гсіх + хсіу- —сіг , £ - дуга кривої х=гсозг, у = гзіпг, г = (,
0<1<—
1
2 2
у напрямі зростання параметра І.
6. ^гсіх + усіу + (х
2
-у
2
)сіг, Ь - дуга кривої х = ас\\і, у = азЬг, г = Ьі,
і.
0 < / < 1 у напрямі зростання параметра /.
7.
^2хуах-х
2
ау + гаг , Ь
0А
- відрізок прямої, що з'єднує точки
!
-ОА
0(0,0,0) і Л(2,1,-1).
8. ^(х
2
+
у
2
)сіх
+ (х
2
~у
2
)сіу, Ь
АВ
-ламаналінія >'=|х| відточки Л(—1,1)
1
АВ
до точки 5(2,2).
9. І2хусіх~х
2
сіу, Ь
ОА
- дуга параболи у=— відточки О(0,0) до
к)А
точки /4(2,1).
336
Глава
5.
Типові розрахункові завдання
10.
^уск-хау
, Ь -
дуга еліпса
л;
=
Зсо5/, у=2зіп/
при додатному
і
напрямі обходу.
11.
^х
2
ах + (х + 2)ау + хуск
, Ь
-дуга кривої
л-=5Іпг, у=5т
2
і, г =
зіп
3
/,
К
0<і<—
у
напрямі зростання параметра
І.
12.
^(х
2
+у
+
2)ск
+ 2
2
ау
+
{х
+
у
2
)аг,
Ь
АВ
-
відрізок прямої,
що
з'єднує
І-АВ
точки
/4(2,1,0)
і
5(4,3,1).
13.
^уах
+
х
2
ау
+
гск , Ь: х=і,
у=І
г
,
2
= /
5
,
0</<1
у
напрямі зростання
параметра
/.
х
14.
\—ск
+
хау, Ь -
дуга лінії
у=\т\х
у
напрямі
від
точки
/4(1,0)
до
точки
5(е,1).
15.
^2хуах +
у
2
ау
+
2
2
сІ2
, і -
дуга одного витка гвинтової лінії
х
=
сові,
ь
у
= вті, 2=2/ у
напрямі
від
точки
Л(1,0,0)
до
точки
5(1,0,4тс).
16.
\[(ху-\)сіх +
х
2
уау
, І -
відрізок прямої
АВ у
напрямі
від
точки
/4(1,1)
до точки
5(0,2).
17.
^(ху -
х)ск+
—
х
2
ау,
Ь -
дуга параболи
у
2
=4х від
точки
Л(0,0)
/.
2
до точки
5(1,2)
.
18.
\у ск
+ хуау
, і -
дуга еліпса
х =
асоз/,
у
=
Ь$'ті,
0<г <
—
у
напрямі
І
2
зростання параметра
/.
19.
Гзіп
2
д:ах-
+
—^—ау
, /. -
дуга кривої
у =
сІ&х,
0< * <
—
у
напрямі
і
У
3
зростання змінної
х.
20.
\(х
+
у)ах
+
(х-у)ау,
І -дугакола х
=
Ксо$1,
у
=
К$іпі, 0<1<—
і
2
у напрямі зростання параметра
/.
§4,
Індивідуальне завдання 4,
337
21.
\хсіу-усіх, І - дуга астроїди х = 2соз і,
у>
= 2$іп і у напрямі від
точки /4(2,0) до точки #(0,2).
22.
|(ху-у
2
)сіх+хау, І - дуга параболи у=х
2
у напрямі від точки
і
0(0,0) до точки £(1,1).
23.
\2ут.ау-
у
2
сіг
, 1
ОПА
- ламана ОВА , де 0(0,0,0), 5(0,2,0), /1(0,2,1).
І-ОВА
24.
^(ху-X)
сіх+ х
2
усіу, £ - дуга параболи у
2
=4-4х відточки /1(1,0) до
/.
точки 5(0,2).
Г
2 X
2
25.
\2х2ау-у сіг, І - дуга параболи г =— відточки 0(0,0,0) до
І
4
точки 5(2,0,1).
26.
^со52сіх-%тхсІ2
, Ь
АВ
- відрізок прямої, що з'єднує точки А(2,0,~2)
^АВ
і 5(-2,0,2).
27.
^хсіу , Ь - контур трикутника, утвореного прямими у=х, х=2, у=0
і
при додатному напрямі обходу контура.
28.
^хсіх + хусіу , і - верхня половина кола х
2
+у
2
=2х при додатному
і
напрямі обходу контура.
29.
|(х
2
-у)ах, £, - контур прямокутника, що утворений прямими х = 0,
і
у = 0, х = \, у-2 при додатному напрямі обходу контура.
30.
^ху
2
сіх + уг
2
сіу-х
2
2сІ2 , £
0Й
- відрізок кривої Об, де 0(0,0,0),
5(-2,4,5).
31.
|уйх + хау, І -дуга кола
лг
= /?созг, у =
Л5Іп/
у напрямі від точки
А(К,0) до точки 5(0, Я).
338 Глава 5. Типові розрахункові завдання
1.
\\(х
2
+
у
2
+ 3г
2
)а"а,
о -
частина поверхні конуса
2=\/х
2
+у
2
,
0<г<2
.
а
2.
^(х
+
Зу
+ 2г)а'о,
о -
частина площини
2х
+
у
+ 2г=2, х>0,
у>0, г>0.
аа,
а -
частина поверхні параболоїда
2г=2-х
2
-у
2
4.
1/(5*-у+5г)а"а, а -
частина площини Зх+2у+г=6, х>0,
у>0, г>0.
2г=2-х
2
-у
2
,
г>0.
5.
^2(х
+
у)аЬ, о -
частина поверхні циліндра 2=л/9-х
2
,
0<у<2.
а
6. ^(2х+3у + г)с1а,
О -
частина площини 2х+2у+г=2
,
х>0,
у>0, г>0.
7.
Д(х
2
+
у
2
+2
2
)аа,
а -
півсфера
у=^Я
2
-х
г
-г
2
8. ||(5х
2
+3у
2
+3г
2
+4)йю",
о" -
частина поверхні конуса х=-^у
2
+г
2
,
а
0<х<2.
9.
^(Зх
+
\0у-2)аа,
о" -частинаплощини
х
+ 3у+2г=6, х>0,
у>0, г>0.
а
10.
||(2х
+
15і>+2)ас>,
а-частинаплощини
х
+
2у
+ 2г=2
,
х>0,
у>0 , г>0.
а
11.
Ц"(х
2
+у
2
)ск5,
а -
сфера
х
2
+ у
2
+2
2
=а
2
.
12.
$\ї+4у
2
+4г
2
сіс,
а-частина поверхні параболоїда х=4-у
2
-г
2
,
х>0.
о
13.
^(2г
2
-х
2
-у
2
)с1а,
о
-частинаповерхні конуса г=\/х
2
+у
2
,
0<2<1.
о
14.
^(2х+5у+\0г)аЬ, а-частинаплощини 2х
+
у+3г=6, х>0,
у>0, г>0.
Задача
3. [ гл.4, § 2,
приклади
1, 2 ]
Обчислити поверхневий інтеграл першого роду по заданій поверхні
о.
Варіанти завдань
§4.
Індивідуальне завдання
4.
339
19.
їїу(х+г)скі,
а -
частина поверхні циліндра
у =
л/с
2
-х
2
,
0<х<а
.
а
20.
Л(2х+5у+г)сіо, о -
частина площини х+у+2г=2
,
х>0,
у>0 ,
2>0.
с
21.
ЇЇ(^
Х
~^У~
2
)^
>
°
-частинаплощини х+2у+2г=4
,
х>0,
у>0,
2>0.
22.
||(х
2
+.у
2
)а'сї,
сі -
частина поверхні конуса
:-^х
2
+у
2
,
0<2<1.
о
23.
Д(6х-у+&2)сІс,
а -
частина площини
х +
і
у+2г=2
,
х>0,
у>0 ,
2>0.
с
24.
Л(4х-у+2)йго~,
° -
частина площини
х
+
у + 2 = 2,
х>0,
у>0 ,
2>0.
о
25.
ГГ — —, а -
частина площини
х+у+2=1,
х>0, у
>0
, 2>0.
^(1 +
Х
+ у +
2)
2
26.
Цхост,
о -
частина поверхні параболоїда
х
=
у
2
+г
2
,
0<х<1
.
а
27.
Ц^атт,
а
-частина поверхні конуса
і
2
=4(х
2
+у
2
),
0<2<4
.
а
28.
Дхугс/а,
а -
частина поверхні конуса 2
2
=х
2
+4у
2
, 0<2<2
.
с
З
29.
Д(Л
2
-г
2
)
2
сіа , с -
півсфера
х
2
+у
2
+2
2
=Л
2
,
2>0.
30.
Ц(4-2
2
)й<т,
о -
півсфера
г
= лІ4-х
2
-г
2
.
о
31.
її(\6-4г)сі<5,
а
-частина поверхні параболоїда
2 =
4-—(х
2
+у
2
),
2>0.
15.
||(5х
+
2у+2л)а'о,
о -
частина площини
х+2>>+2=2
,
х>0,
у>0,
2>0.
16.
Л(4х-у+4г)сіа, о -
частина площини 2х+2у+г=4,
х>0,
у>0,
2>0.
а
17.
Цхуго'ст,
о -
частина поверхні параболоїда г=х
2
+у
2
,
0<г<1.
с
18.
^(х
2
+у
2
)сіа,
а -
частина поверхні конуса
г
2
=х
2
+у
2
,
0<2<1.
340
Глава
5.
Типові розрахункові завдання
Задача
4.
[
гл.4,
§
2,
приклади
5,
6,
7,
8]
Обчислити поверхневий інтеграл другого роду
по
заданій стороні
поверхні
а.
Варіанти завдань
1.
$(у
2
+г
2
)ауа'г-у
2
аха2 + 2у2
2
ахсіу , о -
частина поверхні конуса
х
2
+г
2
=
у
2
,
нормальний вектор
п
якої утворює тупий
кут із
ортом
і ,
що відтинається площинами
у =
0
і у
=
1.
2. ||(я"
2
+у
2
+2
2
)ахау,
о -
зовнішня сторона півсфери у=\\
—
х
2
-г
2
,
а
П
2
яка відтинається конусом
у=\х +2 .
3.
Лх
2
ауа2+г
2
аха2+уахау , о -
частина поверхні параболоїда
а
х
2
+у
2
=4-2,
нормальний вектор
п
якої утворює гострий
кут із
ортом
к , яка
відтинається площиною
2
= 0 .
4.
$(х
2
+2
2
)ауа2
, а -
зовнішня сторона поверхні циліндра
х=^9-у
2
,
о
яка відтинається площинами
2 =
0
і 2=2.
5.
^(1+2х
2
)ауа
,
2+у
2
ахаг+гахау,
а -
частина поверхні конуса
х
2
+у
2
=г
2
,
нормальний вектор
п
якої утворює тупий
кут із
ортом
к ,
що відтинається площинами
2=0 і 2=4.
6.
^(2х+3у+42)ахау,
а -
верхня сторона частини площини
а
2
2
X
у
л:+>'+2-6=0,
яка
вирізається циліндром
—+-^-=1.
7.
ЦЗх
2
ауаг
-
у
2
ахаг
-
2ахау,
а -
частина поверхні параболоїда
о
х
2
+у
2
=1-2, нормальний вектор
п
якої утворює гострий
кут
із
ортом
к ,
яка відтинається площиною
2=0 .