Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 3. Кратні інтеграли
181
4.
Як обчислити потрійний інтеграл у прямокутних коор-
динатах?
5.
Що таке якобіан? Як перейти від прямокутних коорди-
нат у потрійному інтегралі до будь-яких довільних координат?
6. Як обчислити потрійний інтеграл у циліндричних коор-
динатах? Наведіть приклади області інтегрування у потрійному
інтегралі, для якої межі інтегрування сталі.
7.
Як обчислити потрійний інтеграл у сферичних коорди-
натах? Для якої області межі інтегрування в потрійному інтег-
ралі у сферичних координатах сталі?
///. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Обчислити повторний (трикратний) інтеграл
• ]сіх]сіу
]гсІ2-=]сіх]
1 х
^х
2
+у
2
I СІх] СІу | 2СІ2 .
0 0 о
(П 2 Л
V*
+У
І х
0 0 0 0
12
СІ2
сіу = \сіх\
о о
Іх~+у*
ау =
1 X
= -\сіх\{х
2
+у
2
)ау=-\ \(х
2
+у
2
)сіу <Ь=-\
'
о
о
х у + -
сіх -
1 /
•1І
х
о
з х
X
+ — сіх =-^—]
х
3
сіх = ^
Х
2-3
о
2-3-4
Приклад 2. Обчислити потрійний інтеграл ||| х
сіхсіусіг,
де О - тетраедр, що обмежений координатними площинами та
площиною 2х + 2у+
2-
6 = 0.
• Тетраедр (рис.3.12 а)) знизу обмежений площиною г = 0, а зверху
площиною г = 6 - 2х - 2у . Проекція Б тетраедра на площину хОу є три-
кутник АОВ (рис.3.12 б)), в якому у змінюється від у = 0 до _у = 3 - дг.
182
§2.
Потрійні інтеграли
Таким чином,
6-2х-2у Ь-2х-2у
Щхскауск - Цсіхсіу ^хсЬ = ^хсіхсіу ^ск =
с о о о о
З
3-і
(Ь-2х-2уЛ
= || |аЬ хсіхсіу =
||(6-2Л:-2Г')ХЙІ!Г^'
= |хях |(6-2х-2у)ф
=
О
0 0
= | \{6-2х-2у)ау
0-Х
хсіх = (6 у -2ху - у ) їхс& =
= |(6(3-х)-2х(3-х)-(3-х)
2
)х<& =
= |(18х-6х
2
-6х
2
+2х
3
-9х + 6х
2
-х
3
)ох= |(9х-6х
2
+х
,
)ох =
о о
.4
V
2 4
7
81
сл
81 243
г
„ 27
54 + — = 54 = —
2 4 4 4
б)
Рис.3.12<
Приклад
3. Обчислити потрійний інтеграл
Щ
г
сіхсіуск,
о
де
О -
область,
що обмежена сферою х
2
+ у
2
+х
2
=4 та пара-
болоїдом
обертання х
2
+ у
2
= 3г.
Глава 3, Кратні інтеграли
183
• Рівняння х
г
+ у
2
+ 2
2
=4 визначає сферу із центром у початку ко-
ординат і радіусом К = 2, друга поверхня х
2
+ у
2
= Зг є параболоїд обер-
тання навколо осі Ог . Побудуємо область
С7
(рис.3.13
а)) та її проекцію Б
на площину хОу
(рис.3.13
б)).
Для визначення області £> розв'яжемо систему рівнянь:
\х
2
+у
2
+г
2
=4, \х
2
+у
2
= 4-г
2
, [4-г
2
=Зг,
[х
2
+у
2
=32.
[х
2
+у
2
=3г.
[д:
2
+>'
2
=32.
2
2
+32-4
= 0, [г, = 1, г
2
=-4(не підходить) [г = 1,
<=> <
<==>
< <=>
[л-
2
+у
2
=32.
[х
2
+у
2
=32.
[х
2
+у
2
=3г.
Маємо,
що О е круг радіуса , центр якого співпадає з початком
координат, тобто й: х
2
+ у
2
< 3 .
Рис.3.13
Перейдемо у потрійному інтегралі до циліндричних координат. Вра-
хуємо,
що у циліндричних координатах рівняння сфери: р
2
+г
2
=4 або
2
г
2
= 4 - р
2
; рівняння параболоїда обертання: р
2
= Зг або 2 = —; рівняння
кола р
2
= 3 .
2 і
Отже,
</:
0<р<
7з,
0<ф<2тс,^-<2<
л
/4-р
2
.
184
§2.
Потрійні інтеграли
За формулою (3.17) маємо:
х
= р
соз
ф,
ахауаг
-
р сірсіїфск
ЩгсіхаусЬ
= у =
рзіп
ф,
С
—»
О
в
2 = 2,
2к -Я А/і-Р
2
2К -УЗ"
=
Л|грф^фй2=
|«Ар|рф
\іск=
|«Ар|р
о
о
о
о
/
2
2
2
Р
2
3
)
ф
=
І 2я л/з"
^
О
о
4-р
2
-Р
4 ~\
2тс Л/
.3 Р
ф=-/<*рМ4р-р
3
^ о о І
у
ф
=
= -2я^
2 2 4 54
(
£
9 27) 13 .
= Л
6 =—л. А
{ 4 54] 4
Приклад 4. Обчислити потрійний інтеграл
Ш
ахсіусіг
де С - верхня половина кулі радіуса Я із центром у початку
координат: х
2
+ у
2
+ г
2
< К
2
;
г > 0.
• Перейдемо до сферичних координат. Врахуємо, що у сферичних
координатах рівняння сфери г = К . Проекцією півкулі на площину хОу є
круг х
2
+ у
2
< В
2
.
Отже, маємо
ах
ау
аг
Ш
1{ X
і
+у
2
+2
2
+К
2
х = гсозфзіп 9,
у = гзіпфзіп 9,
2 = ГСО5 0,
г
2
ЗІП0
ахауаг-г
зіп9с/г<Лр<Л),
О : 0 < г < Я, 0 < ф < 2л, 0 < 9 < -.
т
2
2к 72
-7'
Г + Я
й 2
0 0
7Тк
2
Глава 3. Кратні інтеграли
185
=
ФІ,
-соз в
ж \
2
0
/
0
г
2
+Я
2
Аг = 2л\ ]СІГ-Я
2
]
А-
г
2
+К
2
Я
2
г
=
2л\ Я агсїе —
Я Я
о
IV. Задачі для практичних занять
3.51.
Обчислити задані повторні (трикратні) інтеграли.
12 3 а Ь с
а) ]сіх]сіу]сіг; б) | <іх: | ф
]"
(х + у + 2)<І2;
0 0 0 0 0 0
а х у
а х ху
в) | сіх ] сіу] хуг сіг; г) ]
сіх] сіу
] х
і
у
г
г
сіг
.
ооо ооо
У задачах 3.52
—
3.59 обчислити потрійні інтеграли.
3.52.
]]] г сіхсіу сіг, де С - область, яка обмежена площи-
с
ною г =
1
та конусом г
2
= х
2
+ у
2
.
3.53.
+
У
+ г)сіхсіусіг, де О - область, яка обмежена
о
площинами х = 0, у = 0, 2 =
1
та параболоїдом обертання
2 = х 4-у (у першому октанті).
3.54.
]]] ху сіхсіуйг, де С - область, яка обмежена площи-
о
нами х = 0, у = 0, 2 =
1
та параболоїдом обертання 2 = х + у
(у першому октанті).
3.55. ]]] у
сіхсіусіг,
де С - область, яка обмежена площи-
о
нами х = 0,
_у
= 0, 2 = 1, х + у + 2 = 2.
3.56. ]]] у
со$(2
+ х)
сіхсіусіг,
де С - область, яка обмежена
с
параболічним циліндром у =
л/х
та площинами у = 0, 2 = 0,
х + 2 = те/2-
186
§2.
Потрійні інтеграли
3.57. [[[ іїх^усіг— де С? - область, яка обмежена
Ш(
х +
у
+ 2 +
1?
площинами
л;
= 0, у = 0, 2 = 0, х + у + 2 = \.
3.58. ||| хуг
сіхйусіг
,деС- область, яка обмежена парабо-
о
лічними циліндрами у = х
2
, х = у
2
, гіперболічним параболої-
дом 2 = ху та ПЛОЩИНОЮ 2 = 0 .
3.59. Перейти у потрійному інтегралі ||| /(х, у, г)
ахсіусіг
с
до циліндричних координат р, ф, г або сферичних координат
г, ф, 9 і розставити межі інтегрування:
а) О - область, що знаходиться у першому октанті та об-
межена циліндром х + у = К та площинами 2 = 0, г = \,
у = х та у =
х-Уз
;
б) О - область, що обмежена циліндром х + у = 2х ,
площиною 2 = 0 і параболоїдом г = х + у ;
в) О - частина кулі х
2
+ у
2
+ г
2
< К
2
, що лежить у пер-
шому октанті.
У задачах 3.60 - 3.70 обчислити дані інтеграли, переходя-
чи до циліндричних або сферичних координат.
1 4\-х
2
а
3.60. | ох |
сіу
І сіг.
0
-УГ^
0
2 -Іїх-х
2
а .
3.61.
| ах |
сіу
І г^х
2
+ у
2
сіг
,
я 4я^
А/я
2
-*
2
-у
2
3.62.
\сіх | л> \(х
2
+у
2
)сіг.
-к
_
Л
[
Я
Т^
о
Глава
3,
Кратні інтеграли
187
3.63.
\ сіх
\ сіу \
-у/*
2
+У
2
+г
2
сіг.
о
о
2а
42ах-х
2
-\ьа
2
-х
2
-у
2
3.64.
|ах Г сіу
§сіг
.
о
0
3.65. ^х
2
у
2
сіхсіусіг,
де (7 -
область,
що
обмежена цилінд-
с
ром
х
2
+ у
2
= 1,
параболоїдом
2 = х
2
+ у
2
та
площиною
2 = 0.
3.66. Щг^х
2
+
у
2
сіхсіу сіг,
де С -
область,
що
обмежена
о
площинами
г = 0, г = а (а
>
0) та
циліндром
_у
2
= 2х - х
2
.
3.67. ЦІ х
2
ахсіусіг,
де С -
куля
з
центром
у
початку коор-
с
динат радіуса
Я : х
2
+
у
2
+
г
2
<
Я
2
.
3.68. \\\(х
2
+у
2
)сіхсіусІ2
, де С?:а
2
<х
2
+>-
2
+2
2
< Я
2
,
о
2>0.
3.69.
л[х
2
+
у
2
+ г
2
сіхсіусіг
, де
область
С -
куля:
X
2
+ у
2
+2
2
<Х .
3.70.
[[[ ,
ахсіусіг область
О -
циліндр:
П
с^х
2
+
у
2
+
(г-2)
2
Х
2
+у
2
<1,
-\<2<1.
188
§3,
Застосування кратних інтегралів
§3. Застосування кратних інтегралів
І. Короткі теоретичні відомості
Геометричні застосування подвійного інтеграла
Обчислення площ плоских фігур
Площа 5
0
області £>сК
2
обчислюється за формулою:
8
в
=\\ахсіу.
(3.20)
Якщо Б: ф, (дг) < у < ф
2
(х), а<х<Ь (рис.3.14), то
* Фг(*)
8
в
=\ах \ау. (3.21)
а ф,(дг)
у = (?
2
(х)
О
а
Б
у = %(х)
Рис.3.14
Якщо Б: у,(.к) < х < Ці
2
(у), с<у<а (рис.3.15), то
сі щ(у)
5
о |Л
•
(3.22)
Рис.3.15
Глава 3. Кратні інтеграли
189
Якщо область £> обмежена лініями, рівняння яких задаються у по-
лярній системі координат £>: р^ф) < р < р
2
(ф), а<ф<р (рис.3.16), то
площа 8
и
обчислюється за формулою:
Р Р2(ф)
5
0
=/Лр /рф. (3.23)
а р)(ф)
Рис.3.16
Обчислення об'єму тіла
Об'єм циліндричного тіла О, твірні якого паралельні осі Ог і яке
обмежене знизу областю О площини хОу, а зверху - поверхнею а:
2
=
/(х,у),
/(х,у)>0 в області О, пр
Л(
^а=Л (рис.3.17), обчислюється
за формулою:
V =
\\Ях,у)сіхау .
(3.24)
а
2
=
/(х,у)
, ' "
1
Рис.3.17
Якщо тіло О обмежене знизу поверхнею з рівнянням 2 =
/\(х,у),
зверху - поверхнею з рівнянням 2 =
/
2
(х,у),
а проекція верхньої та ниж-
ньої поверхонь на площину хОу є областю Б (рис.3.18), то об'єм тіла С7
обчислюється за формулою:
Уа =
Ц(Мх,
У)-Аіх,
у))
сіхсіу.
(3.25)
190
§3.
Застосування кратних інтегралів
2
=
М
Х
>У)
Рис.3.18
Обчислення площі поверхні
Якщо поверхня а задається рівнянням 2 = /(х,у) і її проекція на
площину хОу є замкнена область О, то площа 5
СТ
поверхні а обчислюєть-
ся за формулою:
Фізичні застосування подвійного інтеграла
(3.26)
Обчислення маси матеріальної пластинки
Якщо пластинка лежить у площині хОу і має форму замкненої об-
ласті £), в кожній точці якої задана поверхнева густина ц = \х{х, у), то маса
т пластинки обчислюється за формулою:
т = ]]\і{х,у)сіхау .
(3.27)
Середня густина и
сер
матеріальної пластинки
Якщо маса пластинки дорівнює т, а площа пластинки 5 , то середня
густина пластинки
^Сер г,
ОТ
7
\\\і{х,у)ахау
Ц сіхсіу
(3.28)
де ц(х, у) - густина пластинки у кожній точці пластинки.
Статичні моменти пластинки О відносно осей Ох і Оу знаходять-
ся за формулами:
М
х
= Цуіі(х,у)сіхсіу , М
у
=^хц(х, у) сіхсіу.
о й
У випадку однорідної пластинки р. = сопзі.