Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Поверхневі інтеграли
251
Маємо
2(х,у)
= 4\-х
2
-у
2
,
у(х,2)
= 4\-х
2
-г
2
,
х(у,2)
= -4\-у
2
-г
2
.
Отже,
/
= Л і
2
АхАу
+ х
Ауск
+
Ахск
=
]]г
2
АхАу
+
]]хАуск
+
]]ахск,
А
А А А
де
Л2
2
ахау
= ДОп-х
2
-у
2
)АхАу
=
Х
= рС05ф, £>^-»£>
р(р
,
.у
= рзіпф,
£
р<р
:0<р<1,
Ахау
= р
Ар Ау, — <Ф<
л.
2
г
Др(1-р
2
)ф</ф
=
/<*р](р-р
3
)ф=
л--
(7
4
£__£_
2
4
л
1 _ л
2~
"2 ~ Т
:
\\хАуАі=-]\(~І\-У
г
~2
2
)=
X
=
рС08ф,
2
= рзІПф,
охок = р
ф<Ар,
О
рф
:0<р<1,
0<ф<-.
2
=
ДА/і-р
2
рфс/ф=
/^ф/Л/і-Р
2
рФ= 7
о о
2
3-2
з
л
0-Р
2
)
2
»-ї(0-1)
= і;
6
6
ДО&ак
=
||Й6К&
= 8„ = 1л .
_
, л л л 2 .
Остаточно
/ =
—н—
+
—
=
—л.
^
4
6 4 3
Приклад
8.
Обчислити поверхневий інтеграл другого роду
Л 4х
3
а>
,
а2
+
4у
3
ііхсІ2
-
6г
4
сіхсіу, де
а -
зовнішня сторона поверх-
о
ні,
яка обмежена циліндром
х
2
+
у
2
=
а
2
і площинами
г = 0, 2 = Л.
• Оскільки поверхня
о
замкнена,
то для
обчислення інтеграла
/
використовуємо формулу Остроградського-Гаусса (4.40).
252
Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
Маємо Р(х,у,г)
= 4х
г
,
0.
(
х,у,г)
= 4у
г
,
К(х,у,г)
=
-6г
4
,
^
= 12Л|2
= 12Л
|К
=
_
242
з.
ох
ау 02
Тоді
/
=
\\4х
г
ауск +
4у'
і
аха2-б2*ахау =
\\\(\2х
2
+\2у
2
-24г
3
)ахсіусіг
=
о
с
х
=
рсо5ф,
О—»С',
=
12ГГГ(х
2
+
/-2,
3
)А^=
^
Р5ІПФ
' С':0<р<а,
П
а
}
2 = 2,
0<ф<2Л,
СІХСсусЬ
=
р
фй?ф02,
0 < 2 < //.
2л
а /і
= 12|[[(р
2
-22
3
)рфаф<£=
12]д'ф|рф|(р
2
-22
3
)й2
=
с?'
а
= 24л[р
0
0 0
:24Я
/
4
р
2
2-2^-
4
V
4
4 ,
а
-<
3
. А
4 Л
к
к
2
V
ф
= 24л|
о
і
= 6кНа
2
(а
2
-И
г
).<
ф
=
Приклад
9.
Обчислити криволінійний інтеграл другого
роду
/ =
^_уад:
+
2ф
,
+
л:Д2,де
І -
коло, утворене від перетину
ь
сфери
х
2
+ у
2
+
г
2
= а
2
і
площини
х
+
у
+
2
=
0, причому об-
хід
кривої
Ь
здійснюється проти годинникової стрілки, якщо
дивитись
із додатного напряму осі Ох
.
• Оскільки крива
Ь
замкнена, можна використати формулу Стокса (4.41).
Маємо Р(х,у,г)-у, ()(х,у,г)
= 2,
Р(х,у,г)
= х,
£я,,£
= о,^
=
о,^
=
і,^
= іД-о.
ду
дг дх дг дх ду
Виберемо
за
поверхню
а, яка
натягнута
на
коло
І,
частину площи-
ни
х
+
у
+
г = 0 ,
обмеженої цим колом. Тоді
і =
^уах
+
2сіу + хсІ2
=
^(-сЬсау
-
сіусіг
-
сЬсаг).
§2.
Поверхневі інтеграли
253
Будемо використовувати для обчислення поверхневого інтеграла в
правій частині останньої рівності метод проектування на всі три координат-
ні площини за формулою (4.36). За умовою вектор одиничної нормалі п до
площини х + у + г = 0 утворює із осями Ох, Оу , Ох гострі кути, отже знак
перед кожним доданком правої частини не змінюється. Проекція а на пло-
щини хОу, хОг, уОг є коло радіуса а із центром у початку координат.
Отже,
/ = - \\ахау -
І]ахск
- \\ауск = -3 Ц сіхсіу = - 38
в
= -Зла
2
. <
О
ху
о
х1
о
уі
о
ху
IV. Задачі для практичних занять
Поверхневі інтеграли першого роду
У задачах 4.76 - 4.86 обчислити поверхневі інтеграли пер-
шого роду.
4
>
\
4.76. Л
Х + І2 + — V
З
хуг.
—
+
—
+
—
=
1,
яка лежить у першому октанті.
сіа, де а - частина площини
4.77. Л хуг сіа, де а - частина площини х + у + г = 1, яка
о
лежить у першому октанті.
4.78. Лл/*
2
+ у
2
сіа, де а - частина поверхні конуса
а
у
2
=г
2
,
0<2<1.
4.79. Л (*
2
+ у
2
сіа, де а - частина поверхні параболоїда
о
/ =
І(х
2
+ >;
2
), 0<2<2,
4.80. Л(*
2
+У
2
+г
2
)сіа, де о - сфера х
2
+
у
2
+г
2
=1.
а
4.81.
Л
х
^
а
' Де О" - частина сфери х
2
+у
2
+2
2
=К.
2
а
(х > 0, у > 0, г > 0).
254
Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
4.82. ^К
2
-х
2
-у
2
сіо, де о - півсфера г=л]к
2
-х
2
-у
2
.
4.83.
^х
2
у
2
сіс, де а - півсфера г =
д/л
2
-х
2
- у
2
.
а
4.84. Л (х + у + г) ііа, де о - поверхня куба 0 < х < 1,
о
0<>><1,
0<2<1.
4.85. Л (х
2
+ у
2
) ост, де а - межа тіла ^х
2
+ у
2
< 2 < 1.
а
4.86. [[ т, де а - межа тетраедра, обмеженого
%
(1
+ х+і>)
2
площиною х + у + 2 =
1
і координатними площинами х = 0,
^ = 0, 2 = 0.
У задачах 4.87 - 4.91 обчислити площу заданої поверхні
о
за допомогою поверхневого інтеграла першого роду.
4.87. с - поверхня циліндра 2г = х
2
, яка відтинається
площинами у
=
> .У
= 2х, х = 2л/2 .
4.88. а - поверхня конуса 2 = 2ху, яка відтинається пло-
щинами х = а , .у = а, х > 0, у>0.
7 7 7
4.89. а - поверхня конуса у +г = х , яка розташована
всередині циліндра х
2
+ у
2
= а
2
.
7 7
4.90. о - поверхня параболоїда х + у = 2аг, яка розта-
шована всередині циліндра х
2
+ у
2
= За
2
.
4.91.
а - поверхня конуса х
2
+ у
2
=
2
2
,
яка розташована
всередині циліндра 2
2
=2рх.
У задачах 4.92-4.96 обчислити масу заданої поверхні а з
заданою густиною |і(х, у, г) за допомогою поверхневого інтег-
рала першого роду.
§2.
Поверхневі інтеграли
255
4.92.
о - поверхня куба 0 < х < 1,
0<у<\,
0 < 2 < 1, по-
верхнева густина \і(х,
у,
г) = хуг.
1 9 9
4.93.
а - частина поверхні параболоїда г = —(х +у ),
0 < г < 1, поверхнева густина |і(х,
у,
г) = г.
4.94. а - півсфера 2 = д/і -х
2
-у
2
, поверхнева густина
\і(х,у,2) = х
2
+ у
2
.
4.95. а - півсфера г =
л/4-х
2
-у
2
, поверхнева густина
\і(х,у,2) =
Х
2
у
2
.
4.96. о -частина поверхні конуса х
2
+ у
2
= 2
2
,
—
2<г<2,
поверхнева густина ц.(х,
у,
г) = д/х
2
+_у
2
.
Поверхневі
інтеграли другого роду
У задачах 4.97 - 4.108 обчислити поверхневі інтеграли
другого роду.
4.97. \\усіхйг
,
де а
-
верхня сторона площини х + у + г = а,
а
(х>0, у>0,г>0).
4.98.
Л
х сіусіг + у сіхсіг +
2
сіхсіу, де а - верхня сторона
а
площини х + 2у + 2- 6 = 0 (х > 0, у>0, 2 > 0).
4.99.
Л
Х2
ахф + ху сіусіг + уг сіхсіг, де а - зовнішня сторона
а
піраміди, утвореної площинами х = 0, у = 0, 2 = 0, х + у + г = \.
4.100. Л > де о - зовнішня сторона сфери
о
2
2
2 2 2
х
1
+у +2 =а .
256
Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
4.101.
||г
2
дхсіу , де о - зовнішня сторона півсфери
X
2
+у
2
+2
2
=К
2
, 2>0.
4.102. || х
сіусіг
+ у
ахсІ2
+ 2 сіхау, де о - додатна сторона куба,
а
утвореного площинами
Х
= 0,>> = 0, 2 = 0,
Х
= 1, ^ = 1,2 = 1.
4.103.
^х
2
у
2
г
сіхсіу,
де а - додатна сторона нижньої по-
ловини сфери х
2
+ у
2
+ г
2
= Я
2
.
4.104. сіхсіу, де о - зовнішня сторона еліпсоїда
2 2 2
X у 2 .
а
2
Ь
2
с
2
4.105. ^г
2
ахсіу, де а - зовнішня сторона еліпсоїда
а
2 2 2
хуг.
а
2
Ь
2
с
2
4.106.
^х
2
сіусІ2
,де а - зовнішня сторона частини поверх-
а
ні параболоїда 2 = —^-(х +>> ), х>0, у>0, 2 < Н .
Я
4.107. ||(х + у)
сіусіг +
(у - х) яхог
+
(г-2) дхо^, де а -
час-
о
тина поверхні конуса х
2
+ у
2
- г
2
—
0, яка відтинається площина-
ми 2 = 0 і 2 = 1, нормаль до якої утворює тупий кут з віссю Ог.
4.108.
сіхсіу
+ хг
сіусіг
+ ху сіхсіг, де с - зовнішня сто-
рона поверхні, розташованої у першому октанті і утвореної із
циліндра х
2
+ у
2
= Я
2
і площин х = 0, у = 0, 2 = 0 і г = Н.
§2.
Поверхневі інтеграли
257
У задачах 4.109-4.116 обчислити поверхневий інтеграл
по поверхні
о за
допомогою формули Остроградського-Гаусса.
4.109.
|| хг
сіхсіу
+
ху
сіусіг
+
уг
сіхсіг,
де
о
-зовнішня сторона
о
піраміди, утвореної площинами
х = 0,у = 0,г = 0,х
+
у
+
г
=
\.
4.110.
||
х
2
сіусіг +
Зу
сіхсіг
- 2гх
сіхсіу,
де
о
-зовнішня сторона
піраміди, обмеженої площинами
х = 0,у = 0,г = 0,х
+
у
+
г = \.
4.111.
|| уг
сіхсіу
+
хг
сіусіг
+
ху
сіхсіг
, де о -
зовнішня
сто-
а
рона поверхні, розташованої
у
першому октанті
і
утвореної
із
7
7 7
циліндра
х
+
у = К і
площин
х = 0, у = 0 , 2 = 0 і г = Н.
4.112.
|| х
сіусіг
+
у
сіхсіг
+
(1
- г)
сіхсіу,
де о -
зовнішня сто-
о
9
7 9
рона повної поверхні конуса
г =х + у , 0 < г < Н.
4.113.
^
х
2
сіусіг
+
у
2
сіхсіг
+
г
2
сіхсіу,
де о -
зовнішня сторо-
о
на повної поверхні куба 0<х<о,
0 < у <а, 0 < г
<
а.
4.114.
||
X
і
сіусіг
+
у
3
сіхсіг
+
г
3
сіхсіу,
де о -
зовнішня сторо-
о
на поверхні сфери
х + у
4-
2 = а .
4.115.
||
_у
2
2
ахс/у
+ хг
сіусіг
+
х
2
у
сіхсіг,
де а -
зовнішня сто-
а
рона поверхні, розташованої
у
першому октанті
і
утвореної із пара-
болоїда
2 = х
2
+ у
2
,
циліндра
х
2
+ у
2
=
1
і
координатних площин.
4.116.
Цд/х
2 +
У
2
+2
2
(со8а +
со8р
+
созу)а'а,де
а -зов-
о
7
7 7 7
нішня сторона сфери
х + у
+
г = К .
258
Глава 4, Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
У задачах 4.117-4.122 обчислити криволінійні інтеграли
за допомогою формули Стокса.
Г
9 "\ 9 9 9
4.117. фх у
сіх
+
сіу
+
2сіг,де
Ь -коло х +у =К ,2 = 0,
І
взявши за поверхню о півсферу 2 =
л/і?
2
- х
2
- у
2
. Інтегруван-
ня по колу в площині хОу ведеться в додатному напрямі.
4.118. | уг
сіх
+ хг
сіу
+ ху сіг, де Ь - контур трикутника
і
ОАВ із вершинами 0(0,0,0), Д1,1,0), 5(1,1,1).
Г
2 2 2
4.119.
ф
у
сіх
+ г
сіу
+ х сіг , де Ь - контур трикутника
і
АВС із вершинами А(а,0,0), 5(0,а,0), ОДО,а).
4.120. §(у
2
+г
2
)сіх
+
(х
2
+г
2
)сіу
+
(х
2
+у
2
)сіг , де І -
крива, яка утворена від перетину двох поверхонь: сфери
х
2
+ у
2
+г
2
= 2Кх і циліндра х
2
+ у
2
= 2гх (0<г<К,г>0).
Обхід по кривій Ь проти годинникової стрілки, якщо дивитись
із додатного напряму осі Ог .
4.121.
§хсіх+ (х + у)сіу+ (х + у +
г)сІ2
, де Ь - крива
і
х = а зіп (, у = а соз 1,2 = о(зіп І + соз
/),
яка пробігається у на-
прямку зростання параметра і (0 < і < 2%).
ґ
2 2 2 2 2 2
4.122.
ф
у г
сіх
+ х г
сіу
+ х у
сіг
,
де Ь - замкнена крива
і
х = а соз І, у = а соз 21, г = а соз Зі, яка пробігається у напрямку
зростання параметра І (0 < І < 2л).
§3.
Теорія поля
259
§3.
Теорія поля
І.
Короткі теоретичні відомості
Скалярне поле
та
його характеристики
Кажуть,
що в
просторі
К
3
задано поле деякої величини, якщо
в
кож-
ній точці простору
(або
його частині) визначено значення цієї величини. Поле,
задане
в
області СсК
3
, називається скалярним, якщо
в
кожній точці
М(х,у,г)є
О
задається скалярна функція
и =
и(х,у,г).
Геометричне місце точок,
в
якому скалярна функція
и = и(х, у, і)
збе-
рігає одне
і те ж
значення, називається поверхнею рівня, тобто рівняння
по-
верхні рівня и(х,у,і)
= С.
Похідна
за
напрямом
Візьмемо
дві
точки скалярного поля М(х,у,г)
і
М\(х
х
,у
х
,г
х
). Про-
ведемо вектор
/ від
точки
М до
точки
А/,,
напрямні косинуси якого
по-
значимо соза,
соб(і,
созу (рис.4.13).
а
[У
Дг Дг
/а
"
,/Дх
Ау
У
Рис.4.13
Координати точки
М
х
дорівнюють відповідно
X, = Х + Ах , У]
=
у + Ау , 7,
= 2 +
Л2,
тоді
Д/ = ММ
Х
= 4Ах
2
+Ау
2
+Д7
2
Обчислимо приріст
Д/м
функції и(х,у,г)
при
переході
від
точки
М
до точки
М
х
в
напрямі вектора
/ : А
{
и =
и(М
х
)-и(М).
п
. А,и ,
Якщо існує границя
І
іт ——, то цю
границю називають похідною функ-
д/-»о
Д/
-
ди
ції
и(х, у, г) в
точці
М(х, у, г) за
напрямом вектора
І і
позначають
—,
тобто
ді
ди
=
Ііт
А
(
и
ді
д/^о Д/
(4.43)
260
Глава
4.
Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
Припустимо,
що
функція
и(х, у, г)
диференційовна
в
точці
М ,
тоді
її
приріст
Д
;
и
представляється
у
вигляді
ди
Л
ди . ди
4 л
. . ,. .
А,и
= —Ах + — Ау+ — Аг +
є,Дх+ г
2
Ау+ є
3
Дг, (4.44)
дх
ду дг
де
Є], є
2
, £3 -
нескінченно малі функції
при Д/
—»
0.
Оскільки
Дх =
Д<соза,
Ду =
Д/созР, Дг-Д/созу,
то
переходячи
до
границі
у
рівнянні (4.44)
при Д/
—»
0,
дістанемо формулу
для
обчислення
похідної
за
напрямом
ди
ди ди „ ди ,. .
—
= —
соза+
—
созр+ —созу. (4.45)
ді
дх ду дг
Означення. Вектор, координатами якого
є
частинні похідні функції
и(х,у,
г) в
точці М(х,у,
г)
називається градієнтом функції
в цій
точці
і
позначається ^гасі
и .
Отже,
^
/ ди - ди - ди г ,.
упиІи(х,у,2)
= —/ + —у + —к .
(4.46)
ах
ду дг
Враховуючи,
що
£гас!и
= [ 1, 7 =
(соз
а,
соз Р, соз
у), мож-
^
Зх Зу Зг )
на записати формулу (4.45)
у
вигляді
=
(£гас!
и, і) =
пригас!
и .
(4.47)
ди
37
Далі
за
властивістю скалярного добутку маємо
пригасім
= |
§гао!и| соз
ф,
(4.48)
де
ф - кут між / і
§гас!и
.
Якщо созф
= 1, то —
приймає найбільше значення, тобто
при цьо-
3/
му напрям
/
співпадає
із
напрямом угасім.
До
того
ж має
місце співвідно-
шення
( —] =
|егааи|.
1
3/
іпах
' '
Властивості градієнта
Нехай
и =
и(х,у,г),
у =
у(х,у,г)
-
диференційовні функції. Тоді
ма-
ють місце властивості.
1°.
§гасі(и
+
У)
=
§гас!
и +
§гаа" V.
2°.
§гасі(Си)
=
С§гж1и.