Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Глава 3. Кратні інтеграли

211

а) площинами х = 0, у = 0, 2 = 0, х = 2, у = 4 та

х + у + г = 8 (зрізаний паралелепіпед);

2 2 2

X у 2

б) еліпсоїдом — +

^-г-

+ — =

і координатними площи-

а Ь с

нами (х > 0, у > 0, г > 0);

в) циліндром 2 = і площинами х = 0, у = 0, 2 = 0 і

2х +

3;у-12

= 0.

3.129. Знайти моменти інерції даних однорідних тіл О

(|і = 1), обмежених даними поверхнями, відносно вказаних осей:

а) С

г = х + у ,2 = 3, відносно осі Ог ;

б) О : х

= у

+ 2

, х = 2, відносно осі Ох ;

в)С:>> = 4--х

-2

= 0, відносно осі Оу .

ГЛАВА

КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ. ПОВЕРХНЕВІ

ІНТЕГРАЛИ. ТЕОРІЯ ПОЛЯ

§1.

Криволінійні інтеграли

І.

Короткі теоретичні відомості

Криволінійні інтеграли першого роду

(по

довжині дуги)

Основні поняття. Нехай задана просторова гладка або кусково-глад-

ка крива

Ь а к

, яка

обмежена точками

А і В .

Нехай

кожній точці

М{х,у,г) цієї кривої визначена неперервна функція /(х,у,г)

= /(М).

Розіб'ємо криву

І на п

частин точками

А = А

, А^,

= В .

Поз-

начимо через

А/,

довжину дуги

А,_

На

кожній дузі

А^А,

візьмемо

точку М,(^,,гі

(

^,) і

складемо суму

=І/(М,)Д/,

Ця сума називається інтегральною сумою

для

функції /(х,у,г)

по

дузі

АВ.

Покладемо

X = тах

А /,,

/ =

п.

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми

Ііт

^/(М

(

)Д/,,

яка

не

залежить

від

способу розбиття дуги

АВ та від

вибору

на ній

точок

М, ,л,, ), то ця

границя називається криволінійним інтегралом першо-

го роду

від

функції /(х,у,г)

по

дузі

АВ .

Криволінійний інтеграл першого роду позначається

так:

\/(х,у,2)а1

або

_[/(*,у,г)сії.

АВ

Отже,

за

означенням

\/(х,у,г)аЧ

= 1ітХЛМ,)Д/, . (4.1)

Якщо

АВ -

плоска крива, тобто

АВ с К

, то

1/(х,у)сіІ

=\\

^/(М

)АІ,

. (4.2)

АВ

Х_>0

'=1

§1.

Криволінійні інтеграли

213

Зауважимо, що оскільки у формулах (4.1), (4.2) А/, - довжина дуги,

А/, > 0, то

]/{х,у,і)(й = \/{х,у,г)<и;

АВ ВА

ІЯх,у)еВ = \/(х,у)Я.

АВ ВА

Обчислення криволінійного інтеграла першого роду

Обчислення криволінійного інтеграла першого роду зводиться до

обчислення визначеного інтеграла.

а) якщо крива АВ с К

і задана параметрично

х(і),

- У = Я'),

2 = 2(0, <1 ^?</

то

\Ях,у,2)Л

]/[х(1),у(і),і(і)]^х'

(і)

(і) сії. (4.3)

АВ г,

б) якщо крива АВ с К

і задана параметрично

їх - х(і),

то

\Ях,у)сіІ

= \П^і),уШх'

(1)

у'

(і)

сії. (4.4)

АВ Ц

в) якщо крива АВ с К

задана рівнянням

у = у(х), а<х<Ь,

то

\Дх,у)(Я

=|/[*,Я*)]л/і

+ /

(*) ах- (4-5)

АВ а

Аналогічно, якщо крива АВаК

задана рівнянням

х(у), с<у<сі ,

то

\Ях,у)Д

=\Ях(у),у]уІх'

(у)

Іау.

АВ с

214

Глава

Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

г) якщо крива

АВ с К

задасться

полярній системі координат рівнянням

= р(ф),

ос<ф<р\

то

\/(х,у)сіІ

]Др(ф)созф,р(ф)кіпф)д/р

(Ф)

р'

(Ф)

аїр. (4.6)

АВ

Зауважимо,

що

виведення вказаних формул базується

на

означенні

криволінійного інтеграла першого роду

урахуванням формул

для

диферен-

ціала довжини дуги.

Для

пункту

а)

сії =

х'

(і)

у'

(і)

(0 Ж \

для

пункту

б)

сії

с'

(ґ)

+ у'

(0 сії;

для пункту

в) сії =

-)]\

у'

(х)

або сії = д/х^ (у) + \сіу;

для пункту

г) сії =

д/р

(ф)

р'

(ф)

<Лр.

Цей факт зручно використовувати

при

обчисленні криволінійних

ін-

тегралів першого роду, обчислюючи попередньо диференціал довжини дуги

сії

та

застосовуючи одну

формул

для

обчислення

цих

інтегралів. Перехід

від лівої

до

правої частини

цих

формул проходить тоді формально

майже

виключає необхідність

їх

запам'ятовування.

Застосування криволінійного інтеграла першого роду

а) довжина дуги

АВ

обчислюється

за

формулою

1=\<й.

(4.7)

АВ

б) маса матеріальної дуги

АВ, в

кожній точці якої задана густина

и.(х,

у, г),

обчислюється

за

формулою

т= \\±(х,у,

)сіІ.

(4.8)

АВ

Аналогічно,

для

випадку

АВ с К

густина дуги ц.(х,у), маємо

т= ]\у(х,у)сіІ.

АВ

Криволінійні інтеграли другого роду

(по

координатах)

Основні поняття. Нехай задана гладка

або

кусково-гладка крива ісВ

яка обмежена точками

А і В, в

кожній точці якої задана вектор-функція

Р(х,у,г)

Р(х,у,г)і

+<2(х,у,2)] +

К(х,у,г)к

, де

функції Р(х,у,г),

(2(х,у,2),

К(х,у,2)

неперервні

на

кривій

Ь.

Розіб'ємо криву

Ь на п час-

§1.

Криволінійні інтеграли

215

тинних дуг точками А = А

, А

,...,А„ = В. Кожній частинній дузі Л,_, Л,

поставимо у відповідність вектор

А,_

А,

= А5, =(Адс,,Ау

,Аг

(

). Позначимо

його довжину через Д /,, тобто | А5, | = А /,. Покладемо X = шах А /,, /' = 1, п.

На кожній частинній дузі

А,_

візьмемо точку

М,(І;,,Г),,

£,) і обчислимо

скалярний добуток

(ТІМ, = Р(М, )Ах, + Є(М, )Ду, + Я(М, )Аг,.

Складемо суму

=^(Р(М

),А5

) = 2іР(М,)Ах,

+<2(М,)Ау,

+ К(М,)Аг,],

яка називається інтегральною сумою від вектор-функції Р(х,у,г) вздовж

кривої Ь від точки А до точки В .

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми Ііт ^(Р(М,), А5,),

яка не залежить від способу розбиття дуги АВ та від вибору на ній точок М,,

то ця границя називається криволінійним інтегралом другого роду від вектор -

функції Р(х,у,г) по дузі АВ.

Криволінійний інтеграл другого роду позначається так:

^Р{х, у, г) сіх +

<2(х,

у,г)ау + К(х, у,

аг

АВ

або

Р(х, у,г)ах + <2

(

х, у,г)ау + К(х, у,г)дг .

і.

Отже,

за означенням

Р(х, у,г)сіх +

<2{х,

у,г)сіу + К(х,

у,г)сІ2

АВ

= Ііт £[/>(М, )Дх, +

<2(М,)Ау,

+ Я(М,)Аг, ]. (4.9)

^°,=і

Якщо крива АВ сК

,та криволінійний інтеграл по дузі АВ від век-

тор-функції Р(х, у) = Р(х,у)і + £)(х,у)і визначається за формулою:

ІР(х,у)сіх +

(2(х,у)сіу=

Ит]Г[ДМ^Ах,+£(М,)А.у,]. (4.10)

АВ

'=1

216 Глава

Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

Зауважимо,

що для

криволінійного інтеграла другого роду

має

місце

властивість:

\Рск

+ (2ау +

Каг=

- \Рах + 0.ау + Кск .

(4.11)

АВ

ВА

Обчислення криволінійного інтеграла другого роду

Обчислення криволінійного інтеграла другого роду зводиться

до об-

числення визначеного інтеграла.

а) якщо крива

АВ с К

задана параметрично

= х(і),

•У

= у(і),

= 2(1),

і початковій точці кривої відповідає значення параметра

/ = І

, а

кінцевій

точці

- і = (

, то

'в

{ Р(х,

у,

г) сіх + д(х,

у,

сіу + Я(х,

у,г)аг=\

[Р(х(1\

у((),

г{і))х\і)

АВ

+ £(*('), ЛО,

гіОЬХО

Я(х((),

уіО, 2(і))2\()}

л.

(4.12)

б) якщо крива ЛйсК

задана параметрично

х =

х(1),

у =

у((),

і початковій точці кривої відповідає значення параметра

І = 1

, а

кінцевій

точці

- і = і

, то

'в

\Р(х,у)сіх

+ д{х,у)сіу =

\[Р(х{1),у{1))х\і)

+ (2{х(і),у(1))уХі)}сіІ.

(4.13)

АВ

в) якщо крива

АВ сК

задана рівнянням

у = у(х) і

початковій точ-

ці кривої відповідає значення

х = х

,а

кінцевій точці

- х = х

, то

\Р(х,у)сіх

(2(х,у)сіу=

\[Р(х,у(х))

(2(х,у(х))уїх)]сіх.

(4.14)

АВ

Аналогічно, якщо крива

АВ с К

задана рівнянням

х = х(у) і

почат-

ковій точці кривої відповідає значення

у = у

, а

кінцевій точці

- у = у

, то

Ув

|Р(х,у)сіх

+ 0(х,у)сіу=

\[Р{х(у),у)х'(у)

д(х(у),у)]сіу

АВ

§1.

Криволінійні інтеграли

217

Зауважимо, що нижня межа визначених інтегралів у правій частині

наведених формул для обчислення криволінійних інтегралів другого роду

не обов'язково менша за верхню.

Зауважимо також, що виведення формул у пунктах а), б), в) базується

на означенні криволінійного інтеграла другого роду з урахуванням формул

для диференціала функції.

Для пункту а) сіх = х\і) сії, сіу = у\і) сії,

сіт.

= г'(і) сії;

для пункту б) сіх = х\і)Л , сіу =

у\і)сіі;

для пункту в) сіу = у\х)сІх або сіх = х\у) сіу.

Цей факт зручно використовувати при обчисленні криволінійних ін-

тегралів другого роду, попередньо обчисливши ці диференціали, а потім за-

стосувавши відповідні формули для обчислення вказаних інтегралів. Пере-

хід від лівої до правої частини цих формул проходить тоді формально і май-

же виключає необхідність їх запам'ятовування.

Криволінійний інтеграл другого роду по замкненій кривій

Означення 1. Область ОсК

називається однозв'язною, якщо для

будь-якого замкненого контуру ісО обмежена цим контуром область та-

кож цілком лежить в області О .

Однозв'язність області означає відсутність в ній "дірок". На рис.4.1

наведено: а) однозв'язну, б) двозв'язну, в) тризв'язну області.

а) б) в)

Рис.4.1

Припустимо, що контур і області £> не має точок самоперетину.

Контур І однозв'язної області £> називається додатно орієнтова-

ним,

якщо на ньому вибрано такий напрямок обходу, при якому область £)

залишається зліва від спостерігача. У протилежному випадку - від 'ємно

орієнтованим.

Додатно орієнтований контур позначають І або Ь

, від'ємно орієн-

тований V . У подальшому ми писатимемо контур Ь , вважаючи під цим

додатно орієнтований контур.

Відповідно криволінійний інтеграл по замкненому додатно орієнто-

ваному контуру Ь позначається так:

§Р{х,у)с1х + (2(х,у)с1у .

218

Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

Для тривимірного випадку вводиться також поняття однозв'язної об-

ласті та орієнтації контуру.

Означення 2. Область СсК

називається поверхнево-однозв'язною

або однозв 'явною, якщо на будь-який замкнений контур ЬсС можна натяг-

нути поверхню, що цілком лежить в області О.

Відповідно криволінійний інтеграл по замкненому додатно орієнто-

ваному контуру ІсК

позначається так:

§Р(х,у,г)ах+()(х,у,2)ау +

К(х,у,2)а2

і.

Теорема. Якщо функції Р(х,у) і

<2(х,у)

та їх частинні похідні пер-

шого порядку неперервні в замкненій однозв'язній області ОсК

, яка об-

межена кусково-гладкою додатно орієнтованою кривою Ь, то має місце

формула

§Р(х,у)<Ь + 0(х,у)ау = Ц(^-^-]ахау . (4.15)

Формула (4.15) називається формулою Гріна.

Формулу Гріна можна розповсюдити на будь-яку область, яку можна

розбити на скінченне число областей вказаного в теоремі типу (наприклад,

область, що має точки самоперетину, область, що не є однозв'язною).

Незалежність криволінійного інтеграла другого роду від форми шляху

інтегрування

Теорема 1. Нехай функції Р(х,у) і

0.(.х,у)

та їх частинні похідні

——

і —=- неперервні в замкненій однозв язніи області и . Тоді має місце

ду дх

рівносильність таких чотирьох тверджень:

§Рах +

<2ау

= 0і,

де І - будь-який замкнений контур, що лежить в області £>.

] Р сіх + (3 ау не залежить від форми шляху, що з'єднує точки А і

АВ

В,

АВсй.

Р сіх + (3 сіу = сіи(х, у), тобто вираз Р сіх+ (2 сіу є повним диферен-

ціалом деякої функції и(х, у), визначеної в області £).

У всіх точках області й

Криволінійні інтеграли

219

При виконанні умов цієї теореми, як наслідок, має місце формула:

\Р(х,у)ах + ()(х,у)ау = \сіи(х,У) = и(В)-и(Л) = и(х,у)\

. (4.17)

АВ АВ

Аналогічна теорема має місце для тривимірного випадку.

Теорема 2. Нехай функції Р(х,у,г), 0.(х,у,і), К(х,у,г) неперервні

разом із своїми частинними похідними першого порядку в замкненій поверх-

нево-однозв'язній області С. Тоді має місце рівносильність таких чотирьох

тверджень:

§Рах + Г)ау + Каг = 0,

де І - будь-який замкнений контур, що лежить в області О .

^Рах + Оау+Всіг не залежить від форми шляху, що з'єднує

АВ

точки А і В , АВ с О.

Рах + СЗау + Кііг = сіи(х,у,і),тобто вираз Р ах + <2ау + Каг спов-

ним диференціалом деякої функції и(х,у,г), визначеної в області О .

У всіх точках області О виконуються рівності

д£__дР_

9л

3£

(4 ]8)

дх ду ду дг дг дх

При виконанні умов цієї теореми, як наслідок, має місце формула:

\Рах + ()ау + Ксіг = \сіи(х,у,г) = и(В)-и(А) = и(х,у,г)\

. (4.19)

АВ АВ

Знаходження функції за її повним диференціалом

За допомогою розглянутих теорем можна розв'язати таку задачу:

Нехай відомо, що вираз Рах + ()ау є повним диференціалом деякої

функції и(х, у), тобто Рах + ()ау = сіи(х, у) . Умовою того, що цей вираз є

повним диференціалом, є виконання умови (4.16): = —. Треба знайти

дх ду

цю функцію и(х,у).

Розв'язання задачі виконується так:

з виразу

сіи = Рсіс + дф

випливає, що

и(х,у)= \Рах + 0.ау,

(-^о.Го)

220

Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля

деточки М

(х

,у

), М(х, у)є £>, £> - область визначення функцій Р(х,у),

<2(х,у)

і криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегруван-

ня,

а тільки від початкової та кінцевої точок цього шляху. Цей шлях вибирає-

мо,

як правило, у вигляді ламаної, складеної з відрізків прямих, паралельних

осям координат. Отже, формула для знаходження функції за її повним дифе-

ренціалом представиться так:

и(х,у) = ]Р{х,у

)ах+ ](3(х,у)ау + С,

(4.20)

УО

де М

М - ламана (рис.4.2), яка з'єднує точки М

(х

,у

), М(х,у) так, що

відрізки ламаної паралельні осям координат.

М(х,у)

Щх

,Уо) ЩХ

УІ)

м/

\/Уо

/У у

Рис.4.2

Рис.4.3

Аналогічно розглядається поставлена задача для тривимірного випадку.

ІЛ

.оч 36 дР дЯ аО дР дЯ

Якщо виконуються умови (4.18): —=- = —, — =——, — = — ,то

дх ду ду дг дг дх

Р(х,

у,г)ах

+ (2(х,

у,г)ау

+ Я(х,

у,г)аг

= сІи(х, у, г) і тоді

х у г

и{х,у,г) = \Р(х,у

,г

)ах+

\(2{х,у,г

)ау+

\Я{х,у,г)аг+ С , (4.21)

Уо

де М

М - ламана (рис.4.3), яка з'єднує точки М

(х

,у

,г

), М(х,у,г)

так, що сторони ламаної паралельні осям координат.

Застосування криволінійного інтеграла другого роду

а) площа плоскої області И , обмеженої кривою Ь, обчислюється за

однією з формул:

8 = -§уах, (4.22)

Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.