Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

§3.

Теорія поля

261

§гааиу =

иш-а<ІУ

+ у§гас!и.

4°.

§гас1—

= -^(у^гас! и-и§га(І у).

у у

5°.

&іА/(и(х,у,2))

= -1-&дАи.

ви

Зауважимо, що вектор градієнт та його довжина використовуються для

визначення координат одиничного нормального вектора до заданої поверхні.

Якщо поверхня а задається рівнянням Р(х, у, г) = 0, а —її нор-

мальний вектор, то вектор одиничної нормалі п визначається так:

П=±;

Р'

(х,у,г)

К(Х,У,2)

р'

(х,у,г)

(4.49)

Але,

якщо вважати, що задано скалярне поле и(*> у, г) =

/*Хл:,

у, г), то

§гас!м=

&га<1Р(х,у,2)=

(р'

(х,у,2),р'

(х,у,2)).

(4.50)

Тоді

_ §гаа

(дг,.у,2)

Я =

І-;

г .

\&дАріх,у,г)\

Якщо поверхня а задається рівнянням 2 = г(х, у), то

( Л

и =

-1

(4.51)

(4.52)

. '2 '2 ' /ї 'І 'І" ' "її ~її

+ 2

+2у ^\ + 2

+2у

д/і

2/+2/

Отже, напрямні косинуси соз а, созр, созу вектора одиничної нормалі

п визначаються через координати ^та&Р та його довжину за формулою (4.51).

Векторне поле та його характеристики

Поле,

задане в області СсК

, називається векторним, якщо в кож-

ній точці М(х,у, г) є С задається вектор а = а(М):

а(М) =

Р(х,у,2)1

<2(х,у,г)]

+ Я(х,у,г)к .

Векторною лінією векторного поля а називається крива, в кожній

точці М якої вектор а напрямлений по дотичній до цієї кривої.

262 Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

Якщо Р(х,у,г), 0(х,у,г), Я(х,у,г) неперервні і мають частинні

похідні першого порядку, то векторні лінії визначаються з системи диферен-

ціальних рівнянь

ах ^ ау

сіг

Р(х,у,г)

0(х,у,г)

Я(х,у,г)'

Дивергенцією векторного поля а(М) в точці М називається вираз

- дР д(2 дЯ

(4.54)

дх ду дг

Дивергенція векторного поля є скалярною характеристикою вектор-

ного поля.

Якщо вважати, що а - поле швидкостей рідини, що рухається, то

дл\а(М) є потужність джерела, яке розташовано в точці М (за умови, що

ш'у а > 0), або потужність стоку (й\\ а < 0).

Властивості дивергенції

1°. С1ІУ(С

]

)

а\\а

+С

А\\а

, де

С,,С

= сопзі.

2°.

СІІУ

(и(лг, у, г)

•

а(Му) = (§гас1 и, а) + и

•

йі\ а .

3°.

Якщо а(М) - сталий вектор ,то

О!ІУ

а = 0 .

Ротором векторного поля а(М) називають вектор

(дЯV (3£ дР

тої а =

і і к

д_ _3_ д_

дх ду дг

Р <2 Я

ду дг ^ дг дх ) у дх ду ^

(4.55)

Ротор векторного поля є векторною характеристикою векторного поля.

Властивості ротора

1°.

гоІ(С[5]

+С

) =

С,гоіа,

гоій

де

С,,С

= сопзІ.

2°.

тоІ(и(х,у,г)а(М)) = [§гайи,а] + и-

тої

а .

3°.

Якщо а(М) - сталий вектор ,то го1а = 0.

Потоком векторного поля а(М) через поверхню О в сторону, визна-

чену нормальним одиничним вектором й = (со$ос,

со5р\

соху) називається

поверхневий інтеграл

П = Д(а,й)й?а = Д(/

со5а + £со8р + /ссозу)й'а = ^а

сіа. (4.56)

Тут а

= пр

а.

§3.

Теорія поля

263

Якщо а = ії(х,у,() - поле швидкостей рідини, то потік поля через

сторону поверхні о, визначену нормальним одиничним вектором п, дорі-

внює кількості рідини, що протікає через цю поверхню в одиницю часу.

Лінійним інтегралом векторного поля а(М) вздовж орієнтованої

кривої Ь називається криволінійний інтеграл

\(а,а?) = $Рах + (2ау +

Яа2=

\а

сіІ,

(4.57)

її

де аТ = (ах,ау,сіг), а

= пр^З , т = (созсх, созр\ созу) - одиничний вектор

дотичної до кривої.

Якщо а = Р(х, у, г) - силове поле, то лінійний інтеграл є робота сили

по переміщенню точки вздовж лінії Ь .

Лінійний інтеграл вздовж замкненого контуру і називається цирку-

ляцією векторного поля а = а(М):

С = $(а,а7). (4.58)

Формули Остроградського-Гаусса та Стокса

у векторній формі

Формула Остроградського-Гаусса у векторній формі має вигляд

П = \\(а,п)сіа = \\\й\\асіУ , (4.59)

тобто потік векторного поля а(М) через замкнену поверхню о, що обме-

жує область СсК

,в напрямку її зовнішньої нормалі п,

п | = 1, дорівнює

потрійному інтегралу по області О від дивергенції векторного поля.

Формула Стокса у векторній формі має вигляд

С = §(а,<&) =

Л(гоіа,«)

сіа, (4.60)

тобто циркуляція векторного поля а(М) вздовж замкненого контура Ь до-

рівнює потоку вектора ротора гоїЗ через поверхню о, обмежену цим кон-

туром (орієнтація поверхні а і контура І узгоджені).

Поняття узгодженості орієнтації поверхні о і обмежуючого її конту-

ра І введено в § 2 цієї глави.

Спеціальні види векторних полів

Потенціальне векторне поле. Векторне поле а(М) називається по-

тенціальним, якщо

а(М)

=%\2Аи(х,у,г).

(4.61)

264 Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

Функцію и(х, у, г) називають потенціалом поля а(М).

Критерій потенціальності векторного поля

Для того, щоб векторне поле а в однозв'язній області С с К

було потен-

ціальним, необхідно

достатньо, щоб в кожній точціі області С виконувалась умова

гоі5 = 0. (4.62)

Виконання умови (4.62) рівносильно виконанню умов:

= М І£

^ ЗЛ

(463)

ду дх дг ду дх дг

Потенціал и(х, у, г) векторного поля а-Рі + 2/ + Як визначається

формулою

и(х,у,г) = \Рах + (2ау + Яск, (4.64)

де М

(х

, у

, г

) -будь-яка фіксована точка в однозв'язній області С7сК

Інтефування ведеться по будь-якій кривій, що з'єднує точки М

(х

, у

, г

)

і М(х,у,г).

Зауваження. Якщо поле потенціальне і крива Ь замкнена, то

§Рах

<2ау

+ Яа2

і.

Соленоїдальне векторне поле. Векторне поле а(М) називається

соленоїдальним або трубчастим, якщо

СІІУ

5(М) = 0.

Із означення соленоїдального поля випливає, що це поле не має ні

джерел, ні стоків.

Оскільки

СІІУ

гої а = 0, то поле ротора є соленоїдальним. Потік П соле-

ноїдального векторного поля через замкнену поверхню а у напрямку зовніш-

ньої нормалі дорівнює нулю, що випливає з теореми Остроградського-Гаусса.

Оператор Гамільтона. Диференціальні операції

другого порядку. Оператор Лапласа

Символічний оператор Гамільтона або оператор "набла" розглядаєть-

ся як вектор і позначається

У=±1+±]

±к. (4.65)

дх ду дг

За допомогою оператора набла можна скорочено записати ^гаам,

аіу а , гої а .

§3.

Теорія поля

265

Якщо задано скалярне поле и(х,у,г),то

дііг

ди ~ ди ?

цгайи = —_, +_—

}

+—к ,

дх ду дг

тобто

то

§гадг/ = Уи.

Якщо задано векторне поле

а(М) = Р(х,

у,г)І

+ (?(х,

у,

г)] + Р{х,

у,

гук ,

_,. - дР дО дК

тобто

дх ду дг

сііуа = V

•

а .

Якщо задано векторне поле

а(М) =

Р(х,у,г)1

+ д(х,у,г)] + К(х,у,г)к ,

то

ГОІЯ

/ і к

д_ д_ д_

дх ду дг

Р 0, Р

тобто

гот а = V х а .

(4.66)

(4.67)

(4.68)

Комбінуючи символи §гади,

СНУЙ,

гої 5 попарно, можна отримати дев'ять

пар виразів. Всі ці дії називають диференціальними операціями другого поряд-

ку. Але не всі пари мають значення. Розташуємо усі можливості у таблицю.

Скалярне поле и(х,у,г)

Векторне поле а(М)

§гас!и

СНУЙ

тої а

ігао"

////////

§гаас!іу5

/////

СЇІУ

сНу^гасіи

/ / / / /

СНУ гої а

гої

гоІ§гас!г/ = 0

// / / /

гої гої а = 0

Заштриховані клітини відповідають операціям, які не мають значення.

Диференціальні операції другого порядку можна записати через опе-

ратор набла.

266

Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

Для скалярного поля и(х, у, г) маємо:

&\\&дАи

Ч-Чи. (4.69)

гоІ§га(ім = УхУм = 0. (4.70)

Для векторного поля а(М) маємо:

§гас1с1іуа = У(Уа). (4.71)

аіугог5 = У(Уха). (4.72)

гоІгоІа=Ух(Уха) = 0. (4.73)

Обчислимо сііузгаа'и.

, ,. (ди

ди -, ди гЛ д

и д

и .. _..

аіУВгаам

=ЙІУ—;=ТТ

ТТ

ТТ-

(4Л4)

[дх ду дг ) дх ду

дг

и д

Вираз —— + —-н — називають лапласіаном для скалярної функ-

дх ду дг

ції и(х,у,г) і позначають через Дм :

и д

и ,. _,.

Дк = —+—

+ —

. (4.75)

дх

ду

дг

Отже,

ш у

§гас!

г/= Д к. (4.76)

Зауваження. При використанні оператора V до добутку будь-яких

величин треба пам'ятати правило диференціювання добутку

д , . Зи ЗУ

— (МУ) = у 1- и— .

дх дх дх

Отже, оператор V треба використовувати по черзі до кожного множ-

ника, при цьому у першу чергу враховувати його диференціальний харак-

тер,

а потім вже векторні властивості.

//. Контрольні питання та завдання

Дайте означення скалярного поля.

Дайте означення основних характеристик скалярного поля.

Який зв'язок між похідною за напрямом і градієнтом

скалярного поля?

Сформулюйте та доведіть основні властивості градієн-

та скалярного поля.

§3.

Теорія поля

267

Запишіть координати вектора одиничної нормалі до по-

верхні в залежності від того, яким рівнянням задається поверхня.

6. Дайте означення векторного поля.

Які основні характеристики векторного поля?

8. Що таке потік векторного поля?

9. Дайте означення дивергенції векторного поля. Які її влас-

тивості?

10.

Дайте означення ротора векторного поля. Які його влас-

тивості?

11.

Наведіть означення лінійного інтеграла векторного поля

та циркуляції.

12.

Запишіть формулу Остроградського-Гаусса у векторній формі.

13.

Запишіть формулу Стокса у векторній формі.

14.

Яке поле називається потенціальним?

15.

Як знайти потенціал векторного поля?

16.

Яке поле називається соленоїдальним?

17.

Визначте оператор Гамільтона та наведіть вирази градієн-

та, дивергенції та ротора за допомогою цього оператора.

18.

Які існують диференціальні операції другого порядку?

Що таке лапласіан?

///. Приклади розв'язання задач

У цьому пункті наведено 14 прикладів розв'язання задач,

які за своєю тематикою розподілились таким чином:

Скалярне поле та його характеристики: приклад 1.

Векторне поле та його характеристики: приклади 2-4.

Обчислення потоку векторного поля: приклади 5-9.

Обчислення циркуляції векторного пош:приклади

10,11.

Спеціальні види векторних полів: приклади 12, 13.

6. Оператор Гамільтона: приклад 14.

268

Глава 4, Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

Скалярне поле та його характеристики

") 3 ~у *)

Приклад 1. Задано скалярне поле и = х — у +2г х,

точка

М(1,

-1,2), вектор а = 2і - 2і + к .

Обчислити:

а) похідну скалярного поля и в точці М за напрямом /,

ди

заданим вектором а, тобто

а/

б) напрям та величину градієнта скалярного поля и в точ-

ці М, тобто рлжі и \

та | °лжІ и \

• а) похідна за напрямом обчислюється за формулою

ди

~д!

^ди ди

С05СС +

С05Р +

ди_

дг

сову,

де соз а, созр, созу - напрямні косинуси вектора а.

Знаходимо

8к

дх

:(2х + 2г

)| =10;

ду

-371^=3;

ди

І 2 2

|а|

= у2

+(-2)

+1=3; созос = -, созР = --, созу

Тоді

ди

ді

б) врахуємо, що

= 10—+ 3

м З

2\ 1 22

± +8-- = —

V з; зз

- ди

М ду

ди_

дг

к .

Маємо

Вгасім\

=ю7+ з]+ и.

Тоді величина градієнта скалярного поля и

|ігас1и|

| = л/і0

=^ІШ.<

§3.

Теорія поля 269

Векторне поле та його характеристики

Приклад

2. Знайти векторну лінію векторного поля

а(М)

= —уі + х/

Ьк , що проходить через точку М

(1,0,0).

•

Векторні лінії поля визначаються з системи диференціальних рівнянь

ах _ ау _ ск

-у х Ь

Розв'язуємо цю систему:

= — => хсіх + усіу = 0 => х

+у

=С

-у X

або в параметричному вигляді: х = С

соз /, у = С

]

зіп/.

Далі

ау ск С, С05ІСІІ ск , ,

—

= — => —! = — =>

<Ь

= ЬЖ => г = Ь/ + С

х Ь С, соз/ 6

Отже, розв'язком системи, а отже, рівнянням векторних ліній, запи-

саних у параметричній формі є:

х = С,соз/, у =

С\$т(,

г = Ь( + С

Оскільки векторна лінія проходить через точку Л/

(1,0,0), то

1 = С, соз/, 0 = С, зіп/, 0 = Ьі + С

Звідси знаходимо, що С

{

= 1, С

= 0 .

Отже, рівнянням векторної лінії поля а(М), що проходить через точку

(1,0,0) є

х = соз/, у =

ЗІП

, 2 = Ьі .А

Приклад

3. Обчислити дивергенцію векторного поля

а(М)

= (х

+ у)ї + (у

+ 2)/ + О

+ х)£ в точці М

(1,

-2,3).

•

За означенням

- дР дО дЯ

СІІУ

а =

—

-г^

—.

дх ду дг

Тоді аіу а \

= (2х + 2у + 2г) \

= 4 .

Оскільки

СІІУ

3 |

Мо

= 4 > 0, то точка М

є джерелом векторного поля. А

Приклад

4. Обчислити ротор векторного поля

а(М)

= (2 - у)і + (х - 2)7 + (у - х)їс.

270

Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

• За означенням гої а

і і к

д д д

дх ду дг

Р Є я

Тоді

' І к

3 8 3

, ду

гої а

дх ду дг

г-у х-г у-х

д(г-у)

дг

д(у-х)у

(д(х-г)

д(х-у)\

дх ) у дх ду

к =2і +2 >+2

А:

2(7+7

+ *).<«

Обчислення потоку векторного поля

Враховуючи, що потік векторного поля визначається як поверхневий

інтеграл П =

(Т(а,«)

#а, при його обчисленні використовують такі підходи.

І.Якщо

о=0,ио

,то

=П

С]

+П

(властивість адитивностІ).

Якщо а - зовнішня сторона замкненої поверхні а, то згідно з фор-

мулою Остроградського-Гаусса потік П визначається так:

Якщо поверхня а незамкнена, то її доповнюють іншими поверх-

нями до

замкненої.

Далі обчислюють потік за теоремою Остроградського-

Гаусса та із результату віднімають потоки через додаткові поверхні.

Якщо поверхня задана рівнянням Р(х, у,г) = 0, яке однозначно

розв'язується відносно кожної змінної, то це означає, що поверхня взаємно

однозначно проектується на кожну з координатних площин. Тоді для обчис-

лення поверхневого інтеграла, що виражає потік, використовується метод

проектування на кожну координатну площину (див. глава 4, §2). Відповідні

формули мають вигляд:

ЦІР

ауа'г±

Ц(2(Х,У,2)\