Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Індивідуальне завдання 1.
ЗОЇ
_ . (• сіх г X
і
сіх
З-
а) І ; б) Г = .
\ х
2
(х + \)
,л/зі(Х
3
-1)
4.
а) [ ^—; б) Г , *
;
2
х(1пх-1)
2
і
7зх-х
2
-2
^
ч
) Юхах
б) І .
ІіІІХб-х
2
)'
, ,7 ох ..4 сіх
6- а) І — ; б) [ .
•І 9х
2
-9х + 2 5 ЗУГ^
7.
а)
+
(^—; «Л-*-,
о
х
2
~Зх + 2 \ (2х-1)'
. . С йх ) Юхах
5.
а) | -; І
і (6х
2
-5х + 1)1п^
8. а) \
+
" сіх
х
2
+ 4х + 9
о
(2х
гЗх
2
+2 ,
б) —==-ах
}
з/Т
-і \х
9.
а) 7^—;
6
>Ь^=-
І х
2
+4х + 13 ь-Л^7
ю.а)7-^т;
б) )-0=.
І х(1пх)
3
І л/х^Т
+
Г хах [ хаіг
11.
а) І -; б) І —
=
.
о (1
+
х)
3
^^2x^7
,
л
. 7 ах \ хсіх
12.
а)
5
; 6)1
г
.
1,
л(х
2
+4х + 5) І 1-х
4
,
+
Г ОХ г созЗх
13.
а) [— ; б) [ =
сЬ.
І
х
х
+4х + 5 І л/(1-8ІпЗх)
5
, . .
+
Г агсІ§2х , \ 7.x сіх
14.
а) І ^-у-Л; б) І
І
тс(1 + 4х
2
)
ол/ї^х
7
(•
ІбйХ
г ох
15.
а) І ; б) І .
^л(4х
2
+4х + 5) _\/Ч\ + Зх
302
Глава 5, Типові розрахункові завдання
16.
а)
+
[
г
х
* ; б)} * .
І 4х
2
+ 4х + 5 ^л/3-4х
ч
+
Г (х + 2)ах ^ % е
Чх
^
17-
а) [-7==
л
; б) [ — ск.
о
чУ(* +4х + 1)
4
о с«8 х
+ °° і 2 2 ,
3-х „ Г ск
18.
а) Г
^-ек; б) Г-
І*
2
+4
\
5
^х-х
2
-4
+°° л ^ я •
г
4<3х г зіпх
19.
а)
—; б) , ск.
{х(\
+ \п
2
х) ^7соз
2
х
20. а) |х5Іпхах; б) |
0
ск
о
-з/л/4д- + 3
1
1 ск ^
2
г хск
~ , ч Г
1
"Л _ч Г
X
ОХ
21.
а) Г— ; б) І
Л(х
2
-4х)1п5
^
л/(^
2
-О
3
1п2
+
Г Я ох ^ ^ ск
22.
а)
| ^Ч-;
б
>/ 2
^(1 +
9х
2
)агсі§
2
3х
^9х
2
-9х + 2
ч
+
Г «V ^35Іп
3
хох
23.
а)
І б) | .
о Л/СОБХ
(х
+4)
л
/лагсі§—
хах _
ч
!• ск
24.
а)
І-^Ч;
б)Г,
І 16х
4
+1 {^47
25
. а)Т-^-;
б) [
Л
•> 1АЧ-4 _1 •»
1
16х
4
-1 і л/х
2
-6х + 9
26.
а)
7-7=^=;
б)/^-
о л/і6х
4
+1
* "
+
°° хах ^ Г ах
§1.
Індивідуальне завдання 1.
303
ч
г хах \ 1п(3х-1) ,
28.
а) Г ; б) Г -^А.
29.
а) Т *'* ; б) '[
Л
Ь
лі(*
3
+8)
4
' ^20х
2
-9х + 1
30.
а) 7 .
хЛс
; б) [•
ІП2
^
л/(16 + х
2
)
5
' і^(1-х)1п
2
(1-х)
Зі.
а) Т б) [ ^
ІП(2
-
ЗХ)
А.
}
л/х
2
-4х
+
1
І
2
-3^
4
Задача 4. [ гл. /, $ З, приклади 1, 2 ]
Обчислити площу фігури, обмеженої заданими лініями.
Варіанти завдань
1.
у = (х-2)\
>>
= 4х-8.
2.
у=х^9-х
2
, у = 0.
3.
у = 4-х
2
, у = х
2
-2х .
4.
у = зіп х соз х, у = 0 |^0 < х < ^
5.
у =
УІ4-х
2
, у = 0.
2 Г
6. у = созх-зіп х, у = 0 0<х< —
•У1Є
Х
-1 , у = 0, х = 1п2.
8. у = агссозх, у = 0, х = 0 .
9.
>>
= (х + 1)
2
, у
2
=х + 1.
10.
у = х^36-х
2
, у = 0 (0<х<
6).
11.
у = 2х-х
2
+3 , у = х
2
-4х + 3 .
12.
у = х агс!§х , у = 0, х = л/з .
13.
х = агссозу , у = 0, х = 0 .
304
Глава 5. Типові розрахункові завдання
14.
у = х
2
лІ8-х
2
, у = 0 (0<х<2л/2).
15. х=<]е
у
-1,
х = 0, у = \п2.
16. у
= ху
І
4-х
2
, у = 0 (0<х<2).
17.
у = = ,у- = 0,х = 1.
1
+ л/х
,„ 1 зх тс
18.
у- ,у = 0,х= —, х- —,
1 + созх 2 2
19. л-
= 0-2)\ х = 4у-8.
20.
у
—
соз
5
х-зіп2х, у = 0 0<х<-
21.
у = —
2 2
-,у = 0,х = \.
(х
2
+1)
2
22.
х
= 4-у
2
, х = у
2
-2у .
23.
х =
1
у^\
+ \пу
,
х = 0, у = 1, у = е
24.
><=—г-,
у-0, х = 2, х-\.
25.
у = х
2
4Ї6-Х
2
, у = 0 (0 < х < 4).
26.
х
= уІ4-у
2
, х = 0, у = 0, у = 1.
21.
у =
(х-))
2
,
у
2
= х-1.
28.
у = х
2
созх , у = 0 |0<х<у
29.
х = 4-(у-1)
2
, х =
у
2
-4у
+ 3.
ЗО.
у =
Хл/і
+
ІПХ
,
у = 0, х = 1, х = е .
31.
у
2
=4х, х
2
=4>>.
§
1.
Індивідуальне завдання
1.
305
Задача
5. [ гл.
1,
§ 3,
приклад
9 ]
Обчислити довжину лінії, заданої
у
полярних координатах.
Варіанти завдань
і
і
1.р = 3е
4
\ --<ф<-. 2. р =
2е
3<Р
,
--<ю<-.
22
5
2
Т
2
3.
р = л/2>, -1<
ф
<*. 4. р = 5е^, --<ф<-.
22
22
12
З
5.р = 6е
5
, -^<ф<-^. 6.р = 3е
4
, 0<ф<-^.
4
7.
р = 4е^, 0<ф<у. 8. р =
л/2е
ф
,
0<ф<-^.
5
]2
9.р
= 5е^, 0<ф<|-. 10. р =
12е
5<Р
,
0<ф<у.
ТС ,
^
ТС
, _
... . тс „ тс
тс
тс тс тс
11.
р =
1
—
зіпф, -—<($><
— . 12. р =
2(1 -созф),
-— <ф< —.
13.
р =
3(1
+
зіпф),
-^Ф^°.
14.
р=4(1-зіпф), 0<ф<-.
°
6
15.
р =
5(1-совф),-^<ф<0.
16. р =
6(1
+ 8іпф),
-^-<ф<0.
17.
р =
7(1-зіпф), --<ф<-.
18. р =
8(1-со8ф),-— <ф<0.
6
6 З
19.
р =
2ф, 0<ф<^-.
20. р =
5іп
3
^, 0<ф<^-.
21.р=2ф,
0<ф<
—. 22. р =
2віп
3
^-, 0<ф<-.
23.
р = 4ф,
0<ф<-^.
24. р =
6со5
3
у,
0<ф<|-.
12
п
25.
р = 5ф,
0<ф<
—. 26. р =
2со8ф, 0<ф<
—.
5
6
27.
р =
8созф, 0<ф<
—. 28. р =
6совф, 0<ф<
—.
4
З
29.
р =
6хіпф, 0<ф<^.
30. р =
8$іпф, 0<ф<-^.
я
31.
р =
25іпф, 0<ф<
—.
6
306
Глава 5. Типові розрахункові завдання
Задача 6.
[гл.1,
§ 3, приклади 12, ІЗ ]
Знайти об'єм тіла, заданого поверхнями, що його обмежують.
Варіанти завдань
1.
^- + у
2
=1, 2 = у, 2 = 0 ОУ>0).
2.
г = х
2
+4у
2
, 2 = 2.
3.
2 2
— + ^ 2
2
=\, 2 = 3, 2 = 0.
9 4
4.
2 2 2
£-
+
>--і_ = -1,
2в
12.
9 4 36
5.
2 2 2
^ + ^ + ^ = 1, 2 = 1, 2 = 0.
16 9 4
6.
х
2
+ у
2
= 9, 2 = у, 2 = 0 0>>0).
7.
2
= Х
2
+9у
2
, 2 = 3.
8.
— +
У
2
-2
2
=1, 2 = 3, 2 = 0.
4
9.
2 2 2
* + ' -
2
=-1,2 = 16.
9 16 64
10.
2 2 2
~ + ^- + —= 1, 2 = 2, 2 = 0.
16 9 16
11.
у +
^-=1,
2 =
У
43, 2 = 0 (у>0)
12.
2
= 2х
2
+ 8г>
2
, 2 = 4.
13.
2
2
= 1 2 = 2 2 = 0
_
81 25
14.
2 2 2
^ + ^-^ = -,,2 = 12.
4 9 36
15.
2 2 2
—+ + — =
1
, 2 = 3,2 = 0.
16 9 36
16.
х
2
у
2
Г
—
+
У- = \,
2
=
У
43, 2 = 0 (у>0)
3 16
§1.
Індивідуальне завдання 1.
307
17.
2 = х
2
+5у
2
, 2 = 5.
2
2
18. —
+ ^ г
2
=1, 2 = 4, 2 = 0.
9 4
2
2 2
19
.
*_
+
2^_-Е_
=
_і,
г =
20.
9 25 100
2
2 2
20. —
+
^-
+
—
= 1,2 = 4,2 = 0.
16 9 64
х
2
у
2
у
21.
—
+ = 1, 2 = -=т=, 2 = 0 (у >0).
27 25 7з
22.
2 = 4х
2
+ 9.у
2
, 2 = 6.
2
23.
х
2
+^—2
2
=1, 2 = 3, 2 = 0.
4
2
2 2
24.
—+^ — =
-1,
2 = 20.
25 9 100
25. —
+
^-
+ — = 1,2 = 5,2 = 0.
16 9 100
26.
— + у
2
=1, 2 = ^, 2 = 0 (у>0).
27 7з
27.
2 = 2х
2
+18>>
2
, 2 = 6.
2
2
28.
—+ ^ 2
2
=1 , 2 = 2, 2 = 0.
25 9
2
2 2
29
.
£_
+
2__£_
=
_
1>г = 1б
.
16 9 64
2
2 2
30. —
+ ^-+ — =1,2 = 6,2 = 0.
16 9 144
2
2 2
31.
—+
^+—=1,
2 = 7, 2 = 0.
16 9 196
Задача 7. [ гл. 1, § 3, приклади 14, 15 ]
Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням фігур, обмежених гра-
фіками заданих функцій. У варіантах 1-16 вісь обертання - Ох, у варіан-
тах 17-31 вісь обертання - Оу .
308
Глава 5. Типові розрахункові завдання
Варіанти завдань
1.
у = -х
2
+5х-6, у = 0.
2.
2х-х
2
-у = 0, 2х
2
-4х + у = 0.
3.
у = Ззіпх, у =
5ІПХ,
0 < X < п.
4.
у = 5созх, у = созх , х = 0, х > 0 .
5.
у = зіп
2
х, х = — , у = 0.
2
6. х = Щу-2 , х = 1, у = 1.
7.
у = хе
х
, х = 1, у = 0.
8. у = 2х-х
2
, у = -х + 2, х = 0 .
9. у = 2х- х
2
, у = -х + 2 .
10.
у = е
]
~
х
, х = 0, х = 1, у = 0.
11.
у = х
2
, у
2
-х = 0.
12.
х
2
+0/-2)
2
=1 .
13.
у =
1
-х
2
, х = 0 , х = д/у-2 , х = 1.
14.
у = х
2
, у =
1
, х = 2.
15.
у = х
3
, у = 4х .
лс •
Ш
2
16.
V = 81П , V = Х .
2
17.
у = агссоз , у = агссоз х , у = 0.
X л
18.
у = агсзіп —, у = агсзіп х , у = — .
19.
у = х
2
, у = 0, х = 2.
20.
у = х
2
+1,у = х,х = 0,х = 1.
21.
у =
л/х-1,у
= 0,у = 1,х = 0,5.
22.
у = Іпх , х = 2 , у = 0.
23.
у = (х-1)
2
, у = 1.
24.
у
2
=х-2, у = 0, у = х
3
, у = 1.
25.
у = х
3
, у = х
2
.
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
309
*
х
26.
у = агссоз —, у = агссоз —, у = 0
5 З
27.
у = агсзіп х, у = агссоз*, у = 0 .
28.
у =
*
2
-2*
+ 1, у = 0, х = 2.
29. у = х
3
, у = х.
30.
у = агссоз* , у = агсзіп* , * = 0.
31.
у = (*-1)
2
, * = 0, * = 2, у = 0.
Задача 8. [ гл. 1, § 3, приклади 24-30]
Розв'язати задану задачу фізики.
У варіантах 1-13 треба: обчислити силу тиску на пластину Р , яка
вертикально занурена у воду. Форма, розміри та розташування пластини
вказані далі для кожного варіанта.
1.
Р : рівнобічна трапеція з основами а = 4,5 м та Ь = 6,6 мі висо-
тою // = 3,0 м. (рис.5.1).
2.
Р : рівнобедрений трикутник, основа якого а = АВ = 2 м лежить
на поверхні води, висота трикутника дорівнює Н =
1
м (рис.5.2).
3.
Р : півеліпс з півосями а = 2 м та Ь = 1 м, В\В
2
= 2Ь лежить на
поверхні води (рис.5.3).
4.
Р : півеліпс з півосями а = 2 м та Ь = 1 м, А
}
А
2
= 2а лежить на
поверхні води (рис.5.4).
5.
Р : прямокутний трикутник АВС ,де АВ лежить на поверхні води,
Л£ = 1м, ЛС = 2м(рис.5.5).
Варіанти завдань
Рис.5.1
Рис.5.3
А
В
Рис.5.4
с V
Рис.5.5
310
Глава 5. Типові розрахункові завдання
6. Р
:
рівнобедрений трикутник, основа якого а = АВ = 10 м паралель-
на поверхні води, а вершина С лежить на поверхні води, висота трикутника
дорівнює п = 4 м (рис.5.6).
7.
Р : півколо радіуса К = 3 м (рис.5.7).
8. Р : півколо радіуса К = 2м (рис.5.8).
С
Рис.5.9 Рис.5.10
11.
Р
:
рівнобічна трапеція з основами а = 8 м, /> = 4 м, висотою И = 2м
(рис.5.11).
12.
Р : рівнобічна трапеція з основами а = 4м, й = 8м, висотою И = 2м
(рис.5.12).
13.
Р : прямокутний трикутник АВС, де точка А лежить на поверхні води,
сторона ВС паралельна поверхні води, а = АВ =
1
м, Ь = ВС =
1
м (рис.5.13).
Рис.5.11 Рис.5.12 Рис.5.13
У варіантах 14 - 27 треба: обчислити роботу, яку треба затратити,
щоб викачати воду з резервуара Р . Форма, розміри та розташування резер-
вуара наведено далі для кожного варіанта.
14.
Р : правильна чотирикутна піраміда зі стороною основи а = 2 м,
висотою Н = 3 м.