Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 9

Так как

DA = EK = BK tg

=tgβ

cos

⋅⋅

и DE = t

⋅

a , то

x= tgβ;

cos

⋅

=0; z= t

⋅

a .

Вычислим проекции силы

P на оси координат

P=0;

P=-Pcosα;

P=Psinα .

Подставим найденные значения в формулы для аналитического

расчета моментов и получим

sinα

M(P)=0- tgα (-Pcosα)= Pcosα =Psinα;

cosα

⋅⋅

⋅⋅⋅aaa

M(P)= tgα 0- tgβ Psinα =- P tgα tgβ;

cosα

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

M(P)= tg

(-Pcosα)-0=- P tgβ.

cos

⋅⋅ ⋅⋅

Таким образом,

M(P)= Psinα;

M(P)=- Ptgα tgβ;

M(P)=- Ptgβ.

⋅⋅

⋅

Графо-аналитический способ

Вычислим момент силы

P относительно оси Ox. Сила P лежит в

плоскости

ABK, которая перпендикулярна оси. Из точки A пересече-

ния оси с этой плоскостью опускаем на линию действия силы пер-

пендикуляр. Из треугольника

ABK найдем длину этого перпендику-

ляра

h= sinα⋅a . Составим произведение численного значения си-

лы на длину перпендикуляра. Так как с положительного конца оси

Ox мы видим вращение, которое стремится вызвать сила относи-

тельно оси, против хода часовой стрелки, то перед произведением

ставим знак « + ». Таким образом

M(P)=+Ph=P sinα⋅⋅a .

Вычислим момент силы

относительно оси Oy. Спроецируем

силу

P в плоскость ADEK, которая перпендикулярна оси Oy. Проек-

ция силы будет направлена по прямой

AK, а ее численное значение

P=Psinα . Из точки D пересечения оси с плоскостью ADEK опус-

каем на линию действия силы перпендикуляр

DA. Как было найдено

ранее,

DA = tg

cosα

⋅

. Составим произведение численного значе-

ния проекции силы

P на длину перпендикуляра DA. Так как с по-

ложительного конца оси

Oy мы видим вращение, которое стремится

вызвать проекция силы относительно оси, по ходу часовой стрелки,

то перед произведением ставим знак « – ». Таким образом,

yxz

M(P)= P DA= Psinα tgβ Ptgα tgβ

cosα

−⋅ − ⋅ =−⋅ ⋅a

Вычислим момент силы

P относительно оси Oz. Спроецируем

силу

P в плоскость ABCD, которая перпендикулярна оси Oz. Проек-

ция силы будет направлена по прямой

BA, а ее численное значение

P=Pcosα . Из точки D пересечения оси с плоскостью ABCD

опускаем на линию действия силы перпендикуляр

DA. Составим

произведение численного значения проекции силы

P на длину

перпендикуляра

DA. Так как с положительного конца оси Oz мы ви-

дим вращение, которое стремится вызвать проекция силы относи-

тельно оси, по ходу часовой стрелки, то перед произведением ста-

вим знак « – ». Таким образом,

zxy

M(P) P DA Pcosα tgβ Ptgβ

cosα

=− ⋅ =− ⋅ =− ⋅⋅

a .

Итак,

M (P) Psinα=

⋅

a ;

M(P) Ptgα tgβ=− ⋅ ⋅

⋅

a ;

M(P) Ptgβ=− ⋅

⋅

a .

Оба способа дают одинаковый результат.

Моменты силы

Для облегчения вычисления проекций и моментов силы

F пере-

несем ее вдоль линии действия силы в точку

E и разложим по двум

направлениям на две силы

F и

F . При этом очевидно, что

F=Fsinβ ,

F=Fcosβ ,

F=F +F .

Аналитический способ

Запишем формулы для аналитического расчета моментов силы

F .

zyx

M(F)=yF-zF;

M(F)=zF-xF;

M(F)=xF -yF.

Выберем на линии действия силы

произвольную точку, напри-

мер точку

E, и запишем ее координаты.

=0;

=0; z=DE.

Так как

DE = tgα⋅a

, то

=0;

=0; z= tgα.

⋅

Вычисляем проекции силы

на оси координат

1x 2x 1

F=F +F =F+0=Fsinβ;

y1y2y 2

F=F +F =0+Fcosα =Fcosβcosα;

z1z2z 2

F=F +F =0-Fsinα =Fcosβsinα.

Подставим найденные значения в формулы для аналитического

расчета моментов и получим

sinα

M (F)= 0 - tgα Fcosβ cosα =- Fcosβ cosα =- Fsinα cosβ;

cosα

M(F)= tgα Fsinβ -0= Ftgα sinβ;

M (F) = 0 - 0.

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅⋅

aa a

Итак,

;

M(F) Fsinα cosβ

M(F) Ftgα sinβ

M(F)=0.

=− ⋅

=⋅

⋅

Графо-аналитический способ

Так как силу

F мы разложили на две составляющие, то момент

силы

F будет равен сумме моментов силы

Вычислим момент силы

F относительно оси Ox.

x1 x 2 2

M(F)=M(F)+M(F)=0-F h=-Fcosβ sinα.⋅⋅a

Момент

(

)

=0, так как сила

F параллельна оси Ox, а рас-

стояние от точки

D до силы

- h. Если посмотреть с положительно-

го направления оси

Ox, то сила

F стремится вызвать вращение по

ходу движения часовой стрелки. Поэтому перед моментом ставим

знак « – ».

Вычислим момент силы

F относительно оси Oy.

yy1y21

M (F)=M (F )+M (F )=F DE+0=Fsinβ tgα.⋅⋅⋅a

Момент

(

)

=0, так как линия действия силы

F пересекает

ось

Oy. Сила

F лежит в плоскости Oxz. Если посмотреть с положи-

тельного направления оси

Oy, то эта ось будет видна как точка D,

расстояние от нее до силы

F - DE. Так как сила

F стремится вы-

звать вращение против хода часовой стрелки, то знак момента « + ».

Вычислим момент силы

F относительно оси Oz.

zz1z2

(

)

(

)

(

)

=0.

(

)

=0, так как линия действия силы F пересекает ось Oz.

Итак, имеем

M (F) = - Fsinα cosβ;

M(F)= Ftgα sinβ;

M(F)=0.

⋅

Оба способа дают один и тот же результат.

Моменты пары сил

(

Q,Q

)

′

Для простоты вычислений в качестве произвольных точек на ли-

нии действия пар сил выбираем точки

K и B. Проведем вектор KB к

силе

Q . Тогда момент пары

(

Q,Q

)

′

запишется в виде

m=KB Q

′

× .

Плечо пары d=KB=

cosα

Аналитический способ

Запишем формулы для аналитического расчета моментов пары

сил

(

Q,Q

)

′

yZ zy

yzxxz

zxyyx

m=(KB)Q-(KB)Q;

m =(KB) Q -(KB) Q ;

m =(KB) Q -(KB) Q .

′

Проекции вектора

на оси:

(KB) =0;

(KB) =KB cosα =;⋅ a

(KB) = -KB sinα =- sinα =- tgα.

cosα

⋅⋅

Проекции силы

′

на оси:

Q=Q=Q;

′

Q=0;

′

Q=0.

′

Подставив значения проекций в формулы, получаем

m= 0-(-tgα)0=0;

m=-tgα Q-0=-Q tgα;

m=0- Q=-Q .

⋅

⋅⋅

Графо-аналитический способ

Построим вектор пары сил

m . Для этого в любой точке, например

K, плоскости действия пары проведем к ней перпендикуляр. Так как

сверху мы видим вращение пары по ходу часовой стрелки, то по

правилу правого винта направляем

m вниз. По модулю он равен

m=Q d=Q .

cosα

⋅⋅

Спроецируем вектор m на оси, тогда

m=0;

m=-msinα =-Q sinα =-Q tgα;

cosα

m=-mcosα =-Q cosα =-Q .

cosα

⋅⋅⋅

Итак, в обоих случаях мы получили одинаковый результат

m=0;

m=-Q tgα;

m=-Q .

⋅

Задача С.2. Главный вектор и главный

момент системы сил

Система сил

{

;;

}

NPQ произвольно расположена в пространстве

(рис. 11 – 13). Величины сил и геометрические размеры для каждо-

го варианта заданы в таблице 1.

В данной задаче требуется все силы привести в заданный центр

точку O, а затем вычислить модуль главного вектора

′

и модуль

главного момента

M .

В любом масштабе для

′

M сделать чертеж.

1. Приведение произвольной пространственной

системы сил в заданный центр

Согласно лемме Пуансо

, не меняя модуля и направления силы

F ее можно показывать в любой точке плоскости с моментом

MFh=⋅ (рис. 10).

Рис. 10

Пуансо Луи (3.1.1777 – 5.12.1859). Французский математик и механик. Ос-

новные исследования посвящены теории чисел и механике.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13