Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
310
Пример решения задачи Д. 10.3
В механической системе рис. 187 на стержень 6 действует воз-
мущающий момент
0
sinMM pt= .
0
4M нм
=
- амплитуда,
1
с4p
−
= - частота возмущающего момента.
Требуется определить уравнение вынужденных колебаний
)t(yy
2
2
= с учетом сил сопротивления, а также рассчитать и
построить графики амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и
фазо-частотной характеристики (ФЧХ).
Решение
Определим обобщенную силу возмущающих сил.
1
1
()
k
в
δA
Q
δr
= ,
16
() .
k
AM
δ
δϕ
=
⋅
При
11 6
δr= δφ
⋅
l , получим
11
1
()
k
M
Ar
δ
δ
=
l
и
1
в
M
Q
=
l
.
Тогда
в o
Q = F sinpt = 6,67sin4t(н), где
4
6,67 .
0, 6
o
1
M
F= н
==
l
Запишем уравнение Лагранжа
c в
dT П
QQ
dt y y
∂
∂
+
=+
∂∂
.
При
2
1
2
Ty=
a ,
2
1
2
П cy= ,
c
Qby
=
−
и
в o
Q = F sinpt , получим:
sin
o
ycy byF pt+=−+
a .
Полученное уравнение приведем к нормальному виду
2
2sinynykyhpt++=
)
.0
(
=
δ
Запишем параметры по данным предшествующих задач Д.10.1
и Д.10.2:
11
1, 5 3 ; 7 , 0 8 ; ; 6 , 6 7 ; 7 , 0
o
o
F
nck chF нкг
−−
== ===a
a
;
311
1
2
0,95 ; 4
м
hpc
с
−
==.
По формуле (14) вычисляем амплитуду вынужденных колеба-
ний
222 22
0,95
0,026
(7,08 4 ) 4 1,53 4
A м==
−+⋅ ⋅
.
Сдвиг фазы колебаний по формуле (13)
22
21,534
tg 0,344
7,08 4
ε arc
р
ад
⋅⋅
==
−
.
Записываем уравнение вынужденных колебаний
2
0,026sin(4 0,344) ( )ytм=−.
По формуле (15)
max
22
0,95
0,045
2 1,53 7,08 1,53
A м==
⋅−
.
По формуле (16), при
1
7,08
p
kc
−
== , резонансная амплитуда
max
0,95
0,044 < 0,045
2 7,08 1,53
рез
A м A м== =
⋅⋅
.
Строим амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ)
характеристики.
Преобразуем формулы (11) и (12) к следующим видам:
2
2
tg
1
np
kk
ε arc
p
k
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
,
2
2
222
14
h
k
A
p
np
kkk
=
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
−+
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
.
Для нашей задачи, при
22
0,95
0,019
7,08
h
м
k
==
,
1, 5 3
0,216
7,08
n
k
⎛⎞
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
, получим
312
2
2
22
0,432
0,019
,
1
1 0,187
p
k
ε arctg A
p
p
p
k
kk
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
==
⎛⎞
⎡⎤
−
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
−+
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
.
Составим таблицу величин
A
и .ε
Таблица 18
N
п/п
p/k
A
(м)
ε
(рад)
A
(мм)
ε
(мм)
1 0 0,019 0 34,5 0
2 0,5 0,024 0,28 43,6 3
3 1 0,044 1,57 80 31,4
4 1,5 0,013 2,66 23,6 58,3
5 2 0,006 2,86 10,9 60
Выбираем масштаб амплитуд
0,044
0,00055 ( )
80
A
A м
µ
мм
A
== =
, (80)A мм= .
Масштаб
e
2, 86
0,0477
()
60
ε
ε
р
ад
µ
мм
ε
== =
,
(
60
)
εмм= .
При выбранных масштабах находим значения
A и ε в мм для
графиков по формулам
A
A
A
µ
= и
ε
ε
ε
µ
= .
На рис. 189 и рис. 190 показаны графики АЧХ и ФЧХ.
Вычислим частоту вынужденных колебаний, соответствующую
амплитуде
max
A
22 2 2 1
1
2 7,08 2 1,53 6,74
p
kn c
−
=−= −⋅ =
.
Тогда
1
6,74
0,95
7,08
p
k
==.
313
Рис. 189. Амплитудно-частотная характеристика
Рис. 190. Фазо-частотная характеристика
314
Задача Д.11. Свободные колебания механической
системы с двумя степенями свободы
Консервативная механическая система с идеальными, удержи-
вающими связями показана на рис. 191 - 193 в положении равнове-
сия. Числовые параметры системы приведены в таблице 19.
Требуется определить угловые частоты малых колебаний и ко-
эффициенты формы, а также составить уравнения движения систе-
мы в общем виде.
1. Кинетическая энергия механической системы
как функция обобщенных координат
В общем виде кинетическая энергия системы определяется
по формуле
2
nn
kk kk k
k=1 k=1
11
T= m = m
22
vvv
⋅
∑∑
. (1)
Абсолютная скорость точки
1
s
kk
ki
i
i
rr
q
qt
v
=
∂
∂
=+
∂
∂
∑
.
Подставим
k
v в (1), получим
== =
⎛⎞⎛⎞
∂∂ ∂∂
=+⋅+
⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂
⎝⎠⎝⎠
∑∑ ∑
ns s
kk kk
kj j
ii
ki i
rr rr
Tm q q
qt qt
11 1
1
2
.
Судя по выражению, можно сделать вывод, что будет три слагаемых
величины для Т.
=
++TT TT
012
.
()
00
1
1
2
n
kk
k
k
rr
Tm t
tt
=
∂∂
=⋅=
∂∂
∑
a
.
a
== =
∂∂
=⋅⋅=
∂∂
∑∑ ∑
nN N
kk
kjjj
j
kj j
rr
Tm q q
qt
1
11 1
,
315
Рис. 191
316
Рис. 192
317
Рис. 193
318
Таблица 19
m
1
m
2
m
3
c
1
c
2
c
3
R
l
1
l
2
l
3
l
4
Номер
варианта
кг Н/м м
1 2 4 – 200 300 20 – 0,6 0,2 0,4 0,1
2 2 4 – 250 200 – 0,4 – – – –
3 1 3 5 300 250 – 0,2 – – – –
4 2 5 – 600 800 70 – 0,6 0,4 – 0,8
5 8 2 – 150 150 – – – – – –
6 5 2 – 800 600 80 – 0,6 0,3 0,2 0,5
7 3 1 – 200 200 80 – 0,6 – – –
8 4 2 – 100 300 – 0,4 0,4 0,2 – –
9 2 3 – 200 100 60 – 0,3 0,3 0,4 –
10 2 4 3 300 200 – – 0,5 0,2 – –
11 2 2 – 200 300 – – 0,6 0,8 – –
12 4 2 – 250 300 40 – 0,6 1,2 – –
13 4 2 3 300 250 – – 0,5 1 – –
14 3 2 – 300 400 50 0,2 – – – –
15 6 – – 400 300 60 – 0,6 1 – –
16 4 6 – 500 100 80 – 0,4 0,8 0,8 –
17 3 4 – 100 500 40 – 0,6 1 – –
18 2 4 3 250 300 – 0,4 0,5 1 – –
19 2 3 – 150 200 – 0,2 0,4 – – –
20 8 6 – 600 400 – – 1 0,5 – –
21 5 4 – 400 500 – – 1 0,5 0,3 –
22 5 7 4 400 400 – 0,3 – – – –
23 4 5 – 350 400 – – 0,5 0,2 – –
24 3 4 – 450 600 – – 0,5 0,6 – –
25 2 3 5 400 400 60 – 0,3 0,7 – –
26 6 2 3 300 300 20 – 0,2 0,6 – –
27 4 5 3 400 300 – 0,4 0,4 0,2 – –
28 6 4 – 200 800 50 0,6 – – – –
29 3 4 2 250 300 – – 1 0,6 – –
30 3 2 4 250 200 – – 1,2 0,3 – –
319
где aaa
=
∂∂
=⋅=
∂∂
∑
n
kk
jk jj
j
k
rr
mt
qt
1
(()).
() ()
a
=
∂∂
=⋅=⋅
∂∂
∑∑ ∑
n
kk
kjpjpjp
jp
kjp jp
rr
Tm qq qq
qq
2
1, ,
11
22
,
где
aa
=
∂
∂
== ⋅
∂
∂
∑
n
kk
jp pj k
j
p
k
rr
m
qq
1
.
В окончательном виде
()
aa a
=
=+ +
∑∑
N
j
jjpjp
jjp
Tqqq
0
1,
1
2
. (2)
Выражение (2) определяет кинетическую энергию механической
системы как функцию обобщенных координат.
Если механическая система имеет склерономные (стационарные)
связи, то коэффициенты
aa
=
=
j 0
0 и
()
a=
∑
j
pjp
jp
Tqq
,
1
2
, (3)
где
aa=
j
ppj
- обобщенные коэффициенты инерции.
К примеру, если
=
TTqq
12
(, ), то
aa a=+ +
Tqqqq
22
11 1 12 1 2 22 2
1
(2 )
2
.
2. Свободные колебания механической системы
с двумя степенями свободы
Запишем уравнения Лагранжа для голономных консервативных
систем с идеальными, удерживающими и склерономными связями:
11
0
dT П
dt q q
∂∂
+=
∂∂
;
22
0
dT П
dt q q
∂
∂
+
=
∂∂
. (4)
Кинетическая и потенциальная энергии системы запишутся в сле-
дующем виде: