Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Функції багатьох змінних та їх диференціювання
141
2.85. х -2у +2 -4х + 2я-5 = 0.
2.86. г
3
+ Зхуг = а
3
.
2.87. е
г
- хуг = 0 .
2.88. Функції у і г незалежної змінної х задані систе-
мою рівнянь
\іх
2
+у
2
-3г
2
= -\,
[4х
2
+2/-32
2
=0.
„ ду йг сі
2
у
сі
2
2
Знайти —, —, —~ , —у при х = 1, у = -2, 2 = 2.
сіх сЬс сіх сіх
2.89. Функції у і г незалежної змінної х задані систе-
мою рівнянь
ІХ
2
+^
2
-2
2
=0,
[х
2
+2г;
2
+32
2
=1.
Знайти сіу,
сіг
, сі
2
у,
сі
2
2
.
2.90. Функції и і V незалежних змінних х і у задані не-
явно системою рівнянь
\хи + уу = 1,
[х
+ .у +
м
+ у = 0.
2
2
Знайти сій,
СІУ,
сі и, сі у.
2.91.
Знайти —, —, якщо х = и + у,у = и-у,г = иу .
дх ду
2.92.
Знайти — та -—, якщо х = асозиспу, у =
дх ду
=
Ь
зіп и
•
СЬУ , г = с зЬм.
2.93.
Знайти сіг, якщо х = е" соз
V,
у = е" зіп
V,
2 = иу.
142
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
2.94. Знайти сіг, якщо х =
м
+
V,
у = и
2
+у
2
, г = и
3
+
V
3
(и Ф У) .
2.95. и = 4х
3
+ ЗхV + Зх/ - у
3
.
д
2
и д
2
и
Перевірити, що
дх ду ду дх
д
2
и
2.96. и = ху + зіп(х + у). Знайти
2.97. и =
1п
Щ(х + у). Перевірити, що
д
2
и
2.98. и = х
2
1п(х + у). Знайти
Зх
2
'
д
2
и д
2
и
дхду дудх
2.99. и = х зіп ху
+
у соз ху. Знайти
2.100. и = зіп(х + созу). Знайти
дхду
д
2
и
дх
2
д
3
и
2.101.
2 = соз(ах + е
у
). Знайти
дх
2
ду
д
3
2
дхду
2
'
2.102. 2 = 0,51п(х
2
+ у
2
). Знайти й
2
г.
2.103.
2 = соз(х + у). Знайти сі
2
г.
2.104. и = е
ху
. Знайти сі
2
и.
у ->
2.105. и = —. Знайти сі и.
х
2.106. и = хуг. Знайти сі
3
и.
2.107. и = х
1п
у. Знайти сі
4
и .
§2.
Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних 143
§2. Застосування диференціального числення функцій
багатьох змінних
І. Короткі теоретичні відомості
Дотична площина та нормаль до поверхні. Дотичною площиною
до поверхні в точці М
0
називається площина, в якій лежать усі дотичні,
проведені в точці М
0
до всіх можливих кривих, що лежать на поверхні і
проходять через точку Л/
0
.
Нормаллю до поверхні в точці М
0
називається пряма, що проходить
через точку М
0
перпендикулярно дотичній площині в цій точці.
Якщо поверхня задана рівнянням
Р(х,у,г) = 0, (2.21)
то рівняння дотичної площини в точці М
0
(х
0
,у
0
,г
0
) є
Г'(М
0
)(х-х
0
)+ Р;(М
0
)(у-у
0
)
+/да
О
)(2-
ГО
)
= 0, (2.22)
а рівняння нормалі:
*-*о
=
У-Уо
і=
*-Ч
{2 23)
Ґ
Х
(М
0
)
Р'
у
(М
0
) К(М
0
)
Якщо поверхня задана рівнянням
г = Ах, у), (2.24)
то рівняння дотичної площини в точці
М
0
(х
0
,у
0
,2
0
)
має вигляд
/х(
х
о,Уо)(х-х
0
)+ /у(х
0
,у
0
)(у-Уо)-
(2-2
0
)
= 0, (2.25)
а рівняння нормалі -
х-х
0
_ У-Уо _
2
~
2
о
/х(х
0
,у
0
) Ґу(х
0
,у
0
) -1
(2.26)
Формула Тейлора. Якщо функція и = /(М) (т + 1) раз диференці-
йовна в деякому околі О(М
0
,г) точки М
0
(ху\х\,...,х°„), то для будь-якої
точки М(х
1
х
2
,-..,х
п
) є О(М
0
,е) має місце формула Тейлора
т і і
и{М) = и\
м
+
У
І
—<і
к
и\
и
+ '
а""
+і
и\„,
(2.27)
де Л
г
єО(М
0
,є).
144
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
Останній доданок
у
формулі називається залишковим членом
у
формулі Тейлора
і
може бути записаний коротко
у
вигляді о(р
т
),
де
Гп
р
=
д/Х^' (форма Пеано).
У випадку функції двох змінних
г
= /(х,у) формула Тейлора
в
роз-
горнутому вигляді записується так:
Дх,у) = /(х
0
,у
0
) +
(¥(х
0
,у
0
)^
|
д/(х
0
,у
0
)^
V
дх ду
2!
дх
2
дхду
* ду
2
1
М л -А
+ ... + — — ах+ — сіу
т\\дх
ду
Ях
0
,у
0
)
+
о(р
т
).
(2.28)
Враховуючи, що сіх = Ах =
х -
х
0
, сіу =
Ау
=
у - у
0
із (2.28) отримуємо
Дх,у) = /(х
0
,у
0
) +
Щх
0
,у
0
)
дх
(х-х
0
) +
д/(х
0
,Уо)
ду
(У-Уо)
2!
^о,^
(х
_
Хо)2+2
£Л^
(х
_
ХоХу
_
уо)
+
V
Зх^
ЗхЗу
+
и^уоі
(у
^
Уо)
2
ду
+
...+-
ті
— (х-х
0
) + —(у-у
0
)
І
/(х
0
,у
0
) +
+ о(р
т
). (2.29)
При
х
0
=
у
0
=0
формула (2.28)
та
(2.29) називається формулою
Маклорена.
Екстремуми функцій багатьох змінних. Точка М
0
(х°)
є
точкою
локального максимуму (мінімуму) функції
и - /(х),
якщо існує такий окіл
точки
М
0
О(М
0
), що для всіх точок Мє О(М
0
),
М
Ф М
0
виконується
умова
ДМ)<ДМ
0
) (ДМ)>/(М
0
)). (2.30)
Точки локального максимуму і мінімуму називаються точками локаль-
ного екстремуму.
§2.
Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних 145
Необхідні умови екстремуму. Якщо диференційовна функція и = /(х)
в точці М
0
має локальний екстремум, то
ди_
дх,
або
= 0, / = 1, п (2.31)
м
0
сіи\
Мо
=0. (2.32)
Точки, в яких виконується умова (2.31), називаються стаціонарними.
Достатні умови екстремуму. Нехай функція и = /(х) двічі дифе-
ренційовна в точці М
0
та деякому її околі і точка М
0
- стаціонарна точка
цієї функції. Тоді
1) якщо диференціал сі
2
и\
м
є знаковизначеною квадратичною фор-
мою незалежних змінних ах
]
,ах
2
,...,ах
п
, то функція и = /'(х) має в цій
точці екстремум, причому
а) якщо ії
г
и\
м
> 0 , то точка М
0
- точка локального мінімуму,
б) якщо й
2
и\
м
< 0 , то точка М
0
- точка локального максимуму,
2) якщо другий диференціал сі
2
и\
м
^0 і є знакозмінною квадра-
тичною формою незалежних змінних
ах
х
,ах2,...,ах
п
, то точка М
0
неєточ-
кою локального екстремуму,
3) якщо а'
2
и\
м
=0, екстремум може бути, а може й не бути (по-
трібне додаткове дослідження).
Запишемо вираз для а
2
и І,, у вигляді
\м
0
ах,ах
І
. (2.33)
Введемо позначення для частинних похідних другого порядку, які
обчислюються в точці М
0
д
2
и . . —
, а
ц
= а
п
, і,) = 1, п .
у
дх,дх
/
Тоді
п п
і=1
7=1
є квадратичною формою змінних а\
х
,ах
1
,...,ах
п
з матрицею
146
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
"11 "12 ••• "1л
а
2
\ а
22
••• а
2п
л
п\ "л2
Головні кутові мінори цієї матриці
А, =в„, А
2
=
*г\
"22
,...,А
Й
=
'12
^22
*п2
л
1п
Згідно з критерієм Сильвестра знаковизначеності квадратичної фор-
ми,
квадратична форма додатно визначена, якщо А, > 0, і = \,п, від'ємно
визначена, коли всі головні кутові мінори непарного порядку від'ємні, пар-
ного - додатні.
На підставі критерію Сильвестра можна визначити знак другого дифе-
ренціала в точці М
0
, тобто сі
2
и\., , враховуючи знаки головних кутових
мінорів матриці відповідної квадратичної форми. Отже, маємо,
сі
г
и\
и
> 0 => А, > 0, / = 1, п => точка М
0
- точка локального міні-
муму;
сі и | < 0 => А, > 0, / - парне, А, < 0, / - непарне, /=!,«=> точка
М
0
- точка локального максимуму;
сі
2
и\
м
* 0, критерій Сильвестра не справджується - точка М
0
- не
є точкою локального екстремуму;
сі
2
и\,, = 0, потрібне додаткове дослідження.
Для функції двох змінних 2 = /(х,у) другий диференціал має вигляд
12.
СІ
2
2
І =
д
~
2
ІА/
° дх
2
Позначивши, А
сіх
2
+2
д
2
2
дхду
сіхсіу +
0
д
2
2
ду
2
д
2
2
,в
м
0
д
2
2
,с =
м
0
д
2
2
дх
2
,в
м
0
дхду
,с =
м
0
, А = АС-В
2
,
матимемо
§2.
Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних 147
1) якщо Д > 0 , то функція 2 = /(х,у) має в точці М
0
екстремум,
зокрема, мінімум при А > 0 , максимум - при А < 0 ,
2) якщо Д < 0, екстремум у точці М
0
відсутній,
3) якщо Д = 0 , потрібне додаткове дослідження.
Умовний екстремум функції багатьох змінних. Умовним екстре-
мумом функції и = /(х
]
,х
2
,...,х
п
) називається екстремум цієї функції, який
досягається за умови, щозмінні х-
[
,х
2
,-.-,х„ зв'язані рівняннями зв'язку
(р
к
(х
и
х
2
,...,х„) = 0 (к = 1, т, т < п).
Тобто задача ставиться так: знайти екстремум функції
и = /(х
и
х
2
,...,х„)
за умови, що
ф
1
(х,,х
2
,...,л:„) = 0;
у
2
(х
и
х
2
,...,х„)
= 0;
(2.35)
(2.36)
(?
т
(х
і
,х
2
,...,х„) = 0.
Для розв'язання такої задачі використовується метод множників
Лагранжа, згідно з яким задача знаходження умовного екстремуму зво-
диться до дослідження на звичайний екстремум функції Лагранжа
т
+
Х*-*Ф*(*1>*2'-"'*л)>
к=\
(2.37)
де Х
к
(к = \,т) називаються множниками Лагранжа.
Необхідні умови умовного екстремуму виражаються системою п + т
рівнянь
^-
=
о,і
=
\Гп;
ох,
<$
к
(х
і
,х
2
,...,х
п
) = 0, к = \, т.
(2.38)
Розв'язки цієї системи - стаціонарні точки функції Лагранжа.
Достатні умови умовного екстремуму можна встановити за знаком
диференціала другого порядку функції Лагранжа з урахуванням рівнянь зв'язку.
Зокрема, для випадку відшукання екстремуму функції двох змінних
г = Ах,у) (2.39)
148
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
за умови, що
ф(х,у) = 0, (2.40)
функція Лагранжа має вигляд
Цх,у,Х) = Дх,у) +
Хф,у),
(2.41)
а відповідна система рівнянь для знаходження стаціонарної точки така
дх дх дх
3
і
=
У
+Х
*Р=0;
(2.42)
ду ду ду
ді
і л о
зГ
ф(х
'У0
=0
-
З цієї системи знаходяться невідомі
х
0
,у
0
,Х
0
, де
х
0
,у
0
- координа-
ти точки, в якій можливий умовний екстремум.
Достатні умови умовного екстремуму такі:
сі
2
Цх
0
,у
0
Д
0
) > 0 => М
0
(х
0
,у
0
) -точкаумовного мінімуму;
сі
2
і(х
0
,у
0
Д
0
) < 0 => Л/
0
(х
0
,Уо) -точкаумовного максимуму.
При дослідженні знаку а"
2
і слід мати на увазі, що диференціали
змінних сіх,сіу в сі
2
і(х
0
,у
0
,Х
0
) залежні і ця залежність диктується рівнян-
нями зв'язку.
Крім того, оскільки Я. не є звичайною змінною, то при визначенні
знака с/
2
Ь(х
0
,у
0
,Х
0
) величина сік не враховується, тобто вважається
сі
2
их,у,Х)=^-сіх
2
+ 2-^Ц-сіхсіу+^-^сІу
2
. (2.43)
дх дхду ду
Знаходження найбільшого та найменшого значень функції в замк-
неній області. Якщо функція и = /(х) диференційовна в замкненій області,
то вона досягає свого найбільшого (найменшого) значення або в стаціонарній
точці, або в граничній точці області.
Тому, для того щоб знайти найбільше та найменше значення функції
в замкненій області, треба:
1) знайти стаціонарні точки, що розташовані в заданій області, і об-
числити значення функції в цих точках;
2) знайти найбільше та найменше значення функції на лініях, що ут-
ворюють межу області;
3) з усіх знайдених значень вибрати найбільше та найменше.
§2,
Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних 149
//. Контрольні питання та завдання
1.
Наведіть означення дотичної площини до поверхні; нор-
малі до поверхні.
2.
Який вигляд мають рівняння дотичної площини та нор-
малі до поверхні при явному та неявному заданні рівняння по-
верхні?
3.
Запишіть формулу Тейлора для функції п змінних.
4.
Запишіть формулу Тейлора для функції двох змінних.
5.
Наведіть означення точки локального мінімуму (макси-
муму) функції багатьох змінних.
6. Сформулюйте необхідні умови локального екстремуму.
7.
Яка точка називається стаціонарною?
8. Сформулюйте достатні умови локального екстремуму
функції п змінних.
9. Наведіть достатні умови локального екстремуму функції
двох змінних.
10.
Як ставиться задача на умовний екстремум для функції
багатьох змінних; двох змінних?
11.
У чому полягає суть методу множників Лагранжа для
знаходження умовного екстремуму?
12.
Як знаходиться найменше та найбільше значення функції
в замкненій області?
///. Приклади розв 'язання задач
Приклад 1. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі
до поверхні Р в точці М :
а) Р:х
2
+ 2у
2
-Зг
2
+ ху
+
уг-2хг + \6 = 0, М(1,2,3);
б) Р:г = х
2
-2ху + у
2
-х + 2у, М(1,1Д).
• а) позначимо через Р(х,у,г) ліву частину рівняння поверхні Р :
Р(х,у,г) = х
2
+2у
2
-Зг
2
+ху + уг-2хг +16 .
150
Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних
Знайдемо частинні похідні і їх значення в точці М(1,2,3):
Р'
х
(х,
у,
г
) = 2х + у- 22,
Р'
х
{\,
2,3) = -2,
Р'
у
(х,у,2)
= Ау + х +
2,
Р'
у
(\,2,1>) = \2,
Р',(х,у,2)
= -6х + у - 2х,
р:(\,2,3)
= -18.
Для написання рівнянь дотичної площини та нормалі до поверхні ско-
ристаємося формулами (2.22), (2.23).
Рівняння дотичної площини в точці М(1,2,3):
-2(х-1) + 12(у- -2) -18(2 - 3) = 0
або
х-6у
+ 9г-\6 = 0.
Рівняння нормалі в точці М(1,2,3):
х-1
_ у —2 _ 2-3
1 -6 ~ 9
б) згідно з умовою Р : г = х
2
- 2ху + у
2
- х + 2у .
Тут /(х,у) = х
2
-2ху + у
2
-х + 2у .
Знайдемо частинні похідні цієї функції і їх значення в точці М(1,1,1):
/'
х
(х,у) = 2х-2у-\,
Л'(1,1)
= -1;
/;(х,у) = -2х + 2у + 2, /;(1,1) = 2.
Далі скористаємося формулами (2.25), (2.26).
Рівняння дотичної площини в точці А/(1,1,1):
(-1)(х-1) + 2(у-1)-(
2
-1) = 0
або
х
—
2у + г = 0 .
Рівняння нормалі в точці А/(1,1,1):
х
—
І _ у
—
І _ г - І ^
~~~~~^2~~Г~
"
Приклад
2.
Розкласти
за
формулою Тейлора функцію
/(х,у)
= х
3
-5х
2
- ху + у
2
+ \0х
+
5у-4
в
околі точки
М
0
(2,-1).