Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
ГЛАВА
5.
ТИПОВІ РОЗРАХУНКОВІ ЗАВДАННЯ
§1.
Індивідуальне завдання 1.
Інтегральне числення функцій однієї змінної
Задача 1. [ гл. 1, § 1, приклади: 2, З - для п. а), б); 6,7- для п. в);
4, 5 - для п. г); 8-14 - для п. д); 15-18 - для п. е); 19-21 - для п. є);
22 - для п. ж); 23—28
—
для п. з)]
Знайти невизначені інтеграли.
Варіанти завдань
б) |зіп
4
2хсоз2хох ;
лі-.
\
—
х
сіх
1-а) \
2х сіх
лІ5-4х
2
х агсі§х
сіх;
л/ї+~
х
3
+1
X
і
-х
2
сіх :
2.
а) \
X УХ
зіпЗх сіх
5 + 2зіпх + Зсозх
б)
/СОЗ Зх
г) |агсІ§-\/4х-1 сіх ; д) ^— сіх;
х - х
)]—-_0х; ж)]
сіх
хУх
2
5-4зіпх + 2созх
а)/
х сіх
І5 І5-Зх
г
г) |іп(х-5) сіх ;
Г 5111 X
б) ]——ох;
соз
5
X
ох; ж
(Зх+13) сіх
(х-1)(х
2
+2х + 5)
Ззіпх-2созх
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
. С->зіпх
*
1
+
созх
сіх; з)
сіх
Зх"
-4х +
1
Ух~
\
+
Ух~
сіх;
зіп
3
х- соз
15
ХОХ
.
(2 - х)сіх
л/8-х
2
-
л/2х-1
2х
ах;
соз
2
х
• 4
ЗІП X
ах.
х ах
х
2
-7х + 13 '
Тх"
\-Ух
сіх;
зіп
3
X
соз
10
х
ах .
292
Глава 5, Типові розрахункові завдання
м
. с Зх ах
4.
а)
І
—- ;
Мх
2
+1
г)
|х
соз8х
ах ;
5-а)
\
х
л/х
4х
ах
л/з"
/3-4*'
г) |агсІ§
2х ах ;
6-а)
|
9ГТ
X
\х
2х
ах
4~*
18х
£
-9
г) \х
2
е~
х
ах;
7-а)
|
X
Л/Х
4х
ах
лДх
2
+3 '
г)
|(х +
1)е-
4
*ах;
8.
а) |
X
Л/Х
х
ах
8х"
г
СОЗХ
б)
]- —ах;
зіп
х + 2
х -6х + 8
_
ах:
X
І
+8
ах
5
+
Зсозх-5зіпх
б) |зіп
3
4хсоз4хах;
ж)
|
(12-6х)
ах
(х+1)(х
2
-4х + 13)
ах
5созх
+
10зіпх
'
б) |л/соз2х зіп2хах;
(2х
2
+ 2х +
20)ах
(х-ГХх
2
+2х + 5)
ж)
/
ах
3
+
2созх-зіпх
г
созх
б)
)-——
Л;
ж)
]
З
-
зіп
х
(х
2
+3х-6)ах
(х
+
1)(х
2
+6х
+
13)
ах
5-Зсозх
'
соз5х
4.
ах;
зіп
5х
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
(Зх-6)
ах
4
х
-4х + 5
-47
х(1+л/х)
ах
;
зіп
3
х-соз
9
хах .
(2
+ х)ах
х
1
+2х
+
10
(>/Зх-1-1)ах
л/3х
+
1
+л/3х
+ 1
ах
зіп хсозх
2хах
4? +
2х + 5
л/х"
4х
-47
ах;
сіх
соз х-зіпх
Зах
л/х
2
+2х + 3
х +
л/х
+
л/х
2
"
хП+Тх")
ах;
зіп
3
х-соз
12
хах .
Зх-2
х
2
-4х + 5
ах;
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
293
г)
є)
9. а)
г)
є)
10.
а)
г)
є)
11. а)
г)
є)
12. а)
г)
є)
2
-їх , ч гх
2
+Зх + 2 г -їх ,
хе "сіх; д) : сіх; е) т=ск;
^
1 + Гх)1
сіх; Ж)} ^ ;
з)Г±^1ї*.
х і[х* ' 5-45Іпд: + 7со5х ' * 2 + 31&Х
Тз" дг біс г $іп5х , . г 5ах
6)\——
сіх; в)_[-
л/зх
2
-2 ' соз
4
5х '
л/з-х
2
•
2х
- . ч ґ Збох
ч г
л/х + 3
агсі§Зхох; д) ; ; е) —-==• сіх ;
(х +
2)(х
2
-2х
+ 10)
3
\+Ух+3
^0
+
^;
А; ж) І— ; з) І—Щ: сіх.
'
и>гпсг
•>
+^2„.с
х--л/х
' •
І
3 + 5со5х' •' 1§
2
х + 5
г
2
.
2х ах ,-ч г • б, чґ Зх-6 ,
, ; б) І зіп ЗхсозЗхох; в) І . сіх;
л/Зх
2
-2 л/х
2
-4х
+ 5
чГ
(9х-9)ах
ч
г
>/2х
+
1+л/2х
+
1
,
агсІ§4хах; д) ; ; е) . ах
•'(х + 1)(х
2
-4х + 13) •*
72x77
'^-ах; «)[ * ; з)
ГІІ^*£&
.
1^7 •>
25ІПХ
+
ЗС05Х
+ 3 * 1§х + 3
2дгА г І2 4х , „ ; 2х-8 ,
, ; б) -2-г ах; в) І =
ох;
л/7-2х
2
'
«>8
2
4х -
1
,/і-х-х
2
агс5Іп5хох; д)
Г-^——ох;
е) Г ,
Х
~\ сіх;
3
х
3
+8
7x^1+^/х-1
ч
г сіх
ч
г 5ІП" X ,
X
2
' '' 5 +
45ІПХ
' ' С05' X
X СІХ
г СІХ г хсіх
2х
2
-7'
•'со5
2
ЗхІ8
4
Зх'
В
уІ5х
2
-2х + \ '
, ,ч -х , ч
г
(4х
2
+3х + 17)ах .
г
л/х + 3
(х + \)е сіх ; д) р - —; е)
[-===—-==
<Ь;
3
(х-1)(х
2
+2х + 5)
;
ч7х + 3+^х + 3
л/і
+ х . „ г сіх
ч
г зіп
4
X
ах;
ж) [ — ; з) [
5т
,
Х
сіх.
X
2
Тх •'8 +
4С05Х
405 X
294
Глава 5, Типові розрахункові завдання
ІЗ.а)
г)
є)
14.
а)
г)
є)
15.
а)
г)
є)
16.
а)
г)
є)
17.
а)
г)
ах
Зх
2
+8
х агсі§хах;
^І +
л/х")
3
<•
сі§
5
6х
б) ах;
ЗІП 6х
,
г
4х + 2
Д) } — —ах;
х
4
+4х
2
X л/х
2х ах
сіх ; ж) |
ах
Ззіпх-4созх
Зх' -7
х
2
е
гх
ах;
4 0
+
47)
;л/агсзіп
X
,
б) ] , ах;
4 1-х'
л Г
4Х + 2
А
х
2
^
2х ах
ах;
ж) |
ах
7зІПХ-Зс05Х
72"
2х' +5
хсоз(х + 4)ах;
б) |
агсзіп
3
2х
4
ах;
\-4х
1
(х
2
-5х + 40)ох
4+47
2 &Г~
х л/х
2х ах
ах;
ж
(х + 2)(х
2
-2х + 10)
сіх
2 + 4зіпх + Зсозх
ах
л/7-Зх
2
'
хсоз(х-2)ах;
б
)] 2 7 >
•' (1 + х")агсі§'х
.
г
4х-х
2
-12 ^
д)
]
—:—ах;
4і+47
X
X сіх
сіх ; ж) Г—
1 Іоі
х
3
+8
сіх
Ззіпх + 4созх
2х
2
+9
хсоз(х + 3)ах;
6
>/
лі
агсі§ 5х
1 + 25х
2
сіх;
(х -13х + 40)ох
(х + 1)(х
2
-4х + 13)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
сіх
х +4х + 14
л/х-1
(л/х+1) л/х
ах;
зіп
5
х
9
СОЗ X
ах.
ах
х
2
+3х + 6
х
+
47
+
Ух~
с(1+л/х)
ах:
зіп
2
х-соз
4
хах,
Зх + 4
х" +7х + 14
-ах;
л/х~
х-4 47
ах ;
соз
3
х
ах.
зіп х
2х-3
х +х + 5
ах
-ах;
л/Зх +
1
-1 '
зіп
4
х-соз
2
хах.
х-3
х
2
-9х + 13
-ах:
х + 2
л/Зх +
1
ах;
§1.
Індивідуальне завдання 1.
295
18.
а)
19.
а)
20.
а)
21.
а)
22.
а)
щиЛІх
3
)
2
г
2-зіпх + Зсозх
А
их,
УК) і
1
ах,
х
2
5х сіх
1 +
СОЗХ
3-5*
6)1
агсзіп 5х
сіх:
-25Х
1
хе
х+2
сіх; д) [
3 9х
сіх;
х-1
4^/(1 +л/7)
х
іР/
X
ох
—Р=—
ах; ж) Г
дх
Зх
1
+8
хе
7дг
ах;
^О+І/хУ
5 +
ЗІПХ
+
ЗсОЗХ
б)
[—\—сіх;
Д)
І—; сЬс;
3
х
3
+8
9ГТ
X
\х
5х ах
сіх; ж) |
ах
5x^+3
4зіпх + Зсозх + 5
б) \е
2х
'~
х
х
2
сіх;
агсзіп 2х сіх; д) |
(4х-10)ах
Ос+ 2)0^ -2х + 10)
л/(1
+
3
Ух
Т
)
х
2
Ух
х ах
ах;
ж) |
7 + 6зіпх-5созх
Зх"
-6
1 +
С05Х
б) І
є
4
-
5
"
2
хсіх;
Ос
2
+23) ах
ах;
(х + 3)е
х
сіх ; д) [-
-
1
(х + 1)(х
2
+6х+13)
Ж)
Г
х
2
л/х З + созх + зіпх
ах
ах
5х"
+1
б)
|^"
5(Х
,
+
1)
ах;
х +
1
3
>
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
СОЗ
X
зіп
12
X
сіх.
2х + 3
х
1
-7х + 12
-сіх;
х-1
л/2х-1
ах ;
зіп х
соз
6
х
ах.
ах
УІ7Х
2
+5х + 4
= ах ;
4-х
1
зіп
5
X
ах.
СОЗ
X
Ох
л/і1
+ 5х + 6х
2
ах
(9 +
л/х)л/х
'
СОЗ
X
ах.
зіп х
ах
^5 + Зх-х
2
^*
сіх;
лТІ+1
1§
5
х ах.
хах
2х
А
+5х + 3
296
Глава
5.
Типові розрахункові завдання
г) |агссозхох;
д) $
(2х
2
+ 1х + 1)ск
(х-1)(х
2
+ 2х + 5)
х
л/х
ах:
23.
а) |
5л:
ах
5х
2
-3'
г) \(х
2
-3)е
х
ск;
д) \
х
]
47
24.
а)
1
2х
2
-7
ж)
\
бзІПХ
+
СОЗХ
1
+
созх
(1-х)1п
3
(1-х)
'
(19х-х
2
-34)ох
(х
+
1)(х
2
-4*+ 13)
сіх
Зсозх-4зіпх
'
1п
3
(2-х)
х-2
ск
;
т)\хе-*
х
ск;
д)|
С)
Н^Г*
:
^5 +
Зсозх
(4х
2
+38)ох
(х
+ 2)(х
2
-2х + 10)
ск
25.
а) }
9*
ск
47
9х'
б)/
1п
4
(3х
+
1)
Зл-
+
1
ск;
г) |хсоз(х
+ 7)ах; д) ^
8ах
(л-
+
1)(л-
2
+ 6х + 13)
ск
26.
а) /
2
15/-
х
л/х
Зх
ск
9л-'+2
г)
_[хе
_5
*ах;
б)
|
4зіпх-6созх
1п
5
(х-8)
х-8
-ск;
ч
г^(і+У7)
2
^. чГ
є)
, .і- а*; Ж) —
X
Л/Х 3 +
ЗС05Х
+
5зіПХ
(2х
2
+ 4х +
20)ох
(х
+ 1)(х
2
-4х+13)
ох
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
1
+
1/х"
х
+
л/х
ох
ах;
С05
6
X
хах
л/^
-^
+
1
ах
Зх-2х'
ск
;
ЗІп'х-СОз'х
Зх-6
л/х
2
-4х +
5
ах
ах
;
1+л/хТТ
'
ск
•
4 4
ЗІП
X
•
СОЗ
X
ах
Зх'-х
+
І
ск;
л/х-1
1
+ 1§х
ах.
Зх-2
х
2
-4х
+ 5
-сіх;
ск:
47-^ '
ск
ЗІП Х-СОЗ
X
§1.
Індивідуальне завдання 1.
297
27.
а)
г)
є)
28.
а)
г)
є)
29.
а)
г)
є)
30.
а)
г)
є)
31.
а)
г)
2х сіх
5х
г
-З
хе
х+3
сіх;
л](1
+
^7)
3
2 5/2
X
УІХ
5х сіх
«і
сіх; ж) |
ах
(х-4)1п
5
(х-4)
(5х + 13)ах
(х + 1)(х
2
+6х+13)
ах
С08Х-35ІПХ
'
•агсі§8х .
>Г7х
2
-1 '
б
) І' 2
•'
1
+ 64х
2
сіх;
ч
ґ
4
*
2
+ х + 10 ,
хсоз(2-х)ох; д) І ^—-—ах;
х
3
+8
л/їЖ
тт=—
дх; ж) [
л/х
сіх
Зх сіх
4
9х
2
+5
агсіе—ах;
6
4
3
У(ТЖ)
4-4зІПХ +
ЗС05Х
б) |
е
3со
"
+2
зіпхах;
(4х
2
+ 7х + 5)ах
х
х ах
ж)
Г «
12
^Г •'Ззіпх-
(х-1)(х' +2х + 5)
ах
созх '
агс(§
х
Зх
1
-2
б)
Р—5-А;
1+х
2
агссоз
х , , гЗх
2
+2х +
1
.
— сіх; д) )
;
сіх;
сіх; ж) |
х
3
-1
сіх
їх
сіх
7x^+1
1п(1-2х)ах; д) }
2-Зсозх + зіпх
б)
|-4т^;
бхох
в)
е)
з)
в)
є)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
з)
в)
е)
сіх
2х
1
-5х + 7
л/х-5
ах;
З X . 5 X ,
соз
— •
зіп — ах.
2 2
х-1
х
1
-х-1
сіх
-сіх;
хУТ^ІЇ'
І£
3
Х
ОХ
.
сіх
2 + Зх-2х'
І2 + х
\2-х
сіх;
сІ§ х
сіх
.
х + 3
л/х
2
+2х + 2
ах;
3-4х
9-5х
зіп
3
X
ах;
4/
З
\С05 X
ХСІХ
СІХ .
5х'
-2х +
1
сЬс
(2-х)л/ї7с"'
298
Глава 5. Типові розрахункові завдання
СІХ . г 7 ,
є)
І
-=-ск;
ж) І
--; з)
І1§
х ск.
хУх
5
8зіп
х-Ібзіпхсозх
Задача 2. [ гл. 1, § 2, приклади 1-5]
Обчислити визначені інтеграли.
Варіанти завдань
1.
а)
]хе-
2х
ск;
о
29
2.
а) \-Щ^ск;
зЗ + \ї(х-2)
2
У
3.
а) |хсозхох;
4.
а) }
ск
2х + >/Зх+1 '
5.
а) |агссоз2хох;
-V.
6. а) )•
хск
з 77+1'
7.
а) | х зіп х соз хат ;
/2 З
- СОЗ X
б) І
п
— ах .
л/зіпх
у
б) |зіп
3
2хах.
о
б) |зіп
4
— ах.
о
^
?3
б) І соз
3
хзіп2х ах .
о
%
б) |і§
2
х ах.
о
зіпх
ск .
^/(1-созх)
б) |2созхзіпЗх ск .
8. а) }-
ск
,
1
+ л/2х +
1
'
2
9. а) |х
2
Іпхах;
10.
а) | , ск;
2/УІ2
+ ЗХ
б)
Гсоз—соз— ск .
3
2 З
созх
зіп
2
х + 1
ск.
У
б) |і§
4
фо<р.
У
§1.
Індивідуальне завдання 1,
299
11.
а) |(х + 3)зіпхох ;
о
е
12.
а) |дг1п
2
хсіх;
13.
а) }
сіх
^І +
л/х+Т
'
2
14.
а) |іп(Зх + 2)ох;
і
4 .
15.
а)
г
х
3
л/х
2
+9сіх;
о
о
16.
а) \(х+\)е
1х
сіх;
17.
а) |хагсІ§хах;
о
хах
18.
а) |
І ТЇТзх'
19.
а) ]
сіх
Ол/х
+
1
+д/(х + 1)
3
20.
а) |агсзіп(Т-х)ах;
. ; Х +
1
,
21-
а) ]
77
=ях;
л/2х
+
1
22.
а) |агсг§(2х-3)ах;
я х Зх
б) [соз—соз— сіх .
І 2 2
б) |зіпЗхсоз5х сіх.
о
У
б) І — сіх .
о
СОЗ X
б) |сІ§
3
х
ОХ
.
б)
І
соз х соз Зх соз 5х сіх.
о
Ті
б) І
соз
4
хзіп
2
X сіх .
о
б) |зіп
6
X йх .
о
б) |л/і + зіпх ах.
£/ 5Іп2х
/6
5<
V зш2х
б) І —т— ах .
^/СОЗ X
%
б) |зіпхзіпЗх ах.
о
б) І
81ПХ
(1 + зіпх)
ах.
300
Глава 5. Типові розрахункові завдання
23.
а) |
5
х
2
2
(х-1)\/х~-ї
%
24. а) |х
2
зіп4хох ;
о
25..)/-*
;
і хл/1 + Іпх
26.
а) |(х- 1)1пхах ;
ах;
27.
а) }
л/х
2
-^
-ах
;
28.
а) |х
2
зіпх ах ;
о
29.
а)
\лІ4-х
2
сіх
;
ЗО.
а) \х
2
е
іх
сіх;
о
сіх
31.
а) /•
лАх-З-х
2
'
«і
о
б) /
о
%
ЗІПХ
3 + 2зіпх
зіпх
сіх.
2 +созх
4-7і§х
сіх.
І 2 + Зі§х
У
х
б) § зіп
4
— ах.
ах.
ах
зіп'
х
б) |соз
2
хзіп
4
х ах .
У
б) Гсоз
5
х ах.
о
б) І зіпх зіп2х зіпЗх ах .
Уг
б) |
созх
о
4 +
л/зТ
Ох.
зіпх
Задача 3. [ гл. 1, § 2, приклади 6-18]
Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність.
Варіанти завдань
1.
а) \хе~
3х
ах ; б) |
1 4
Л
X СІХ
і 477
2.
а) \
сіх
2х
2
-2х +
1
сіх
"ТГЇх"