Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

Глава

Кратні інтеграли

171

У задачах 3.10-3.19 визначити межі інтегрування в інтег-

ралі Л /(х, у) сіхау для заданої області інтегрування И.

3.10.

£> - прямокутник: 2 < х < 5, 0 < і; < 3.

3.11.

£)

трикутник, обмежений

прямими:

х + у = в,у = 2х,

3.12.

В - трикутник: х +

.у<1,

х->><1,

х>0.

3.13.

Б -паралелограм, обмежений прямими: х = 3, х = 5,

Зх-2.у + 4 = 0, Зх-2>> +

= 0.

3.14.

£) - чверть круга: х > 0, у>0, х + у < 1.

3.15.

Б -область, обмежена

параболами:

у = х

, у = 4 - х

3.16. £) - область, обмежена параболами: >>=х

, у=

3.17. Я.-^—І-, ^>

1 + х

3.18. В : / < 2х, у > 0, х > 0, х < 2 .

3.19.

£>:—+ ^-<1.

4 9

У задачах 3.20 - 3.29 змінити порядок інтегрування в зада-

них інтегралах.

2х 1 4У

3.20.

\сіх) /(х,у)сіу. 3.21. |

сіу

/(х, у) ах.

їх

о у

Л/і-Х

-Іігх-х

3.22.

| ах |/(х,у)ау. 3.23. | ах \/(х,у)сіу.

-10 0х

4 лґ+3 созд:

3.24.

сіх

/'(х,_у)Ф'-

3.25. |ах \/(х,у)сіу.

х оо

172

Подвійні інтеграли

к4ї

х К 4к

-х

3.26. ]сіх]/(х,у)сіу + \сіх \/(X, у) сіу.

о о «VI о

3-х

1 х

3 2

3.27. \сіх\Ах,у)сіу + \с!х

|Ах,У)сіу.

0 0 10

Чх

2 \-4*х-х

-г

3.28. \сіх \ Ах, у) сіу +1 сіх \Ах,у)сіу.

0 0 10

2 6-х

3.29.

І сіх І

Ах, У) сіу.

О 2*

У задачах 3.30 - 3.40 обчислити подвійний інтеграл по за-

даній області Б.

3.30. \\(х

+ у

)сіхсіу , де Б - область, обмежена парабо-

лою у = х

та прямими х = 0, х = \, >' = 0.

3.31.

||(х

+ у

)

сіхсіу

,де Б - трикутник, обмежений пря-

мими У

~^>

У - х, х - 4.

ГГ

3.32.

II—

сіхсіу,

де Б - область, обмежена параболою

— X

х та прямими У - ^ х = \.

3.33.

Л (бху

-\2х

у)сіхсіу, де Б - прямокутник 0 < х < 1,

2<у<3.

3.34.

|| (х + у)

сіхсіу ,

де £) - область, обмежена параболою

£>

ЗХ

_у

= 4-(х-1) та прямими х = 0, у = —.

Глава 3. Кратні інтеграли

173

3.35. ]]

+ х + у) сіхсіу, де В - область, обмежена парабо-

лою х = л[у та прямими у = -х, у = 2.,

3.36. ^ ху

сіхсіу, де £> - область, обмежена параболою

у = 2-х та прямими у = х, х = 0 .

3.37. \\^ху-у

сіхсіу, де В - трикутник з вершинами

О(0,

0), Д10,

1)ІЯ(1,

1).

3.38. ^^е

'сіxсіу, де В - область, обмежена параболою

'у

у = х та прямими х = 0, у = 1.

3.39. Перейти у подвійному інтегралі ^ /(х, у)

сіхсіу

до

полярних координат р і ф та розставити межі інтегрування:

а) В - круг: х

+ у

< Ьу ;

•у -у

б) В - область, що обмежена колами х +у =4х,

2 2

х +

= 8х та прямими у = х,

_у

= 2х;

в) В - область, що обмежена прямими у = х,у = 0,х = 1;

г) В - сегмент, який відтинається від кола х + у =4

прямою х + у = 2;

д) В - внутрішня частина правої петлі лемніскати Бер-

нуллі (х

+у

)

=а

(х

-у

3.40. Перетворити задані інтеграли до полярних координат:

4к

-х

2К і2Ку-у

а)

$ сіх

\{{х,у)сіу; б)\сіу $/(х,у)сіх.

0 0 я/ о

174

Подвійні інтеграли

У задачах 3.41 - 3.50 перейти у подвійному інтегралі до

полярних координат та обчислити його.

3.41.

||д/4 - х

- у

сіхсіу,

де £) - круг радіуса К = 2 зцен-

тром у початку координат: х

< 4.

3.42.

Л ^ , де £> - кільце:

< х

+ у

й 4х

+у

3.43.

||-/а

- х

- у

сіхсіу, де область й обмежена лем-

ніскатою Бернуллі (х

+ у

)

= а

(х

- у

) (х > 0, а > 0).

3.44.

||(х

+ у

)сіхсіу , де /3 - область, що обмежена ко-

лом х

+ у

= 2ах (а > 0).

3.45.

Г[агс1:§

—

сіхсіу,

де .О - частина кільця: х

+ у

> 1,

+у

<9,

у>^=, у<х^3.

л/3

3.46. || у ахф, де /-) - півкруг діаметра а з центром у

точці С(а/2, 0): х

+ у

<ах, у>0.

3.47. ||

- 2х - Зу) <&ф, де В - круг х

+ у

< К

3.48. Перетворити задані інтеграли до узагальнених по-

лярних координат:

а) || /(х. у)

сіхсіу

, де область В обмежена еліпсом

Глава 3. Кратні інтеграли

175

сіхсіу, де область Б - частина еліп-

2 2 2 2

X V X V

тичного кільця, обмеженого еліпсами +

—г-

- 1,

—г-

г-

= 1,

Аа

АЬ

що лежить у першому квадранті.

3.49. Обчислити інтеграл ||ху сіхсіу, де £) - область, що

£>

2 2

X V

обмежена еліпсом — + — =

(х > 0, у > 0).

а Ь

3.50. Обчислити інтеграл ^л[ху~сіхсіу,де й -область,що

обмежена лінією

(х

)

^ (х>0,>>>0),

2 З

§2. Потрійні інтеграли

І. Короткі теоретичні відомості

Основні поняття. Нехай функція м = /(х,у,г) визначена в замкненій

обмеженій області О тривимірного простору К

. Розіб'ємо область О на

п довільних частинних областей О,, які не мають спільних внутрішніх то-

чок. Об'єми областей С, позначимо АУ,, їх діаметри - сі, (і=\,п ) .Діа-

метром сі, області (7, називається довжина найбільшої хорди, яка з'єднує

дві точки межі області С,. Візьмемо довільну точку Р,(1\,,Г[,,

С,,)еС,

і знай-

демо значення функції /(х,у,г) у точці Р

Вираз вигляду

1=1

називається інтегральною сумою для функції /(х, у, £) по області £>. Позна-

чимо через А. максимальний із діаметрів сі, областей О,, тобто X = шах сі,,

і = 1, п .

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми і

за умови, що

Я,

—>

0, тобто

176

§2.

Потрійні інтеграли

х.-»о

1=1

яка

не

залежить

від

способу розбиття області

О на

частинні області

С, та

від вибору точок Р, (і;, ,Г|,,

), то ця

границя називається потрійним інтег-

ралом від функції

/(х,у,г)

по

області

О.

Потрійний інтеграл позначається

так:

]\\Дх,у,2)аУ,

ІІ\/(х,у,2)сіхауск,

]\\ДР)с1У.

в а

Отже,

за

означенням

ІЛДх,у,г)<ІУ

\іт^ДР

)АУ

Теорема. Якщо функція

/(х,у,г)

неперервна

обмеженій замкненій

області

О , то

існує потрійний інтеграл

від

функції

/(х,у,г) по

області

С .

Обчислення потрійного інтеграла

Означення. Якщо будь-яка пряма,

яка

проходить через внутрішню точ-

ку області

паралельно

осі

Ог ,

перетинає границю області

С у

двох точ-

ках,

проекція

О на

площину

хОу є

правильною областю

й, то

область

О називається правильною

напрямі

осі Ог .

Аналогічно вводиться означення правильної області

напрямах осей

Ох

і Оу .

Нехай область

обмежена знизу

зверху поверхнями

2 =

(*,>>)

(х,

у)

відповідно,

а з

боків циліндричною поверхнею, твірні якої пара-

лельні

осі

02 .

Позначимо проекцію області

С на

площину

хОу

через £>

тобто пр

х0у

= 0

(рис.3.9).

(х,у)

У =

У\

(х\^~Р==$0

(х)

Рис.3.9

Глава

Кратні інтеграли

177

Припустимо,

що

кожна пряма,

яка

паралельна

осі Ог і

проходить через

внутрішню точку області

С,

перетинає область

О у

точках

М і N

.Точку

назвемо точкою входу

область

О, а N -

точкою виходу

області

О,

їхні

аплікати позначимо відповідно

вх

вш

.Тоді

вх

=г

(х,у),

вих

(х,у)

для будь-якої неперервної

області

функції

/(х, у, ї) має

місце формула

\\\/(х,у,2)сІхауск

\\ахау

^Дх,^)^.

(ЗЛО)

2,(х,у)

Тобто,

щоб

обчислити потрійний інтеграл, спочатку треба обчислити

інтеграл

І(х,у)=

Дх,

у,г)сІ2

позмінній

і,

вважаючи змінні

х і у ста-

лими. Інтеграл

І(х,у)

називають внутрішнім інтегралом,

бо

(^(х.у)

\Ях,у,г)02

сіхау. (ЗЛІ)

~і(х,у)

Права частина формули (3.11)

подвійним інтегралом

по

області

£>

із підінтегральною функцією

І(х,у).

Таким чином, формула (3.11)

дає

змо-

гу звести потрійний інтеграл

до

подвійного інтеграла.

Якщо область

Б,

наприклад, обмежена кривими

у = у

(х) і у - у

(х),

хе [а, Ь],

причому

у\(х) і у

(х)

неперервні

області

£>, а

область

(рис.3.9) задана відповідно

так:

{2,

(х, у)

(х,

у), у,

(х)<у<

(х),

а<х<Ь},

то переходячи

від

подвійного інтеграла

формулі (3.11)

до

повторного, одер-

жимо формулу

Щ/(х,у,2)сіхсіусІ2

= ^ах ^ау

^)\х,у,2)йг. (3.12)

С, а у\(х)

ц(х,у)

Формула (3.12) зводить обчислення потрійного інтеграла

до

послідов-

ного обчислення трьох визначених інтегралів.

Порядок інтегрування

формулі (3.12) може бути

іншим, тобто

змінні

х,у і 2 за

певних умов можна міняти місцями. Якщо, наприклад

С:{х

(у,2)<х<х

{у,г),у

(г)<у<у

(г),е<2<1},

причому

(у,г),

х,(у,г),

У\(г),

(2)

неперервні

областях

О і /)

відповідно,

то

Уг(х)

(у,г)

\]\/(х,у,г)ахаусІ2

\сІ2

\ау

\/{х,у,2)сіх. (3.13)

О е

у,(дг)

х^у,:)

178

§2.

Потрійні інтеграли

Заміна змінних у потрійному інтегралі. Нехай задано дві прямо-

кутні декартові системи координат Охуг та От>н>, причому змінні х,у, г

та и,у,м> пов'язані співвідношеннями (3.14):

х = х(и,у,\у),

- у = у(и,у,\у), (3.14)

г = г(и,у,мі).

Формули (3.14) встановлюють взаємно однозначну відповідність між

точками областей О і С, розташованих відповідно в просторі хуг та

иум>.

Якщо функції (3.14) задовольняють умові:

дх дх дх

ди ду дм>

ду ду ду

ди ду д\у

дг дг дг

ди ду д\у

то має місце формула (3.15)- формула заміни змінних у потрійному інтегралі:

Я//(*>

У, г) сіхау аг =

Щ/(х(и,

у,

м>\

у(и,

у,

ч>),

г(и,

УУ))\І\

сіисіуауу. (3.15)

а а

Тут / - визначник Якобі або якобіан.

/ =

*0,

Перехід до циліндричних координат у потрійному інтегралі

Циліндричні координати. Визначимо положення точки М у просторі

її декартовою координатою г і полярними координатами р і ф її проекції

А/, на площину хОу (рис.3.10).

О і

Рис.3.10

Величини р, ф, 2 називаються циліндричними координатами точки

М . З рис.3.10 видно, що циліндричні координати р, ф, г і декартові коор-

динати точки М пов'язані співвідношеннями:

Глава 3, Кратні інтеграли

179

= рСОЗф,

- у = рзіпф, (3.16)

2 = 2.

Ці формули відображають область 0<р< + °°, 0<ф<27С,

-оо < 2 < +°° на весь простір хуг .

Якобіан у циліндричних координатах має вигляд:

дх дх дх

сокф -ркіпф 0

5ІПф

рС05ф 0 =р.

0 0 1

/ =

Зр Зф Зг

Зу ду ду

Зр Зф Зг

Зг дг дг

Зр Зф Зг

За формулою (3.15) маємо потрійний інтефал у циліндричних коор-

динатах:

^/(х,у,г)ахауаг = Щ/(рсо5ф,р5Іпф,2)рфа

фйг , (3.17)

де область С задана у декартовій системі координат х,у,г, а С - відповід-

на їй область у циліндричній системі координат р,ф,г .

Перехід до сферичних координат у потрійному інтегралі

Сферичні координати. Визначимо положення точки М у просторі за

допомогою трьох величин, а саме: відстані г від початку координат О до

точки М , кута ф між додатним напрямом осі Ох та проекцією ОМ

відрізка

ОМ на площину хОу (рис.3.11), кута 0 між додатним напрямом осі Ог та

відрізком ОМ .

Рис.3.11

180

§2.

Потрійні інтеграли

Величини г,ф,в називаються сферичними координатами точки М .

З рис.3.11 видно, що сферичні координати г,ф,0 і декартові координати

точки М пов'язані співвідношеннями:

х = г соз ф зіп 9,

- у - /-зіпф зіп6, (3.18)

2 = Г СОЗ 0.

Ці формули відображають область 0 < г < +°°, 0 < ф < 2л, 0 < 0 < к

на весь простір хуг .

Якобіан у сферичних координатах має вигляд:

дх дх дх

созфзіпв-гзіпфзіпО гсозфсозб

зіпфзіпО гсозфзіпО /-зіпфсозв =г

&іпв.

созв 0 -гзіпв

дг Зф 30

ду ду ду

дг Зф 30

дг дг дг

д~г Зф" 30

За формулою (3.15) маємо потрійний інтеграл у сферичних коорди-

натах:

Ш ? У'

^ сіхсіу сіг =

Л|

/(г соз ф зіп 0, г зіп ф зіп 0, г соз 0) г

зіп 9 сіг сіу

сВ,

(3.19)

де область О задана у декартовій системі координат х,у,г ,а О' - відповід-

на їй область у сферичних координатах г,ф,0.

Зауважимо, що при обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних

або сферичних координатах область О', як правило, не будують, а межі інтег-

рування знаходять безпосередньо за областю О .

II. Контрольні питання та завдання

Дайте означення потрійного інтеграла.

Сформулюйте умови існування потрійного інтеграла.

Яка область О у тривимірному просторі називається

правильною у напрямі осі Ог, Оу або Ох ?