Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 3, Кратні інтеграли
201
Приклад 10. Знайти момент інерції рівнобедреного пря-
мокутного трикутника відносно гіпотенузи довжини 2а, якщо
в кожній точці його поверхнева густина пропорційна відстані
точки до гіпотенузи.
• Нехай гіпотенуза заданого трикутника АВС розміщена на осі Ох і
ділиться початком координат пополам (рис.3.27).
у = а + х
А(-а,0) О
Рис.3.27
Рівняння катетів АС і СВ будуть відповідно у = а + х та у = а-х,
або дг = у-а та х = а-у . Густина \і(х, у) = ку , де к - коефіцієнт пропор-
ційності.
Шуканий момент інерції відносно гіпотенузи буде моментом інерції
відносно осі Ох, тобто 1
х
.
а-у
І
х
= Цу
2
\і(х,у)ахау = Цку
г
ахау- к^у
і
ау ]сЬс--
•
2к\ а
о
(
а-у
л
X
(
у-а
/
4 5
У
У
у-а
сіу =
Л|у
3
(а-
у - у + а)сіу = 2к^у
3
(а-у)ау =
=
2к^ = ^-.<
20 10
Приклад 11. Обчислити масу та середню густину
|і
сер
тіла
9 9
О , яке обмежене поверхнями 2г = х + у і г = 2 і має густину
\і(х,у,г)
= 2.
• Дане тіло обмежене знизу параболоїдом 2г = х
1
+ у
2
, зверху пло-
щиною 2 = 2 і проектується в круг х
2
+ у
2
< 4 площини хОу (рис.3.28).
202
§3,
Застосування кратних інтегралів
Рис.3.28
Використовуючи циліндричні координати, знаходимо рівняння пара-
2
2
болоїда
2 = —• (0 < ф <
2тс), тобто
^- < г < 2 .
Маса тіла
О
обчислюється
так:
т = Л|ц(д:,у,2)ахауск - ^гскауаг =
ІДгрфа'фаг
2
я 2
С
2
= |а"ф|р
ф|г02
=2тс|р
о
о
2
;
ф =
2тс|р
4
\
2-*-
8
ф
=
Г „<>
"і
2
/
=
2л
=
271
48
V
)
0
V
48
) З
Середня густина
- це
відношення маси тіла
до
його об'єму, тобто
М-сер
т
Обчислимо об'єм тіла
V :
2п
2
V = ^ахауаг =
Д[рф<ЛраЬ
=
|о<р|рф |Й2
= 2л|р
о
о
2
\
Р
2
1
2
;
=
2я}р 2-і
2
ф
= 2л
= 2л(4-2)
= 4тс
1
8
)
0
Середня густина
р.™ =
16л
4
3-4л
З
Глава 3. Кратні інтеграли
203
Приклад 12. Знайти координати центра ваги
С(х
с
,у
с
,2
с
)
півкулі х
2
+ у
2
+г
2
< Я
2
, 2>0, якщо густина \і{х,у,г) в
кожній точці пропорційна відстані від точки до центра.
• Маємо \і(х,у,г) = к-^х
2
+у
2
+ г
2
. В силу симетрії х
с
= у
с
= 0.
Далі обчислення проводимо у сферичних координатах.
Знаходимо статичний момент відносно площини хОу:
М
ху
= Щгуссіхсіусіг = к^г^х
2
+ у
2
+ г
2
ахсіусіг =
в а
= кЩгсо$в-г-г
2
зіп$сігсісрсів= к^сіу ІзіпОсозОа©/г
4
сіг
•
•
кц>
2л
1
соз 20 = 2кп~~ =
-ккК
5
.
2 5 5
Знаходимо масу тіла:
т = |||ц сксіусіг = к\\\^х
2
+ у
2
+ г
2
ахсіусіг = кД|г
•
г
2
зіп 0й&їЛрй/9 =
2л %
= к |бАр |зіп0й<9|г
3
й^ = к<р
2л
-СО5 0
л Л
2
= -кпК\
2
Отже, г
т
Таким чином, С 0,0,
'•14
Приклад 13. Знайти момент інерції відносно осі Оу од-
норідного тіла С (густина [і(х,у,г) = 1), обмеженого парабо-
лоїдом у = 5 - X
і
-
2
2
і площиною у =
1
.
• Область С та її проекцію й на площину дгОг зображено на рис.3.29.
204
§3.
Застосування кратних інтегралів
2)
2
1
'
X
а)
б)
Рис.3.29
Для
обчислення момента інерції / перейдемо до циліндричних ко-
ординат.
1
у
=
Д|ц(дг
2
+
у
2
)ахауіі2
=
ц[||(л:
2
+у
2
)адгфа2 =
х
= рсозф, С-*С,
2=рзіпф,
о': 0 < р < 2,
у
= у, 0 < ф < 2л,
ажйг
= рфаїр,
2я
2 5-р
2
1
< іу < 5-р^.
2к
2 Ґ
цД[р
2
рфЛра> =
=
ц|й?ф|р
3
ф
= ц-ф |р
3
о
о
2
0
0
5-р'
ф
= ц-2л}р
3
(5-р
2
-1)ф =
4
Р
=
2лц](4р
3
-р
5
)Ф=2лц р
4
-
6
А
о
6
=
2лц
9°
32
лц.
IV. Задачі для практичних занять
Площа
плоскої фігури
У задачах 3.71-3.85 обчислити площу області И, яка об-
межена заданими лініями, за допомогою подвійного інтеграла
(параметри, які входять до умови, вважати додатними).
3.71.
Б: у = х, у = 5х, х = 1.
Глава 3. Кратні інтеграли
205
3.72.
£): х = 0, у = 0, х + у = \.
2 2
3.73.
В:^
т
+
^
т
= \.
а
2
Ь
2
3.74.
В
:
у = А/Х , у = 2л/х, х = 4,
3.75. В:у = х
2
+\, х +
>>
= 3 .
3.76. В
:
х
2
= Зу, у
2
= Зх .
-х
2
+ 1.
4
х
2
=4у.
3.77.
В
У =
х
2
, у =
3.78. В
У =
8
х
2
+4'
3.79. В
У =
8а
3
х
2
+4а
3.80. В
(х
2
+ у
2
)
2
-
3.81.
В
(х
2
+ у
2
)
3
-
3.82.
В
(х
2
+ у
2
)
2
-
3.83.
В
(х
2
+ у
2
)
2
-
2
х = 2у, х = 0 .
і
2
{х
2
-у
2
), х
2
+/>а
2
.
; -оа
2
ху, (х - а)
2
+(у - а)
2
< а
2
.
3.84.
В : х
3
+ у
3
= 2ху (х > 0, у > 0).
3.85. В:(х
+
у)
3
=ху (х > 0, у > 0) .
Об'єм тіла. І
У задачах 3.86-3.98 знайти подвійним інтегруванням об'є-
ми тіл, обмежених вказаними поверхнями (параметри, які вхо-
дять до умови задач, вважати додатними).
3.86. Площинами координат, площинами х = 4, у = 4 та
параболоїдом г = х
2
+
у
2
+1.
3.87. Площинами координат, площинами х = а , у = 6 і
х
2 2
еліптичним параболоїдом і = — + —.
2р 2д
206
§3.
Застосування кратних інтегралів
3.88. Параболоїдом обертання 2-х + у , площинами
координат і площиною х + у = 1.
3.89. Площиною х + у + 2 =
1
і координатними площи-
нами (піраміда).
2 2
3.90. Параболоїдом обертання 2 = х + у і площинами
2 = 0, у = 1, у = 2х і
>>
= 6 - х .
-у
3.91.
Циліндром 2 = 9 - у , координатними площинами та
площиною Зх + 4у = 12 (у > 0).
3.92.
Циліндром 2 = 4 - х
2
, координатними площинами та
площиною 2х + у - 4 (х > 0) .
3.93.
Циліндром х
2
+ у
2
= 4, площинами г = х + у +10 і
2 = 0.
9 9 9
3.94.
Циліндром х + 2 = а і площинами 2 = 0, у = 0 ,
У = х.
3.95. Еліптичним параболоїдом 2 = 2х
2
+ у
2
+1, площи-
ною х + у =
1
і координатними площинами.
3.96. Параболоїдом 2 = х
2
+ у
2
, циліндром у - х
2
і пло-
щинами 2 = 0, у = 1.
3.97. Гіперболічним параболоїдом 2 = х
2
- у
2
і площина-
ми 2 = 0, х = 3.
3.98. Гіперболічним параболоїдом г = х
2
- у
2
і площина-
ми 2 = 0, х = 1, у = 0.
Площа поверхні
У задачах 3.99 - 3.104 обчислити площу вказаної поверхні.
3.99.
Обчислити площу тієї'частини площини 6х + Зу + 2г = 12,
яка знаходиться у першому октанті.
3.100. Обчислити площу тієї частини поверхні 2 = 2х_у,
яка знаходиться над прямокутником, що лежить в площині 2 = 0
і який обмежений прямими х = 0, у = 0, х = 3, у = 6.
Глава 3. Кратні інтеграли
207
'у -у -у
3.101.
Обчислити площу частини конуса г = х + у , яка
лежить над площиною хОу і відтинається площиною
2
:
л/2
(X \
-+1
V
3.102.
Обчислити площу частини параболоїда 2г = х
2
+ у
2
,
' ' 2 2
що вирізається циліндром х + у = 1.
3.103.
Обчислити площу частини кулі х
2
+ у
2
+ г
2
= К
2
,
яка вирізається циліндром х
2
+ у
2
= Кх .
3.104. Обчислити повну поверхню тіла, обмеженого сфе-
рою х
2
+ у
2
+ г
2
= За
2
і параболоїдом х
2
+ у
2
= 2аг (г > 0).
Об'єм тіла. II
У задачах 3.105 - 3.120 знайти потрійним інтегруванням
об'єми тіл, обмежених вказаними поверхнями (параметри, які
входять до умови задач, вважати додатними), переходячи (якщо
це потрібно) до циліндричних або сферичних координат.
3.105. Циліндрами 2 = 4
—
у
2
і 2 =
у
2
+2
і площинами
х =
—1
і х = 2 .
7 7 7 7
3.106. Параболоїдами г = х +у таг = х +2у і площи-
нами у = х, у = 2х, х = \.
3.107. Параболоїдами 2 = х
2
+ у
2
, 2 = 2х
2
+ 2у
2
, цилінд-
ром у = х
2
та площиною у = х.
3.108. Параболоїдом аг = х
2
+ у
2
і верхньою частиною
конуса
г =
л
Іх
2
+ у
2
(а>0).
3.109. Сферою х
2
+ у
2
+ г
1
= 2аг і конусом х
2
+ у
2
< г
2
.
7 7 /77
3.110.Параболоїдом г = 6-х —у і конусом г = -у/х + у .
3.111.
Циліндрами г
2
= 4 - х, х
2
+ у
2
= 4х.
3.112.
Циліндрами у = 2-Іх, х =
2->[у
і площиною г = 4 - х
(2>0).
208
§3.
Застосування кратних інтегралів
3.113.
Циліндром х
2
+ у
2
= 4 і параболоїдом 2 = х
2
+ у
2
(2>0).
3.114. Циліндрами х = у
2
, х - 2у
2
+1, г =
1
- у
2
(г > 0).
3.115. Циліндрами г = 1п(х + 2), г = 1п(6 - х) і площина-
ми х = 0, х + у = 2, х - у = 2 .
2 2
3.116. Параболоїдом г = х + у та площиною 2 = х + у.
3.117.Сферою х
2
+ у
2
+
2
2
= 4 і параболоїдом х
2
+ _у
2
= Зг.
3.118. (х
2
+ у
2
+2
2
)
2
=а
3
х.
3.119. (х
2
+у
2
+г
2
)
2
=3x^2.
3.120. Х
2
+/+2
2
=1, X
2
+2
2
= 16, 2
2
=Х
2
+/,
х
= 0, у = 0, 2 = 0 (х > 0, у > 0, 2 > 0).
Маса, моменти і центр ваги
У задачах 3.121 - 3.124 подвійним інтегруванням знайти
вказані величини.
3.121.
Знайти масу пластинки £) заданої форми з заданою
густиною (х(х, у):
а) пластинка В - круг радіуса Я, густина
|іі(х,
>>)
пропор-
ційна квадрату відстані точки від центра і дорівнює 6 на межі
пластинки;
б) пластинка В - прямокутний трикутник з катетами
ОВ = а, ОА = Ь, густина ]і(х,у) в кожній точці пропорційна
відстані точки від катета ОА .
3.122.
Знайти статичні моменти даних плоских фігур (гус-
тина
(1
= 1) відносно вказаних осей:
а) прямокутника зі сторонами а та Ь відносно сторони а;
б) півкруга відносно діаметра;
в) однорідної фігури, обмеженої синусоїдою у =
ЗІП X
і
прямою ОА, що проходить через початок координат і вершину
А (тс/2,1) синусоїди (х > 0), відносно осей Ох і Оу.
Глава 3. Кратні інтеграли
209
3.123.
Знайти координати центра ваги даних плоских фігур
(густина |і = 1):
а) фігури, обмеженої кривими у = ах , у = х;
б) фігури, обмеженої лініями у = 4х + 4, у = —їх + 4 ;
в) фігури, обмеженої синусоїдою у = зіп х, віссю Ох і
прямою х = тс/4;
х
2 2
г)
фігури,
обмеженої верхньою половиною еліпса
—г-
+ = 1,
а Ь
що спирається на велику вісь (а > Ь).
3.124. Знайти моменти інерції даних плоских фігур:
а) однорідного трикутника (]і = 1), обмеженого прямими
х + у = 1, х = 2, у = 2 відносно початку координат;
б) фігури, обмеженої лінією х
2
+ у
2
- їх = 0, відносно
початку координат, якщо її густина \і(х,у) = 3,5;
в) однорідного трикутника (ц = 1), обмеженого прямими
х +
_у
= 1, х
+
іу = 1, у = 0, відносно осей Ох , Оу та початку
координат;
г) трикутника, обмеженого прямими х + у = а,х = а,у = а
відносно осей Ох і Оу та початку координат, якщо густина про-
порційна ординаті точки з коефіцієнтом пропорційності к;
2 2
X V
д) однорідної фігури (|Х = 1), обмеженої еліпсом — +
—г-
= 1
а Ь
відносно осей Ох, Оу та початку координат.
У задачах 3.125 - 3.129 потрійним інтегруванням знайти
вказані величини.
3.125. Знайти масу тіла С заданої форми з заданою густи-
ною \±(х, у, £)
:
а)тіло (7-кубз ребром а = 1, густинац,(х,у,і) = х + у
+
г;
210
§3.
Застосування кратних інтегралів
б) тіло О - частина кулі радіуса К , яка знаходиться у пер-
шому октанті, густина |і(х, у, г) в кожній точці дорівнює відстані
від цієї точки до площини хОу;
"У "У 'У
в) тіло О обмежено сферою х + у + г = 4, густина
\і(х,у,2)
= 2\
9 9
г) тіло С обмежено параболоїдом х + у = Зг і сферою
7 9 9
х +у +2 = 4, густина |і(х, у, г) = г.
3.126. Знайти масу тіла О заданої форми з заданою густи-
ною (і(х, у, г) та середню густину тіла:
а) тіло С обмежено поверхнями х
2
+ у
2
- г
2
= а
2
, г = 0,
г = а > 0, густина (і(х, у, г) в кожній точці пропорційна аплі-
каті г і в площині г = а дорівнює у
0
;
б^тіло С -сферичний шар між поверхнями х
2
+ у
2
+ г
2
= а
2
• 9 7 9 9
їх + у +г = 4а , густина д.(х, у, г) в кожній точці пропорцій-
на квадрату відстані від точки до початку координат, якщо задане
найбільше значення густини у
0
.
3.127. Знайти статичні моменти даних тіл відносно вказа-
них площин:
а) прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, Ь і с віднос-
но його граней;
б) прямого кругового конуса з радіусом основи К , висоти
Н відносно площини, що проходить через вершину конуса па-
ралельно його основі;
2 2 2
X V 2
в) тіла, обмеженого еліпсоїдом — + Аг- + — =
1
і площи-
а Ь
1
с
ною хОу відносно цієї площини.
3.128. Знайти координати центра ваги однорідних тіл, об-
межених даними поверхнями (густина
(Л,
= 1):