Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
290
Задача Д.10. Колебания механической
системы с одной степенью свободы
около устойчивого положения равновесия
Механическая система с одной степенью свободы, с идеальны-
ми и удерживающими связями, показана на рис. 183 – 185 в поло-
жении равновесия. Числовые значения параметров механической
системы, начальных условий и возмущающего момента приведены
в таблице 17, где Λ - логарифмический декремент затухания.
Возмущающий момент изменяется по закону
sin
o
MM pt
=
, где
М
О
- амплитуда и p - частота возмущающего момента. При расче-
тах принимать
33
1, 5Rr= , а обобщенной координатой считать ко-
ординату y=y(t) тела 1, которая отсчитывается от равновесного по-
ложения.
Определить:
1. Уравнение свободных колебаний (отключен демпфер
β и воз-
мущающий момент М) и статическую деформацию пружины.
2. Уравнение свободных колебаний при действии сил сопротив-
ления (отключен возмущающий момент М) и коэффициент сопро-
тивления
β демпфера.
3. Уравнение вынужденных колебаний при действии сил сопро-
тивления.
Рассчитать и построить графики амплитудно-частотной харак-
теристики (АЧХ) и фазо - частотной характеристики (ФЧХ).
1.Свободные колебания механической системы без
учета сил сопротивления.
Колебательным движением механической системы называют ее
малые отклонения как в одну, так и в противоположную сторону в
окрестности устойчивого положения равновесия.
291
Рис. 183
292
Рис. 184
293
Рис. 185
294
Таблица 17
l
1
l
2
l
3
r
2
r
3
r
4
r
3
m
1
m
2
m
3
m
4
m
6
c
1
Λ
M
o
p
o
y
o
y
Но-
мер
вари-
анта
м кг Н/м –
Нм
с
-1
м м/с
1 0,6 0,4 0,1 – 1 2 3 360 1,7 3 1 0,02 0,09
2 – – 0,2 – 1 3 2 400 0,9 2 2 0,01 0,06
3 0,5 0,5 0,1 – 1 2 4 400 1,5 2 3 0,01 0,05
4 – – 0,2 – 2 2 3 320 1 1 4 0,03 0,02
5 0,4 0,6 0,3 0,2 1 – 3 450 0,8 3 4,5 0,02 0,04
6 0,6 0,4 0,6 0,1 1 – 3 180 1,2 4 0,5 0,03 0,08
7 0,8 0,2 0,1 – 1 2 4 300 1 4 2 0,04 0,07
8 0,2 – 0,1 0,1 2 – 3 400 1,6 3 1,4 0,02 0,08
9 0,6 0,4 0,4 0,2 1 – 2 340 1,2 2 0,8 0,03 0,07
10 0,5 0,5 0,1 0,2 1 – 4 200 1,4 3 1,5 0,02 0,04
11 0,5 0,8 0,2 – 1 2 4 300 1,5 1 0,4 0,04 0,07
12 0,5 0,7 0,1 – 1 2 2 400 1,2 2 0,6 0,01 0,03
13 0,8 0,8 0,4 – 1 – 2 350 1,8 3 0,9 0,04 0,09
14 – – 0,3 0,2 2 3 2 400 1 4 1,5 0,01 0,07
15 – – 0,4 – 1 2 1 450 1,1 2 1,3 0,01 0,05
16 0,7 0,3 0,2 – 2 3 1 320 1,6 3 1,8 0,04 0,08
17 0,5 – 0,2 – 1 2 3 200 2 4 2 0,02 0,09
18 – – 0,3 0,1 1 2 4 400 2,1 4 1,5 0,03 0,04
19 0,4 0,6 0,2 – 1 2 2 200 1,5 2 1 0,01 0,07
20 0,6 0,4 0,2 – 1 2 4 320 1,4 3 2 0,03 0,05
21 0,6 0,4 0,2 – 1 1 4 320 2,2 2 2 0,01 0,09
22 0,3 0,2 0,1 – 1 2 4 400 1,3 1 3 0,02 0,05
23 0,4 0,4 0,1 0,2 1 – 2 340 1,7 2 2 0,04 0,08
24 – – 0,1 0,2 1 2 4 400 1,4 3 2 0,01 0,07
25 – – 0,2 0,2 1 2 3 360 2 2 2 0,02 0,04
26 0,6 0,4 0,2 – 2 3 4 380 0,8 2 4 0,05 0,06
27 0,4 – 0,2 – 2 2 3 400 0,7 2 2 0,03 0,09
28 0,4 – 0,2 0,3 2 – 4 200 0,8 1 3 0,01 0,08
29 0,6 0,2 0,2 – 1 2 4 250 1,2 2 2 0,02 0,05
30 – – 0,2 0,2 2 3 4 400 1,4 2 3 0,04 0,07
295
Если в системе действуют только консервативные силы и нет
сопротивления, то это свободные колебания.
Для механической системы с одной степенью свободы запишем
уравнение Лагранжа 2-го рода. При
П
Q
q
∂
=−
∂
и 0
T
q
∂
=
∂
0
dT П
dt q q
∂
∂
+
=
∂∂
. (1)
В общем виде кинетическая и потенциальная энергии опреде-
ляются по формулам:
2
1
2
Tq=
a ;
2
1
2
Псq=
,
где
a - обобщенный коэффициент инерции;
c - обобщенный коэффициент жесткости упругих элементов
системы;
,qq
- обобщенная координата и обобщенная скорость точки.
Тогда
T
q
q
∂
=
∂
a ,
dT
q
dt q
∂
=
∂
a ,
П
cq
q
∂
=
∂
.
Полученные значения подставим в (1) и получим
0cqq
+
=
a
. (2)
Уравнение (2) приведем к нормальному виду
2
0qkq
+
=
, (3)
где
2
c
k =
a
,
c
k =
a
(c
1
−
) – круговая частота свободных
колебаний механической системы.
Линейному дифференциальному уравнению (3) соответствует
общее решение
12
cos sinqC ktC kt=+ и
12
sin cosqCkktCk kt=− +
.
296
При начальных условиях
0
0t
=
;
00
;qq
определяем константы
1
C и
2
C .
Откуда
10
Cq
=
,
0
2
q
C
k
=
.
Пусть
1
sinCA=
γ
и
2
cosCA
=
γ
,
тогда
sin
()
qA kt=+
γ
,
где
2
22 2
0
12 0
2
q
ACC q
k
=+=+
- амплитуда колебаний,
0
1
20
kq
C
tg
Cq
==
γ
,
0
0
kq
arctg
q
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
γ
- начальная фаза ко-
лебаний.
Развертка свободных колебаний показана на рис. 186.
Рис. 186
На графике обозначены:
2π
T
k
=
(с) - период колебаний;
297
A - амплитуда колебаний; 2A - размах колебаний;
0
sinqA=
γ
-
начальное отклонение.
Пример решения задачи Д. 10.1
Для механической системы (рис. 1876) заданы следующие ве-
личины:
=
1
m 2кг,
2
m = 2кг,
3
m = 3кг,
6
m = 6кг массы тел;
1
l = 0,6м;
2
l = 0,4м;
3
l = 0,2м;
2
r = 0,2м;
3
r = 0,4м;
1
c = 400н/м – коэф-
фициент жесткости пружины;
0
y
= 0,02м;
0
y
= 0,2м/с – начальные
условия.
Требуется определить уравнение свободных колебаний y=y(t)
заданной механической системы.
Рис. 187
Решение
На схеме рис. 187 покажем скорости характерных точек тел ме-
ханической системы:
1
,,,
DC A
vvvv.
Запишем связи между этими скоростями.
298
1
112 166
22
1
;; ;;
DD
yy yV
rr
v
vvv
ω
ωω ϕ
=====⋅= =
l
;
1
16 6 6 62
12
1
; ; ; cos 45
o
CABC
yyyvvvv
ϕω ϕ ω
===⋅=== =
l
ll
ll
;
2
1
AC
y
vv==
l
l
.
При
q
y
= уравнение Лагранжа второго рода для консерватив-
ных сил будет иметь следующий вид:
0
dT П
dt y y
∂
∂
+
=
∂∂
.
Вычисляем кинетическую энергию системы.
12 6 3
TTT T T
=
+++;
22
111 1
11
22
Tm myv==
;
2222
222 22 2
2
2
11111
222 4
Tmrymy
r
ω
==⋅ =
I
;
2222
66 61 6
2
1
11111
223 6
o
Tmymy
ω
==⋅⋅=
Il
l
;
22
33 33
11
22
A
Tmv
ω
=+I .
Так как диск 3 сплошной и однородный, то
2
2
2
222
33
33 3 3
2
1
3
11 33
222 4 4
A2
AA
mr
Tm m m
y
r
v
vv
⎛⎞
=+⋅⋅==
⎜⎟
⎝⎠
l
l
.
Окончательно
2
22
2
1263
1
1113 1
2232 2
Tmmmm y y
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
=+++ =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
l
l
a ,
где
а - обобщенный коэффициент инерции.
299
2
2
12 6 3
1
113
232
mm m m
⎛⎞
=+ + + =
⎜⎟
⎝⎠
l
l
a
2
1130,4
2263 7
2320,6
кг
⎛⎞
=+⋅+⋅+⋅⋅ ≅
⎜⎟
⎝⎠
.
Запишем геометрические связи между характерными точками
системы:
2
661
1
1
;;
(
1cos
)
2
DCA
SySS yh φ=== =−
l
l
l
;
2
66
1
cos 1
2
φφ≈− +";
2
2
6166 6
11
111
;;
44
y
h φφ yh===l
ll
.
Вычисляем потенциальную энергию механической системы.
11 6
() () ( )ППР Пс ПР=++, а для сил тяжести
23
,PP точки
приложения А и
1
O не меняют своей высоты.
1111
() ()ПР АР Р ymgy=− =− ⋅ =− ⋅ ;
2
111
1
() ()
2
П cAc c=− =
λ
.
Деформация пружины
ст D ст
Sy=+=+
λ
λλ
, поэтому
2
11
1
() ( )
2
ст
Пс с у=+
λ
;
2
66666
1
1
() ()
4
y
ПР АР Рhmg=− =− =−
l
.
Тогда
22
116
1
1
()
24
ст
g
Пс
y
mg
y
m
y
=+−⋅−
l
λ
.
Запишем условие равновесия системы
(0)
0
y
П
y
=
⎛⎞
∂
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
,
11
0
cт
cmg
−
=
λ
.