Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Криволінійні інтеграли
221
8
= $хау, (4.23)
і
8
= -§хау-уах. (4.24)
Формули
(4.22),
(4.23) отримуються з формули Гріна при відповідно-
му
виборі функцій Р(х, у) та
<2(х,у).
Формула (4.24) отримана з формул
(4.22),
(4.23) шляхом додавання їх лівих та правих частин.
б)робота
А сили Р(х, у, і) = Р(х, у, г)і + (?(х, у, г)) + К(х, у, г)к при
переміщенні
матеріальної точки вздовж кривої і обчислюється за формулою:
А
= \Рах
+
С2сІу
+
Ксі:.
(4.25)
і
//. Контрольні питання та завдання
1.
Що називається криволінійним інтегралом першого роду?
2.
Як обчислити криволінійний інтеграл першого роду за до-
помогою визначеного інтеграла, якщо рівняння кривої інтегруван-
ня задані у параметричній формі? Довести відповідну формулу.
3.
Як обчислити криволінійний інтеграл першого роду за
допомогою визначеного інтеграла, якщо рівняння кривої інтег-
рування задано у вигляді у = у(х) або х = х(у) ? Довести від-
повідні формули.
4.
Як за допомогою криволінійного інтеграла першого роду
обчислити довжину дуги і масу кривої?
5.
Що називається криволінійним інтегралом другого роду?
6. Як обчислити криволінійний інтеграл другого роду за
допомогою визначеного інтеграла? Довести відповідну формулу.
7.
Дайте означення однозв'язної області В і просторово-
однозв'язної області О.
8. Яку замкнену криву називають додатно орієнтованою?
9. Напишіть і доведіть формулу Гріна.
10.
Сформулюйте умови незалежності криволінійного інтег-
рала другого роду від форми кривої - шляху інтегрування.
222
Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеїрали. Теорія поля
11.
Як знайти функцію двох або трьох змінних за її повним
диференціалом?
12.
Як за допомогою криволінійного інтеграла другого роду
обчислити площу плоскої фігури?
13.
Як обчислити роботу змінної сили при переміщенні ма-
теріальної точки вздовж заданої кривої?
///. Приклади розв'язання задач
Криволінійні
інтеграли першого роду
Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл першого
роду |
х
2
сіІ,
де Ь - дуга плоскої кривої у =
1п
х при
1
< х < 2 .
і
• Знайдемо диференціал довжини дуги
сії
= л]\ + у'
2
(х) сіх = П сіх
і
скористаємось формулою (4.5):
Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду
\(2г
— -УІХ
2
+ у
2
) сії, де Ь - перший виток конічної гвинтової лінії
і
X
=
1
соз
• у = І зіп і,
2
=
1,
0<і<2п.
•
ОСКІЛЬКИ
х'(і) = С05{-«ЗІП? , >>'(0 =
ЗІП/
+
/С05/
, 2(1) =
1
, ТО
сії
= 4
х'
1
(і) + у'
2
(І) + /
2
(І) сії =
ЛІ
І
2
+2
сії і за формулою (4.3) маємо
\(22-4х
2
+у
2
)сіІ=
І^-^гсокО
2
+(ї8іп0
2
уі
2
+2сіі
=
§1.
Криволінійні інтеграли
223
271
2ті
І
2
+2
<Й=-|(/
2
+2)
2
сі((
2
+2)=-((
2
+2)
о ^
1
З
2лІ2
2к
(1 + 2тс
2
)
2
-1
Приклад
3.
Обчислити криволінійний інтеграл першого роду
^ (х + у) сії, де Ь - пелюсток лемніскати Бернуллі р = а-у/
8Ш
2ф,
ь
розташований у першому координатному куті (рис.4.4).
• Використовуємо формулу (4.6), попередньо обчисливши сй :
Р'(ф)
:
дсоз2ф
і/зіп2ф
2 2 2
2/
ч /9/ ч г • ~ а соз 2ф а
р'(ф) + Р (Ф) = а
2
5іп2ф + .
--Г-Г-і
зіп2ф 5іп2ф
б//
=
л/р^Тф)
+
Р'
2
(Ф)
=
</ф
•
Л
/зіп2ф
Рис.4.4
У першому координатному куті полярна координата ф змінюється
від 0 до тс/2, тоді
\(х + у)сії = \ (рсозф + рзіпф) .
а
і/ф = |р = а>/5Іп2ф І =
^ у.
= а
2
\ ^5Іп2ф(созф + зіпф) . ^ = а
2
|(созф + зіпф)<Лр =
о
д/^пЗф
о
= а (зіп
ф-соз
ф)
2
= а
2
(1 + 1) = 2а
2
.<«
224
Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
Приклад
4.
Обчислити криволінійний інтеграл першого роду
Г
І "У ") 9 7 7 7
|л/2х
+ у сії, де Ь - лінія перетину сфери х + у
+2
=а і
і
ПЛОЩИНИ 2 = X .
•
Крива Ь задана перетином двох поверхонь: сфери та площини.
Складемо параметричне рівняння кривої Ь . Для цього, поклавши в рівнян-
ні сфери 2 = х , отримаємо спочатку рівняння проекції кривої Ь на площи-
2
2
ну хОу : . + —г- = 1. Ця проекція є еліпс із півосями —= і а . Парамет-
а
2
/2 а
2
л/2
ричне рівняння еліпса має вигляд:
а
X
= —=С05І,
•42
у = а$іпі, 0 < / < 2тг.
Оскільки 2 = х , параметричне рівняння кривої Ь має вигляд:
а
х = —==соз/,
л/2
у = авіпґ,
2=-^=С05<,
0 < г < 2тс.
л/2
Використаємо формулу (4.3). Для цього знайдемо
сії =
уІх'
2
0)
+ /
2
(0 +
2'
2
(() сії = ^2-у-зіп
2
/ + а
2
соз
2
І сіі=асіі.
Отже,
/
2к
І
а
2 2к
]л]2х
2
+у
2
сІІ= = |-Л2—соз
2
1 + а
2
зіп
2
/ асіі= а
2
]сі( = 2па
2
.<
Приклад
5. Знайти довжину дуги однієї арки циклоїди
Іх
= а(/-§іпґ),
'
[у =
а(\-сові),
0<і<2п.
•
За формулою (4.7) довжина дуги / = ]сіІ.
Обчислимо сії. Маємо:
х'(і)
= а
(1
- соз /), у'(і) = а$'ті,
§1.
Криволінійні інтеграли
225
сії =
уІх'
2
(1)
+ /
2
(1)
сії
=
д/а
2
(1-С05/)
2
+
а
2
зіп
2
1
сії =
••
ал/і-2со5Г
+
соз
2
/
+
зіп
2
1
сії =
а^2{\
-
соз/)
сії =
=
2а
Л
|зіп
2
—
V
2
сіі=
2а
.
І
зіп —
2
сії
Отже,
2к
і
2п
і і
І = |о7 = 2а |
зіп—
ої = 2а
|зіп—
йі =
-4асоз
—
і о
=
-4а(-1-1)=
8а. ^
Приклад
6.
Обчислити масу кривої
Ь:у = —,
0
< х
<
1.
якщо густина
в
кожній
її
точці \х(х,у) =
х
5
+
8ху.
•
Скористаємось формулою
т =
|р.(х, г0о7,
де а7
=
>/і+
/*(*)
Л
=
уії+х^сіх
.
Тоді
1/
4 \ . 1 .
/л
=
|(х
5
+8ху)й7=
П
х
5
+8х— VI
+ х
6
сіх
= |3х
5
VI
+ х
6
сіх
=
1
|л/і
+ х
6
</(*
6
+1)
=
-(1
+
х
6
)
2
=
-(2л/2 -1).^
З
Приклад
7.
Знайти масу чверті витка гвинтової лінії
х
=
асозг,
Ь:
•
у
= а
зіп/,
г = Ьі, 0<ґ<к/2,
якщо густина
в
кожній
її
точці
\і(х, у, г)
=
ху.
•
За
формулою (4.8)
т = |и(х,у,г)сіІ,
і
де
а7
=
^х'
2
(1)
+
у'
2
(і)
+ г'
2
(і) сії
=
>/а
2
5Іп
2
Г
+
а
2
соз
2
/
+ *
2
аї =
ісТТі!
2
сії.
226
Глава 4, Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
Тоді
Уг , , У
}
т = ]хуа'1 = ]асо5Іа5тІлІа
2
+ Ь
2
сіі=
а
2
\а
2
+Ь
2
|соз?зіп/й& =
І. 0 о
К
4. , . а
2
УІа
2
+Ь
2
2 12 7г ї • , • а уа +о .
2
• а \а +Ь ріпг^зіп? = зіп ^
а
£
л!а
2
+Ь
2
о
2 „2 12 , .2
0
Криволінійні інтеграли другого роду
Приклад 8. Обчислити криволінійний інтеграл другого роду
]хуах + (х
2
+
у
2
)сіу,
де Ь - дуга параболи у = х
2
від точки
І
Л(0,0) до точки 5(2,4).
• Скористаємось формулою (4.14), враховуючи, що ау = 2хах , тоді
отримаємо:
2 2
]хуах + (х
2
+у
2
)ау = \{хх
2
+(х
2
+ х
2
)2х)ах = ]5х
3
ах = —х
о
А
2
= 20. <
о
Приклад 9. Знайти криволінійний інтеграл другого роду
у
=
8Іп(, 0</<2тс.
• Знаходимо ах =
-5\г\1сіі,
ау = со$ІсІі і скористаємось формулою
(4.13),
тоді
|х(х
2
+
у>
2
)ях
+ у(х
2
+у
2
)ііу-
і.
2к 2к
= |((СО3
2
/
+
5ІП
2
0сО5?(-8ІП/)
+
5ІП/(сО3
2
/
+
5ІП
2
/)сО5/)сЙ
= ]0с!і = 0.<
Приклад 10. Обчислити криволінійний інтеграл другого
Ґ 2 2 2
роду
І
у
сіх
+ (х + г)сіу + (х + у + 2
)сІ2
, де Ь - відрізок прямої
І
у просторі від точки А(\,0,2) до точки 5(3,1,4).
• Складемо рівняння прямої, яка проходить через точки А і В , у
. Х-Хл У-У А
2
~
2
А
вигляді: — =
——£-4-
= —.
х
в~
х
а
Ув~Уа
2
в~
2
а
§1.
Криволінійні інтеграли
227
X
—
1
V 2
—
2
Маємо
^ = — = —-— = І.
Звідки отримаємо параметричне рівнян-
х
= 2і+\,
ня
Ь : І у-І,
2
= 21 + 2, І
а
<і<і
в
.
Знайдемо 1
А
,1
В
.
Для
цього підставимо
у
систему
х
А
=1 , у
А
= 0,
г
А
=2, а
потім
х
в
= 3 , у
в
= 1, 2
Й
= 4.
Отримаємо
1
А
= 0 і /
д
= 1.
Далі знайдемо
сіх = 2 сії, сіу = сії, ск = 2йі і
скористаємось форму-
лою (4.12):
^у
2
ск
+ (х
2
+
2)сіу
+ (х + у + г
2
)сіг =
і.
=
|[}
2
+ ((2/ + 1)
2
+ 2/ +
2)+((2/
+ 1) + / + (2г +
2)
2
)]аї
=
о
і
= _[(14/
2
+28/ + 13)аї =
1
I
і
Л
4 —
+\4і
2
+13/
95
Приклад
11.
Обчислити криволінійний інтеграл
|
(х +
у)сіх
- (х -
у)сіу,
де Ь -
коло
х
2
+ у
2
=
А-
2
:
а)
за
формулою Гріна,
б)
безпосередньо.
•
а)
використаємо формулу Гріна:
§ Рсіх
+
(Зсіу
= Ц
дх
ду
сіхсіу
,
де Р(х,у)
= х + у, &х,у) =
-{х-у),
~=и ^ = -1 •
оу
дх
Тоді
|(х
+
>')а!г-(х->')ау
=
Д(-1-і)АаУ= -25
й
=-2кг
2
;
і
в
б) використаємо формулу (4.13),
що
зводить
до
обчислення визначе-
ного інтеграла. Рівняння кривої
Ь у
параметричній формі
має
вигляд:
\х =
ГС05/,
ІУ
=
г5Іп/, 0</<2тс.
228
Глава
4,
Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
Тоді
^(х
+
у)сЬс-(х-у)ау
=
і
2к
=
|
((гСО5/
+
Г5ІП/)(-Г8т/)-(гСО8/-Г8Іп0''СОЗ/)^г
=
0
2к
2я
=
г
2
|
(-соз/
8ІП/-8ІП
2
г-соз
2
/ +
зіпгсозґ)ої
= -г
2
1
СІІ
= -2ш
2
. <
Приклад
12.
Впевнитись,
що
вираз
\сіх
+
'2
х '
—+
—
\сіх
+
'у
^
у
)
(у
у
2
)
сіу
є повним диференціалом деякої функції
та
знайти
цю
функцію.
11
2 х
• Маємо: Р(х,у)=
— н—,
()(х,у)
= —. Ці
функції неперервні
х
у у у
1
дР
і ад і
разом
з
частинними похідними
— = —-, = —- на
всій площині
ду
у
г
ду у
2
хОу, крім точки (9(0,0). Оскільки
— = —, то
ду
ду
—
+ — \ах +
\
——\ \с/у =
<іи(х,у).
х
У) {У У )
Для знаходження функції
за її
повним диференціалом скористаємось
х
у
формулою(4.20): и(х,у)= ^Р{х,у
0
)сіх+
^(2(х,у)ау +
С,поклавши
х
0
=1,
хо
Уй
у
0
=
1 (якщо
б
точка 0(0,0)
не
була точкою розриву, доцільніше було
б взя-
ти
х
0
= 0 , у
0
= 0).
Отже,
х
У
и(х,у)
=
ІР(х,\)ах+
\(2(х,у)ау + С =
і
у
-(2
х
Л
<
х
ч
ау
+ С =
(1п|х|
+ х) + 21пМ + і
II
І у
+
С-
=
1п|х| + х-1 +
21п| т-|
+ --х + С = 1п|х| +
21п|у-|
+ --1 + С.
§1.
Криволінійні інтеграли
229
Включивши мінус одиницю в довільну сталу, маємо:
и(х,у) = \п |х| + 21п \у\ + - + С.<
2 2
X у
Приклад 13. Обчислити площу еліпса —
т
+
—т-
= 1.
а
1
Ь
1
• Перейдемо до параметричного задання еліпса:
Гх = асові,
[у = Ь$іпі, 0<(<2п.
За формулою (4.24) знаходимо:
1 1
2к
5 = —]хсіу - усіх = — ](асові • Ьсові- ЬвтІ(-а5Іпі))сіі =
^ л ^ о
1 Л", 2. . 2, 1
= — аЬ \(сов
г
/ + 5Іп
2
1)Ж = —аЬ-2п = каЬ. <
2
і
2
Приклад 14. Обчислити роботу сили
Р(Х, у, 2) = ХІ + уї + 2к
при переміщенні матеріальної точки вздовж першого витка
конічної гвинтової лінії Ь : •
х = ае' соз/,
у = ае' зіп/,
г = ае'
із точки А(0,0,0) в точку В(а, 0, а).
• Використаємо формулу (4.25):
А = | Р(х,
у,
г) сіх + <2(х,
у,
г) ау + К(х,
у,
г) ск,
і
де Р(х,у,г) = х,
<2(х,у,2)
= у, К(х,у,г) = 2,
сіх - а (е' сові-е' віпі) сії, сіу = а (е'віт+ е'сов І) сії, сіг = ае'сіі.
В точці А параметр / —> -°°, а в точці В параметр / = 0 (перевірте,
підставивши послідовно координати точок А та В в рівняння кривої І).
Маємо:
А = ІР(х,у,2)ах + (3(х,у,2)сіу+!і(х,у,2)ск =
і
о
= І (а V созг (е' сові - е' вті) + а
2
е' вті(е' втІ + е' сові) +
а
2
є
2
'
)сіі =
230 Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля
••2а'
]е
2,
сЬ=а
V
= а
2
(і- Ііт е
2
')= а
2
(1-0)
= а
2
.
IV. Задачі для практичних занять
Криволінійні інтеграли першого роду
У задачах 4.1-4.17 обчислити криволінійні інтеграли пер-
шого роду.
4.1.
[ ^ , де Ь - відрізок прямої у =
—
х - 2 між точка-
[х-у 2
ми ДО -2) і 5(4,0).
4.2.
^хусіІ,де Ь - контур прямокутника з вершинами
і
Л(0,0),
5(4,0), С(4,2) і ДО, 2).
4.3.
^(х +
у)сіІ,
де Ь - контур трикутника з вершинами
А(1,0),
5(0,1), 0(0,0).
4.4.
Г , ^ , де Ь - відрізок прямої, яка з'єднує
І 4х
2
+у
2
+4
точки А(0,0) і 5(1,2).
4.5.
^ у сії, де Ь - дуга параболи у
2
= 2х від точки А(0,0)
до точки 5(1,1).
4.6.
| (4
л/х
-
7>4у
) сії, де Ь - відрізок прямої від точки
і
Д-1,0) до точки 5(0,1).
4.7.
^у
2
сіІ,
де Ь - чверть кола х = асоз/, у = я зіп/
і
(0<1<к/2).
4.8.
^хусії,
де Ь - чверть еліпса х = асоз/, у = Ь$тІ
і
(0</<тс/2).